Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ (2019)

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ" cung cấp cho người học các kiến thức: Subspaces of Rn, spanning sets, independence, bases of vector spaces, column space and row space of a matrix, dimensions. Mời các bạn cung tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp - Chương 3: Không gian vectơ (2019)

10/11/2019 NỘI DUNG o Subspaces of Rn o Spanning sets o Independence o Bases of vector spaces o Dimensions o Column space and row space of a matrix KHÔNG GIAN VECTƠ CHƯƠNG 3 10/10/2019 1 10/10/2019 2 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VEC TƠ TÍNH CHẤT x 1 x .0 0 10/10/2019 3 10/10/2019 4 KHÔNG GIAN R3 VECTOR N CHIỀU V1 x 1 , x 2 , x 3 | x 1, x 2 , x 3 R (x1, x2) // vector in R2 Phép cộng hai vec tơ: (x1, x2, x3) // vector in R3 x y x 1, x 2, x 3 y1, y2, y3 x1 y1, x 2 y2 , x 3 y3 (x1, x2, x3, x4) // vector in R4 Phép nhân vec tơ với một số: (x1, x2, …, xn) // vector in Rn x . x 1, x 2, x 3 x 1, x 2, x 3 A vector (x1, x2, …, xn) in Rn is also called a point in Rn. Sự bằng nhau của hai vec tơ: x1 y1 (0, 0, …, 0): the zero vector in Rn x y x2 y2 x3 y3  V1 là không gian vec tơ. Ký hiệu: R3 Tương n 10/10/2019tự ta có không gian R 5 10/10/2019 6 1
10/11/2019 PHÉP CỘNG VÀ NHÂN VÔ HƯỚNG TRONG RN EXAMPLES u = u1, u2, …, un) Given two vectors u = (2, -1, 1, 2), v = (3, 1, 2, -1)  Find u + v v = (v1, v2, …, vn) u + v = (5, 0, 3, 1) Vector addition:  Find ½u ½u = (1, - ½, ½,1) u + v = (u1 + v1, u2 + v2, …, un + vn)  Find -3v Scalar multiplication: -3v = (-9, -3, -6, 3) cv = (cv1, cv2, …, cvn)  And find 3u - 2v 3u + 2v = (0, -5, -1, 8) 10/10/2019 7 10/10/2019 8 KHÔNG GIAN P2[X] KHÔNG GIAN M2[R] a b V2 ax2 bx c | a, b, c R V3 : a, b, c, d R c d Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai đa thức. Phép cộng hai vec tơ: phép cộng hai ma trận. Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân đa thức với một Phép nhân vec tơ với một số: phép nhân ma trận với một số số Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai Sự bằng nhau của hai vec tơ: hai vec tơ bằng nhau là hai đa thức bằng nhau (các hệ số tương ứng bằng nhau) ma trận bằng nhau.  V2 là không gian vec tơ. Ký hiệu: P2[x]  V3 là không gian vec tơ. Ký hiệu: M2[R] Tương tự ta có không gian Pn[x] Tương tự ta có không gian Mn[R] 10/10/2019 9 10/10/2019 10 KGVT CON KHÔNG GIAN VECTO CON CỦA RN  Không gian vecto con A nonempty subset V is called a subspace of Rn if:  0 = 0, 0, … , 0  𝑉  Không gian sinh bởi một họ vecto  𝑢, 𝑣  𝑉  𝑢, 𝑣 𝑉 for all 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑠 𝑢, 𝑣.  Biểu thị tuyến tính (tổ hợp tuyến tính)  v 𝑉  𝑘𝑣 𝑉 for any 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑣, and any number k  Độc lập tuyến tính Example. V = {(a, a, 0) | a  R}  Phụ thuộc tuyến tính  (0, 0, 0) is in V  If (a, a, 0) and (b, b, 0) are in V then (a + b, a + b, 0) is in V  If v=(a, a, 0) is in V then cv = (ca, ca, 0) is in V V is a subspace of R3. 10/10/2019 11 10/10/2019 12 2
10/11/2019 SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF R N: SOME EXAMPLES OF SETS THAT ARE NOT SUBSPACES OF R N:  0 = 0, 0, … , 0  𝑉  𝑢, 𝑣 𝑉  𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = (1,0,0)  𝑣 𝑉  𝑘𝑣 𝑉 U= V=  0 = 0, 0, … , 0  𝑉 W=  𝑢, 𝑣 𝑉  𝑢 + 𝑣 𝑉 𝑢 = 0,1,1 , 𝑣 = 1,0,0 // in V  𝑣 𝑉  𝑘𝑣 𝑉 V = {(a, b, c) | a = 0 or b = 0} 𝑢+ 𝑣 = (1, 1, 1) // not in V V = {(a, b, c) | a = b or a = -b} 𝑢 = 1,1,0 , 𝑣 = (1, −1,0) // in V but u + v is not in V 10/10/2019 13 10/10/2019 14 Key = a SUBSPACE OR NOT? VÍ DỤ_BIỂU THỊ TUYẾN TÍNH Cho các vecto u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 3), w = (1, -3, 1). Hãy viết vecto w dưới dạng tổ hợp tuyến tính của hai vecto u và v (nếu được) Điều này có nghĩa là tìm các hệ số a, b sao cho: w = au + bv w = 2u - v (1, -3, 1) = a(1, -1, 2) + b(2, 1, 3) a + b =1 -a + b = -3 w u v 2a + 3b = 1 = (a + b, -a + b, 2a + 3b)  a = 2, b = -1 10/10/2019 15 10/10/2019 16 TỔ HỢP TUYẾN TÍNH (LINEAR COMBINATION) LINEAR COMBINATION Given u = (1, -1, 2), v = (-2, 0, 3) and w = (-3, 2, 1) Write x = (1, 0, 2) as a linear combination of u, v, and w. We find numbers a, b, c such that: x = au + bv + cw (1, 0, 2) = a(1, -1, 2) + b(-2, 0, 3) + c(3, 2, 1) (1, 0, 2) = (a -2b + 3c, -a + 2c, 2a + 3b + c) 1a -2b + 3c = 1 -1a + 0b + 2c = 0 a = 2, b = -1, c = 1 2a + 3b + 1c = 2  x = 2u –v + w 10/10/2019 17 10/10/2019 18 3
10/11/2019 VÍ DỤ SPANNING SETS V = span{𝑢, 𝑣} = {a𝑢 + 𝑏𝑣| a, b in R} 1  (1,3, 2);  2  (0,1, 1);  3  (2,0, 3) u   (2,1, 1) V v V = span{𝑢, 𝑣, 𝑤} = {a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤| a, b, c in R}. We also say {u, v, w} spans V a𝑢 + 𝑏𝑣+ c𝑤 is called a linear combination of 𝑢, 𝑣, and 𝑤. 10/10/2019 19 10/10/2019 20 SPANNING SETS - EXAMPLES KHÔNG GIAN CON SINH BỞI HỌ VECTƠ Given V = span{(-1, 2, 1), (3, -5, -1)} Cho tập hợp các vec tơ: a. (-1, 1, 1) V? M v1, v2 ,..., vn b. Find m such that (-2, 1, m)V. Solution. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính các vec tơ của M tạo thành một không gian vec tơ. a. (-1, 1, 1) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) -a + 3b = -1 2a – 5b = 1 (-1, 1, 1) = (-a + 3b, 2a – 5b, a –b) a– b=1 span M v1, v2 ,..., vn span v1, v2,..., vn -a + 3b = -2 b. (-2, 1, m) = a(-1, 2, 1) + b(3, -5, -1) 2a – 5b = 1 Span(M) là không gian vecto con, sinh bởi một họ vec a– b=m tơ 10/10/2019 21 10/10/2019 22 VÍ DỤ BÀI TẬP Find m such that (-1, -2, m) lies in the subspace spanned by the vectors 1. Find the values of t for which (2, -1, t) lies in the (1, 2, -3), (-1, -1, 5) and (2, 5, -4). subspace spanned by the vectors (-1, 1, 0) and (2, -3, - 1). Solution. We want the system below has solution a, b, c: 2. For what values of x does the vector (1, 1, x) is a linear combination of the vectors (1, 0, -3) and (-2, 1, 5)? (-1, -2, m) = a(1, 2, -3) + b(-1, -1, 5) + c(2, 5, -4) (-1, -2, m) = (a -2b + 2c, 2a –b +5c, -3a + 5b -4c) 3. Find the values of m such that (4, -2, -1, m) lies in the a – b + 2c = -1 1 −1 2 −1 1 −1 2 −1 subspace spanned by the vectors (1, 0, -1, 1), (1, 0, 0, 2 −1 5 −2 0 1 1 0 1), and (2, -1, 1, 0). 2a – b + 5c = -2 −3 5 −4 𝑚 0 2 2 𝑚 −3 -3a + 5b – 4c = m 1 −1 2 −1 0 1 1 0 m=3 0 0 0 𝑚 −3 10/10/2019 23 10/10/2019 24 4
10/11/2019 Key = d, e, b Key = e, c, a SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. Let X = (-1, -3, 3) and U = span{Y = (1, 0, 3), Z = (1, 1, 1)}. If X is in U, write X =aY + bZ, then find the sum a+b. a) X is not in U b) a+b = -1 c) a+b = 4 d) a+b = 0 e) None of these 10/10/2019 25 10/10/2019 26 SPANNING SETS. LINEAR COMBINATIONS. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH Một tập hợp các vecto {v1, v2, …, vn} được gọi là độc lập tuyến tính (linearly independent) nếu hệ phương trình: t1𝑣1+ t2𝑣2+ ... + tn𝑣𝑛= 0 Chỉ có nghiệm tầm thường: Suppose V = span{(1, -1, 0), (2, -1, 1), (-1, 0, 1)}. Find all values of t such that (1, t1 = t 2 = … = tn = 0 2, t) V. a) t is arbitrary b) t = 3/2 c) t = 3 d) t = -1 10/10/2019 27 10/10/2019 28 DO YOURSELF Độc lập tuyến tính  số phần tử cơ sở = Số vecto 10/10/2019 29 10/10/2019 30 5
10/11/2019 VÍ DỤ VÍ DỤ Các hệ vec tơ sau đây là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc Trong không gian R3 cho hệ vec tơ: tuyến tính? a) 1  (1,2,3); 2  (2,1,0); 3  (0,1, 2) M  1,1,1 ;  2,1,3 ; 1,2,0  b) 1  (2,4); 2  (1, 2) 1) Hệ vec tơ M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? 2) Vec tơ x=(2,-1,3) có biểu thị tuyến tính được qua hệ M không? 10/10/2019 31 10/10/2019 32 TỔNG HỢP XÉT SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 10/10/2019 33 10/10/2019 34 XÉT TỔ HỢP TUYẾN TÍNH XÉT ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TRONG RN Trong Rn cho hệ vec tơ M  1 , 2 , , m  1  (a11 , a12 , , a1n )   a11 a12 a1n   2  (a21 , a22 , , a2 n )  a a22 a2 n   A   21 ..............................       m  (am1 , am 2 , , amn )   am1 am 2 amn  • Hệ M độc lập tuyến tính khi và chỉ khi rank A=m (số véc tơ của hệ) • Hệ M phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi rank A
10/11/2019 VÍ DỤ CƠ SỞ - SỐ CHIỀU CỦA KGVT Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ véc tơ sau đây trong không gian đã chỉ ra  Tập sinh a) 1  (1,1,0), 2  (0,1,1), 3  (1,0,1 trong R 3  Cơ sở  Số chiều b) 1  (1,1,0,0),  2  (0,1,1,0), 3  (2,3,1,0) trong R 4 10/10/2019 37 10/10/2019 38 TẬP SINH CỦA KHÔNG GIAN VECTO VÍ DỤ Hệ này có nghiệm x 1 1,1,1 2 1, 2,1 3 2, 3,1 với mọi x nên mọi 2 3 x1 vec tơ x của không 1 2 2 3 3 x2 gian R3 đều là tổ 1 2 hợp tuyến tính x3 1 2 3 của hệ vec tơ M 10/10/2019 39 10/10/2019 40 VÍ DỤ CƠ SỞ - SỐ CHIỀU Hệ vec tơ M gọi là cơ sở của không gian vec tơ V nếu nó độc Hệ này có thể vô lập tuyến x 1,1, 1 2, 3,1 3, 4, 0 nghiệm nên vẫn tính và mọi 1 2 3 có vec tơ x của vec tơ của 1 2 2 3 3 x1 không gian không gian R3 1 3 2 4 3 x2 V đều biểu không là tổ hợp 1 2 x3 tuyến tính của hệ thị tuyến vec tơ M tính được qua M. 10/10/2019 41 10/10/2019 42 7
10/11/2019 ĐỊNH LÝ VÍ DỤ Giả sử V là không gian hữu hạn chiều. Khi đó: 1) Tồn tại vô số cơ sở của không gian vec tơ V Choose a set of 3 vectors And this set must be linearly independent 2) Số lượng vec tơ trong mọi cơ sở đều bằng nhau. Định lý. Trong không gian Rn, một tập hợp gồm đúng n vecto là cơ sở của Rn khi và chỉ khi các vecto này độc lập tuyến tính. 10/10/2019 43 10/10/2019 44 SỐ CHIỀU CỦA KGVT VÍ DỤ Số chiều = số lượng vecto trong cơ sở dim(Rn) = n If U  V then dim(U)  dim(V)  dim(subspace)  3 = dim(R3) 1 1 -3 2  Dimension is not 4 or more than 4 2 -2 2 0 Dim( ) = 2 = number of leading ones -1 1 -1 0 1 1 -3 2 1 1 -3 2 0 -4 8 -4 0 1 -2 1 0 2 -4 2 0 0 0 0 10/10/2019 45 10/10/2019 46 CƠ SỞ CHÍNH TẮC TRONG Rn TÍNH CHẤT Trong Rn ta dễ dàng chứng tỏ tập E sau đây là cơ sở. Cho không gian vec tơ V có số chiều là n, dimV=n E 1, 0,..., 0 ; 0,1, 0,..., 0 ;...; 0, 0..., 0,1 Rn e1  (1,0, ,0) e2  (0,1, ,0) Đặt: ta gọi đây là cơ sở chính tắc của R n .................. en  (0, 0,1) dim  R n   n 10/10/2019 47 10/10/2019 48 8
10/11/2019 VÍ DỤ HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ A) Kiểm tra tập hợp sau có là cơ sở của R3 Cho hệ vec tơ: M x 1, x 2 ,..., x n M 1,1,1 ; 2, 3,1 ; 3,1, 0 Một tập hợp con các vecto của M được gọi là hệ con độc lập tuyến tính tối đại nếu: B) Kiểm tra tập hợp sau có là tập sinh của R3 + Hệ độc lập tuyến tính M 1,1,1 ; 2, 0,1 ; 1,1, 0 ; 1, 2,1 + Nếu thêm bất kỳ véc tơ khác nào của hệ M vào hệ con đó ta đều nhận được một hệ một hệ phụ thuộc tuyến tính 10/10/2019 49 10/10/2019 50 TÌM HỆ CON ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH TỐI ĐẠI, HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ HẠNG CỦA HỆ VÉC TƠ TRONG Rn + Một hệ véc tơ có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính tối đại khác nhau Trong Rn cho hệ gồm m vec tơ sau: M x1, x 2,..., x n + Số véc tơ của các hệ con độc lập tuyến tính tối đại thì luôn bằng nhau. Để tìm hệ độc lập tuyến tính tối đại: Hạng của hệ vec tơ M là số tối đại các vec tơ độc lập 1) Lập ma trận A có các hàng là các vec tơ xi tuyến tính của M. Ký hiệu là rank(M) 2) Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng đưa A về dạng ma trận bậc thang A’. 3) Khi đó hạng của hệ M chính bằng hạng của ma trận A và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của M gồm các véc tơ ứng với các dòng khác 0 của ma trận bậc thang A’. 10/10/2019 51 10/10/2019 52 VÍ DỤ VÍ DỤ Trong R4 cho hệ vec tơ sau: Trong R4 cho các hệ vec tơ sau: M  (1,1,2,2),(2,3,6,6),(3,4,8,8),(5,7,14,14),(8,11,22,22) a ) M  1  (1, 1,0,1),  2  (1,0, 1, 2), 3  (0,1, 1,2) M   x1 , x2 , x3 , x4 , x5  b) N  1,1,1,0  ; 1,2,1,1 ;  2,3,2,1 ; 1,3,1,2  Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến Tìm hạng của hệ vec tơ và chỉ ra một hệ độc lập tuyến tính tối đại của nó tính tối đại của nó 10/10/2019 53 10/10/2019 54 9
10/11/2019 TÍNH CHẤT HẠNG CỦA HỌ VEC TƠ HỌ VEC TƠ HÀNG – HỌ VEC TƠ CỘT 1) Hạng của họ vec tơ M không đổi nếu ta nhân một vec tơ Cho ma trận A: 1 1 1 0 của M với một số khác không. 1 2 1 1 A 2) Cộng vào một vec tơ của họ M một vec tơ khác đã được 2 3 2 1 nhân với một số thì hạng không đổi 1 3 1 2 Họ vec tơ hàng của A: 3) Thêm vào họ M một vec tơ x là tổ hợp tuyến tính của M thì hạng không thay đổi. M 1,1,1, 0 ; 1, 2,1,1 ; 2, 3, 2,1 ; 1, 3,1, 2 Chú ý. Nếu rank(M)= k0 thì: + Tồn tại k0 vec tơ độc lập tuyến tính của M Họ vec tơ cột của A: 1 1 1 0 1 2 1 1 + Mọi tập hợp chứa nhiều hơn k0 vectơ đều phụ thuộc tuyến N ; ; ; tính. 2 3 2 1 1 3 1 2 10/10/2019 55 10/10/2019 56 ĐỊNH LÝ VỀ HẠNG VÍ DỤ Định lý. Cho A là ma trận cỡ m x n Tìm hạng của hệ vec tơ sau: Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ hàng A. M 1,1,1, 0 ; 1,1, 1,1 ; 2, 3,1,1 ; 3, 4, 0, 2 Hạng của ma trận A bằng với hạng của họ vec tơ cột của A. Giải. rank A rank colA rank rowA M là họ vec tơ hàng của ma trận A nên hạng của M bằng với hạng của ma trận A. 1 1 1 0 1 1 1 1 A 2 3 1 1 3 4 0 2 10/10/2019 57 10/10/2019 58 VÍ DỤ KGVT HÀNG – CỘT VÀ HẠNG CỦA MA TRẬN Tìm tất cả các số thực m để họ vec tơ sau phụ thuộc A is a mxn matrix  rank(A)  m, rank(A)  n tuyến tính Row space Column space M 1,1, 0 ; 1, 2,1 ; m, 0,1 Row space of a matrix Column space of a matrix Row(A) = span{row1, row2, Col(A) = span{col1, col2, …, …, rowm} coln} (rows = vectors) dim(row(A)) = dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 59 10/10/2019 60 10
10/11/2019 VÍ DỤ Dim(col(A)) = rank(A) 10/10/2019 61 10/10/2019 62 KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG GIAN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT Xét hệ thuần nhất Định lý. L là không gian vec tơ con của Rn và: dim L  n  r  A  a11 x1  a12 x2   a1n xn  0 Cơ sở: hệ nghiệm cơ sở của hệ a x  a x   a x  0  21 1 22 2  2n n  A. X  0 Ta gọi L là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến  tính thuần nhất. am1 x1  am 2 x2   amn xn  0   Đặt: L  x   x1, x2 ,..., xn   R n : A. X  0 Là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất. 10/10/2019 63 10/10/2019 64 VÍ DỤ KHÔNG GIAN NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT Tìm cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình thuần nhất.  x1  2 x2  x3  x4  0  a) 2 x1  4 x2  3 x3 =0  x  2 x  x +5x =0  1 2 3 4  x1  2 x2  x3  3x4  4 x5  0  b) 2 x1  4 x2  2 x3  7 x4  5 x5  0 dim(solution space) = n – r // n: số biến trong hệ, 2 x  4 x  2 x  4 x  2 x  0 r : hạng của ma trận hệ số  1 2 3 4 5 10/10/2019 65 10/10/2019 66 11
10/11/2019 VÍ DỤ NULL SPACE AND IMAGE SPACE OF A MATRIX Null space of a matrix A: Image space: Null(A) = {X :AX = 0} Im(A) = {all image AX: X in (solution space of a Rn} homogeneous system) Im(A) = col(A) dim(null(A)) = n – r dim(im(A)) = dim(col(A)) = rank(A) Dim(G) = n – r = 3 – 1 = 2  a basis for G contains 2 vectors  c, e, b impossible In other hand, (1, 0, 0) is not in G  can not be d, f a 10/10/2019 67 10/10/2019 68 VÍ DỤ TỌA ĐỘ CỦA VECTO  Tọa độ  Đổi tọa độ  Ma trận chuyển cơ sở  Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 10/10/2019 69 10/10/2019 70 TỌA ĐỘ CỦA VEC TƠ VÍ DỤ 10/10/2019 71 10/10/2019 72 12
10/11/2019 TÍNH CHẤT Ý NGHĨA 10/10/2019 73 10/10/2019 74 VÍ DỤ ĐỔI CƠ SỞ TRONG KGVT 10/10/2019 75 10/10/2019 76 ĐỊNH LÝ & VÍ DỤ VÍ DỤ Trong kgvt R3 cho 2 cơ sở: B1 e1 1, 0, 0 ;e2 0,1, 0 ;e3 0, 0,1 B2 u1 2, 1, 3 ; u2 1, 0,1 ; u 3 0, 1, 2 A) Viết ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2 B) Tìm tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2. Ghi chú. Cơ sở B1 gọi là cơ sở chính tắc của R3 10/10/2019 77 10/10/2019 78 13
10/11/2019 GIẢI DOT PRODUCT A) Ma trận chuyển cơ sở từ B1 sang B2: 𝑢 = (x1, y1, z1, w1), 𝑣 = (x2, y2, z2, w2) 2 1 0 vector  vector // dot product: TB 1 0 1 𝑢𝑣 = x1x2 + y1y2 + z1z2 + w1w2 1 B2 3 1 2 = a number 𝑢𝑣= 0  orthogonal // trực giao B) Tọa độ của vec tơ x=(3,-1,0) đối với cơ sở B2 là: Length of a vector: 1 𝑣 = 𝑣𝑣 = x12 + y12 + z12 + w12 3 2 1 0 3 1 Distance between 𝑢, 𝑣: x TB B1 x TB B2 1 1 0 1 1 B2 B1 2 1 Dist(𝑢, 𝑣) = 𝑢 − 𝑣 0 3 1 2 0 1 2 1 3 5 x 1 4 2 1 7 B2 1 1 1 0 4 10/10/2019 79 10/10/2019 80 PROPERTIES KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’ 1) Cho các ma trận: 3 4 6 1 2 A 0 1 1 B 0 1 3 4 3 7 A) Tìm điều kiện để ma trận A khả nghịch. B) Giải phương trình sau biết detA=-1. XA 3B 10/10/2019 81 10/10/2019 82 GIẢI BÀI 1 BÀI 2 det A 12 4 0 6 9 0 3 2 Tính các định thức: 3 det A 0 2 2 8 6 8 2 8 6 8 2 1 0 0 det A 1 3 2 1 2 3 9 5 10  0 9 6 8  0 9 6 8 A    3 4 6 1 2 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 1 A 0 1 1 A 2 0 3 1 4 0 6 1 4 0 6 1 4 0 6 2 3 4 2 1 3 0 1 0 0 1 2 18 6 8 6 6 4 2 6 4 18 9 6 8 B 0 1 A   3 1 2  6 1 1 1  6 0 1 1  36 3 0 1 2 3 7 9 0 6 3 0 3 0 0 3 9 4 0 6 X .A3.3 3B3.2 vo nghiem 10/10/2019 83 10/10/2019 84 14
10/11/2019 BÀI 2 BÀI 3 Tính các định thức: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau: x 1 1 1 x3 1 1 1 1 1 1 1  x1  x2  mx3  m 1  x3    3 1 x 1 x 1 1  1 x 1 1 B     x  3     1 1 x 1 x3 1 x 1 1 1 x 1  1 m x 2 x2 2 m 2 x 4 x3  x  x  3x3  2m  3 1 1 1 x 1 1 x 1 1 1 x  1 2 1 1 1 1 0 x 1 0 0 A   x  3   x  3 x  1 3 0 0 x 1 0 0 0 0 x 1 10/10/2019 85 10/10/2019 86 GIẢI 1 1 m GIẢI D m 2  2m  2   m 2  m  6 1 1 3 1 1 m m 1 m D m 2  2m  2   m 2  m  6  0  m  2  m  3 1 1 3 D1  4 2  2m  2   2m2  4m  6 m  2  D  0, D1  0  2m  3 1 3 m  3  D  0, D1  D2  D3  0 1 m m D2  m 4  2 m  2   2 m 3  4 m 2  8m  6 1  2m  3 3 1 1 m D3  m 2 4  m2  m  6 1 1  2m  3 10/10/2019 87 10/10/2019 88 BÀI 4 BÀI 4 Cho các vec tơ sau: v1 = (2,3,1,2), v2 = (1,2,3,−1), A) Phụ thuộc tuyến tính v3 = (7,12,11,1), v4 = (4,m,−3,n). B) m=5, n=20 A) Hệ vec tơ { v1, v2, v3} là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính? B) Tìm m,n để v4 là tổ hợp tuyến tính của { v1, v2, v3 }. 10/10/2019 89 10/10/2019 90 15
10/11/2019 KIỂM TRA GIỮA KỲ 60’_K57 CÂU 1 1) Cho các ma trận: 0 1 2 4.5 7 1.5 1 0 1 2 2 4 A 1 0 3 A 2 4 1 A 1 0 3 B 1 0 4 3 8 1.5 2 0.5 4 3 8 3 6 A.X B X A 1.B 4.5 7 1.5 2 4 6.5 27 A) Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có) X 2 4 1 1 0 3 14 B) Giải phương trình sau: 1.5 2 0.5 3 6 2.5 9 A.X B 10/10/2019 91 10/10/2019 92 BÀI 2 BÀI 2 Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm B và C. Ma trận chi phí: • Với 1$ giá trị của sản phẩm B công ty tốn 0,45$ nguyên liệu, Product Product 0,25$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. B C • Với 1$ giá trị của sản phẩm C công ty tốn 0,40$ nguyên liệu, 0.45 0.40 Nguyen lieu 0,30$ lương lao động và 0,15$ phụ phí. U cos t product 0.25 0.30 Lao dong A) Hãy xây dựng ma trận chi phí, ký hiệu U, theo sản phẩm và loại chi phí của công ty. 0.15 0.15 Phu phi B) Nếu công ty sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C Material Labor phu phi thì chi phí cụ thể của từng mục như thế nào? 0.45 0.25 0.15 product B U product C) Gọi q1, q2, q3, q4 là ma trận cột sản lượng tính theo $ của cos t 0.40 0.30 0.15 product C các sản phâm B và C trong các quý 1,2,3,4. Hãy tính và giải thích ý nghĩa ma trận U.Q với Q=[q1 q2 q3 q4] 10/10/2019 93 10/10/2019 94 BÀI 2 BÀI 2 Product Product B C Nếu sản xuất 100$ sản phẩm B và 200$ sản phẩm C 0.45 0.40 Nguyen lieu Product Product U cos t product 0.25 0.30 Lao dong B C 0.15 0.15 Phu phi 0.45 0.40 Nguyen lieu q1B q 2B q 3B q 4B 100 Qproduct q1 q 2 q 3 q 4 U cos t 0.25 0.30 Lao dong Aproduct time q1C q2C q 3C q 4C product total 200 0.15 0.15 Phu phi U cos t Qproduct C cos t product time time U cos t product Aproduct total C cos t total Ma trận tích thể hiện chi phí từng loại theo từng quý. 0.45 0.40 125 Nguyen lieu 100 C cos t 0.25 0.30 85 Lao dong total 200 0.15 0.15 45 Phu phi 10/10/2019 95 10/10/2019 96 16
10/11/2019 BÀI 3 BÀI 3A 1 a a2 Tính các định thức sau: A 1 b b2 1 a a2 1 c c2 A 1 b b2 1 a a2 1 a a2 1 c c2 det A 1 b b2 h2 h2 h1 0 b a b2 a2 2 h3 h 3 h1 2 1 c c 0 c a c a2 2 1 1 x 2 2 1 2 1 y b a b a 1 b a B det A b a c a 1 1 2 z c a c2 a2 1 c a 1 1 1 t det A b a c a c b 10/10/2019 97 10/10/2019 98 BÀI 3B CÂU 4 2 1 1 x d 1 d 1 2d 4 0 1 1 x 2t 1 2 1 y d2 d2 d 4 0 1 0 y t Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính. det B d3 d3 d4 1 1 2 z 0 0 1 z t 1 1 1 t 1 1 1 t mx y z m 1 1 x 2t 1 1 x t 2x m 1 y 2z 2 det B 1 0 y t d2 d2 d1 0 1 x y 3t 0 1 z t 0 1 z t x y m 2 z 1 1 x y 3t det B 4t z x y 1 z t 10/10/2019 99 10/10/2019 100 CÂU 4 BIỆN LUẬN Ta có: Nghiệm duy nhất m 1 1 m m2 4m 5 4 2 2 m x , y, z ; ; khi m 1 A 2 m 1 2 B 2 m2 4m 7 m2 4m 7 m2 4m 7 1 1 m 2 1 Nếu m=1 thì D=D1=D2=D3=0 2 Ta có hệ D 1 m m 4m 7 3 2 2 D1 m 3m m 5 m 1 m 4m 5 1 1 1 1 1 1 1 1 D2 4 m 1 A 2 2 2 1 0 0 0 0 D3 2 2 m2 m 2 2 m 1 m 1 1 3 1 0 0 4 2 D 0 m 1 10/10/2019 101 10/10/2019 102 17
10/11/2019 BIỆN LUẬN CÂU 4 Ta có hệ tương đương: Ta có: m 1 1 m A 2 m 1 2 B 2 x y z 1 x y 1/ 2 1 1 m 2 1 m 1 1 0 1 m m2 2m 1 2 4z 2 z 1/ 2 D 2 m 1 2 0 m 1 2 m 3 1 m m 1 m 2 m 1 3 1 1 m 2 1 1 m 2 D 1 m m2 4m 7 Hệ phương trình có vô số nghiệm phụ thuộc 1 tham số. m 1 1 D1 2 m 1 2 1 1 m 2 1 1 m m 1 0 m 1 t, t, t D2 2 2 2 0 2 2 2 2 m 1 1 1 m 2 m 2 1 m 2 D3 2 m 1 2 1 1 1 10/10/2019 103 10/10/2019 104 18