intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài tập giải tích 11

Chia sẻ: Lâm Trần Hải | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:27

Thêm vào BST
Báo xấu
431
lượt xem 136
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đây là bài tập và công thức về giải tích giúp các bạn học tốt môn toán lớp 11.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập giải tích 11

  1. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN π 1. Hai cung đối nhau: -x và x 3. Hai cung phụ nhau: − x và x cos(− x) = cos x 2 sin(− x) = − sin x π π   sin  − x ÷ = cos x cos  − x ÷ = sin x tan(− x) = − tan x 2  2  cot(− x) = − cot x π π   tan  − x ÷ = cot x cot  − x ÷ = tan x π − x và x 2. Hai cung bù nhau: 2  2  sin(π − x) = sin x π + x và x 4. Hai cung hơn kém nhau Pi: sin(π + x) = − sin x cos(π − x) = − cos x cos(π + x) = − cos x tan(π − x) = − tan x tan(π + x) = tan x cot(π − x) = − cot x cot(π + x) = cot x 5. Các hằng đẳng thức lượng giác 1 a. sin 2 x + cos 2 x = 1 b. 1 + tan x = cos 2 x 1 c. 1 + cot x = d . tan x.cot x = 1 sin 2 x 6. Công thức cộng lượng giác cos( x − y ) = cos x.cos y + sin x.sin y cos( x + y ) = cos x.cos y − sin x.sin y sin( x − y ) = sin x.cos y − sin y.cos x sin( x + y ) = sin x.cos y + sin y.cos x 7. Công thức nhân đôi nx nx sin 2 x = 2sin x cos x TQ : sin nx = 2sin cos 2 2 cos 2 x = cos x − sin x = 2cos x − 1 = 1 − 2sin x 2 2 2 2 8. Công thức nhân ba: sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x cos3 x = 4cos 3 x − 3cos x 9. Công thức hạ bậc: 1 − cos 2 x 1 + cos 2 x sin 2 x = cos 2 x = 2 2 10. Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos x.cos y = [ cos( x − y ) + cos( x + y ) ] 2 1 sin x.sin y = [ cos( x − y ) − cos( x + y ) ] 2 1 sin x.cos y = [ sin( x − y ) + sin( x + y ) ] 2 11 . Công thức biến đổi tổng thành tích Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 1
  2. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x − sin y = 2cos sin 2 2 A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 3æ ö çp < a < 3p ÷ Bài 1: Cho sin a = - .Tính cosa ,tana ,cota. ç ÷ 5ç ÷ è 2ø Cho 5cosa + 4 = 0 ( 180 < a < 270 ) .Tính sina , tana, cota. o o Bài 2: Cho tan15o = 2 - 3. Tính sin15o ,cos15o ,cot15o. Bài 3: 1 tan x + cot x 2 sin x + 3cos x biết sinx = . biết tanx = -2 Tính A = Tính B = Bài 4: 3sin x - 2cos x tan x - cot x 3 sin 2 x + 3sin x cos x - 2cos 2 x biết cotx = -3 Tính C= 1 + 4sin 2 x Chứng minh: Bài 5: a/sin x+cos 4 x=1-2sin 2 xcos 2 x; b/sin 6x+cos 6x=1-3sin 2 xcos 2 x 4 (sử dụng như 1 công thức) c/tan 2 x = sin 2 x+sin 2 x.tan 2 x; d/sin 2 x.tanx + cos 2 x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Chứng minh các đẳng thức sau: Bài 6: 1-2cos 2 x 1+sin 2 x cosx 1 = tan 2 x-cot 2 x; b/ = 1+2tan 2 x; c/ a/ +tanx = 2 2 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx sin 2 x cos 2 x 1+cosx 1-cosx 4cotx g/ - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan 2 x-tan 2 y sin 2 x-sin 2 y 1 i/ ( 1-cosx ) ( 1+cot 2 x ) = ; j/ = tan 2 x.tan 2 y sin 2 x.sin 2 y 1+cosx Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: A=2 ( sin 6 x+cos 6 x ) -3( sin 4 x+cos 4 x ) ; B=cos 4 x ( 2cos 2 x-3) +sin 4 x ( 2sin 2 x-3) 2 C=2( sin 4 x+cos 4 x+sin 2 xcos 2 x ) - ( sin 8 x+cos 8 x ) ; D=3( sin 8 x-cos8 x ) +4 ( cos 6 x-2sin 6 x ) +6sin 4 x sin 6 x+cos 6 x-1 sin 4 x+3cos 4 x-1 E= sin 4 x+4cos 2 x + cos 4 x+4sin 2 x; F= ; G= sin 4 x+cos 4 x-1 sin 6 x+cos 6 x+3cos 4 x-1 é pù H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin 2 x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos 2 x ;(x Î ê ú 0; ) ê 2ú ëû II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: æp ö ç3 < x < 2p÷ ç ÷ ç2 ÷ Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với è ø æö æö p p a/ Tính cosx ; b/ Tính sin ç + x÷ cos ( p - x ) , tan ç + x ÷ cot ( 3p - x ) , , ç ç ÷ ÷ ç2 ÷ ç ÷ è ø è2 ø Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 2
  3. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Bài 2: Tính: æ öæ ö p p 2cos ç - a ÷ ç + a ÷ ( p - a ) sin tan ÷ç ÷ ç ç ÷ç ÷ è2 ø è2 ø - 2cos a; A= æ ö p cot ç + a ÷ ÷ ( p - a) sin ç ç2 ÷ è ø æp öæ ö æp öæ ö p p 3 3 sin ç + a ÷ ç + b÷ sin ç - b÷ ç + a ÷ tan cot ÷ç ÷ ÷ç ÷ ç ç ç2 ÷ç ç ÷ç ÷ ÷ è ø è2 ø è2 ø è2 ø + cot b ( cot b - tan b) B= - æp ö ç3 - b÷ cos ( 2p - b) tan ( p - a ) cos ( p - a ) cot ç ÷ ç2 ÷ è ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: æ 9p ö ÷ cot ( 12p - a ) + tan æp - a ö ç5 A = sin ( 13p + a ) - cos ça - ÷; + ç ÷ ç ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è2 ø 2 æ 7p ÷ ö æp ö æp ö 3 3 B = cos ( 15p - a ) + sin ça - ÷ tan ç + a ÷ ç - a ÷.cot - ç ç ÷ç ÷ ç ç ÷ç 2÷ ÷ è ø è2 ø è2 ø æ 5p ÷ ö æp ö æ 7p ö 9 C = sin ( 7 p + a ) + cos ça - ÷ cot ( 3p - a ) + tan ç - a ÷ 2 tan ça - ÷ - + ç ç ÷ ç ÷ ç ç ç 2÷ ÷ ÷ è ø è2 ø è 2ø Bài 4: Đơn giản biểu thức: A = sin ( p + a ) + sin ( 2p + a ) + sin ( 3p + a ) + ... + sin ( 100p + a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = cos 1710o - x - 2sin x - 2250 o + cos x + 900 o + 2sin 720 o - x + cos 540 o - x Bài 5: Đơn giản biểu thức: æp ö 19 tan ç - x ÷ ( 36p - x ) .sin ( x - 5p) .cos 2sin 2550o cos ( - 188o ) ÷ ç ç2 ÷ è ø 1 A= B= + æp ö tan 368o 2cos 638o + cos98o ç9 - x ÷ ( x - 99p) sin ç .cos ÷ ç2 ÷ è ø Bài 6: Chứng minh: a / sin825o cos ( - 2535o ) + cos75o sin ( - 555o ) + tan ( 695o ) tan ( 245o ) = 0 æ 85p ö ÷ cos ( 207 p + x ) + sin 2 ( 33p + x ) + sin 2 æ - 3p ÷ 1 ö b / sin çx + çx + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ 2÷ è 2ø è ø Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A+B C a / sin(A + B) = sin A; b / cos A + cos(B + C) = 0; c / sin = co s ; 2 2 3A + B + C d / cosC + cos(A + B + 2C) = 0; e / sin A + cos =0 2 III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 15o ,75o ,105o ,285o ,3045o 7p 13p 19p 103p 299p Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: , , , , 12 12 12 12 12 æ ö p 12 3p Bài 10: Tính cos ç - x ÷biết sin x = - , ( < x < 2p) ç ÷ ç3 ÷ è ø 13 2 1 1 , tan b = . a/ Tính tan ( a + b) b/ Tính Bài 11: Cho 2 góc nhọn a , b có tan a = 2 3 a +b ì p ï ï x+y= ï Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : í 4 ï ï tan x.tan y = 3 - 2 2 ï î a/ Tính tan ( x + y ) ; tan x + tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 3
  4. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 3p æ pö 40 Bài 13: Tính tan çx - ÷ biết sin x = - và p < x < ç ÷ ç ÷ è 4ø 241 æ pö Bài 14: Tính tan ça + ÷theo tan a . Áp dụng: Tính tg15o ÷ ç ç ÷ è 4ø Tính: Bài 15: tan 25o + tan 20o 1 + tan15o A = sin 20o cos10o + sin10 o cos 20 o B= C= 1 - tan 25o.tan 20o 1 - tan15o tan 225o - cot 81o.cot 69o 3 D = sin15o - 3 cos15o E = sin15o + cos15o F= cot 261o + tan 201o 3 Bài 16: Tính: æ pö æ p ö æ p ö æ 3p ö a / A = cos çx - ÷ çx + ÷ cos çx + ÷ çx + ÷ cos cos + ç ÷ç ç ÷ç ÷ ÷ ç øç ç øç 3÷ è 4÷ 6÷ è ÷ è ø è 4ø æ pö æ p ö æ 2p ö æ 2p ö b / B = tan x.tan çx + ÷ tan çx + ÷ çx + ÷ tan çx + ÷ x tan tan +ç +ç ç ÷ç ÷ ÷ ÷ ç ç øç ç 3÷ 3÷ è ÷ 3÷ è ø è 3ø è ø Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: æpö æpö æp ö æp ö 2 2 A = cos 2 x + cos 2 ç + x ÷ cos 2 ç - x ÷ B = sin 2 x + sin 2 ç + x ÷ sin 2 ç - x÷ + + ç ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç3 ç ç ç ÷ ÷ ÷ ÷ è ø è3 ø è3 ø è3 ø Bài 18: Chứng minh: a / cos ( a + b) .cos ( a - b) = cos 2 a - sin 2 b = cos 2 b - sin 2 a b / sin ( a + b ) .sin ( a - b ) = sin 2 a - sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a c / sin ( a + b) .cos ( a - b ) = sin a cosa + sin bcos b æ ö æpö p d / sin ç + a ÷ sin ç - a ÷ 2 sin a - = ç ÷ ç ÷ ç4 ç ÷ ÷ è ø è4 ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin = cos cos - sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos = sin cos - cos sin 2 2 2 2 2 æ pö 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC çA,B,C ¹ ÷ ÷ ç ç 2÷ è ø A B B C C A 6/ tan tan + tan tan + tan tan = 1 2 2 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot + cot + cot = cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG p 2p c / sin ( x + 30 o ) cos ( x - 30 o ) a / sin .sin b / cos 5x.cos 3x 5 5 d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x ; æ pö æ pö f / sin çx + ÷ çx - ÷ 2x; g / 4 cos ( a - b ) .cos ( b - c ) .cos ( c - a ) .sin .cos ç ÷ç ç 6÷ è 6ø ÷ øç ÷ è Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 4
  5. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 a / cos 4x + cos 3x; b / cos3x - cos 6 x; c / sin 5x + sin x d / sin ( a + b ) - sin ( a - b ) ; e / tan ( a + b ) + tan a; f / tan 2a - tan a Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4 cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin . sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 ( 1 +cosA.cosB.cosC) 14/ cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4 sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh D ABC vuông nếu: sin B + sin C ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 a / sin A = cos B + cos C Chứng minh D ABC cân nếu: Bài 24: C sin B a / sin A = 2sin B.cos C; b / tan A + tan B = 2cot ; c / tan A + 2 tan B = tan A.tan 2 B; d / = 2cos A 2 sin C Chứng minh D ABC đều nếu: Bài 25: 1 3 a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C = 8 2 Bài 26: Chứng minh D ABC cân hoặc vuông nếu: tan B sin 2 B sin ( B + C) sin ( B - C) 2C a / tan A.tan B.tan = 1; b / = 2 ; c/ 2 =2 sin B + sin 2 C sin B - sin 2 C 2 tan C sin C Bài 27: Hãy nhận dạng D ABC biết: sin A a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = 0 b / cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 c / = 2sin C cos B B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác A có nghĩa khi B ≠ 0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A ≥ 0 Chú ý : 1) B −1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 2) π π sin x = 0 ⇔ x = kπ ; s inx = 1 ⇔ x = + k 2π ; s inx = -1 ⇔ x = − + k 2π 3) 2 2 π cosx = 0 ⇔ x = + k π ; cosx = 1 ⇔ x = k 2π ; cosx = -1 ⇔ x = π + k 2π 4) 2 π Hàm số y = tanx xác định khi x ≠ + k π 5) 2 Hàm số y = cotx xác định khi x ≠ k π Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau x +1 3) y = sin x + 4 1) y = cosx + sinx 2) y = cos x+2 2 4) y = cos x − 3x + 2 6) y = 2 − s inx 5) y = 2 cos2x Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 5
  6. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1 + cosx π π 9) y = cot(2x - ) 7) y = 8) y = tan(x + ) 1-sinx 4 3 1 1 − 10) y = s inx 2cosx II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = [ sin(-x) ] = (-sinx)2 = sin2x 2 Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x ∈ D ⇒ − x ∈ D, ∀x Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng  f (− x) = f ( x) → f ch½ n   f (− x) = − f ( x) → f lÎ Cã x ® f (− x ) ≠ ± f ( x ) → f kh«ng ch¼ kh«ng lÎ 0Ó n,  0 0 Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 1 5) y = sin x + x2 4) y = tan2x 6) y = cos 3x 2 III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác π π  Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng  − + k 2π ; + k 2π ÷ 2  2 π 3π  Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng  + k 2π ; + k 2π ÷ 2  2 Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng ( −π + k 2π ; k 2π ) Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng ( k 2π ; π + k 2π ) π π  Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng  − + k π ; + k π ÷ 2  2 Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( k π ; π + k π ) Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số  π π  2π 3π  1) y = sinx trên  − ; ÷ 2) y = cosx trên khoảng  ; ÷   3 2 63  3π π  13π 29π  3) y = cotx trên khoảng  − ;− ÷ ; 4) y = cosx trên đoạn  6 4 2 3   121π 239π   π 3π  5) y = tanx trên đoạn  − 6) y = sin2x trên đoạn  − ; ; 6  4 4 3    π π  4π 2π  π 7) y = tan3x trên khoảng  − − 3 ; 3  ;÷ ) trên đoạn 8) y =sin(x +  12 6    3 Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số  3π   π π  23π 25π   362π 481π   ;π÷ − ; ÷ − ;− ;  ÷ ÷ 2   3 3 4 4  4 3 Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 6
  7. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K ⇒ y = A.f(x) +B ® ång biÕ trªn K nÕ A > 0 n u   nghÞ biÕ trªn K nÕ A < 0 ch n u Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn [ −π; π] π  2π π   2) y = -2cos  2x + ÷ trên đoạn  − ;  3  3 3  IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác −1 ≤ s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1 ; 0 ≤ sin2 x ≤ 1 ; A2 + B ≥ B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số π π 1 3) y = -1 - cos 2 (2x + ) 1) y = 2sin(x- ) + 3 2) y = 3 – cos2x 2 2 3 π 6) y = 5cos x + 4) y = 1 + cos(4x 2 ) - 2 5) y = 2 s inx + 3 4 7) y = sin 2 x − 4s inx + 3 8) y = 4 − 3cos 2 3 x + 1 Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn [ a ; b ] thì max f ( x) = f (b) ; min f ( x) = f (a) [ a ; b] [ a ; b] Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ a ; b ] thì max f ( x) = f (a ) ; min f ( x) = f (b) [ a ; b] [ a ; b] Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số π π  π π 1) y = sinx trên đoạn  − ; −  2) y = cosx trên đoạn  − ;   2 3  2 2 π  1 3 4) y = cos π x trên đoạn  ;  3) y = sinx trên đoạn  − ;0  2  4 2 C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC. I:LÍ THUYEÁT . 1/Phö ô n g trình löôïn g gia ù c cô baû n . u = v + k 2π sin u = sin v ⇔  (k∈Z) u = π − v + k 2π cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. (k∈Z) tanu = tanv ⇔ u = v + kπ (k∈ Z) cotu = cotv ⇔ u = v + kπ (k∈Z) 2/ P hö ô n g trình ña ë c bie ä t : π π sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 2 + k2π π cosx = 0 ⇔ x = + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π 2 + k2π . 3/ P hö ô n g trình baä c nha á t ño ái vôùi sinx va ø co s x . Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a 2 + b2 ≠ 0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 7
  8. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Caùch 1: acosx + bsinx = c ⇔ a 2 + b 2 . cos( x − ϕ ) = c vôùi a cos ϕ = a2 + b2 a asinx +bcosx = c ⇔ a 2 + b 2 . sin( x + ϕ ) = c vôùi cos ϕ = . a + b2 2 Caùch 2 : Xeùt phöông trình vôùi x = π + kπ , k ∈ Z x Vôùi x ≠ π + kπ ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai 2 theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm ⇔ a2 + b2 - c2 ≥ 0 . Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: 2. cos x − 3 sin x = −1 1. 3 cos x − sin x = 2 , π 1 4. sin 4 x + cos 4 ( x + ) = 3. 3 sin 3x − 3 cos 9 x = 1 + 4 sin 3 3x , 4 4 5. cos 7 x − sin 5 x = 3 (cos 5 x − sin 7 x) , 6. tan x − 3cot x = 4(sin x + 3 cos x) 1 3 (1 − cos 2 x) 8. sin 2 x + sin 2 x = 7. = cos x 2 2sin x 4/ P hö ô n g trình ch æ chö ù a mo ä t ha ø m so á löôï n g gia ù c : Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 . Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 =0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4x + cos4x) = 2sin2x – 1 4x = cos 2 x cos 5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 3 3 = 3 + 2 tan 2 x 7. 8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 cos x 9. 6sin 2 3 x + cos12 x = 4 10. 4sin 4 x + 12cos 2 x = 7 5/ P hö ô n g trình ñaú n g caá p th e o sinx va ø co s x : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 . Caùch 1 : • Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm . • Xeùt cos x ≠ 0 chia hai veá cuûa phöông trình cho cos 2x roài ñaët t = tanx. 1 1 Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 2 2 1 sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x 2 vaø cos2x . Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 8
  9. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp π + kπ ,k∈Z. cos x = 0 hay x = 2 Baøi taäp : 1. 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2. 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 3. 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 4. 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx. 1 5. sin 2 x + sin 2 x − 2cos 2 x = 2 6/ P hö ô n g trình daïn g : a ( co s x ± s inx ) + b sinx c o s x + c = 0 . Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän − 2 ≤ t ≤ 2 khi ñoù sinxcosx t 2 −1 = 2 Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t . Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx +c=0 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän − 2 ≤ t ≤ 2 khi ñoù sinxcosx = 1− t2 2 Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Caùc phö ô n g trình löôï n g gia ù c kha ù c . Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0, 3 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2x + 3 = , 6/ 4sin4 cos x +12cos2x = 7 Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx π 4x = cos 2 x ÑS : x = k3π , x= ± +k3π , x 2/ cos 3 4 5π =± +k3π 4 π x x x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( − ) ÑS: sinx =1 v 2 2 4 2 x sin =1 2 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , π +kπ ÑS : x = - 4 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng Vương- TX Đồng Xoài-Bình Phước 9
  10. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1 ÑS : x = k2π , x = ± 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = cos x π +k2π 3 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2x ÑS : cosx = 0 , cos 1 2x = 2 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD x :ñaët t = tan 2 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x π 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS : x = 4 π kπ v x = + kπ 4 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 π + kπ ÑS : x = 4 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. P HÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 . 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3x kπ π 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= + 4 2 π π ÑS : x = +kπ 5/ sin3(x - ) = 2 sinx 4 4 π ÑS :x = ± 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 + 3 π kπ kπ v x= + 4 2 7/ 3sin x +5cos4x – 3 = 0 . 4 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III. P HÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG . Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3x + cos 2x +sinx = 0 3 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + 2 sinxcosx + 6 = 0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 10ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  11. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 5/ sin x – cos x = 1 + sinxcosx 3 3 6/ 1 1 10 + + sin x + cos x = cos x sin x 3 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6 2 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 sin 2 x 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos 3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). IV. PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC . Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos 3x – sin3xsin3x 1 = cos34x + 4 x x 5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx 2 2 =0 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x cos x + sin x = sin x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 1 − cos x xπ x 11/ sin2 ( − ) tan2x – cos2 =0 12/ cotx – tanx + 4sinx 24 2 1 = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2x - sinx + 1 4/ sin x sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) cos 3 x + sin 3 x 15/ 5(sin x + ) = cos 2 x + 3 16/ sin23x – cos24x = sin25x – 1 + 2 sin 2 x cos26x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ (2 − sin 2 2 x)sin 3 x tan x + 1 = 4 cos 4 x x 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ) 2 cos 2 x 1 + sin 2 x − sin 2 x 20/ cotx – 1 = 1 + tan x 2 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = D. TOÅ HÔÏP Tóm tắt giáo khoa I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hi ện b ởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 11ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  12. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số k ∈ ¥ mà 1 ≤ k ≤ n . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu A k là: n n! A k = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = ( n − k) ! . n 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ ¥ mà 1 ≤ k ≤ n . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ck là: n n ( n − 1) ... ( n − k + 1) n! Ck = = k!( n − k ) ! n k! c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: Cho a, k ∈ ¥ * : ( 0 ≤ k ≤ n) Ck = C n − k n n (1 ≤ k ≤ n) k −1 = C +C k k C n +1 n n III. Khai triển nhị thức Newton n = ∑ C k a n − k b k = C0 a n + C1 a n −1b + .. + C k a n − k b k + .. + C n b n ( a + b) n n n n n n k =0 Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng. – Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. – Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. – Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: Tk +1 = Cn a b k n −k k – C0 + C1 + C2 + ... + C n = 2 n n n n n – C0 − C1n + C n − C3 + ... + ( −1) C n + ... + ( −1) C n = 0 k n 2 k n n n Chú ý: n = ∑ C k a n − k b k là khai triển theo số mũ của a giảm dần. ( a + b) n – n k =0 n ( a + b ) = ∑ Ck a k bn − k là khai triển theo số mũ của a tăng dần. n – n k =0 Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 12ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  13. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A = { 0;1; 2;3; 4} . Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A = { 1, 2,3, 4,5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị Phương pháp giải: • Sử dụng phép xếp đặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n • Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực hiện phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự của k phần tử trong n phần tử: n! A k = n. ( n − 1) ... ( n − k + 1) = ( n − k) ! n Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập A = { 0,1, 2,3, 4,5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực hiện phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự của k phần tử chọn trong n phần n! ( 0 ≤ k ≤ n) Ck = tử: k!( n − k ) ! n Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm n ∈ ¥ * trong phương trình chứa Pn , A n , Cn k k Phương pháp giải: Dùng các công thức: n! n! ( n ≥ 1) ; A n = n ( n − 1) ... ( n − k + 1) = (1 ≤ k ≤ n) ; ( 0 ≤ k ≤ n) Pn = n! Cn = k k ( n − k) ! k!( n − k ) ! 2Pn ( 1) . = A3 nếu có: Bài 8: Tìm n∈¥ *, n Pn −1 ( 2) 6n − 6 + C3 ≥ C3 +1 . nếu có: Bài 9: Tìm n∈¥ *, n n Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt trong khai triển của (a + b)n. Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton: n = ∑ C k a n − k b k = C0 a n + C1 a n −1b + C 2 a n − 2 b 2 + .. + C k a n − k b k + .. + C n b n ( a + b) n (khai triển theo lũy thừa của n n n n n n k =0 a tăng, b giảm) n = ∑ Ck a k bn − k (Chú ý: ( a + b ) n khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần) n k =0 Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x)11. 10 3 3 Bài 11: Trong khai triển , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. 2 x − ÷  x 1 + x 2 ( 1 − x )  8 Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển   Bài 13: Cho khai triển: ( 1 + 2x ) = a 0 + a1x + a 2 x 2 + .. + a10 x10 , có các hệ số 10 Tìm hệ a 0 , a1 , a 2 ,.., a10 . số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 13ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  14. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3 - x)25 2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2 - x 2 )25 12 æ 1ö çx + ÷ 3) Số hạng không chứa x trong khai triển ç ÷ ÷ ç è xø 12 æ 28 ö ç ÷ - 4) 32) Số hạng không chứa x trong khai triển çx 3 x + x 15 ÷÷ ç ÷ ç ÷ è ø 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển 21 æa bö ç3 ÷ ç ÷ ç b+ 3 ø ÷ ç a÷ è Bài 15: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau 12 æ x 3ö 1) Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển ç - ÷÷ ç ÷ ç3 x ø è 12 æ1 ö 2) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển ç + ÷ 5 8 x÷ ç3 ÷ çx è ø 8 3) Hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển é + x 2 (1 - x) ù 1 ê ú ë û 10 ( ) 4) Hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển 1 + x + x 2 + x 3 5) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển (x 2 - x + 2)10 6) Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển (1 + x + 3x 2 )10 7) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: 8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + ... + (1 + x)50 9) Hệ số của số hạng chứa x 3 trong khai triển: 10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + ... + (1 + 2x)22 11) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 + x)10 (x + 1)10 . Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck n Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả. Bài 16: Tính tổng: S1 = C0 + C1n + Cn + ... + Cn ; S2 = C0 − C1n + C n − ... + ( −1) C n + ... + ( −1) C n k n 2 n 2 k n n n Bài 17: Tính tổng: S3 = C2n + C2n + C2n + ... + C2n ; S4 = C12n + C3 + ... + C2n −1 0 2 4 2n 2n 2n Bài 18: Tính tổng: T = C0 − 2C1n + 22 C2 − 23 C3 + ... + ( −2 ) C n n n n n n E. CAÁP SOÁ COÄNG Kieá n thö ù c caà n nhô ù : 1 . Ñònh ng h ó a : Caáp soá coäng laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), trong ñoù, keå töø soá haïng thöù hai, moãi soá haïng ñeàu laø toång cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng sai. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 14ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  15. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: u n+1 = un + d (n = 1, 2, ...). Ñ aëc bieät : Khi d = 0 thì caáp soá coäng laø moät daõy soá trong ñoù taát caû caùc soá haïng ñeàu baèng nhau. Ñeå chæ raèng daõy soá (u n) laø moät caáp soá coäng,ta kí hieäu ÷ u1, u2, ..., un, .... 2. So á haïn g toå n g qua ù t Ñ òn h lí: Soá haïng toång quaùt un cuûa moät caáp soá coäng coù soá haïng ñaàu u1 vaø coâng sai d ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: un = u1 + (n - 1)d 3. Tính cha á t caù c so á haïn g cuû a caá p so á co ä n g Ñ òn h lí: trong moät caáp soá coäng, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai ( vaø tröø soá haïng cuoái cuøng ñoái vôùi caáp soá coäng höõu haïn), ñeàu laø trung bình coäng cuûa hai soá haïng keà u k −1 + u k +1 uk = (k ≥ 2). beân noù, töùc laø 2 4. Toån g n so á haïn g ñaà u cuû a mo ä t caá p so á co ä n g Ñ òn h lí: Ñeå tính Sn tacoù hai coâng thöùc sau: n [ 2u1 + (n − 1)d ] Sn = • Sn tính theo u1 vaø d 2 n S n = (u1 + u n ) • Sn tính theo u1 vaø un 2 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Xaùc ñònh soá haïng caàn tìm trong moãi caáp soá coäng döôùi ñaây: a / ÷ 2,5,8,... tìm u15. tìmu20. b / ÷ 2 + 3 ,4,2 − 3 ,... a / u15 = 44 Ñ S: b / u 20 = 40 − 18 3 B aøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30. u 2 + u 5 − u 3 = 10 Baøi 3: Cho caáp soá coäng:  u 4 + u 6 = 26 Tìm soá haïng ñaàu vaø coâng sai cuûa noù. Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù 5 soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165. Baøi 5: Tìm 3 soá taïo thaønh moät caáp soá coäng bieát soá haïng ñaàu laø 5 vaø tích soá cuûa chuùng laø 1140. Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät caáp soá coäng vôùi coâng sai laø 25. Baøi 7: Cho caáp soá coäng ÷ u1, u2, u3, ... Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147. Tính u1 + u6 + u11 + u16. Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80. Tìm toång S15 cuûa 15 soá haïng ñaàu tieân cuûa caáp soá coäng ñoù. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 15ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  16. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 B aøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng. Toång cuûa chuùng laø 176. Hieäu cuûa soá haïng cuoái vaø soá haïng ñaàu laø 30. Tìm caáp soá ñoù. Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3. Tính a10. Baøi 11: Tính u1, d trong caùc caáp soá coäng sau ñaây: S 4 = 9 u 3 + u 5 = 14  1/ 3 / 45 S13 = 129 S 6 = 2  u 5 = 19 u 3 + u10 = −31 2 / 4 / u 9 = 35 2u 4 − u 9 = 7 53 38 Ñ S : 1/ u 1 = vaø d = ; 2/ u1 = 3 13 39 vaø d = 4. 3 3/ u1 = 0 vaø d = ; 4/ u1 = vaø 2 d= . B aøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18. Tính toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = 3. Tính u20 vaø S20. Ñ S : u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4. Tính u1 vaø S10. Ñ S : u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1. 18 d=− Tính d vaø S11. vaø S11 = ÑS : 5 187 Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18. Tìm toång cuûa 20 soá haïng ñaàu tieân. Ñ S : S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kieá n thö ù c caà n nhô ù : 1. Ñònh ng h ó a : Caáp soá nhaân laø moät daõy soá ( höõu haïn hay voâ haïn), tronh ñoù keå töø soá haïng thöù hai moãi soá haïng ñeàu laø tích cuûa soá haïng ñöùng ngay tröôùc noù vôùi moät soá khoâng ñoãi goïi laø coâng boäi. Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ...). Ñ aëc bieät: Khi q = 0 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, 0, 0, ..., 0, ... Khi q = 1 thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u 1, u1, ..., u1, ... Neáu u1 = 0 thì vôùi moïi q, caáp soá nhaân laø daõy soá 0, 0, ..., ... Ñeå chæ daõy soá (un) laø moät caáp soá nhaân ta thöôøng duøng kí hieäu .. u1, u2, ..., un, .... .. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 16ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  17. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 2 . So á haïn g toå n g qua ù t Ñ òn h lí: Soá haïng toång quaùt cuûa moät caáp soá nhaân ñöôïc cho bôûi coâng thöùc: n −1 u n = u1 q (q ≠ 0 ) 3. Tính cha á t caù c so á haïn g cuû a caá p so á nha â n Ñ ònh lí: Trong moät caáp soá nhaân, moãi soá haïng keå töø soá haïng thöù hai (tröø soá haïng cuoái ñoái vôùi caáp soá nhaân höõu haïn) ñeàu coù giaù trò tuyeät ñoái laø trung bình nhaân cuûa hai soá haïng keà beân noù, töùc laø: (k ≥ 2) u k = u k −1 .u k +1 4. Toån g n so á haïn g ñaà u cuû a mo ä t caá p so á nha â n . Cho moät caáp soá nhaân vôùi coâng boäi q ≠ 1 u1, u2, ...,un, ... qn −1 S n = u1 (q ≠ 1) Ñ ònh lí: Ta coù: q −1 BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù 6 soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 1 1 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730. Tìm u1, u6. 4 Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486. Tìm soá haïng ñaàu tieân vaø coâng boäi q cuûa caáp soá nhaân ñoù u 4 − u 2 = 72 Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát:  u 5 − u 3 = 144 Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48. Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát: u1 + u 2 + u 3 = 13  u 4 + u 5 + u 6 = 351 Baøi 6: Tìm caáp soá nhaân (un) bieát caáp soá ñoù coù 4 soá haïng coù toång baèng 360 vaø soá haïng cuoái gaáp 9 laàn soá haïng thöù hai. Baøi 7: Toång 3 soá haïng lieân tieáp cuûa moät caáp soá coäng laø 21. Neáu soá thöù hai tröø ñi 1 vaø soá thöù ba coäng theâm 1 thì ba soá ñoù laäp thaønh moät caáp soá nhaân. Tìm ba soá ñoù. Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 17ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  18. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN II. HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH  Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v( a; b) bieán ñieåm M(x;y) thaønh M’(x’;y’) . Tìm toïa ñoä ñieåm M' Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) .Pheùp tònh tieán  theo vectô v(2;3) bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N. Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5). Tìm ñieåmB(x,y) sao cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo v(2;1) : Caâu4 : Trong caùc hình sau ñaây, hình naøo coù ba truïc ñoái xöùng: A) tam giaùc ñeàu B) hình chöõ nhaät C) Hình vuoâng D)Hình thoi Caâu5: Trong maët phaúng oxy Cho ñieåm M(2;3). Pheùp ñoái xöùng qua truïc ox bieán ñieåm M thaønh M’. Tìm toïa ñoä ñieåm M' Caâu 6: Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+y -5=0 .Tìm aûnh cuûa ñöôøng thaúng d qua pheùp tònh  tieán vectô v(1;1) ? Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : 3x+5y-4=0.Tìm aûnh pheùp ñoái xöùng truïc ox. Caâu 8 :Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N? 3x+4y-6=0, pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán d thaønh d’ . Tìm phöông trình d' ñöôøng troøn (C)  coù phöông trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 . Pheùp tònh tieán theo vectô v(1;2) bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-5) 2 +(y-4)2 =25 . Pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C’). Tìm phöông trình (C') Caâu 12 :Trong caùc pheùp bieán hình sau pheùp naøo khoâng phaûi laø pheùp dôøi hình ? A) pheùp ñoàng daïng vôùi tæ soá k=1 ; B) pheùp vò töï tæ soá k= ±1 ; C) pheùp tònh tieán ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Caâu 13 : ñöôøng troøn (C) coù phöông trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 . Pheùp dôøi hình coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C') vaø pheùp tònh  tieán v(1;4) bieán (C') thaønh (C’'). Tìm phöông trình cuûa (C''). Caâu 14 :Cho hình vuoâng ABCD .Goïi O laø giao ñieåm cuûa hai ñöôøng cheùo .Thöïc hieän pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù. Tìm soá ño cuûa goùc quay ñoù? Caâu 15 : Pheùp vò töï taâm O tæ soá k (k ≠ 0) laø moät pheùp bieán hình bieán ñieåm M thaønh ñieåm M’ sao cho : uuuu  uuuu u uuuu u uuuu  uuuu u 1 uuuu  A) OM = k OM ' B) OM ' = k OM C) OM’ =k OM D) OM ' = OM k Caâu 16 : trong mp oxy cho ñieåm M( -2;4 ). Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = -2 bieán ñieåm M thaønh ñieåm N. Tìm toïa ñoä ñieåm N Caâu 17 : trong mpoxy cho ñöôøng thaúng d coù PT: 2x + y – 4 = 0. Pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 3 bieán d thaønh ñöôøng thaúng d'. Tìm phöông trình d'? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 18ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  19. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Caâu 18 : trong mpoxy cho ñöôøng troøn (C) coù phöông trình : ( x -1 ) 2 + y2 = 16. pheùp vò töï taâm O tæ soá k = 2 bieán (C) thaønh ñöôøng troøn (C'). Tìm phöông trình (C') Caâu 19 : Thöïc hieän lieân tieáp hai pheùp ñoái xöùng truïc coù hai truïc ñoái xöùng song song laø pheùp naoø sau ñaây: A) pheùp ñoái xöùng truïc B) pheùp tònh tieán C) pheùp quay D) pheùp ñoái xöùng taâm Caâu 20 : Trong mp oxy cho ñieåm M(1;2) . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp V 2o vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc oy bieán M thaønh ñieåm N. Tìm N? Caâu 21 :Trong maët phaúng oxy cho ñöôøng thaúng d coù phöông trình : x+ y+2=0 . pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp 1 pheùp vò töï taâm O tæ soá vaø pheùp ñoái xöùng qua truïc ox 2 bieán d thaønh d’. Tìm phöông trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “bieán moät ñöôøng thaúng thaønh moät ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi noù”: A) pheùp ñoái xöùng taâm B) pheùp tònh tieán C) pheùp vò töï D) pheùp ñoái xöùng truïc Caâu 23: Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1) 2 + (y-2)2 =4 .Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp tònh tieán theo vectô u V (1;2) bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C') ? Caâu 24 : Cho ñöôøng troøn (C ) coù phöông trình (x-1) 2 + (y-2)2 =4 . Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèng caùch thöïc hieän lieân tieáp pheùp vò töï taâm O tæ soá k=3 vaø pheùp ñoái xöùng qua goác toaï ñoä bieán (C) thaønh (C'). Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai trong caùc khaúng ñònh sau : A)pheùp tònh tieán bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính B) pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính C) pheùp ñoái xöùng taâm bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính D) pheùp vò töï bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính CHÖÔNG 2. QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng α và β ta đi tìm hai điểm chung I ; J của α và β  α ∩ β = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý : β  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung J I • •  M ∈ d và d ⊂ α  M ∈ α α a ∩ b = M trong (P)  M là điểm chung  a ⊂ α ; b ⊂ β  Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 19ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
  20. Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1. 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 1. 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 1. 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 1. 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm trong ABC; N là điểm nằm trong ACD. Tìm giao tuyến của : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 1 1. 5: Cho tứ diện ABCD .M nằm trên AB sao cho AM = MB ; N nằm trên AC sao cho 4 AN = 3NC; điểm I nằm trong BCD. Tìm giao tuyến của : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 1. 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC . a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC. Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN) 1. 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) và điểm S không thuộc (P). Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 1. 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho : AM AN ≠ . Tìm giao tuyến của (DMN) và (BCD) MB NC 1. 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC . Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 1. 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang. Tìm giao tuyến của : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC .Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm ∆ SAD. Tìm giao tuyến của : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng 20ương- TX Đồng Xoài-Bình Phước V
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2