intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 4 - Vũ Đỗ Huy Cường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST
Báo xấu
8
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 4: Tích phân và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như Nguyên hàm của hàm số; tích phân xác định; phương pháp tích phân từng phần; tích phân suy rộng; ứng dụng của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 4 - Vũ Đỗ Huy Cường

  1. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 4 Tích phân và các ứng dụng Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 82 / 148
  2. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1. Nguyên hàm của hàm số 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định Tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm số f được gọi là tích phân bất định của f theo biến x, và được kí hiệu bởi f (x)dx. (24) Các quy tắc của tích phân bất định: (i). f (x)dx = f (x). (ii). d f (x)dx = f (x). (iii). df = f (x) + c. (iv). cf (x)dx = c f (x)dx. (v). f1 (x) ± f2 (x) dx = f1 (x)dx ± f2 (x)dx. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 83 / 148
  3. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định x n+1 1 (i). x n dx = + C. (ii). dx = ln |x| + C. n+1 x dx 1 x dx 1 |a + x| (iii). = arctan . (iv). = ln + C. a2 + x 2 a a a2 − x 2 2a |a − x| dx x dx (v). √ = arcsin + C. (vi). √ = ln |x + x 2 ± a2 | + C. a2 − x 2 a x 2 ± a2 Tích phân bất định của một số hàm cơ bản (vii). u sin udx = − cos u + C. (viii). u cos udx = sin u + C. (ix). u tan udx = − ln | cos u| + C. (x). u cot udx = ln | sin u| + C. 1 x 1 x π (xi). dx = ln | tan | + C. (xii). dx = ln | tan + |+C sin x 2 cos x 2 4 au (xiii). u eu dx = eu + C. (xiv). u au dx = + C. ln a x(ln x − 1) (xv). ln xdx = x(ln x − 1) + C. (xvi). loga xdx = + C. ln a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 84 / 148
  4. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau √ 2 (1 + x)2 1) (x + 1) dx. 2) √3 dx. x x2 x 4 − 2x 2 + 10 3) dx. 4) dx. x2 +4 5 − x2 √ √ 1 x2 − 4 − x2 + 4 5) (ln x + − ex )dx. 6) √ dx. x x 4 − 16 (sin x + cos x)2 √ 1 7) dx. 8) ( cos x + √ )2 dx. sin x cos x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 85 / 148
  5. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.2. Phương pháp thế Nếu u = g(x) là hàm khả vi mà tập giá trị của nó là tập I và f liên tục trên I thì f (g(x))g (x)dx = f (u)du. (25) 2x + 1 Ví dụ: Tìm dx. x2 +x −3 Đặt u = x 2 + x − 3 thì du = (2x + 1)dx. Chúng ta thu được 2x + 1 du dx = x2 +x −3 u = ln |u| + C = ln |x 2 + x − 3| + C. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 86 / 148
  6. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.2. Phương pháp thế Nếu tồn tại x = ϕ(t) sao cho f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt thì f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = g(t)dt. (26) 1+x Ví dụ: Tìm √ dx. 1 + x√ Đặt x = t 2 thì t = x và dx = 2tdt. Ta thu được 1+x 1 + t2 t3 + t √ dx = 2tdt = 2 dt 1+ x 1+t 1+t dt = 2 (t 2 − t + 2)dt − 4 t +1 1 1 = 2 t 3 − t 2 + 2t − 4 ln |t + 1| + C 3 2 1 3/2 1 √ √ =2 x − x + 2 x − 4 ln | x + 1| + C. 3 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 87 / 148
  7. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.2. Phương pháp thế Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau dx 1) √ . 2) x(5x 2 − 3)7 dx. x x2 −2 dx 1 3) . 4) √ dx. x(1 − x) 1+ 3x dx e2x dx 5) x +1 . 6) . e ex + 1 sin x − cos x cos x 7) dx. 8) dx. sin x + cos x 1 + sin2 x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 88 / 148
  8. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.3. Phương pháp tích phân từng phần Cho u(x) và v(x) là các hàm khả tích thì u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx. (27) Ví dụ: Tìm x 2 cos xdx. Đặt u = x 2 , dv = cos xdx thì du = 2xdx, v = sin x. x 2 cos xdx = x 2 sin x − 2x sin xdx. Đặt u = 2x, dv = sin xdx thì du = 2dx, v = − cos x. 2x sin xdx = −2x cos x + 2 cos xdx = −2x cos x + 2 sin x. Vậy x 2 cos xdx = x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 89 / 148
  9. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.1.3. Phương pháp tích phân từng phần Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau 1) (x + 1) ln x dx. 2) x 2 ln(x − 1) dx. 1 3) (x + 2) sin 2x dx. 4) x ln dx. x 5) x 2 e3x dx. 6) (x 2 − 2x + 5)e−x dx. ln(ln x) x 2 dx 7) dx. 8) . x (x 2 + 1)2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 90 / 148
  10. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2. Tích phân xác định 4.2.3. Tích phân xác định Cho f (x) xác định trên [a, b]. Chúng ta chia đoạn [a, b] thành các mảnh nhỏ a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. Đặt ∆xi = xi − xi−1 và đặt ci ∈ (xi−1 , xi ). Tổng Riemann được tính như sau n Sn = f (ci )∆xi . i=1 Giới hạn của tổng Riemann ∆xi → 0 (n → ∞) là tích phân xác định f (x) trên [a, b]: b n f (x)dx = lim f (ci )∆xi . (28) a n→∞ i=1 Một hàm liên tục thì khả tích. Nghĩa là nếu f liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân xác định của nó trên [a, b] tồn tại. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 91 / 148
  11. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.1. Tích phân xác định Tùy theo vị trí ci , ta có tổng Riemann trái, tổng Riemann phải và tổng Riemann giữa. Tuy nhiên giá trị của (28) là như nhau. Ví dụ: Các tổng Riemann trái, phải, giữa của hàm f (x) = x 3 như hình T P G dưới lần lượt là: S4 = 2.25, S4 = 6.25, S4 = 3.875. Khi n → ∞ thì T P G Sn = Sn = Sn = 4. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 92 / 148
  12. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.1. Tích phân xác định Quy tắc tính tích phân xác định b b (i) cf (x)dx = c f (x)dx. a a b b b (ii) f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx. a a a b b (iii) f (x) ≤ g(x)∀x ∈ [a, b] ⇒ f (x)dx ≤ g(x)dx . a a b (iv) m ≤ f (x) ≤ M∀x ∈ [a, b] ⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a). a b (v) f (x) liên tục trên (a, b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f (x)dx = (b − a)f (c). a b c b (vi) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c x (vii) Nếu f (x) liên tục thì f (t)dt = f (x). a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 93 / 148
  13. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.2. Tích phân xác định và nguyên hàm Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì b b f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). (29) a a Ví dụ: 2 x2 2 22 − 0 a) x dx = = = 2. 0 2 0 2 e 1 e b) dx = ln |x| = ln e − ln 1 = 1. 1 x 1 π π c) sin x dx = − cos x = 1 − 1 = 0. −π −π Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 94 / 148
  14. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.2. Tích phân xác định và nguyên hàm Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau 4 2 1) 4(x − 2)dx. 2) (x 2 + x − 1)dx. 2 −1 2 4 √ 1 2 1 2 3) 1+ dx. 4) x+√ dx. 1 x 2 x 1 1 5) |x|dx. 6) (1 − |x|)dx. −2 −1 π/2 π/3 7) sin x cos x dx. 8) tan x dx. 0 π/6 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 95 / 148
  15. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.3. Tính toán tích phân xác định Nếu u = g(x) là hàm khả tích có tập giá trị là I và f liên tục trên I thì b ub f (g(x))g (x)dx = f (u)du. (30) a ua với ua = u(a) và ub = u(b). Nếu tồn tại x = ϕ(t) sao cho f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt thì b tb tb f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = g(t)dt. (31) a ta ta với ta = x −1 (a) và tb = x −1 (b). Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 96 / 148
  16. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.3. Tính toán tích phân xác định a Ví dụ: Tìm x2 a2 − x 2 dx. 0 x Đặt x = a sin t, dx = a cos t dt, t = arcsin thì a π x1 = 0 ⇒ t1 = 0, x2 = a ⇒ t2 = 2 Ta thu được a π/2 x2 a2 − x 2 dx = a2 sin2 t a2 − a2 sin2 ta cos t dt 0 0 π/2 π/2 a4 = a4 sin2 t cos2 t dt = sin2 2t dt 0 4 0 π/2 a4 a4 1 π/2 a4 = (1 − cos 4t) dt = (t − sin 4t) =π . 8 0 8 4 0 16 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 97 / 148
  17. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.3. Tính toán tích phân xác định Tích phân từng phần cho ta b b b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx. (32) a a a √ 3 x2 Ví dụ: Tìm dx. 0 (1 + x 2 )2 xdx 1 Đặt u = x, dv = 2 )2 =d − . (1 + x 2(1 + x 2 ) 1 Thì du = dx, v = − . Ta thu được 2(1 + x 2 ) √ √ √ 3 3 x2 1 3 dx 2 )2 dx = − 2) 0 + 0 (1 + x 2(1 + x 0 2(1 + x 2 ) √ √ 3 1 √ 3 π =− + arctan 3 = − + . 8 2 8 6 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 98 / 148
  18. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.2.3. Tính toán tích phân xác định Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau 6√ 1 1) x − 2dx. 2) x x 2 + 1dx. 2 −1 1 3 1 2x 3) √ dx. 4) √ 3 dx. 0 1+ x 2 x2 − 3 Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau π 1 5) ex sin x dx. 6) xe2x dx. 0 0 π/2 2 7) x 2 cos x dx. 8) x 2 e−x dx. −π/2 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 99 / 148
  19. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.3. Tích phân suy rộng 4.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 Dạng I: Tích phân với cận vô cùng. ∞ b (i) f (x)dx = lim f (x)dx. a b→∞ a b b (ii) f (x)dx = lim f (x)dx. −∞ a→−∞ a ∞ c ∞ (iii) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ c Nếu giới hạn là hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng hội tụ và giới hạn đó chính là giá trị của tích phân suy rộng. Nếu giới hạn không tồn tại thì tích phân suy rộng phân kì. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 100 / 148
  20. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 4.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ: Các tích phân sau có hội tụ không? ∞ b b ex dx = lim ex dx = lim ex 0 b→∞ 0 b→∞ 0 b 0 = lim e − e = ∞ − 1 = ∞. (phân kì) b→∞ ∞ 0 ∞ 1 1 1 dx = dx + dx −∞ 1 + x2 −∞ 1 + x 2 0 1 + x2 0 b 1 1 = lim 2 dx + lim dx a→−∞ a 1 + x b→∞ 0 1 + x 2 0 b = lim arctan x + lim arctan x a→−∞ a b→∞ 0 = lim (arctan 0 − arctan a) + lim (arctan b − arctan 0) a→−∞ b→∞ −π π =0− + − 0 = π. (hội tụ) 2 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 101 / 148
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
3=>0