zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 3 - Vũ Đỗ Huy Cường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Báo xấu

4
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 3: Đạo hàm và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như các quy tắc của đạo hàm; đạo hàm hàm chuỗi; y nghĩa hình học; ứng dụng của đạo hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 3 - Vũ Đỗ Huy Cường

Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 3 Đạo hàm và các ứng dụng Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 41 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1. Các quy tắc của đạo hàm 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Đạo hàm của hàm số y = f (x) theo biến x là hàm f như sau f (x + h) − f (x) df dy f (x) = lim = = =y. (13) h→0 h dx dx √ Ví dụ: Tìm đạo hàm của f (x) = x + 2. √ √ ( x + h + 2) − ( x + 2) f (x) = lim h→0 h √ √ x +h− x = lim h→0 h 1 1 = lim √ √ = √ . h→0 x +h+ x 2 x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 42 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Hàm số f (x) có đạo hàm tại x nếu và chỉ nếu nó có đạo hàm bên trái và đạo hàm bên phải và các đạo hàm này bằng nhau: f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) lim = lim+ = f (x) (14) h→0− h h→0 h Hàm số f (x) được gọi là khả vi trên một miền mở nếu nó có đạo hàm tại tất cả các điểm trong miền này. Hàm số f (x) khả vi trên một miền đóng [a, b] nếu nó khả vi trên miền mở (a, b) và có đạo hàm bên phải tại điểm biên trái và có đạo hàm bên trái tại điểm biên phải. Nếu f có đạo hàm tại x, thì nó liên tục tại x. Nếu f liên tục tại x, nó có đạo hàm tại x không? Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 43 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Ví dụ: Chứng minh rằng f (x) = |x| không có đạo hàm tại x = 0. Ta có |0 + h| − |0| f− (0) = lim = −1, h→0− h |0 + h| − |0| f+ (0) = lim+ = 1. h→0 h Do f− (0) = f+ (0) nên f (x) không có đạo hàm tại x = 0. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 44 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.1. Định nghĩa đạo hàm Bài tập: Dùng định nghĩa để tính các đạo hàm sau 1 1) f (x) = x 2 + 1 tại x = 1. 2) f (x) = tại x = 2. x −1 √ 3) f (x) = x + 3 tại x = 1. 4) f (x) = sin x tại x = π. Bài tập: Các hàm số sau đây có khả vi hay không? x, x < 0, x, x ≤ 1, 5) y = 6) y = −x, x ≥ 0. −x 2 + 2x, x > 1. x, x ≤ 0, 1 x 2 sin , x = 0, 7) y = 1 8) y = x , x > 0. 0, x = 0. x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 45 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.2. Qui tắc tính đạo hàm Các quy tắc tính đạo hàm (i). c = 0. (ii). x = 1. (iii). (cx) = c. (iv). (cu) = cu . (v). (x n ) = nx n−1 . (vi). (u n ) = nu u n−1 . (vii). (u + v) = u + v . (viii). (u − v) = u − v . u u v −v u (ix). = . (x). (uv) = u v + v u. v v2 Đạo hàm của một số hàm sơ cấp (xi). (sin u) = u cos u. (xii). (cos u) = −u sin u. u u (xiii). (tan u) = . (xiv). (cot u) = − 2 . cos2 u sin u (xv). (eu ) = u eu . (xvi). (au ) = u au ln a. u u (xvii). (ln u) = . (xviii). (loga u) = . u u ln a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 46 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.2. Qui tắc tính đạo hàm Bài tập: Tìm các đạo hàm sau √ √ 3 1 1 1 1) y = x + x+ x. 2) y = 2 + +√ . x x x √ x +1 x −1 3) y = 2 . 4) y = . x +2 x +1 5) y = ex ln x. 6) y = x 2 ex . cos x sin x 7) y = x sin x − . 8) y = tan x cot x + . x cos x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 47 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.3. Đạo hàm bậc cao Hàm số f được gọi là đạo hàm bậc hai của f nếu nó là đạo hàm của đạo hàm bậc nhất của f d df d 2f d 2y f (x) = = 2 = . (15) dx dx dx dx 2 Hàm số f (n) được gọi là đạo hàm bậc n của f nếu nó là đạo hàm của đạo hàm bậc (n − 1) của f d (n−1) d (n−1) f (n) (x) = f (x) = y (x)(y (n−1) (x)) . (16) dx dx 1 Ví dụ: Tìm đạo hàm bậc 3 của y = f (x) = + xex . x 1 x 1 x + xe x , Ta có y = + xe =− 2 +e x x 1 x + xe x 2 y = (y ) = − 2 + e = 3 + 2ex + xex , x x 2 x + xe x 6 y = (y ) = 3 + 2e = − 4 + 3ex + xex . x x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 48 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.1.3. Đạo hàm bậc cao Bài tập: Tìm đạo hàm bậc 2 của các hàm số sau đây 2 1) y = e−x . 2) y = e2x sin 3x. √ 3) y = 2x + 1 tại x = 3. 4) y = (x + 1) ln x tại x = 1. Bài tập: Tìm đạo hàm bậc 3 của các hàm số sau đây 5) y = sin2 x. 6) y = x ln x. 7) y = ex cos x tại x = 0. 8) y = xex tại x = 2. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 49 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2. Đạo hàm hàm chuỗi 3.2.1. Đạo hàm hàm hợp Nếu y = f (u) có đạo hàm tại điểm u = g(x) và g(x) khả vi tại điểm x, thì hàm hợp f ◦ g(x) = f (g(x)) khả vi tại x, và dy dy du (f ◦ g) (x) = f (g(x))g (x) hoặc = . (17) dx du dx √ 1 Ví dụ: Đặt g(x) = . Tìm đạo hàm của h = f ◦ g. x và f (u) = +1 u2 1 u Ta có g (x) = √ , f (u) = −2 2 . Đặt u = g(x) thì 2 x (u + 1)2 √ −2u 1 − x 1 −1 (f ◦ g) (x) = f (u)g (x) = 2 √ = 22 x 2 √ = . (u + 1) (x + 1) x (x + 1)2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 50 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2.2. Đạo hàm hàm ngược Cho hàm số y = f (x) và hàm ngược x = f −1 (y). dx dx dy Ta có = = 1. Như vậy dx dy dx 1 xy = . (18) yx Ví dụ: Cho f (x) = x + ln x. Tìm đạo hàm của (f −1 ) . 1 1+x Đặt y = f (x) và x = f −1 (y). Ta có yx = 1 + = . x x 1 x Vậy xy = = . yx 1+x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 51 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2.2. Đạo hàm hàm ngược Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm (y ◦ t)(x) 1) y(t) = 3t − t 2 , t(x) = 2x − x 2 . 2) t(x) = x 2 , y(t) = tet . 3) y(x) = 2x 2 + x, t(x) = x 2 − 2. 4) y(x) = x 2 , t(x) = 2x . Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y −1 (x) 5) y(x) = ex − e−x . 6) y(x) = ln x − x 2 . √ 1−x 7) y(x) = 1 − x 2. 8) y(x) = . 1+x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 52 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2.3. Đạo hàm hàm ẩn Ta nói hàm số y = f (x), x ∈ (a, b) được cho dưới dạng hàm ẩn F (x, y) = 0. nếu với mọi x ∈ (a, b), ta có F (x, f (x)) = 0. Để tính đạo hàm hàm số y = f (x), ta đạo hàm hàm F (x, y) theo biến x sau đó giải phương trình vừa tìm được đối với f (x) Ví dụ : Cho x 3 + y 3 − 3xy = 0. Tìm đạo hàm của y = f (x). Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta thu được 3x 2 + 3y 2 y − 3(y + xy ) = 0. y − x2 Giải phương trình trên, ta thu được y = . y2 − x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 53 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2.4. Đạo hàm hàm chứa tham số Cho hàm số y = f (x) là hàm chứa tham số có dạng y = y(t), x = x(t), t ∈ [a, b] Khi đó đạo hàm của y = f (x) được cho bởi dy y (t) (t) = t dx xt (t) Ví dụ : Cho y(x) thỏa y(t) = t + sin t và x(t) = t 2 − t. Tìm đạo hàm của y = f (x). Ta có yt (t) = 1 + cos t và xt (t) = 2t − 1. dy y (t) 1 + cos t Do đó = t = . dx xt (t) 2t − 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 54 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.2.4. Đạo hàm hàm chứa tham số Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y(x) 1) x 2 + y 2 = 1 tại x = 1/2. 2) y = 1 + xey tại y = 1. 3) y = x 2 + ln y − x 2 ey . 4) (x + y)3 = −1 Bài tập: Tìm các đạo hàm của hàm y(x) 5) y = t 2 − t + 2, x = t 3 − 1. 6) y = tet , x = t ln t. √ √ 7) y = 3 cos t, x = 2 sin t. 8) y = t 2 + 1, x = t +1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 55 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.3. Ý nghĩa hình học 3.3.1. Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Độ dốc của đường cong y = f (x) tại điểm P(xP , yP ) là đạo hàm f (xP ). Tiếp tuyên của đường cong tại P là đường thẳng qua P có độ dốc f (xP ). Pháp tuyến của đường cong tại P là đường thẳng qua P và vuông góc với tiếp tuyến qua P. Ví dụ: Tìm độ dốc của y = x 2 tại x = 3. Độ dốc của hàm số là k(x) = f (x) = 2x. Độc dốc tại x = 3 là k(3) = 2 · 3 = 6. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 56 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.3.1. Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Ví dụ: Tìm tiếp tuyến của y = f (x) = x 2 tại x = 3. Tiếp tuyến của đường cong có dạng y1 = kx + b. Độ dốc tại x = 3 là k = 6. Do (3, 9) nằm trên tiếp tuyến, nên 9 = 6 · 3 + b ⇔ b = −9. Đường tiếp tuyến là y1 = 6x − 9 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 57 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.3.1. Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Ví dụ: Tìm pháp tuyến của y = f (x) = x 2 tại x = 3. Pháp tuyến của đường cong có dạng ¯ y2 = kx + c. Pháp tuyến vuông góc với tiếp ¯ tuyến nên k = −1/k = −1/6. Do (3, 9) nằm trên pháp tuyến, nên 9 = −3/6 + c ⇔ c = 19/2. Đường pháp tuyến là x 19 y2 = − + 6 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 58 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.3.1. Độ dốc - Tiếp tuyến - Pháp tuyến Bài tập: Tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của các đường cong sau √ 1) y = x tại x = 4. 2) y = sin 2x + cos x 2 tại x = 0. 3) y = x 2 − 2x + 3 tại x = 0. 4) y = x 3 + 2x 2 − 4x − 3 tại x = −2. √ 5) y = 3 x − 1 tại x = 1. 6) y = ln x tại x = 0. 7) y = x + cos x tại x = 0. 8) y = ex − e−x tại x = 1. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 59 / 148
Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 3.3.2. Cực trị của hàm số Cho f là một hàm số có tập xác định D. Nếu tại c f đạt giá trị lớn nhất ⇔ f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ D. f đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ f (c) ≤ f (x), ∀x ∈ D. f đạt cực đại địa phương ⇔ f (c) ≥ f (x), ∀x ∈ (c − r , c + r ). f đạt cực tiểu địa phương ⇔ f (c) ≤ f (x), ∀x ∈ (c − r , c + r ). Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 60 / 148

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.