Bài giảng Toán T1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

70
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 bao gồm các kiến thức về giới hạn và sự liên tục của hàm số. Các nội dung chính trong chương này gồm: Tính chất - giới hạn cơ bản và các dạng vô định của hàm số, hàm số liên tục, hàm liên tục đều. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm bắt các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán T1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 3 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
Nội dung 1 Giới hạn hàm số Định nghĩa giới hạn Tính chất – Giới hạn cơ bản – Các dạng vô định 2 Hàm số liên tục Liên tục – Liên tục một phía Tính chất hàm liên tục trên khoảng đóng 3 Hàm số liên tục đều Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
Giới hạn hàm số Hàm số y = f (x) được nói là có giới hạn bằng L khi x tiến về a nếu có thể làm cho giá trị của f gần L tùy ý bằng cách cho x đủ gần a (nhưng khác a). Ký hiệu: lim f (x) = L x→a Ví dụ 1. Xét hàm số f (x) = x 2 − x + 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 2 / 30
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 3 / 30
Các chú ý: Giới hạn hàm số khi x → a chỉ liên quan tới giá trị của f xung quanh a, không liên quan giá trị của f tại a, thậm chí f có thể không xác định tại a. x −1 Ví dụ 2. Xét lim 2 x→1 x − 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 4 / 30
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 5 / 30
Máy tính chỉ tính xấp xỉ nên giá có thể tính sai trong một số trường hợp. Ví dụ 3. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 6 / 30
Tính các giá trị xung quanh chỉ có tác dụng gợi ý về giới hạn. Trong một số trường hợp không chính xác. π Ví dụ 4. Dự đoán giá trị lim sin bằng cách tính giá trị x→0 x 1 1 tại x = , x = , x = 0.1, x = 0.01, x = 0.001 2 3 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 7 / 30
Giới hạn hàm số (tt) – định nghĩa Định nghĩa (chính xác) giới hạn hàm số Cho f là hàm số xác định trên khoảng mở chứa a (có thể ngoại trừ tại a). Ta nói giới hạn của f (x) khi x tiến về a là bằng L nếu: Với mọi ε > 0 cho trước, đều có số δ > 0 để cho: nếu 0 < |x − a| < δ thì |f (x) − L| < ε Tương tự, ta có các khái niệm giới hạn một phía: Giới hạn trái của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x < a. Ký hiệu giới hạn trái: lim− f (x). x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 8 / 30
Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên trái a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a − δ < x < a ⇒ |f (x) − L| < ε Giới hạn phải của f khi x tiến về a là bằng L nếu giá trị của f có thể gần L bao nhiêu cũng được, miễn là x đủ gần a và x > a. Ký hiệu giới hạn phải: lim+ f (x). x→a Một cách chính xác, giới hạn của f (x) khi x tiến về bên phải a là bằng L nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0 : a < x < a + δ ⇒ |f (x) − L| < ε Định lý. lim f (x) = L ⇔ lim+ f (x) = lim− f (x) = L x→a x→a x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 9 / 30
Ví dụ 5. Xác định các giá trị sau: |x| |x| |x| Ví dụ 6. Tính (a) lim+ (b) lim− (c) lim x→0 x x→0 x x→0 x Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 10 / 30
Giới hạn hàm số (tt) - vô cùng lim f (x) = ∞ nếu: ∀M ∈ R, ∃δ > 0 : x→a 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) > M. lim f (x) = −∞ nếu: ∀N ∈ R, ∃δ > 0 : x→a 0 < |x − a| < δ ⇒ f (x) < N. lim f (x) = L nếu: ∀ε > 0, ∃M ∈ R : x→∞ x > M ⇒ |f (x) − L| < ε. lim f (x) = L nếu: ∀ε > 0, ∃N ∈ R : x→−∞ x < N ⇒ |f (x) − L| < ε. Tương tự cho các giới hạn: lim f (x) = ±∞ và lim± f (x) = ±∞ x→±∞ x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 11 / 30
Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 12 / 30
Tính chất giới hạn hàm số lim f (x) = L x→a ⇔ ∀{xn } nếu xn 6= a và lim xn = a thì lim f (xn ) = L. Cho c là hằng số. Nếu lim f (x) ∈ R và lim g (x) ∈ R thì: x→a x→a 1. lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) x→a x→a x→a 2. lim [c f (x)] = c lim f (x) x→a x→a 3. lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) x→a x→a x→a f (x) lim f (x) x→a 4. lim = với lim g (x) 6= 0 x→a g (x) lim g (x) x→a x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 13 / 30
Với n là số nguyên dương, ta có: h in n 5. lim [f (x)] = lim f (x) x→a x→a 6. lim c = c và lim x = a x→a x→a n n 7. lim x = a x→a √ √ 8. lim n x = n a (a > 0 nếu n chẵn) x→a p q 9. lim n f (x) = n lim f (x) (lim f (x) > 0 nếu n x→a x→a x→a chẵn) Như vậy nếu f là một đa thức hay hàm hữu tỉ và a nằm trong miền xác định của nó thì: lim f (x) = f (a) x→a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 14 / 30
Ví dụ 7. Tính các giới hạn 1. lim (x 2 − x − 2) x→−2 √ x2 + x − 1 2. lim x→4 x2 − 1 • Nếu f (x) = g (x), ∀x 6= a thì lim f (x) = lim g (x). x→a x→a x2 − 1 3. lim x→1 x − 1 √ t2 + 9 − 3 4. lim t→0 t2 x + π, nếu x 6= 1 5. Cho g (x) = . Tính lim g (x). 2, nếu x = 1 x→1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 15 / 30
• Nếu giá trị của f ở bên trái và bên phải a khác nhau thì ta tính lim+ f (x) và lim− f (x). x→a x→a Ví dụ 7. (tt) √ 1 + x, nếu x > −1 6. Cho f (x) = 1, nếu x < −1 Tính lim f (x). x→−1  √  x +1−1   , nếu x > 0 7. Cho g (x) = r x 1  x2 + , nếu x ≤ 0   4 Tính lim g (x). x→0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 16 / 30
Trong một số trường hợp ta cần dùng giới hạn kẹp. Nếu f (x) ≤ g (x) ≤ h(x) ở xung quanh a (có thể ngoại trừ tại a) và lim f (x) = lim h(x) = L x→a x→a thì khi đó: lim g (x) = L x→a Chú ý: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0. x→a x→a Ví dụ 7. (tt) π 8. lim x sin x→0 x √ sin π 9. lim+ xe x x→0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 17 / 30
Giới hạn các hàm sơ cấp Các hàm mũ, lũy thừa, logarit, lượng giác, lượng giác ngược được gọi là các hàm sơ cấp cơ bản. Tổng, hiệu, tích, thương, hợp nối các hàm sơ cấp cơ bản được gọi là các hàm sơ cấp. Người ta chứng minh được kết quả sau. Nếu a thuộc tập xác định của hàm sơ cấp f thì: lim f (x) = f (a) x→a Như vậy nếu f là hàm sơ cấp thì khi tính giới hạn x → a với a thuộc tập xác định thì chỉ cần thay a vào biểu thức của f . Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 18 / 30
Tính toán với ±∞ – dạng vô định Khi gặp giới hạn có ±∞, ta tính như sau (∀a ∈ R) 1. a + (±∞) = ±∞, (±∞) + (±∞) = (±∞) ±∞, nếu a > 0 hoặc a = +∞ 2. a · (±∞) = ∓∞, nếu a < 0 hoặc a = −∞ a 1 +∞, nếu mẫu dương 3. = 0, = ±∞ 0 −∞, nếu mẫu âm 4. Các biểu thức có dạng: 0 ∞ ∞ − ∞, 0 · ∞, , 0 ∞ là các dạng vô định. Sẽ nói về cách khử dạng vô định ở phần sau. Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 3: Giới hạn - Liên tục của hàm số Toán T1 - MS: C01016 19 / 30