intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 2 - Vũ Đỗ Huy Cường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST
Báo xấu
5
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 2: Giới hạn và Liên tục, cung cấp những kiến thức như giới hạn của hàm số; tính toán giới hạn; tính liên tục của hàm số; định lý giá trị trung gian. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 2 - Vũ Đỗ Huy Cường

  1. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 2 Giới hạn và Liên tục Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 19 / 148
  2. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1. Giới hạn của hàm số 2.1.1. Giới hạn Đặt f (x) là hàm được xác định trên một lân cận của c, nhưng c có thể không thuộc tập xác định của f (x). Nếu f (x) tiến đến gần L khi x tiến đến gần c, ta nói rằng f tiến đến giới hạn L khi x tiến tới c và ta viết lim f (x) = L. (8) x→c Biểu thức trên được đọc là “giới hạn của f (x) khi x tiến tới c là L”. x2 − 1 Ví dụ: Tìm giới hạn của f (x) = khi x tiến đến 1. x −1 Ta có x2 − 1 f (x) = không xác định tại x = 1. x −1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 20 / 148
  3. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Ta nói rằng f (x) tiến tới giới hạn 2 khi x tiến tới 1, và viết x2 − 1 lim = 2. x→1 x − 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 21 / 148
  4. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Một hàm số f (x) có một giới hạn khi x tiến đến c nếu và chỉ nếu nó có giới hạn bên trái, giới hạn bên phải và chúng bằng nhau: lim f (x) = L ⇔, lim f (x) = lim+ f (x) = L. (9) x→c x→c − x→c Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 22 / 148
  5. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.1. Giới hạn Bài tập: Tìm giới hạn một phía và giới hạn (nếu chúng tồn tại). 1) lim x + 2. 2) lim + x + 2. x→−2− x→−2 x −1 x −1 3) lim . 4) lim+ . x→1− |x − 1| x→1 |x − 1| 1 1 5) lim 6) lim+ . x→0− 1 + e 1/x x→0 1 + e 1/x √ √ 1 + cosx 1 + cosx 7) lim . 8) lim+ . x→π − sinx x→π sinx Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 23 / 148
  6. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Làm sao để tính lim f (x)? => Thay tọa độ x = c vào f (x) x→c Trường hợp 1: Nếu f (c) là hữu hạn thì nó chính là giới hạn. Nếu f (c) là ±∞ thì không có giới hạn. 0 Trường hợp 2: Nếu f (c) có dạng , hãy triệt tiêu nhân tử chung 0 khiến tử và mẫu bằng 0. Ví dụ: x2 − 4 −3 x2 + 4 4+4 a) lim = = 3, b) lim 2 = = ∞. x→1 x − 2 −1 x→2 x − 4 4−4 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x2 + x + 1 3 c) lim 2 = lim = lim = . x→1 x − 1 √ x→1 (x − 1)(x + 1) √ x→1 √ x +1 √ 2 2− x +1 (2 − x + 1)(2 + x + 1)(1 + x − 2) d) lim √ = lim √ √ √ x→3 1 − x − 2 x→3 (1 − x − 2)(1 + x − 2)(2 + x + 1) √ √ (3 − x)(1 + x − 2) 1+ x −2 1 = lim √ = lim √ = . x→3 (3 − x)(2 + x + 1) x→3 2 + x + 1 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 24 / 148
  7. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Bài tập : Tìm giới hạn x3 + 1 x2 − 1 1) lim . 2) lim . x→2 x 2 − 1 x→1 x 2 + 1 (x − 2)2 x2 − 1 3) lim . 4) lim . x→2 x 2 − 22 x→−1 x 2 + 3x + 2 √ √ x −1 3− 5+x 5) lim . 6) lim √ . x→1 x −1 x→4 1 − 5 − x 1 1 (2 + x)3 − 23 − 7) lim . 8) lim 3 + x 3. x→0 x x→0 x Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 25 / 148
  8. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Làm sao để tính lim f (x)? => Thay tọa độ x = ±∞ vào f (x) x→±∞ Trường hợp 1: Nếu f (±∞) là hữu hạn thì nó chính là giới hạn. Nếu f (±∞) là ±∞ thì không có giới hạn. ∞ Trường hợp 2: Nếu f (±∞) có dạng ± , hãy chia hai vế cho số ∞ mũ lớn nhất của x dưới mẫu. Ví dụ: 1 1 x2 + 4 ∞ a) lim = = 0, b) lim = = ∞. x→∞ 1 − x −∞ x→−∞ 2 2 x3 − 1 x 3 /x 2 − 1/x 2 x − 1/x 2 c) lim = lim = lim = −∞. x→−∞ x 2 − 1 x→−∞ x 2 /x 2 − 1/x 2 x→−∞ 1 − 1/x 2 2x + 3 2x/x + 3/x 2 d) lim = lim = . x→∞ 3x − 4 x→∞ 3x/x − 4/x 3 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 26 / 148
  9. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Bài tập : Tìm các giới hạn sau 1 1 1) lim 3− . 2) lim 3− . x→−∞ x3 −1 x→∞ x3 −1 x −1 x −1 3) lim . 4) lim . x→−∞ 2 − 5/x 2 x→∞ 2 − 5/x 2 3x 2 + 2x − 1 3x 2 + 2x − 1 5) lim . 6) lim . x→−∞ (x − 1)2 x→∞ (x − 1)2 |x 3 | + 2x − 1 |x 3 | + 2x − 1 7) lim . 8) lim . x→−∞ 2x 2 + |x| − 2 x→∞ 2x 2 + |x| − 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 27 / 148
  10. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn 1. Nếu f (x) = c thì lim f (x) = c. x→a 2. Nếu f (x) > b ∀x và f (x) tồn tại giới hạn tại a thì lim f (x) > b. x→a 3. Nếu ϕ(x) ≤ f (x) ≤ ψ(x) và lim ϕ(x) = lim ψ(x) = A x→a x→a thì lim f (x) = A. x→a 4. Nếu tồn tại lim f (x) và lim g(x) thì x→a x→a (i) lim cf (x) = c lim f (x), x→a x→a (ii) lim f (x) + g(x) = lim f (x) + lim g(x), x→a x→a x→a (iii) lim f (x)g(x) = lim f (x) lim g(x), x→a x→a x→a f (x) lim f (x) x→a (iv) lim = . ( lim g(x) = 0) x→a g(x) lim g(x) x→a x→a Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 28 / 148
  11. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.2. Tính toán giới hạn Hai giới hạn quan trọng: sin a(x) 1 a(x) (i). lim = 1. (ii). lim 1± = e±1 . a(x)→0 a(x) a(x)→∞ a(x) Bài tập: Tìm các giới hạn sau sin 2x sin x 2 sin x 1) lim . 2) lim . x→0 x x→0 2x 2 sin(x − 1) 1 3) lim . 4) lim x sin . x→1 x2 − 1 x→∞ x 1 x 2 x 5) lim 1− . 6) lim 1+ . x→∞ x x→∞ x x −1 x+3 1/x 7) lim . 8) lim 1 + x . x→∞ x +3 x→0 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 29 / 148
  12. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn Ta nói f (x) khi x → x0 là một VCB nếu lim f (x) = 0. x→x0 Ví dụ: (x − 1)2 khi x → 1, sinx khi x → 0 là các VCB. f (x) Cho f (x) và g(x) là hai VCB khi x → x0 . Giả sử lim = L. x→x0 g(x) Nếu L = 0 ta nói f (x) có cấp cao hơn g(x). Nếu 0 < |L| < ∞ ta nói f (x) có cùng cấp với g(x). Nếu L = ∞ ta nói f (x) có cấp thấp hơn g(x). Ví dụ: sin2x và x khi x → 0 là hai VCB cùng cấp. cosx − 1 là VCB cấp cao hơn x khi x → 0. f (x) Một số VCB tương đương ( lim = 1) cần nhớ (khi x → x0 = 0): g(x) x→x0 x2 √ x sinx ∼ x, tanx ∼ x, cosx − 1 ∼ − , n 1 + x − 1 ∼ , 2 n ln(1 + x) ∼ x, ex − 1 ∼ x. (Có thể thay x bởi a(x)) Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 30 / 148
  13. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn Áp dụng VCB tương đương để tính giới hạn. √ sin( x + 1 − 1) + x 2 tan2 x Ví dụ: Tính I = lim x→0 sinx 3 + 2x √ √ x x → 0: sin( x + 1 − 1) ∼ x + 1 − 1 ∼ , x 2 tan2 x ∼ x 4 , sinx 3 ∼ x 3 2 x 4 + O(x 4 ) x + O(x) + x 1 Vậy I = lim 3 2 = lim 2 = . x→0 x + O(x 3 ) + 2x + O(x) x→0 2x 4 ln(1 − 2xsin2 x) Ví dụ: Tính J = lim x→0 sinx 2 tanx x → 0: ln(1 − 2xsin2 x) ∼ −2xsin2 x ∼ −2x 3 , sinx 2 tanx ∼ x 3 −2x 3 + O(x 3 ) −2x 3 Vậy J = lim = lim = −2. x→0 x 3 + O(x 3 ) x→0 x 3 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 31 / 148
  14. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn Ta nói f (x) khi x → x0 là một VCL nếu lim |f (x)| = ∞. x→x0 Ví dụ: x −3 khi x → 0, tanx khi x → π/2 là các VCL. f (x) Cho f (x) và g(x) là hai VCL khi x → x0 . Giả sử lim = L. x→x0 g(x) Nếu L = 0 ta nói f (x) có cấp thấp hơn g(x). Nếu 0 < |L| < ∞ ta nói f (x) có cùng cấp với g(x). Nếu L = ∞ ta nói f (x) có cấp cao hơn g(x). Ví dụ: x 3 và 2x 3 − 1 khi x → ∞ là hai VCL cùng cấp. ex là VCL cấp cao hơn x khi x → ∞. Một số VCL cần nhớ (khi x → ∞): an x n + ... + ak x k + ... + a1 x + a0 ∼ an x n (n là số lớn nhất.) x là VCL cấp lớn hơn lnx, x là VCL cấp nhỏ hơn ex . Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 32 / 148
  15. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn Áp dụng VCL tương đương để tính giới hạn. Ví dụ: Tính I = lim ( x 2 − 2x − 1 − 3x 2 + x + 2) x→−∞ √ √ √ x → −∞: x 2 − 2x − 1√ −x, 3x 2 +√ + 2 ∼ − 3x ∼ x Vậy I = lim (−x + 3x) = lim ( 3 − 1)x = −∞. x→−∞ x→−∞ Ví dụ: Tính J = lim ( 3x 2 − 4x − 2 − 3x 2 + 4x − 1) x→∞ √ √ √ √ x → ∞: A = 3x 2 − 4x − 2 ∼ 3x, B = 3x 2 + 4x − 1 ∼ 3x Như vậy hiệu của hai biểu thức trên không là VCL hoặc là VCL cấp A2 − B 2 nhỏ hơn 1. Biến đổi A − B = . A+B √ x → ∞: A2 − B 2 = −8x + 3 ∼ −8x và A + B ∼ 2 3x √ −8x −4 3 Vậy J = lim = √ = . x→∞ 2 3x 3 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 33 / 148
  16. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.1.3. Vô cùng bé - Vô cùng lớn Bài tập: Tìm các giới hạn sau. ln(1 + 2tan2 x) ln(cos3x) 1) lim . 2) lim . x→0 xsinx x→0 (e 2x − 1)sinx x + sinx sin(x − 1) − 2tan(x − 1) 3) lim √ . 4) lim . x→0 cosx − 3 1 + 2x x→1 x2 − 1 Bài tập: Tìm các giới hạn sau. x +1 ex − x 5) lim . 6) lim . x→∞ x 2 + 1 x→∞ x − lnx √ √ 1 1 x − sin x 7) lim ( x + x+ x− x). 8) lim 1 . x→∞ x→0 ex Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 34 / 148
  17. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.2. Tính liên tục của hàm số 2.2.1. Sự liên tục của hàm số Một hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại một điểm c nàm trong tập xác định nếu lim f (x) = f (c) (10) x→c Một hàm số y = f (x) được gọi là liên tục tại một điểm nằm trên biên nếu ... ? Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 35 / 148
  18. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.2.1. Sự liên tục của hàm số Một hàm số y = f (x) có một giới hạn tại điểm c thuộc tập xác định nếu lim f (x) = lim+ f (c) (11) x→c − x→c Một hàm số y = f (x) là liên tục tại điểm c nằm trong tập xác định nếu lim f (x) = lim+ f (x) = f (c) (12) x→c − x→c Ví dụ: Tại đâu f (x) không có giới hạn? Tại đâu f (x) không liên tục? Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 36 / 148
  19. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.2.1. Sự liên tục của hàm số Bài tập: Kiểm tra sự liên tục của f (x)? x  1−e ,    1 + cos2 x  x ≤ 0,  3x − x 2 , x ≥ 3,   2) f (x) = 3) f (x) = 2x, 0 < x ≤ 2, x 2 − 7, x < 3.  √   x 2 + 4x − 2x   , x > 2.   . x −2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 37 / 148
  20. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 2.2.2. Định lý giá trị trung gian Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] sao cho f (a) = f (b). Khi đó với mỗi số thực k nằm giữa f (a) và f (b) thì luôn tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (c) = k. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 38 / 148
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1