Bài giảng Toán C2 Chương 4 ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 4 TRỊ RIÊNG, VÉC-TƠ RIÊNG & DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Đại Học Tôn Đức Thắng

Huỳnh Văn Kha

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

1 / 14

Toán C2 - MS: C01010

Nội dung

1 Chéo hóa ma trận

2 Dạng toàn phương

Đa thức đặc trưng Trị riêng, vector riêng Chéo hóa ma trận

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

1 / 14

Dạng toàn phương Dạng chính tắc của dạng toàn phương Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

Đa thức đặc trưng

Cho A ∈ Mn, ta gọi đa thức đặc trưng của A là đa thức: pA(x) = det(xIn − A)

Ví dụ:  

1. Xét A =  

3 1 −1 2 2 −1 0 2 2 Tìm đa thức đặc trưng của A

2. Cho P khả nghịch, chứng tỏ rằng: A và P −1AP có

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

2 / 14

cùng đa thức đặc trưng.

Trị riêng, vector riêng

Cho A ∈ Mn Ký hiệu: [v ] là tọa độ của v ∈ Rn trong cơ sở chính tắc

Vector v ∈ Rn (v (cid:54)= 0) gọi là vector riêng của A nếu tồn tại λ ∈ R sao cho: A[v ] = λ[v ] Khi đó ta nói λ là một trị riêng của A. Và v là vector riêng ứng với trị riêng λ

λ là trị riêng của A khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng pA(x)

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

3 / 14

Ví dụ: Tìm các trị riêng của ma trận A trong ví dụ trên.

Không gian con riêng

Tập các vector v ∈ Rn thỏa: A[v ] = λ[v ] là một không gian vector con của Rn. Ký hiệu: E (λ)

Nếu λ là trị riêng của A thì E (λ) được gọi là không gian con riêng ứng với trị riêng λ Ví dụ:

1. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng

của A trong ví dụ trên

2. Tìm cơ sở, số chiều cho các không gian con riêng  

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

4 / 14

của B =   2 −1 −1 2 −1 2 −1 −1 −1

Chéo hóa ma trận vuông Ma trận vuông A ∈ Mn gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận khả nghịch P ∈ Mn sao cho P −1AP là ma trận đường chéo. P −1AP gọi là dạng chéo của ma trận A

A chéo hóa được khi và chỉ khi tồn tại cơ sở của Rn gồm toàn các vector riêng của A

Nếu λ là nghiệm bội m của pA(x) thì m ≥ n = dim E (λ) Gọi λ1, λ2, . . . , λk là tất cả các trị riêng khác nhau của A. Đặt ni = dim E (λi ), khi đó:

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

5 / 14

A chéo hóa được khi và chỉ khi n1 + n2 + · · · + nk = n

Thuật toán chéo hóa ma trận

1. Tìm đa thức đặc trưng, xác định các trị riêng λi → Nếu tổng bậc của các trị riêng nhỏ hơn n thì không

chéo hóa được

2. Tìm các cơ sở Bi cho các không gian con riêng

E (λi ) tương ứng

→ Nếu tổng số chiều các không gian con riêng nhỏ

hơn n thì không chéo hóa được 3. Đặt B = B1 ∪ B2 ∪ · · · ∪ Bk, và đặt

P = P(B0 → B).

→ Thì: P −1AP là ma trận chéo, với các phần tử trên

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

6 / 14

đường chéo là các trị riêng của A

Ví dụ: Các ma trận sau có chéo được không? Nếu có, hãy chéo hóa nó.

1. Các ma trận trong ví dụ trên. (cid:19) (cid:19) , 2. (cid:18) 1 −1 3 1 (cid:18) 2 1 2 3

  4

3.   −6 −4 −6 −6 2 −1 3 5

 

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

7 / 14

4.   −3 −7 −6 1 −1 5 −1 6 −2

Dạng toàn phương

Một dạng toàn phương trên Rn là một ánh xạ Q : Rn → R có dạng:

Q (x1, x2, ..., xn) = a11x 2

1 + 2a12x1x2 + ... + 2a1nx1xn 2 + 2a23x2x3 + ... + annx 2 +a22x 2 n 

  

, và A = Đặt: X =            

a11 a12 a12 a22 · · · · · · a1n a2n · · · a1n · · · a2n · · · · · · · · · ann

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

8 / 14

x1 x2 ... xn Thì Q (x1, x2, ..., xn) = X (cid:62)AX Ta gọi A là ma trận của dạng toàn phương Q Chú ý: A là ma trận đối xứng

Ví dụ: Cho dạng toàn phương

Q (x1, x2, x3) = 3x 2

1 + 4x 2

2 + 5x 2

3 + 4x1x2 − 4x2x3

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

9 / 14

Xác định ma trận của dạng toàn phương Q

Dạng chính tắc dạng toàn phương

A[X ]B0

Cho dạng toàn phương Q(X ) = [X ](cid:62) B0 Nếu tồn tại cơ sở B của Rn sao cho: Q(X ) = [X ](cid:62)

B D[X ]B. Với D là ma trận chéo:

 

D =      

n , với

a1 0 ... 0 ... 0 0 a2 ... ... ... ... 0 0 ... an 1 + a2y 2 ... yn

2 + ... + any 2 Thì Q (X ) = a1y 2 (cid:1)(cid:62). [X ]B = (cid:0) y1 y2 Và ta gọi dạng này là dạng chính tắc của dạng toàn phương Q

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

10 / 14

Đưa về dạng chính tắc

Dùng ma trận trực giao

Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống kê)

Chương 4: Trị riêng, véc-tơ riêng

Toán C2 - MS: C01010

11 / 14

Ma trận P gọi là ma trận trực giao nếu P −1 = P (cid:62) Nếu A đối xứng thì luôn tồn tại ma trận trực giao P sao cho P −1AP là ma trận đường chéo Đặt X = PY thì Q(X ) = Y (cid:62)(P −1AP)Y Chú ý: Để tìm P thỏa yêu cầu trên, ta tiến hành chéo hóa A (như phần trên). Sau khi có cơ sở B gồm toàn các vector riêng của A, ta tiếp tục trực chuẩn hóa (bằng Gram-Schmidt) để biến B thành cơ sở trực chuẩn C. P = P(B0 → C)

Ví dụ: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc.