ươ
Ch
ng
4
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU HÀM CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1. Đ I L
NG
Ẫ
Ề
Ạ ƯỢ NG U NHIÊN HAI CHI U
Ả Ố Ấ
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Ờ Đ NG TH I Ẫ Ủ C A Đ I L
NG NG U NHIÊN Ề Ờ Ạ Ồ Ạ ƯỢ HAI CHI U R I R C
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ộ
ườ ả ấ ủ
ươ ề ố ẫ
ấ
ả ờ
ư
ồ
ợ ự ng h p m t ng t T tr ậ ể mô t chi u, đ quy lu t phân ạ ượ ng ph i xác su t c a đ i l ờ ạ ề r i r c ta ng u nhiên hai chi u ố dùng b ng phân ph i xác su t ạ đ ng th i có d ng nh sau:
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
…
y1
y2
yn
Y X
…
x1
p11
p12
p1n
…
x2
p21
p22
p2n
…
…
…
…
…
…
xm
pm1
pm2
pmn
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ạ
Ấ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
) (
)
(
)
Trong đó ( (
)
= P X = x , Y = y
P = P X = x Y = y ij
i
j
i
j
(i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n)
n m
ij
p = 1��
j=1 i=1
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ủ ấ ả ố B ng phân ph i xác su t c a
thành ph n Xầ
… X x1 x2 xm
m
… P p1 p2 pm
p = 1
i
i=1
(cid:0)
Ả
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ạ ƯỢ
NG
Ẫ
Ề
Ấ B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L Ờ Ạ NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ủ ấ ả ố B ng phân ph i xác su t c a
thành ph n ầ Y
… Y yn y1 y2
n
… P q1 q2 qn
q = 1 j
j=1
(cid:0)
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ạ ượ
ờ
Hai đ i l
ng ng u nhiên r i
ẫ ớ
ộ ậ ạ r c X, Y đ c l p v i nhau
P(X = x , Y = y ) = P(X = x )P(Y = y )
i
j
j
i
(cid:0)
i, j
"
Ấ
Ồ
Ố
Ờ Ủ
Ề
Ẫ
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
thu
ồ ồ
ủ
ầ ầ ố
ư
ờ
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I Ả Ạ ƯỢ Ờ Ạ L ệ Ví dụ 1.1 Chi phí qu ng cáo (tri u ả ệ (tri u đ ng/tu n) và doanh ả ộ đ ng/tu n) c a m t công ty có b ng ấ ồ phân ph i xác su t đ ng th i nh sau:
Doanh thu Y
1000 1200 1500
ả Chi phí qu ng cáo X
0,08 0,05 0,01
20
0,2
0,3
0,02
30
0,12 0,2
0,02
40
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ả
ố
ậ ấ ủ
Hãy l p b ng phân ph i xác su t c a X, Y và tính E(X), Var(X), E(Y), Var(Y)
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ấ
Ạ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ủ ấ ả ố B ng phân ph i xác su t c a
thành ph n Xầ
X 20 30 40
E(X) = 32 Var(X) = 44
P 0,14 0,52 0,34
Ờ Ủ
Ố
Ồ
Ạ
Ấ
Ờ Ạ
Ả ƯỢ
Ẫ
Ề
B NG PHÂN PH I XÁC SU T Đ NG TH I C A Đ I L
NG NG U NHIÊN HAI CHI U R I R C
ủ ấ ả ố B ng phân ph i xác su t c a
thành ph n Yầ
Y 1000 1200 1500
E(Y) = 1135 Var(Y) = 16275
P 0,4 0,55 0,05
Ố
Ậ
Ấ
Ạ ƯỢ
Ủ
Ầ
Ệ
Ề §2. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U NG KI N C A CÁC THÀNH PH N C A Đ I L
Ủ Ề
Ẫ Ỳ Ọ
Ề
NG U NHIÊN HAI CHI U Ệ K V NG CÓ ĐI U KI N
Ậ
Ố
Ấ
Ề
Ủ
Ệ
Ỳ Ọ
Ệ
Ề
1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N C A CÁC THÀNH PH NẦ 2. K V NG CÓ ĐI U KI N
Ố
Ấ
Ề
Ệ
Ủ
Ầ
1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N Ậ C A CÁC THÀNH PH N
ả ử
ẫ
Gi
ạ ượ s (X, Y) là đ i l ả
ố
ấ ồ
ng ng u nhiên ề ờ ạ hai chi u r i r c có b ng phân ph i xác ờ su t đ ng th i Y
…
y1
y2
yn
X
…
…
x1 x2
p11 p21
p12 p22
p1n p2n
…
…
…
…
…
…
xm
pm1
pm2
pmn
Ố
Ấ
Ề
Ệ
Ủ
Ầ
Ậ 1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N C A CÁC THÀNH PH N
ố
ề
ả ủ
ệ
ấ ề
ệ ậ
B ng phân ph i xác su t có đi u ki n ớ c a thành ph n X v i đi u ki n Y nh n giá tr yị
ầ ố ị j (c đ nh)
…
X1
Xi
Xm
)
)
)
( P X = x Y = y i
j
...
( P X = x Y = y 1
j
( P X = x Y = y m
j
Ố
Ấ
Ề
Ệ
Ủ
Ầ
Ậ 1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N C A CÁC THÀNH PH N
Trong đó các xác su t có đi u
ấ
(
ượ ằ ệ ki n đ
j
p
=
=
=
=
ứ )
( P X x Y y i
j
) ( =
= )
ij q
( = P X x Y y i ( P Y y
j
j
m
q
j
=
=
=
=
=
)
1
j
ề c tính b ng công th c: ) )
Ta có ( m � P X x Y y i
p � ij q
q
= i 1
= i 1
j
j
Ố
Ấ
Ề
Ệ
Ủ
Ầ
1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N Ậ C A CÁC THÀNH PH N
ươ
ố
ng t ề
ấ ớ
ủ ậ
ề
ệ
ị
ự ả , b ng phân ph i xác su t T ệ có đi u ki n c a thành ph n Y v i đi u ki n X nh n giá tr x
ầ ố ị i (c đ nh)
…
Y1
Yj
Yn
)
)
)
( P Y = y X = x j
i
( P Y = y X = x 1
i
( P Y = y X = x n
i
...
Ố
Ấ
Ệ
Ề
Ủ
Ầ
Ậ 1. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T CÓ ĐI U KI N C A CÁC THÀNH PH N
)
(
)
i
p
=
=
=
=
)
( P Y y X x j
i
) ( =
( = P Y y X x j (
= )
P X x
ij p
i
i
n
n
i
=
=
=
=
=
)
1
( P Y y X x j
i
�
p � ij p
p p
= j 1
= j 1
i
i
Ỳ Ọ Ề Ệ 2. K V NG CÓ ĐI U KI N
ạ ượ
ợ
ng
ng h p (X, Y) là đ i l
ề ờ ạ
ủ
ườ ẫ ỳ ọ
ệ
)j
Tr ng u nhiên hai chi u r i r c ớ K v ng c a X v i đi u ki n Y = yj, ký ki u là ư
ượ
ị
đ
m
ệ ề ( E X | Y = y c xác đ nh nh sau: =
=
=
)
(
)
(cid:0)
( E X Y y
= x P X x Y y
j
i
i
j
= i 1
Ỳ Ọ Ề Ệ 2. K V NG CÓ ĐI U KI N
ề ệ ỳ ọ
(
ủ ệ
ượ ị
=
=
=
)
c xác đ nh nh sau: n
(
)
= y P Y y X x
j
i
i
j
= j 1
(cid:0) ớ K v ng c a X v i đi u ki n )i , X = xi, ký ki u là E Y | X = x ư đ ( E Y X x
Ỳ Ọ Ề Ệ 2. K V NG CÓ ĐI U KI N
ớ ố ệ ở
ụ ví d 1.1.
)
= 0, 3846
P(X = 30, Y = 1000) P(X = 30)
ươ
ự:
) )
Ví dụ V i s li u Ta tính: ( P Y = 1000 X = 30 = T ng t ( P Y = 1200 X = 30 = 0, 5769 ( P Y = 1500 X = 30 = 0, 0385
1000
1200
1500
0,3846
0,5769
0,0385
Y P(Y = yj | X = 30)
E(Y | X = 30) = 1134,63
Ỳ Ọ Ề Ệ 2. K V NG CÓ ĐI U KI N
Ví d ụ Đ i l
ề ấ
ư
ẫ ạ ượ ng ng u nhiên hai chi u ố ả (X, Y) có b ng phân ph i xác su t nh sau:
1
3
4
7
X Y 2
0,15
0,06
0,20
0,10
5
0,30
0,10
0,05
0,04
Tính E(X | Y = 2)
Ệ §3. HI P PH Ệ Ố ƯƠ H S T
ƯƠ NG SAI NG QUAN
1. HIỆP PHƯƠNG SAI 2. HỆ SỐ TƯƠNG QUAN
ƯƠ
Ệ 1. HI P PH
NG SAI
ươ
ạ ượ
ủ
ng sai c a hai đ i l
ng
ệ Hi p ph ẫ
ị
ệ ư
ừ ị
ng u nhiên X và Y, ký hi u là Cov(X, Y) , xác đ nh nh sau: Cov(X, Y) = E[(X – E(X))(Y – E(Y))] T đ nh nghĩa ta có: • Cov(X,X) = Var(X) • Cov(X,Y) = Cov(Y,X) • Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y)
ƯƠ
Ệ 1. HI P PH
NG SAI
ườ
ờ ạ
ợ
Tr
ng h p X, Y r i r c:
m n
=
Cov(X, Y)
E(X)E(Y)
x y p i j
ij
-
��
=
= i 1 j 1
ườ
ụ
Tr
ng h p X, Y liên t c:
ợ +(cid:0) +(cid:0)
=
Cov(X, Y)
xyf (x, y)dxdy E(X)E(Y)
-
��
- (cid:0) - (cid:0)
ƯƠ
Ệ 1. HI P PH
NG SAI
ụ
ví
Ví dụ V i s li u ta tính đ
ớ ố ệ ở d 1.1, cượ : Cov(X, Y) = 80
ƯƠ
Ệ 1. HI P PH
NG SAI
ề
ẫ
ụ Ví d 3.2.
ạ ượ Đ i l ả
ố
ấ
ng ng u nhiên hai chi u ư (X, Y) có b ng phân ph i xác su t nh sau:
1 3 4 7
X Y
2 0,15 0,06 0,20 0,10
5 0,30 0,10 0,05 0,04
cov(X, Y) = –1,0377
Ệ Ố ƯƠ
2. H S T
NG QUAN
ạ ượ
ủ ng quan c a hai đ i l
ệ ố ươ H s t ẫ
ệ
ượ
ng c
ị
ng u nhiên X và Y, ký hi u là , đ xác đ nh nh sau:
r
ư = XY
cov(X, Y) .
X
Y
σ
s s
ọ
ồ
ế
ế
σ Y = var(Y) X = var(X) trong đó , σ σ Y > 0 X > 0 ( , ) ệ ố ươ H s t ng quan có vai trò quan tr ng trong lý thuy t h i quy tuy n tính hai bi n.ế
Ệ Ố ƯƠ
2. H S T
NG QUAN
ụ ví d 1.1, ta tính
ρ
XY = 0, 0945
Ví dụ V i s li u đ ớ ố ệ ở cượ
Ệ Ố ƯƠ
2. H S T
NG QUAN
ị
ρ(cid:0)
XY
1
(cid:0) (cid:0)
ρ
( ) ộ ậ ế ụ ế ộ ế
XY = 1
Đ nh lý ρ 1 1 (a) XY ρ XY = 0 (b) N u X, Y đ c l p thì (c) N u Y ph thu c tuy n tính vào X (Y = aX + b) thì
H s t
Ệ Ố ƯƠ Ý NGHĨA H S T NG QUAN
ng quan đo
ệ ố ươ ế
ữ
ứ gi a X và Y. N u
ụ ộ m c đ ph ế
ộ thu c tuy n tính XYρ
ụ
ộ càng m nhạ , còn n uế
ự
ụ
ộ
ầ
càng g nầ 1 thì sự ph thu c XYρ ế tuy n tính càng g n 0 thì s ph thu c ế
ế
0= tuy n tính càng y u.
XYρ
ươ
N uế ta nói X và Y không t
ng
quan.
Ệ Ố ƯƠ 2. H S T NG QUAN
ươ ạ ế c l
ắ
Ậ NH N XÉT ộ ậ ế N u X và Y đ c l p thì chúng không t ng quan. ượ Ng i n u X và Y không ươ ư ng quan thì ch a ch c X và t ộ ậ Y đ c l p.
Ố
Ậ
Ủ
Ạ
§4. QUY LU T PHÂN PH I XÁC SU T C A HÀM C A CÁC Đ I
Ẫ NG NG U NHIÊN
Ấ Ủ ƯỢ L
1. VÍ DỤ 2. ĐỊNH LÝ
2. VÍ DỤ
X
1
1
2
P
0,2
0,5
0,3
2
Y = X
1. VÍ DỤ
Ta tính:
(X = 1)]
P(Y = 1) = P[(X = 1) = P(X = 1) + P(X = 1) = 0, 2 + 0, 5 = 0, 7
(cid:0)
P(Y = 4) = P(X = 2) = 0,3
ừ T đó:
Y
1
4
P
0,7
0,3
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
ạ ượ
ng ng u
ẫ nhiên
ả ử s các đ i l : P(
(1) Gi X i = 1, 2, …, n ,
)λ i
i
và X1, X2, …, Xn đ c l p. Khi đó:
n
n
:
i
i
� X
ộ ậ � � � Pλ � �
i=1
i=1
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
: X N( , (2) N u ế thì
2 )ms
:
N(0,1)
X μ σ
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
ẫ
ng ng u nhiên
N(
ả ử ạ ượ (3)Gi s các đ i l 2 )m s : , X , i = 1, 2, …, n i
i
i
n
n
:
2 i
i
i
� X
a)
và X1, X2, …, Xn đ c l p. Khi đó: � �
i=1
i=1
n
n
:
N
a X i
i
2 a σ i
2 i
�
b)
� �
ộ ậ � n � � σ Nμ , � i=1 � n � � aμ , i i � i=1
i=1
i=1
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
:
(4) Gi
sả ử , i = 1, 2, …, n, và
N(0,1)
iX
n
2
(n)
X
c
ộ ậ X1, X2, …, Xn đ c l p. Khi đó: 2 : i
= i 1
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
2
c
ế
(5) N u
,
Y
:
(n)
X N(0,1) và X, Y đ c l p thì:
:
T(n)
: ộ ậ X Y n
Ố Ủ
2. PHÂN PH I C A CÁC HÀM THÔNG D NGỤ
2
2
(n)
:
c c
ế
X (6) N u
,
Y
:
(m)
và X, Y đ c l p thì:
:
F(n,m)
