Bài giảng Toán C2: Chương 5 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

88
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán C2 - Chương 5 trình bày về lý thuyết chuỗi. Các nội dung chính trong chương này gồm: Chuỗi số hội tụ – Chuỗi hình học, các tiêu chuẩn hội tụ, chuỗi hàm,...và các nội dung chi tiết khác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán C2: Chương 5 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 5 LÝ THUYẾT CHUỖI Huỳnh Văn Kha Đại Học Tôn Đức Thắng Toán C2 - MS: C01010 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 1 / 30
Nội dung ar n P 1 Chuỗi số hội tụ – Chuỗi hình học 2 Các tiêu chuẩn hội tụ 1/np P Tiêu chuẩn tích phân – Chuỗi Các tiêu chuẩn so sánh Chuối đan dấu - Tiêu chuẩn Leibnitz Hội tụ tuyệt đối – Tiêu chuẩn trị tuyệt đối Tiêu chuẩn tỷ số (của d’Alembert) Tiêu chuẩn căn số (của Cauchy) Một số bài tập 3 Chuỗi hàm Chuỗi hàm - miền hội tụ Chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ, khoảng hội tụ Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 1 / 30
Chuỗi số Cho dãy số {an }∞ n=1 , biểu thức a1 + a2 + · · · + an + . . . được gọi là một chuỗi số. ∞ P P Ký hiệu: an hoặc an . n=1 Ví dụ 1. Với an = n, ta có chuỗi ∞ X n = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + n + .... n=1 1 Với an = 2n , ta có chuỗi ∞ X 1 1 1 1 1 n = + + + · · · + n + .... n=1 2 2 4 8 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 2 / 30
Tổng riêng phần - Tổng P chuỗi Các tổng riêng phần của chuỗi an được định nghĩa là: s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 , ... sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an . P Nếu lim sn = s, thì ta nói an có tổng là s và viết n→∞ X∞ X∞ Xn an = s. Như vậy an = lim sn = lim ai . n→∞ n→∞ n=1 n=1 i=1 Ví dụ 2. Tính riêng phần và tổng (nếu có) các chuỗi: ∞ ∞ ∞ 1 (−1)n . P P P 1. n 2. 3n 3. n=1 n=0 n=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 3 / 30
Chuỗi số hội tụ ∞ P Nếu tổng của chuỗi an tồn tại và hữu hạn, ta nói n=1 chuỗi này hội tụ. P∞ Ngược lại, nếu an = ±∞ hoặc tổng của chuỗi n=1 ∞ P an không tồn tại, ta nói chuỗi này phân kỳ. n=1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây. 1. Các chuỗi số trong Ví dụ 2. ∞ ∞ X 1 X k 2. 3. ln n=1 n(n + 1) k +1 k=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 4 / 30
Chuỗi hình học Cho a 6= 0, r ∈ R, chuỗi hình học là chuỗi số có dạng ∞ X ar n = a + ar + ar 2 + . . . . n=0 Với giá trị nào của a và r thì chuỗi hình học hội tụ? Nếu |r | < 1 thì chuỗi hình học hội tụ, và khi đó ∞ X a ar n = . n=0 1 − r Ngược lại, nếu |r | ≥ 1 thì chuỗi hình học phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 5 / 30
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 6 / 30
Ví dụ 4. Các chuỗi số sau có hội tụ không? Tính tổng (nếu có) của nó. ∞ X 1. 22n 31−n n=0 8 16 32 2. 4 − + − + ··· 3 9 27 ∞ X Ví dụ 5. Tính tổng của chuỗi x n , với |x| < 1. n=1 Ví dụ 6. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây thành dạng phân số. 1. 2.317 = 2.3171717... 2. 0.9 = 0.99999... Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 7 / 30
Các tính chất P TC1. Nếu an hội tụ thì lim an = 0. n→∞ Chú ý. Chiều ngược lại chưa chắc đúng. Nếu lim an = 0 n→∞ P thì an cũng có thể hội tụ, Pcũng có thể phân kỳ. Ví dụ dãy 1/n → 0 nhưng 1/n phân kỳ (đọc thêm). (Kiểm tra sự phân kỳ) Nếu lim an không tồn tại hoặc n→∞ ∞ P lim an 6= 0 thì chuỗi an phân kỳ. n→∞ n=1 ∞ X n2 + 1 Ví dụ 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số 2+n . n=1 2n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 8 / 30
P P TC2. P Nếu các chuỗi Pan , bn đều hội P tụ thì các chuỗi can (c ∈ R), (an + bn ) và (an − bn ) cũng hội tụ, và: P∞ ∞ P a) can = c an n=1 n=1 P∞ ∞ P ∞ P b) (an + bn ) = an + bn n=1 n=1 n=1 P∞ P∞ P∞ c) (an − bn ) = an − bn n=1 n=1 n=1 Ví dụ 8. Tính tổng (nếu có) của chuỗi ∞ X 2 1 + n . n=1 n(n + 1) 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 9 / 30
Chú ý. Hữu hạn các số hạng đầu tiên không ảnh hưởng đến sự hội tụ của chuỗi, do ∞ X N X ∞ X an = an + an . n=1 n=1 n=N+1 Như vậy, với mọi N ∈ N, ∞ P ∞ P TC3. an hội tụ ⇔ an hội tụ. n=1 n=N ∞ P Chẳng hạn, nếu biết an hội tụ, ta có thể kết luận n=5 ∞ P rằng an cũng hội tụ. n=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 10 / 30
1/np P TC tích phân – Chuỗi Cho f là hàm số dương, giảm, liên tục trên [1, +∞), đặt ∞ X Z ∞ an = f (n). Khi đó chuỗi an và tích phân f (x)dx n=1 1 cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 11 / 30
Chú ý. Do sự hội tụ của chuỗi số không phụ thuộc vào hữu hạn số hạng ban đầu, nên chỉ cần f dương và giảm trên khoảng [M, +∞) với M ∈ R bất kỳ. Ví dụ 9. Xét sự hội tụ của các chuỗi số: ∞ ∞ ∞ X 1 X ln n X 1 1. 2. 3. n=1 1 + n2 n=1 n n=2 n ln2 n ∞ X 1 Ví dụ 10. Với giá trị nào của p thì chuỗi p hội tụ? n=1 n ∞ X 1 Chuỗi p hội tụ khi p > 1 và phân kỳ khi p ≤ 1. n=1 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 12 / 30
Tiêu chuẩn so sánh 1 (hiệu số) P P Cho an , bn là các chuỗi số không âm (nghĩa là an ≥ 0, bn ≥ 0, ∀n). Khi đó: P P Nếu bn ≥ an , ∀n và bn hội tụ thì an hội tụ, P P Nếu bn ≤ an , ∀n và bn phân kỳ thì an phân kỳ. Ví dụ 11. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau. ∞ ∞ X 2 X n 1. 2. n=1 n2 + 3 n=1 n3 + 2n + 1 ∞ ∞ X 1 X ln n 3. 4. n=1 2n + 3n n=1 n Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 13 / 30
Tiêu chuẩn so sánh 2 (tỷ số) P P Cho an ,bn là các chuỗi số không âm, bn 6= 0, ∀n. an P P Nếu lim = c ∈ (0, +∞), thì an và bn n→∞ bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. an P P Nếu lim = 0 và bn hội tụ thì an hội tụ. n→∞ bn Ví dụ 12. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau. ∞ ∞ X 2n + 1 X n2 + 3n − 1 1. 2. n3 + 2n − 2 p n=1 n=1 n(n4 + 2) ∞ ∞ X 2 + 3n X ln n 3. 4. n=1 3 + 4n n=1 n2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 14 / 30
Chuỗi đan dấu Chuối đan dấu là chuỗi gồm các số hạng âm dương xen kẽ. Ví dụ: ∞ 1 1 1 1 1 X (−1)n+1 1 − + − + − + ··· = 2 3 4 5 6 n=1 n ∞ 1 2 3 4 5 6 X n − + − + − + − ··· = (−1)n 2 3 4 5 6 7 n=1 n+1 Chuỗi đan dấu là chuỗi mà số hạng tổng quát có dạng an = (−1)n+1 bn hoặc an = (−1)n bn trong đó bn > 0. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 15 / 30
Tiêu chuẩn Leibnitz Nếu dãy {bn } dương, giảm và hội tụ về 0 thì chuỗi đan ∞ X dấu (−1)n+1 bn = b1 − b2 + b3 − b4 + . . . hội tụ. n=1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 16 / 30
Ví dụ 13. Xét sự hội tụ của các chuỗi đan dấu sau. ∞ ∞ X (−1)n−1 X (−1)n 1. 2. n=1 n n=1 3n2 + 1 ∞ ∞ X n+1 ln n X n2n 3. (−1) 4. (−1) 3 n=3 n n=2 n +1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 17 / 30
Hội tụ tuyệt đối – TC trị tuyệt đối ∞ P Chuỗi an được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi n=1 ∞ X |an | = |a1 | + |a2 | + |a3 | + · · · + |an | + . . . hội tụ. n=1 Ví dụ 14. Các chuỗi sau có hội tụ, có hội tụ tuyệt đối không? ∞ ∞ ∞ X (−1)n−1 X (−1)n−1 X 1 1. 2. 3. n=1 n2 n=1 n n=1 n P Nếu an hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ. Chú ý. Một chuỗi hội tụ thì chưa chắc hội tụ tuyệt đối. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 18 / 30
Chú ý: P Nếu a hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối, ta P n nói an hội tụ có điều kiện. P Nếu an hội tụ tuyệt đối và có tổng là s thì mọi P hoán vị của an cũng đều hội tụ tuyệt đối và đều có tổng bằng s. P Nếu an hội tụ có điều kiện thì với mọi x ∈ R đều tồn tại một cách sắp xếp các số hạng an để tổng thu được là x. Ví dụ 15. Các chuỗi sau có hội tụ, hội tụ tuyệt đối không? ∞ ∞ −1/n X sin 3n X ne 1. 2. (−1) n=1 3n n=1 n3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 5: Lý thuyết chuỗi Toán C2 - MS: C01010 19 / 30