Bài giảng Toán T1: Chương 8 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán T1 - Chương 8 trình bày các kiến thức về tích phân bội. Nội dung chính trong chương này gồm: Tích phân trên hình chữ nhật, tích phân trên miền tổng quát, đổi biến dạng tọa độ cực, một số ứng dụng của tích phân hai lớp. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán T1: Chương 8 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 8 TÍCH PHÂN BỘI Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
Nội dung 1 Tích phân trên hình chữ nhật Bài toán tìm thể tích Phân hoạch Định nghĩa và các tính chất Tích phân lặp Định lý Fubini 2 Tích phân trên miền tổng quát Định nghĩa và các tính chất Tích phân trên miền đơn giản theo Ox và Oy 3 Đổi biến dang tọa độ cực 4 Một số ứng dụng của tích phân hai lớp Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 1 / 30
Bài toán tìm thể tích hàm số2 f xác định trên: R = [a, b] × [c, d ] = Cho (x, y ) ∈ R : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d Giả sử f (x, y ) ≥ 0, ∀(x, y ) ∈ R. Ta cần tính thể tích V của khối S: 3 S = (x, y , z) ∈ R : 0 ≤ z ≤ f (x, y ), (x, y ) ∈ R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 2 / 30
Phân hoạch Giả sử P1 = {x0 , x1 , . . . , xn ; x1∗ , . . . xn∗ }, và P2 = {y0 , y1 , . . . , ym ; y1∗ , . . . ym∗ } là các phân hoạch của [a, b] và [c, d ]. Thì P = P1 × P2 gọi là một phân hoạch của R = [a, b] × [c, d ] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 3 / 30
Tổng Riemann Tổng Riemann của hàm số f ứng với phân hoạch P như trên được định nghĩa là: Xm X n S(f , P) = f (xij∗ , yij∗ )∆xi ∆yj i=1 j=1 Với ∆xi = xi − xi−1 và ∆yj = yj − yj−1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 4 / 30
Định nghĩa tích phân hai lớp Gọi P(R) là tập các phân hoạch của R = [a, b] × [c, d ]. Với P ∈ P, đặt: |P| = max{(xi − xi−1 )(yj − yj−1 ) : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m} Định nghĩa Hàm f gọi là khả tích Riemann trên R nếu có α ∈ R sao cho với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 thỏa: |S(f , P) − α| ≤ ε, ∀P ∈ P(R), |P| < δ Khi đó ta gọi α làZtích Z phân của f trên R và ký hiệu: f (x, y )dxdy = α R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 5 / 30
Một số tính chất Tích Zphân Z hai lớp có các tính chất sau: 1. [f (x, y ) + g (x, y )] dxdy R ZZ ZZ = f (x, y )dxdy + g (x, y )dxdy ZZ R ZZ R 2. cf (x, y )dxdy = c f (x, y )dxdy R R 3. Nếu f (x, y ) ≤ g (x, y ) với mọi (x, y ) ∈ R thì: ZZ ZZ f (x, y )dxdy ≤ g (x, y )dxdy R R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 6 / 30
Tích phân lặp Cho f là hàm xác định trên R = [a, b] × [c, d ] Cố định x ∈ [a, b], lấy tích phân theo y , ta được: Z d A(x) = f (x, y )dy c Sau đó lấy tích phân A(x) từ a tới b ta được: "Z # Z b Z b d A(x)dx = f (x, y )dy dx a a c Z b Z d ≡ f (x, y )dy dx a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 7 / 30
Tích phân trên gọi là một tích phân lặp Tương tự, lấy tích phân theo x trước, rồi sau đó lấy tích phân theo y ta cũng được một tích phân lặp: "Z # Z d b Z d Z b f (x, y )dx dy ≡ f (x, y )dxdy c a c a Ví dụ: Tính các tích phân lặp sau: Z 3Z 2 Z 2Z 3 a) x 2 y dy dx b) x 2 y dxdy 0 1 1 0 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 8 / 30
Định lý Fubini Định lý Nếu f liên tục trên hình chữ nhật R = [a, b] × [c, d ] thì: ZZ Z bZ d f (x, y )dxdy = f (x, y )dy dx a c R Z dZ b = f (x, y )dxdy c a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 9 / 30
Ví dụ ZZ x − 3y 2 dxdy với 1. Tính tích phân hai lớp R R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2} ZZ 2. Tính tích phân hai lớp 2x sin2 y dxdy với R R = [1, 2] × [0, π] Chú ý: Nếu R = [a, b] × [c, d ] thì: ! Z ! ZZ Z b d g (x)h(y )dxdy = g (x)dx h(y )dy R a c Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 10 / 30
Tích phân hai lớp - miền tổng quát Cho D là miền bị chận bất kỳ, được giới hạn trong hình chữ nhật R Ta định nghĩa hàm số mới xác định trên R như sau f (x, y ), (x, y ) ∈ D F (x, y ) = 0, (x, y ) ∈ R \ D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 11 / 30
Định nghĩa Nếu F khả tích trên R ta nói f khả tích trên D và định nghĩa: ZZ ZZ f (x, y )dxdy = F (x, y )dxdy D R Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 12 / 30
Một số tính chất ZZ 1. [f (x, y ) + g (x, y )] dxdy D ZZ ZZ = f (x, y )dxdy + g (x, y )dxdy D D ZZ ZZ 2. cf (x, y )dxdy = c f (x, y )dxdy D D 3. Nếu f (x, y ) ≤ g (x, y ) với mọi (x, y ) ∈ D, thì: ZZ ZZ f (x, y )dxdy ≤ g (x, y )dxdy D D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 13 / 30
4. Nếu D = D1 ∪ D2 , và D1 , D2 không che phủ nhau (ngoại trừ biên). Thì: ZZ ZZ ZZ f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy + f (x, y )dxdy D D1 D2 5. Diện tích miền D là: ZZ S= dxdy D 6. Thể tích của khối trụ có đáy là miền D và giới hạn trên bởi mặt z = f (x, y ) ≥ 0 là: ZZ V = f (x, y )dxdy D Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 14 / 30
Miền đơn giản theo Oy (loại I) Miền phẳng D được nói là đơn giản theo Oy (loại I) nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục, tức là: D = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} Với g1 , g2 là các hàm liên tục trên [a, b] Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 15 / 30
Nếu f liên tục trên miền: D = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x)} Thì ZZ Z b Z g2 (x) f (x, y )dxdy = f (x, y )dy dx D a g1 (x) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 16 / 30
Ví dụ ZZ Tính I = (x + 2y )dxdy với D là miền giới hạn bởi D các đường y = 2x 2 và y = 1 + x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 17 / 30
Miền đơn giản theo Ox (loại II) Miền phẳng D gọi là đơn giản theo Ox (loại II) nếu: D = {(x, y ) : c ≤ y ≤ d , h1 (y ) ≤ x ≤ h2 (y )} Với h1 (y ) và h2 (y ) là các hàm liên tục Nếu f liên tục thì: ZZ Z d Z h2 (y ) f (x, y )dxdy = f (x, y )dxdy D c h1 (y ) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 18 / 30
Ví dụ RR 1. Tính D xy dxdy , với D là miền giới hạn bởi các đường y = x − 1 và y 2 = 2x + 6 2. Tính thể tích khối nằm bên dưới mặt parabol tròn xoay z = x 2 + y 2 và trên miền D, với D là miền trong mặt phẳng Oxy giới hạn bới các đường y = 2x và y = x 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 8: Tích phân bội Toán T1 - MS: C01016 19 / 30