Bài tập sức bền vật liệu - 2

Chia sẻ: Vũ đình Công | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

945
lượt xem 183
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn Mx ( hoặc My ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập sức bền vật liệu - 2

Chương 7 Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập tự giải Chương 7. Thanh chịu uốn phẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa • Uốn thuần túy phẳng: Thanh gọi là chịu uốn thuần tuý nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại thành phần ứng lực là mômen uốn Mx ( hoặc My ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Uốn ngang phẳng: Thanh gọi là chịu uốn ngang phẳng nếu trên các mặt cắt ngang của nó chỉ có cặp ứng lực là mômen uốn Mx, lực cắt Qy ( hoặc My và Qx ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. • Tải trọng gây uốn: nằm trong mặt phẳng đi qua trục thanh và vuông góc với trục thanh 2. Ứng suất trên mặt cắt ngang 2.1. Ứng suất pháp Mx σz = y ( 7.1) Ix Trong đó - Mx là mômen uốn nội lực trên mặt cắt ngang - Ix là mômen quán tính của mặt cắt ngang đối với trục quán tính chính trung tâm Ox - y là tung độ của điểm tính ứng suất Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0 khi làm căng thớ trên. Do (7.1) phải chú ý đến dấu của mô men uốn và tung độ điểm tính ứng suất nên ta thường dùng công thức kỹ thuật. Mx σz = ± y (7.2) Ix Dấu (+) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu kéo và dấu (-) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu nén. 2.2. Đường trung hoà • Thớ trung hoà: Thớ vật liệu dọc trục có chiều dài không đổi (không bị co, không bị dãn) trong quá trình biến dạng do chịu uốn. Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
• Mặt trung hoà: tập hợp các thớ trung hoà • Đường trung hoà: giao tuyến của mặt trung hoà với mặt cắt ngang (đi qua trọng tâm mặt cắt ngang) • Đường trung hoà chia mặt cắt ngang làm hai phần: phần chịu kéo và phần chịu nén 2.3. Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị Từ công thứ tính ứng suất pháp (7.1), nhận thấy rằng các điểm càng xa đường trung hoà thì có trị tuyệt đối của ứng suất càng lớn. Vì các điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà có trị số ứng suất như nhau nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang. Biểu đồ ứng suất pháp đi qua gốc toạ độ như trên hình vẽ, đánh dấu (+) đẻ chỉ ứng suất kéo, và dấu (-) chỉ ứng suất nén. • Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng (hình 7.1) s σ min Mx y h1 x §TH τ max τ1 yC y τ2 t σmax b1 y Hình 7.1. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T • Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình 7.2) • Điểm K xa đường trung hoà nhất (tung độ
y k ) ở vùng chịu kéo ( σ > 0) max z sẽ có giá trị ứng suất pháp kéo lớn nhất, kí hiệu là σzmax ; còn điểm N xa đường
trung hoà nhất (tung độ ymax ) ở vùng chịu nén ( σz < 0 ) sẽ có giá trị ứng suất n pháp nén lớn nhất kí hiệu là σz min . Ta có: Mx k Mx n σ z m ax = ; σ z mi n = − y y (7.3) Ix Ix max max Ix I k n Đặ t ;W = x (7.4) W= x x yK yN Mx Mx σ zmax = Thì ; σz min = − (7.5) Wxk Wxn Wx ,Wx lần lượt là mômen chống uốn kéo (nén) của mặt cắt ngang. Với k n mặt k n và gọi là mômen chống uốn cắt ngang có trục x là trục đối xứng thì W = W = W x x x của mặt cắt ngang. y σmin Mx y x § TH τ max h x y σmax b Hình 7.2. Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật - Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b) 2 Wx = bh (7.6) 6
- Mặt cắt ngang hình tròn (đường kính D; trục x đi qua trọng tâm O) πD 3 0, 1D 3 W= (7.7) x 32 - Mặt cắt ngang hình vành khăn (đường kính trong d, đường kính ngoài D) 3 3 πD πd − Ix d 64 64 ( ) 3 4 với η = (7.8) W= = 0,1D 1 − η x D/ 2 D/2 D
2.4. Ứng suất tiếp Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b
n Với vật liệu dẻo - ứng suất cho phép khi kéo và nén như nhau nên max {σ max ,σ min } ≤ [σ ] (7.11) 3.2. Thanh chịu uốn ngang phẳng Trên mặt cắt có 3 loại điểm ở ba trạng thái ứng suất khác nhau a. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất đơn (các điểm ở mép trên và dưới của mặt cắt ngang ).
+ Với vật liệu dẻo: - Mặt cắt cần kiểm tra: mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối max {σ max ,σ min } ≤ [σ ] (7.12) + Với vật liệu dòn: nếu tiết diện có trục x là trục đối xứng thì mặt cắt ngang nguy hiểm là mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối; nếu trục x không là trục đối xứng thì mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có mô men âm lớn nhất và cả mặt cắt ngang có mô men dương lớn nhất. Mx σok ≤ [σ] = σ = ma x Wk n k x Mx σon ≤ [σ] = σ = min Wn n n x b. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý. Mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có trị tuyệt đối của Qy lớn nhất. Điểm kiểm tra là các điểm nằm trên đường trung hoà. c τmax = Qy S (7.13) ≤ [ τ] x c Ix b Trong đó [ τ] được lấy tuỳ theo thuyết bền. c. Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt ngang có Mx và cùng khá lớn. Điểm kiểm tra là Qy những điểm mà tại đó có sự thay đổi đột ngột về kích thước mặt cắt ngang (điểm tiếp xúc giữa lòng và đế của mặt cắt ngang chữ I). 2 2 σ = ( σ ) + 4( τ ) nếu dùng thuyết bền 3 t® z zy 2 σ = (σ ) + 3( τ
nếu dùng thuyết bền 4 )2 t® z zy Chú ý: Khi kiểm tra điều kiện bền cho thanh chịu uốn ngang phẳng, về + nguyên tắc ta đều phải kiểm tra cho cả ba loại trạng thái ứng suất đã nêu trên. Tuy nhiên kết quả thống kê cho thấy điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn là quan trọng nhất. 3.3. Ba bài toán cơ bản a. Bài toán kiểm tra điều kiện bền
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học thanh, tải trọng và ứng suất cho phép. Yêu cầu: Kiểm tra điều kiện bền cho thanh Mx ≤ [σ] σ max = Wx b. Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang Cho biết: Sơ đồ kết cấu, dạng hình học của thanh, tải trọng và ứng suất cho phép. Yêu cầu: Chọn kích thước nhỏ nhất của thanh Mx Mx ≤ [ σ] => W x ≤ σ max = [ σ] Wx c. Bài toán tìm tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học của thanh, ứng suất cho phép của vật liệu, vị trí và phương chiều của tải trọng. Yêu cầu: Tìm giá trị cho phép lớn nhất của tải trọng có thể tác dụng vào kết cấu theo điều kiện bền. Mx ≤ [ σ] => M ≤ W [σ] σ = ma x x x Wx 4. Biến dạng của dầm chịu uốn a. Độ cong của đường đàn hồi 1 Mx = (7.14) ρ EI x h với ρ - bán kính cong của đường đàn hồi ồ Mx - mô men uốn nội lực tại mặt cắt ngang đang xét i EIx - độ cứng của dầm chịu uốn. b. Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi Mx '' y =− EI x c. Phương pháp tích phân trực tiếp xác định đường đàn
(7.15) Từ phương trình vi phân gần đúng (7.15) lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay. dy M ϕ (z ) = (7.16) = ∫ − x dz + C dz EI x Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng
⎤ ⎡ Mx (7.17) ∫ ⎢∫ − z + C .dz + D y(z ) = d ⎥ EI x ⎣ ⎦ trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị . - Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình 2n ẩn số khi dầm gồm n đoạn) d. Phương pháp tải trọng giả tạo để xác định đường đàn hồi - Nếu ở phương trình vi phân gần đúng ( 12-6 ) ta đặt Mx qgt (z) = − (7.18 ) EI x thì quan hệ giữa y(z) , ϕ(z) , q gt ( z) giống như quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và cường độ của tải trọng phân bố trong biểu thức liên hệ vi phân giữa chúng. Chúng ta sẽ tận dụng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn khi biết tải trọng phân bố để áp dụng vào bài toán tìm góc xoay và độ võng. - Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là dầm giả tạo và đặt tải trọng phân bố vào nó thì lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo q gt (z ) gây ra tại Mx q (z) = − gt do x EI mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay và độ võng ở dầm thực ban đầu tại mặt cắt ngang đó do tải trọng thực gây ra. Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau: Dầm giả tạo phải có chiều dài bằng chiều dài của dầm thực. Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại các liên kết trên dầm giả tạo phải phù hợp với điều kiện biên về chuyển vị trên dầm thực tại các vị trí đó. Bảng chọn dầm giả tạo lập sẵy=0 n. Mgt =0 Mgt =0 y=0 0 Qgt Qgt 0 ϕ0 ϕ0 Mgt =0 y=0 y=0 Mgt =0 ϕ0 ϕ0 Qgt 0 Qgt 0 Mgt =0 Mgt =0 y =0 Q gt 0 ϕ0 Qgt 0 ϕ0 Q gt 0 ϕ0
y =0 Mgt =0 y =0
Các bước thực hiện: - Vẽ biểu đồ mô men uốn trên dầm thực. Chia tung độ biểu đồ cho độ cứng EI để có trị số của tải trọng giả tạo. - Nếu Mx>0 thì qgt
EI EI EI EI K1 = , K2 = , ..., K i = , K i +1 = ., , , EI EI EI EI i +1 i +1 11 22 ii - Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực và tải phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ võng trên đoạn thứ i+1 được xác định khi biết hàm độ võng trên đoạn thứ i)
2 ( z − a) 1 [ K i +1M i+1 (a) − K i M i (a)] yi +1 ( z ) = yi ( z ) + Δya + Δϕ a ( z − a ) − − EI 2! 3 4 1 ( z − a) 1 ( z − a) − [ K i +1Qi+1 (a ) − K iQi (a )] − − [ K i +1qi +1 (a ) − K i qi (a )] − EI 3! EI 4! ( z − a) 5 1 ' q (a ) − K q (a ) ⎤ ' − ⎡K − ... EI ⎣ ⎦ i i +1 i +1 5! i Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài Ki = Ki +1 = 1 , do vậy thì yi +1 ( z ) = yi ( z ) + Δya + Δϕ a ( z − a) − ( z − a)2 ( z − a )3 ( z − a)4 ( z − a )5 (7.19) ⎤ 1⎡ ' + ΔQ + Δq + Δq + ... − − ΔM ⎢ ⎥ a a a 2! 3! 4! EI 5! a ⎣ ⎦ ' ' ' với ΔM a = M a ; ΔQa = Qa ; Δqa = qi +1 (a ) − qi (a ) ; Δq = q ( a ) − q (a ) ;… i +1 a i - Từ ((7.19), ta thấy rằng, chỉ cần xác định được độ võng đoạn thứ nhất thì bằng công thức truy hồi có thể xác định được độ võng trên tất cả các đoạn còn lại 1⎡ 2 z3 z4 z5 z ⎤ ' y ( z) = y + ϕ z − − +Q +q +q + ... M (7.20) ⎢ ⎥ 1 0 0 0 0 0 0 EI 2! 3! 4! 5! ⎣ ⎦ Các thông số y ,ϕ , M , Q , , q ' , ... gọi là các thông số ban đầu và được xác q 0 0 0 0 0 0 định từ điều kiện biên. Chú ý: - Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố như hình vẽ 7.3
- Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ i và i+1 là khớp treo Δya = 0 thì - Nếu hai đoạn thứ i và i+1 là liền nhau Δya = Δϕa = 0 thì 5. Điều kiện cứng của dầm chịu uốn Điều kiện cứng của dầm chịu uốn có nhiều dạng, dạng thường sử dụng hơn cả là: y max ⎡ y ⎤ (7.21) ≤⎢ ⎥ l ⎣l ⎦ trong đó: l là chiều dài nhịp dầm có độ võng lớn nhất ymax. ⎡ y ⎤là độ võng tương đối cho phép của dầm - lấy theo quy phạm của nhà nước. ⎢⎣ l⎥⎦ ⎡f⎤ 1 1 ⎡f⎤ 1 1 chẳng hạn, với dầm ; với dầm chính: ÷ = = ÷ phụ: ⎣⎦ ⎢ l⎥ ⎢ l⎥ 200 400 400 1000 ⎣⎦ 6. Bài toán siêu tĩnh: Cần phải sử dung điều kiện chuyển vị để xác định phản lực tại liên kết thừa.
B. Các bài tập tự giải 7.1. Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ. Tính giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm C thuộc mặt cắt ngang 1-1 của dầm. Biết 2 q=10kN/m; a=1m; F=qa; M0=qa , các kích thước theo cm. 1 8 C q M0 (a) 40 1 a a a 10 1 q (b) 1 C a a a 5 1 F 3F 6 C (c) 28 1 a a a 6 6 12 6 7.2. Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ. Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm. Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt 2 cắt ngang 1-1 của dầm. Cho a=1m; q=10kN/m; M=qa /2; F=qa; d=4cm; δ = 1cm 2d q M 1 2d 1 2d a a a 4d 2δ q 1 F 15δ 1 B 3δ a a a
12δ
7.3. Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ. 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. 2.Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp. 2 a) Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu có [σ]=1,2 kN/cm . 2 M=qa q 3b b 2 b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có [σ]=16 kN/cm . F=qa q C A B 1 .5 a 0.5a 2 c) Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu có [σ]=1,2 kN/cm . F=qa M=qa2 q D 2a a 7.4. Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ. 1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm. 2.Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp. 2 a. Biết a=0.5m; d=8cm; D=10cm; [σ]=16 kN/cm . 2 M=q a q B d D 4a a