BÀI TẬPMÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

Chia sẻ: Chao Hello | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

1.086
lượt xem 247
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

tài liệu về môn phương trình vi phân - hệ đại học chính quy...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI TẬPMÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY

BÀI TẬP MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN- HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chương I: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I 1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân ly 1. y  cos 2 y  sin y  0 x 11. y   1  x 2   1  x2 cos y  sin y  1 2. y   cos x  sin x  1 2 12. y   y 2    x 2  2 xy  1  y 2 3. y x2 1 13.  y 2  1 x 2 y 2  y  x 4  y 4   0 y  4. 1 x y 1 14. y   1 y  1  2 5. x  y 1 y 15. y   e x  y  1 2 y    4 x  y  1 6. 16. y   4 x  2 y  1 2 y  x  y  2 x 7. 17.  y 2  xy 2  dx   x 2  yx 2  dy  0 1  y   e dx  e dy   1  y  dy  0 2 2x y 8.   18. 2 y y  y 2 dx  1  x 2  dy  0  xy  y  x  1 dx  2 2 x2  2x 1 dy 9. 19.    x y  2 xy  x  2 y  2 x  2  dy  0 2 2 dx  x  1  x 2  1 m  x  y 20. y    y 2  2 xy  x 2 10. y   1  n p  x  y   x  y 1.2 Giải các phương trình vi phân thuần nhất 32. y 2  x 2 y  xyy 21. xdy  ydx  x 2  y 2 dx 33.  2 x  4 y  6  dx   x  y  3 dy  0 y 22. xy  y  xe x 34.  x  y  1   y  x  2  y   0  y 23. xy  y cos  ln  dx dy 35. 2 2  x 2 2 x  2 xy  2 y y  4 xy 24. x 2 y 2  3 xyy   2 y 2  0 dx dy 36.  2 25.  xy  y   yy2 yx yx 2 2 26. xyy  x  2 y  0 37. x  x  2 y  dx   x 2  y 2  dy  0 27. (3 x 2  y 2 ) y  ( y 2  x 2 ) xy  0 38.  y  2  dx   2 x  y  4  dy  0 28.  x 2  2 xy  y 2  dx  ( y 2  2 xy  x 2 )dy  0 x y 39. xy  y   x  y  ln x 29.  2 x  y  1 dx   4 x  2 y  3 dy  0 y y  40.  x  y cos  dx  x cos dy  0  x x y y    sin , với y 1  30. y   x x 2 31. xy  y 1  ln y  ln x  , y 1  e 1.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính 41. xy  y  x 2 arctan x 2 43. y   2 xy  xe x 42. (1  x 2 ) y  2 xy  (1  x 2 )2 Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 1
44. x 1  x 2  y   x 2  1 y  2 x  0 2 3 , y 1  1 53. y   y  x2 x 45. y  sin x  y  1  cos x 1 54. 2 xy  y  46.  sin 2 y  x cot y  y   1 1 x 47.  2e y  x  y  1 55. 2 x 1  x  y   3 x  4  y  2 x 1  x  0 48. 1  2 xy  y   y ( y  1) 56. xy  y  x 2 sin x 49. y   xy  x 3 57. y  cos2 x  y  tan x thỏa mãn điều 1 50. y   0 kiện y(0)=0. 2x  y2 58. y  1  x 2  y  arcsin x thỏa mãn 51. ye y  y  y 3  2 xe y  , điều kiện y(0) =0. 52.  x 2  y  dx  xdy  0 1.4 Giải các phương trình Becnuli   59. xy  y  y 2 ln x 69. y  xy dx  xdy 60. 3 y 2 y  ay 3  x  1 70. 2 x 2 y  y 2  2 xy  y  (coi x = x(y)) 61.  xy  x 2 y 3  y  1 x 71. y   tan y  62. y x 3 sin y  xy ' 2 y cos y 63.  x 2  1 y sin y  2 x cos y  2 x  2 x 3 yx 72. y    xy 64. x  e y  y  2 2 2 73. y   y  y 65. y   1  e x  2 y cos 2 x x 66.  x 2  y 2  2 x  2 y  dx  2( y  1)dy  0 74. xy  2 x 2 y  4 y 67. x 2 y   y  x  y  75. xyy  y 2  x  ( là tham số) 2y x dy thỏa mãn 68. ydx  2 xdy  cos y 2 điều kiện y  0    . 1.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần 83. y cos x  y sin x  1 dx   sin x  y cos 2 x  dy  0   76. 2 x 1  x 2  y dx  x 2  ydy  0 . 77.  x 4 ln x  2 xy 3  dx  3 x 2 y 2dy  0 . x x    x 84.  x  e  dx  e y 1   dy  0 y thỏa mãn 2 78. y dx   2 xy  3 dy  0    y   79. e x  2  2 x  y 2  dx  2e x ydy  0 điều kiện y(0) = 2. 80.  y cos2 x  sin x  dy  y cos x  y sin x  1 dx 3   85.  y 2  1 2 dx  y 2  3xy 1  y 2 dy  0 81.  2 x  3 x 2 y  dx   3 y 2  x3  dy  x 2  1 cos y  0 x  86.   2  dx  1 y xy 2sin 2 y  sin y  sin  2 cos  1 dx   y yx x 87.  y  e x sin y  dx   x  e x cos y  dy  0 82. 1 x 1 yx   cos  2 sin  2  dy  0 88.  x  sin y  dx   x cos y  sin y  dy  0 x xy y y Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 2
93.  x 2  y 2   xdy  ydx    a  x  x 4 dx x3  (thừa  89. 3 x 2 (1  ln y )dx   2 y   dy y số tích phân)  94.  x cos y  y sin y  dy   x sin y  y cos y  dx  0 2 y  2  2 x sin 2 y   dx  90.  x x .(thừa số tích phân) hằng số a để 95. Tìm   2 x cos 2 y  ln x  dy  0 2 1  y sin 2 x  dx  ay cos xdy là vi phân 2 2  x 2  1 cos y dy x  91.   2  dx  toàn phần của hàm u(x,y) nào đó và giải 2sin 2 y  sin y  phương trình vi phân  2 y 2 cos 2 x  ln y  dx  1  y sin 2 x  dx  ay cos xdy  0 với a 2 2 92.  2 x tìm được.   2  2 y sin 2 x   dy  0 y y 1.6 Giải các phương trình F(x, y’)=0, F(y, y’) = 0, F(x,y,y’)=0, 96. xy '3  1  y . 1 2 y' 98. y  x  e , coi x là hàm, y là biến. 97. y  e y  . y 2 . 99. y  y  1  y cos y   . 1.7 Giải các phương trình Lagrange- Klero 100. y  2 xy   sin y  . 2 y 2  y  xy   1 . 104. 23 101. y  2 yx  y y  y  2 xy ' y '3 105. y 1 102. x 2 y y xy  y  ln y  . 103. Chương II: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP CAO 2.1 Giải các phương trình vi phân cấp cao 2 yy  106. y 2  x 2  1 114. y y  2 y 2 y2  y 2  x 107. y 2  4  y  1 thoả mãn các điều 115. y   ye y kiện ban đầu: 116. y  1  y   y 2  y a) y  0 , y  2 khi x  0 . 117. yy   y2  1 b) y  0 , y   1 khi x  0 . 108. 1  x 2  y  y 2  1  0 118. 2 xyy   y 2  1 2 119.  x  1 y  x  y    y  109. y  1  y2   ay  . 2 120. y  cos y   y  sin y  y 110. y  1  y2   3 y y 2  0 121. y y  y  yy 111. yy   y 2  dạng thuần 122. xy  y  x 2 1  x2 123. y 2  yy  yy nhất, 112. yy   y 2 . 124. xy  y   x 1 1 113. y   y  y 1 x2 x Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 3
2.2 Phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên 125. x 2 y   2 y  x 3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x2 2 cot gx Giải phương trình y   y  y  biết một nghiệm riêng của phương 126. x x sin x trình vi phân thuần nhất tương ứng y1  x 1 127. Giải phương trình vi phân: x 2  x  1 y  2 y biết một nghiệm y1  1  x   2 128. Giải phương trình vi phân x  1 y   2 y  0 nếu biết một nghiệm của nó có dạng đa thức. 129. Giải phương trình vi phân  2 x  1 y   2 x  1 y  2 y  x 2  x biết nó có hai x2  4 x  1 x2  1 nghiệm riêng y1  y2  2 2 x 2 Xác định hằng số  sao cho y  e là nghiệm riêng của phương trình vi 130. phân y   4 xy    4 x 2  2  y  0 . Tìm nghiệm tổng quát của phương trình. Giải phương trình xy  2 y   xy  cot x biết một nghiệm riêng của phương 131. sin x trình vi phân thuần nhất tương ứng y1  x 132. Giải phương trình x 2 y   xy ' y  4 x 3 , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x 133. Giải phương trình xy  y '  x 2 x 1 Giải phương trình y   y  x  1 , biết một nghiệm riêng của 134. y ' 1 x 1 x phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  e x Giải phương trình x 2  ln x  1 y  xy ' y  0 , biết một nghiệm riêng có dạng 135. y  x ,  là hằng số. Tìm nghiệm riêng của phương trình  2 x  x 2  y   x 2  2  y ' 2 1  x  y  0 136. thỏa mãn y 1  0, y ' 1  1 , biết một nghiệm riêng của nó là y  e x Giải phương trình  2 x  x 2  y  2  x  1 y ' 2 y  2 , biết nó có hai nghiệm 137. riêng là y1  1, y2  x 2x 1 Giải phương trình y   , biết một nghiệm riêng của phương 138. y' 2 2 x 1 x 1 trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  1 Giải phương trình  2 x  1 y    4 x  2  y ' 8 y  0 , biết một nghiệm riêng có 139. dạng y  e ax ,   2x 2 Tìm nghiệm riêng của phương trình y    y thỏa mãn 140. y ' 2 2 x 1 x 1 y  3  22, y ' 1005   2000 , biết một nghiệm riêng của nó là y1  x Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 4
141. Giải phương trình x 2 y   2 xy ' 2 y  x 3 cos x , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x Giải phương trình 1  x 2  y  2 xy ' 2 y  x , biết một nghiệm riêng của 142. phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x 2x 2 1 Giải phương trình y   , biết một nghiệm riêng của 143. y ' y 2 2 1  x2 1 x 1 x phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x e2 x 2 Giải phương trình y   y ' y  , biết một nghiệm riêng của phương trình 144. x x ex vi phân thuần nhất tương ứng là y1  x Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân 145.  3x  1 xy  2 y  6 xy  4  12 x2 biết rằng nó có hai nghiệm riêng 2 2 y2   x  1 y1  2 x, 2.3 Giải các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 146. y   13 y   12 y  0 . 1 1 161. y   y  2 y  2sin  ln x  x x 147. y   2 y  9 y  18 y  0 . t  ln x . 148. y  4  y  0 . 2 162. 1  x  y  1  x  y  y  4cos ln 1  x  149. y  4  2 y   3 y  2 y   y  0 . t  ln 1  x  . 150. y 7  3 y 6  3 y 5   y 4   0 . z 151. y   2 y   4 y  e  x cos x 163. Dùng phép biến đổi hàm y  2 x 152. y   3 y  2 y  3e 2 x  2 x 2 . để giải phương trình vi phân: 153. y   y  2 sin x  4cos x . x 2 y   4 xy   x 2  2  y  e x . 154. y   n 2 y  sin 3 nx . 164. y   y  e  x  sin x  cos x  155. y   y  sin x sin 2 x . 165. y    2e x  1 y  e 2 x y  e3 x bằng 2 156. y   2 y  4 x 2e x có nghiệm riêng đổi biến t  e x 2 y*  e x . 166. y   y  x  e x 157. Với những giá trị nào của p và 167. y   2 y  2 y  x  e x  1 q thì tất cả các nghiệm của phương trình. 168. y  cos x  y sin x  y cos3 x  0 đặt t y   py  q giới nội  x  0 = sinx  p  0 , q  0 . 169. 2 y   5 y   29 x sin x 1 158. p, q  ? thì tất cả các nghiệm của 170. y   y  sin x phương trình y   py  q  0 là 171. y   4 y   2  4 x  e 2 x những hàm tuần hoàn của x  p  0, q  0  . ex 172. y   2 y  y   cos x x 159. x 2 y   xy  2 y  x ln x 173. xy  2 y   xy  e x bằng phép đổi t  ln x . hàm z  xy . 2 160.  2 x  1 y  4  2 x  1 y  8 y  8 x  4 t  ln  2 x  1 . Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 5
174. y   y tan x  y cos2 x  0 dùng t = 182. y   4 y  5 y  e 2 x  cos x sinx 183. x 2 y   4 xy   6 y  0 bằng biến đổi 175. y   2 y  5 y  x sin 3 x x  et 176. xy  2(1  x ) y  ( x  2) y  e  x 184. y   4 y  4 y  1  e 2 x ln x bằng phép đổi hàm z  xy 185. y   4 y  8 y  e 2 x  sin 2 x 177. y   2 y  3 y  xe 4 x  x 2 e x y 178. x 2 y   2 xy   0 bằng phép 186. y   2 y  y  sin x  x2 x biến đổi x = 1/t y   y  xe x  2e  x 187. x e y   y  2 y  cos x  3sin x 188. 179. y   2 y  y  1  x y   2 y  2 cos 2 x 189. 180. x 2 y   xy   y  x bằng biến đổi y   y  sin x  cos 2 x 190. x  et 181. y   y  xe  x Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. Giải các hệ phương trình vi phân  dx  dx  dt  2 x  y  z  dt  y  5 cos t  191.    dy  dy  2 x  y 196.   x  2y  z  dt  dt   dz  dt  x  y  2 z  dx   dt  5 x  3 y  0   dx 192.  dt  x  y  z   dy  3 x  y  0   dt  dy  197.   x yz  dt  dx  dt  2 x  y  dz   dt  2 x  y 193.   dy  4 y  x   dt  dx   dt  x  z  dx   dt  3 x  y  dy  198.   yz 194.   dt  dy  4 y  x  dz  dt   dt  x  y   dx  dt  x  2 y  z  dx  dt  2 x  y  z   dy  195.   yx z  dy 1 3 1  dt 199.    x y z  dt 2 2 2  dz  dt  x  z dz 1 1 5    dt  2 x  2 y  2 z  Bộ môn KHCB- Bài tập Phương trình vi phân 6