Bài giảng Toán T1: Chương 9 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chia sẻ: Ngocnga Ngocnga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

97
lượt xem 12
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán T1 - Chương 9 cung cấp các kiên thức về tích phân đường và tích phân mặt. Các nội dung cụ thể trong chương này gồm có: Tham số hóa đường cong, tích phân đường loại 1, tích phân đường loại 2, tích phân đường trong không gian, định lý Green,...và nhiều nội dung liên quan khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán T1: Chương 9 - ThS. Huỳnh Văn Kha

Chương 9 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN MẶT Huỳnh Văn Kha ĐH Tôn Đức Thắng Toán T1 - MS: C01016 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35
Nội dung 1 Tích phân đường Tham số hóa đường cong Tích phân đường loại 1 Tích phân đường loại 2 Tích phân đường trong không gian Định lý Green Tích phân đường không phụ thuộc đường đi 2 Tích phân mặt Mặt tham số Diện tích mặt cong Tích phân mặt Tích phân mặt của trường vector - Định lý Gauss Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 1 / 35
Phương trình tham số đường cong Giả sử x, y là các hàm theo biến t: x = f (t), y = g (t) Mỗi giá trị của t xác đinh duy nhất một điểm (x, y ) = (f (t), g (t)). Khi t thay đổi điểm (x, y ) thay đổi theo và tạo thành một đường cong C Hệ hai phương trình x = f (t), y = g (t) gọi là phương trình tham số của C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 2 / 35
x = t 2 − 2t y =t +1 x = t 2 − 2t y =t +1 t ∈ [0, 4] Với đường cong C : x = f (t), y = g (t), t ∈ [a, b] Điểm f (a), g (a) gọi là điểm đầu, điểm f (b), g (b) gọi là điểm cuối Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 3 / 35
Tích phân đường loại 1 Tổng Riemann: Xn f (xi∗ , yi∗ ) ∆si i=1 Định nghĩa tích phân đường loại 1 được làm tương tự như các loại tích phân khác Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 4 / 35
Định lý Nếu f liên tục, C trơn, nghĩa là x = x(t) và y = y (t) là các hàm khả vi liên tục, thì tích phân đường loại 1 của f trên C là: s Z Z b 2 2 dx dy f (x, y )ds = f x(t), y (t) + dt C a dt dt Z Ví dụ: Tính (2 + x 2 y )ds, C với C là nửa trên trục Ox của đường tròn đơn vị x2 + y2 = 1 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 5 / 35
Chú ý 1. Một đường cong có nhiều cách tham số, sử dụng cách tham số nào cũng đều cho kết quả như nhau 2. Tích phân đường loại 1 còn được gọi là tích phân theo độ s dài 2 2 dx dy 3. ds = + dt dt dt 4. Nếu C = C1 ∪ · · · ∪ Cn thì: Z Z Z f (x, y )ds = f (x, y )ds + · · · + f (x, y )ds C C1 Cn Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 6 / 35
Ví dụ Z Tính 2xds, với C là đường bao gồm: đường cong C1 C là parabol y = x 2 chạy từ (0, 0) đến (1, 1) và đường cong C2 là đoạn thẳng nối từ (1, 1) đến (1, 2) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 7 / 35
Tính tích phân đường loại 2 Trong tích phân đường loại 1, nếu thay ∆si bằng các ∆xi hay ∆yi thì ta được các tích phân đường loại 2. Nếu C là đường cong trơn có phương trình tham số x = x(t), y = y (t), t ∈ [a, b] và f (x, y ) liên tục, thì: Z Z b f x(t), y (t) x 0 (t)dt f (x, y )dx = C a Z Z b f x(t), y (t) y 0 (t)dt f (x, y )dy = C a Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 8 / 35
Nếu cả hai tích phân đường loại 2 cùng xuất hiện thì thông thường ta viết gộp lại: Z Z Z P(x, y )dx + Q(x, y )dy = P(x, y )dx +Q(x, y )dy C C C Z Ví dụ: Tính y 2 dx + xdy , với: C 1. C = C1 , là đoạn thẳng nối từ (−5, −3) đến (0, 2) 2. C = C2 , là đường parabol x = 4 − y 2 nối từ (−5, −3) đến (0, 2) 3. C = −C1 là đoạn thẳng nối từ (0, 2) đến (−5, −3) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 9 / 35
Lưu ý Gọi −C là đường cong trùng với C nhưng ngược hướng. Thì: Z Z f (x, y )dx = − f (x, y )dx −C C Z Z f (x, y )dy = − f (x, y )dy −C C Nhưng Z Z f (x, y )ds = f (x, y )ds −C C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 10 / 35
Tích phân đường trong không gian Cho đường cong trơn C trong không gian có phương trình tham số x = x(t), y = y (t), z = z(t), a ≤ t ≤ b Viết dưới dạng vector r(t) = x(t)i + y (t)j + z(t)k Nếu f là ba biến liên tục trên miền mở chứa C , thì: Z Z b f (x, y , z)ds = f x(t), y (t), z(t) C a s 2 2 2 dx dy dz + + dt dt dt dt Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 11 / 35
Tương tự đường cong trong mặt phẳng, tích phân đường loại 2 của f trên C là: Z Z b f x(t), y (t), z(t) x 0 (t)dt f (x, y , z)dx = ZC Za b f x(t), y (t), z(t) y 0 (t)dt f (x, y , z)dy = ZC Za b f x(t), y (t), z(t) z 0 (t)dt f (x, y , z)dz = C a Nếu cả ba tích phân cùng xuất hiện thì ta viết gộp lại: Z Z Z P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz C Z C C = P(x, y , z)dx + Q(x, y , z)dy + R(x, y , z)dz C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 12 / 35
Ví dụ Z 1. Tính y sin zds, với C là đường có phương trình C tham Zsố x = cos t, y = sin t, z = t, 0 ≤ t ≤ 2π 2. Tính y dx + zdy + xdz, với C là đường gấp khúc C nối các điểm (2, 0, 0), (3, 4, 5), (3, 4, 0) theo đúng thứ tự đó Đáp số √ 1. 2π 19 2. 2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 13 / 35
Đường cong Jordan, miền Jordan Đường cong gọi là đơn nếu nó không tự cắt, nghĩa là nếu a < t1 < t2 < b thì r(t1 ) 6= r(t2 ) Đường cong gọi là kín nếu điểm đầu trùng điểm cuối, nghĩa là: r(a) = r(b) Đường cong kín, đơn được gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan chia mặt phẳng thành 2 miền. Một miền bị chận và 1 miền không bị chận. Miền Jordan là miền đóng mà biên của nó là một đường cong Jordan Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 14 / 35
Định lý Green Định lý Cho D là miền Jordan với biên là đường cong C trơn từng khúc. Nếu P, Q là các hàm khả vi liên tục trên một miền mởI chứa D thì: ZZ ∂Q ∂P Pdx + Qdy = − dxdy C D ∂x ∂y Trong đó tích phân trên C được lấy theo chiều dương Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 15 / 35
Ví dụ I 1. Tính x 4 dx + xy dy , với C là biên tam giác có các C đỉnh (0, 0), (1, 0), (0, 1) được định hướng dương I p sin x 2. Tính 3y − e 4 dx + 7x + y + 1 dy , với C C là đường tròn x 2 + y 2 = 9 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 16 / 35
Chú ý Theo định lý Green thì có thể tính diện tích theo công thứcI 1 I I A= xdy = − y dx = xdy − y dx C C 2 C Mở rộng định lý Green miền bị chận ZZ ∂Q ∂P − dxdy = D ∂x ∂y I I Pdx + Qdy + Pdx + Qdy C1 C2 Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 17 / 35
Tích phân không Z phụ thuộc đường Tích phân đường Pdx + Qdy gọi là không phụ thuộc ZC Z đường trên D nếu Pdx + Qdy = Pdx + Qdy với C1 C2 mọi C1 , C2 có cùng điểm đầu và cuối trong D. Tích phân không phụ thuộc đường khi và chỉ khi tích phân trên đường cong kín bằng 0. Nếu P, Q có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên D và: ∂P ∂Q = trên toàn bộ D Z ∂y ∂x Khi đó Pdx + Qdy không phụ thuộc đường trên D C Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 18 / 35
Ví dụ Z 1. Chứng tỏ rằng I = (3 + 2xy )dx + (x 2 − 3y 2 )dy C không phụ thuộc đường đi. Tính I , với C : r(t) = e t sin ti + e t cos tj, 0 ≤ t ≤ π Z 1 − ye −x dx + e −x dy , với C là đường bất 2. Tính C kỳ nối từ (0, 1) đến (1, 2) Chú ý: Tích phân ở câu 2 còn được viết là Z (1,2) 1 − ye −x dx + e −x dy (0,1) Huỳnh Văn Kha (Khoa Toán – Thống Kê) Chương 9: Tích phân đường, mặt Toán T1 - MS: C01016 19 / 35