Vũ Mạnh Tới-Bộ môn Toán-ĐHTL https://toivmmath.wordpress.com
1
Bài tập Toán V-K51-KP-Hè 2012-2013
(Dành cho sinh viên ĐH Thủy Lợi-Nhóm N01; N06 Toán V-KPHè 2012-2013)
Giáo trình: XÁC SUẤT và THỐNG KÊ cho kỹ sư và nhà khoa học (Tái bản lần 1 năm 2010-Bộ môn Toán
học-Đại học Thủy Lợi). (Có trên thư viện ĐH Thủy Lợi)
I. NỘI DUNG ÔN TẬP Cuối kì
1. Xác suất cổ điển
Định nghĩa xác suất cổ điển.
Các định lý xác suất. Công thức đầy đủ. Quy tắc Bayes.
Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất.
Một số phân phối xác suất thường gặp.
2. Kỳ vọng. Phương sai. Covariance. Hệ số tương quan.
Kỳ vọng, phương sai: định nghĩa, tính chất.
Bảng phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất.
Hàm mật độ biên duyên.
Phân phối xác suất có điều kiện.
Covariance. Tính độc lập của hai biến ngẫu nhiên.
Hệ số tương quan.
3. Bài toán ước lượng
Ước lượng điểm: ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả.
Khoảng tin cậy cho 1 kỳ vọng khi phương sai đã biết, chưa biết.
Khoảng tin cậy cho hiệu 2 kỳ vọng khi phương sai đã biết, khi phương sai chưa biết nhưng giả thiết
bằng nhau.
Khoảng tin cậy cho 1 tỷ lệ, 2 tỷ lệ, cỡ mẫu lớn.
Đánh giá sai số.
4. Kiểm định giả thuyết
Kiểm định 1 kỳ vọng, khi phương sai đã biết, chưa biết.
Kiểm định 2 kỳ vọng, khi phương sai đã biết, chưa biết nhưng giả thuyết bằng nhau.
Kiểm định 1 tỷ lệ.
Kiểm định 2 tỷ lệ.
Kiểm định 1 phía, 2 phía.
5. Hồi quy tuyến tính. Sự tương quan tuyến tính.
Phương trình đường hồi quy tuyến tính thực nghiệm.
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình
0
|Yx
µ
.
Khoảng dự báo cho giá trị
0
y
.
Hệ số tương quan tuyến tính mẫu. Ý nghĩa của hệ số tương quan.
Vũ Mạnh Tới-Bộ môn Toán-ĐHTL https://toivmmath.wordpress.com
2
CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA GIỮA KỲ MÔN TOÁN V ($1-$5)
Hình thức thi: Tự luận - Thời gian: 50 phút – Thứ 7.CN tuần 6
Câu 1 (3,5 điểm) Xác suất của một biến cố và các phép toán xác suất.
+ Tính xác suất của một biến cố.
+ Tính xác suất theo quy tắc cộng, quy tắc nhân, quy tắc Bayes, xác suất có điều kiện, định lý xác suất đầy
đủ.
Câu 2 (3,5 điểm) Biến ngẫu nhiên và một số phân phối xác suất thường gặp.
+ Tìm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc một chiều hoặc hai chiều thường gặp: phân phối nhị
thức, phân phối siêu bội, phân phối nhị thức âm và phân phối hình học.
+ Các ứng dụng của phân phối chuẩn.
+ Hàm phân phối tích lũy, phân phối đồng thời, phân phối biên duyên.
Câu 3 (3 điểm) Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên
+ Tính trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn và nêu ý nghĩa.
+ Tính covarian, hệ số tương quan và nêu ý nghĩa.
II. BÀI TẬP TOÁN V
BÀI TẬP TUẦN 1: Xác suất một biến cố
1.3. Chọn ngẫu nhiên 3 quyển sách từ một giá sách gồm 5 quyển tiểu thuyết, 3 quyển thơ và một quyển từ
điển. Tìm xác suất để:
(a) Quyển từ điển được chọn;
(b) Hai quyển tiểu thuyết và một quyển thơ được chọn.
1.4. Gieo đồng thời hai con xúc xắc. Tìm xác suất để nhận được:
(a) Tổng số chấm là 8;
(b) Tổng số chấm lớn nhất là 5.
1.5. Mỗi mục trong một danh mục liệt kê được mã hóa với 3 chữ cái đứng trước và 4 chữ số khác không
đứng sau. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một mục trong danh mục trên ta được chữ cái đầu tiên là một
nguyên âm và chữ số cuối cùng là số chẵn. Tiếng anh có 26 chữ cái,5 nguyên âm.
1.6. Lấy lần lượt hai quân bài từ một cỗ bài theo phương thức không hoàn lại.Tính xác suất để cả hai quân bài
đều lớn hơn 2 và nhỏ hơn 8.
1.7. Lấy ngẫu nhiên 8 quân bài từ bộ bài 52 quân. Tìm xác suất của các biến cố sau:
a) Lấy được 5 quân bài màu đỏ
b) Lấy được 1 quấn cơ, 2 quân rô, 3 quân bích.
c) Lấy được 3 quân chủ bài (3 quân cùng một chất đã xác định trước)
1.8. Từ một hộp đựng 6 quả bóng đen và 4 quả bóng xanh, lần lượt lấy ra 3 quả bóng theo phương thức có
hoàn lại. Tìm xác suất để:
(a) Cả 3 quả bóng được lấy ra cùng màu.
(b) 3 quả bóng lấy ra có đủ cả 2 màu.
Vũ Mạnh Tới-Bộ môn Toán-ĐHTL https://toivmmath.wordpress.com
3
1.9. Một lô hàng có 95% là chính phẩm. Lấy liên tiếp ra 2 sản phẩm. Tìm xác suất để nhận được:
a) Cả 2 là chính phẩm
b) Có ít nhất 1 chính phẩm
c) Chỉ có cái thứ 2 là chính phẩm
d) Có đúng 1 chính phẩm
1.13 Một em bé có 5 viên bi trắng, 4 viên bi đỏ đựng trong hộp. Em rút hú họa từng viên bi một cho đến viên
cuối cùng. Tìm xác xuất để viên cuối cùng là bi trắng.
BÀI TẬP TUẦN 2: Một số quy tắc xác suất
2.1. Xác suất để một ngành kinh doanh của Mỹ có trụ sở ở Munich là 0,7; xác suất để nó có trụ sở ở Brussels
là 0,4 và xác suất để nó có trụ sở ở Munich hoặc Brussels hoặc cả hai là 0,8. Tính xác suất để ngành kinh
doanh đó có trụ sở:
(a) Ở cả hai thành phố trên?
(b) Không ở thành phố nào trong hai thành phố trên?
2.2. Từ kinh nghiệm của mình, một người mua bán cổ phiếu tin rằng, với điều kiện kinh tế hiện nay một
khách hàng sẽ đầu tư vào trái phiếu miễn thuế với xác suất là 0,6, đầu tư vào chứng chỉ quỹ với xác suất là 0,3
và đầu tư vào cả hai loại trên với xác suất là 0,15. Tìm xác suất để tại thời điểm này một khách hàng sẽ:
(a) Đầu tư vào trái phiếu miễn thuế hoặc chứng chỉ quỹ?
(b) Không đầu tư vào trái phiếu miễn thuế cũng không đầu tư vào chứng chỉ quỹ?
2.3. Một hãng sản xuất ô tô lo lắng vì có thể bị trả lại những chiếc ô tô mui kín 4 chỗ đang bán chạy nhất của
họ. Xác suất để có khuyết điểm ở hệ thống phanh là 0,25, ở hộp truyền động là 0,18, ở hệ thống cung cấp chất
đốt là 0,17, và ở các bộ phận khác là 0,4.
a) Tìm xác suất để có khuyết điểm ở hệ thống phanh hoặc hệ thống cung cấp chất đốt. Biết xác suất để
có khuyết điểm ở cả 2 là 0,2.
b)Tìm xác suất để không có khuyết điểm ở hệ thống phanh hoặc ht cung cấp chất đốt.
2.4. Trong 1 hộp thuốc có 2 lọ Aspirin và 3 lọ Thyroid. Trong 1 hộp khác có 3 lọ Aspirin, 2 lọ Thyroid và 1 lọ
Laxative. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên 1 lọ, tìm xác suất để:
(a) Cả 2 lọ đều chứa Thyroid;
(b) Không lọ nào chứa Thyroid;
(c) 2 lọ chứa 2 loại thuốc khác nhau.
2.5. Trong các cặp vợ chồng sống ở 1 vùng ngoại ô, xác suất để người chồng tham gia bỏ phiếu trong 1 cuộc
trưng cầu dân ý là 0,21; xác suất để người vợ tham gia bỏ phiếu là 0,28; và xác suất để cả 2 cùng tham gia bỏ
phiếu là 0,15. Tìm xác suất để:
(a) Có ít nhất 1 người trong gia đình tham gia bỏ phiếu;
(b) Người vợ sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng chồng cô ta cũng tham gia bỏ phiếu;
(c) Người chồng sẽ tham gia bỏ phiếu, biết rằng vợ anh ta không tham gia bỏ phiếu.
2.6. Xác suất để một bác sỹ chuẩn đoán đúng một loại bệnh là 0,7. Nếu bác sỹ chuẩn đoán sai, xác suất để
bệnh nhân bị chuẩn đoán sai phát đơn kiện đòi bồi thường là 0,9. Tìm xác suất để bác sỹ chuẩn đoán sai bệnh
và bị bệnh nhân phát đơn kiện đòi bồi thường.
2.7. Xác suất để 1 phương tiện có mang biển kiểm soát Canada tới thăm khu hang động Luray, Mỹ là 0,12.
Xác suất để khách du lịch tới đó cắm trại là 0,28 và xác suất để khách du lịch tới hang động cắm trại có sử
Vũ Mạnh Tới-Bộ môn Toán-ĐHTL https://toivmmath.wordpress.com
4
dụng phương tiện mang biển kiểm soát Canada là 0,09. Tìm xác suất để:
a) Một khách du lịch tới hang động cắm trại, biết rằng người đó sử dụng phương tiện mang biển kiểm
soát Canada.
b) Một phương tiện mang biển kiểm soát Canada biết rằng phương tiện đó là của khách du lịch đi cắm
trại.
c) Một phương tiện tới khu hang động không mang biển kiểm soát Canada hoặc không phải là khách
du lịch đi cắm trại.
2.8. Xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X là 0,6. Xác suất để một người đang phải điều
trị bằng tia X cũng sẽ phải hàn răng là 0,3. Xác suất để một người đã điều trị xong tia X và hàn răng phải nhổ
răng là 0,1. Tìm xác suất để một người đến nha sĩ sẽ phải điều trị bằng tia X được hàn và phải nhổ răng.
2.9. Một xí nghiệp công nghiệp lớn cung cấp chố nghĩ qua đêm cho khách hàng tại 3 khách sạn. Biết rằng
20% khách hàng đặt phòng tại Ramadainn, 50% ở Sheraton và 30% ở Lake view. Tỷ lệ phòng bị hỏng hệ
thống ống nước ở Ramadainn là 5%, ở Sheraton là 4% và ở Lake view là 8%. Tìm xác suất để:
(a) Một khách hàng sẽ đặt phòng ở hệ thống ống nước hỏng.
(b) Một khách hàng ở khách sạn Lake view, biết rằng người đó đặt phòng có hệ thống ống nước hỏng.
2.10. Một cửa hàng bán sơn Latex và Semigloss. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Latex là 75%; trong đó có 60%
khách hàng mua kèm chổi lăn sơn. Tỷ lệ khách hàng mua sơn Semigloss kèm chổi lăn sơn là 30%. Chọn
ngẫu nhiên 1 khách hàng mua 1 thùng sơn kèm chổi lăn sơn, tính xác suất để khách hàng đó mua loại sơn
Latex.
2.11. Tại nhà máy sản xuất cùng 1 loại máy thiết bị thủy lợi, các máy 1,2,3 sản xuất lần lượt 25%, 35%, 40%
sản phẩm của nhà máy. Tỷ lệ phế phẩm của 3 máy lần lượt là 5%, 4%, 2%. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm
trong kho sản phẩm chung của cả nhà máy thì thấy đó là phế phẩm. Tìm xác suất để phế phẩm đó là do máy 1
sản xuất.
2.12. Một văn phòng có 8 chiếc chìa khóa, nhưng chỉ có 1 chiếc chìa khóa có thể mở được bất kỳ căn hộ nào,
còn lại 7 chìa khóa hỏng. Khi dẫn khách đi giới thiệu, nhân viên văn phòng mang ngẫu nhiên 3 chiếc chìa
khóa. Nếu 40% căn hộ được giới thiệu, đang bị khóa, tìm xác suất để nhân viên đó có thể mở được cửa vào
nhà để giới thiệu cho khách hàng.
2.13. Tại một vùng dân cư, tỷ lệ người trên 40 tuổi mắc chứng bệnh ung thư là 0,05. Xác suất để một người
mắc bệnh ung thư bị chuẩn đoán là có bệnh là 0,78 và xác suất để một người không mắc bệnh ung thư bị
chuẩn đoán là có bệnh là 0,6. Tìm xác suất để một người bị chuẩn đoán là có bệnh.
2.14. Từ 4 quả táo đỏ, 5 quả táo xanh, 6 quả táo vàng có bao nhiêu cách để chọn ra 9 quả táo mà mỗi mầu
đều có 3 quả.
2.15. Một lô hàng gồm 12 chiếc tivi có 3 chiếc bị hỏng. Một khách sạn mua 5 chiếc tivi, hỏi có bao nhiêu
cách để khách sạn mua phải ít nhất 2 chiếc ti vi hỏng.
2.16. Từ một nhóm người gồm 4 nam giới, 5 nữ giới, có bao nhiêu cách để thành lập một ban gồm 3 người
a) với số lượng nam nữ tùy ý
b) với 1 nam, 2 nữ
c) với 2 nam, 1 nữ với điều kiện phải có 1 nam trong ủy ban này
2.17. Khả năng để một bệnh nhân hồi phục sau ca phẫu thuật tim là 0,8. Tìm xác suất để
(a) Đúng 2 trong số 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim còn sống sót.
Vũ Mạnh Tới-Bộ môn Toán-ĐHTL https://toivmmath.wordpress.com
5
b) Cả 3 bệnh nhân phải phẫu thuật tim đều sống sót.
2.18. Một lọai thuốc chống nói dối có khả năng xác định để kết tội chính xác 90% nghi phạm. Nếu chọn 1
nghi phạm từ 1 nhóm nghi phạm chỉ có 5% là thực sự phạm tội, kết quả xác định bằng loại thuốc này kết luận
anh ta phạm tội. Tìm xác suất để anh ta vô tội.
2.19. Để buộc mọi người phải lái xe đúng tốc độ quy định, cảnh sát đặt hệ thống ra đa bắn tốc độ ở 4 vị trí
khác nhau trong thành phố A, B, C, D với thời gian hoạt động của mỗi hệ thống ra đa ở mỗi vị trí tương ứng là
40%, 30%, 20% và 30%. Một người lái xe quá tốc độ quy định phải đi qua một trong các vị trí này với xác
suất tương ứng là 0,2; 0,1; 0,5; và 0,2. Tìm xác suất anh ta phải nhận biên lai phạt?
2.20. a) Có 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 15 chính phẩm, 5 phế phẩm; lô 2 có 16 chính phẩm và 4 phế phẩm. Từ
mỗi lô lấy ra ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Sau đó từ 2 sản phẩm thu được lại lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm
xác suất để sản phẩm sau cùng là chính phẩm?
b) Có 2 lô sản phẩm, lô 1 gồm 12 chính phẩm, 3 phế phẩm; lô 2 gồm 16 chính phẩm, 7 phế phẩm. Lấy
hú họa một sản phẩm từ lô 2 chuyển sang lô 1, sau đó từ lô 1 rút ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm. Tìm xác suất để
sản phẩm lấy sau cùng là phế phẩm ?
2.21. Trong 1 làng, tỷ lệ nam nữ là 12 : 13. Khả năng mắc bệnh bạch tạng ở nam là 0,6%, ở nữ là 0,35.
a) Tính tỷ lệ mắc bệnh bạch tạng chung của cả làng.
b) Gặp 1 người trong làng, người đó không mắc bệnh. Tìm xác suất người đó là nam?
2.22 Có 40 xạ thủ, chia làm 3 nhóm:
Nhóm 1: gồm 10 người, xác suất bắn trúng đích của mỗi người là 0,75
Nhóm 2: gồm 13 người, xác suất bắn trúng đích của mỗi người là 0,9
Nhóm 3: gồm 17 người, xác suất bắn trúng đích của mỗi người là 0,5
a) Chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 xạ thử, tính xác suất bắn trúng đích của xạ thủ được chọn ra.
b) Xạ thủ được chọn ra bắn thử 1 viên và bị trượt, hỏi xạ thủ này khả năng thuộc nhóm nào cao nhất.
c) Chọn ngẫu nhiên mỗi nhóm một xạ thủ, mỗi người bắn thử 1 viên. Tính xác suất để cả 3 người bắn trượt;
để có ít nhất 1 người bắn trúng.
2.23. Một công ty tuyển kỹ sư công trình qua 3 vòng: vòng 1 lấy 50% kỹ sư , vòng 2 lấy 30% kỹ sư qua vòng
1, vòng 3 lấy 10% kỹ sư qua vòng 2.
a) Tính tỷ lệ kỹ sư được chọn.
b) Tính xác suất để 1 kỹ sư bị loại ở vòng 2, biết rằng người đó bị loại.
BÀI TẬP TUẦN 3: Biến ngẫu nhiên một chiều
3.2. Một kiện hàng gồm 7 chiếc tivi trong đó có 2 chiếc bị hỏng. Một khách sạn mua ngẫu nhiên 3 chiếc. Gọi
X là số chiếc bị hỏng mà khách sạn đó mua, lập bảng phân phối xác suất của X.
3.3. Rút ngẫu nhiên liên tiếp 3 quân bài từ một bộ bài. Tìm phân phối xác suất của số quân bích rút được.
3.4. Một xạ thủ đem 5 viên đạn để bắn thử trước ngày thi bắn. Xạ thủ bắn từng viên với xác suất trúng tâm là
0,95. Nếu bắn trúng 3 viên thì dừng không bắn tiếp. Gọi X là số viên xạ thủ này đã sử dụng. Lập bảng phân
phối xác suất của X.