Bài thảo luận NHÓM 10 " PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN "

Chia sẻ: Nguyễn Tài Nguyên | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 27
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong rất nhiều lĩnh vực, chuyển động của một hệ đƣợc mô hình hóa bởi các phƣơng trình vi phân, tức là phƣơng trình có chứa các đạo hảm của ẩn hàm cần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học cổ điển (Newton), trong thiên văn học (sự chuyển động của các hành tinh), trong hóa học (các phản ứng hóa học, sự phân rã phóng xạ)

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài thảo luận NHÓM 10 " PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN "

z  Bài thảo luận NHÓM 10 " PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN "
Bài thảo luận NHÓM 10 PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN Nhóm 10 – lớp HP : 1111FMAT0211 Thành viên nhóm Thành viên tham gia Vấn đề thảo luận đƣợc thảo luận phân công Nguyễn Tài Nguyên Nguyễn Tài Nguyên Ứng dụng c ủa phƣơng trình (nhóm trƣởng) vi phân trong kinh tế - Tổng hợp kết quả thảo luận Đoàn Thị Thanh Nhàn Đoàn Thị Thanh Nhàn Ứng dụng c ủa phƣơng trình Hà Văn Phúc Hà Văn Phúc vi phân trong kinh tế Trần Trọng Phúc Trần Trọng Phúc Lƣơng Thị Thùy Ninh Lƣơng Thị Thùy Ninh (thƣ ký) Giải bài tập trong giáo trình Chu Thị Phƣơng Chu Thị Phƣơng Trần Thị Phƣơng Trần Thị Phƣơng Lý thuyết cơ b ản Phạm Thị Hồng Nhung Phạm Thị Hồng Nhung Trịnh Hồng Phúc (không tham gia thảo luận) 1 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 MỤC LỤC Biên bản thảo luận .......................................................... 3 1. Lý thuyết cơ bản .............................................................. 4 Vài mô hình đơn giả n ............................................................. 4 1.1 Khái ni ệ m phƣơng trình vi phân ........................................... 5 1.2 Phƣơng trình vi phân cấ p I .................................................... 6 1.3 Phƣơng trình vi phân cấ p II ................................................... 9 1.4 2. Các dạng bài tập ............................................................... 9 2.1 Phƣơng trình vi phân cấ p I .................................................... 9 2.2 Phƣơng trình vi phân cấ p II .................................................. 17 3. Ứng dụng của phƣơng trình vi phân trong kinh t ế .......... 22 3.1 Một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân c ấp I .............. 22 3.2 Một số ứng dụng của phƣơng trình vi phân c ấp II ............. 27 4. Bài tập (kèm phụ lục) ...................................................... 33 2 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc -------****------- BIÊN BẢN THẢO LUẬN Học phần : Toán cao cấp 2 Nhóm 10 - lớp HP : 0111FMAT0211 Đề tài thảo luận : Phƣơng trình vi phân Địa điểm thảo luận : Sân nhà G, trƣờng Đại học Thƣơng Mại Thời gian : 14h ngày 15/03/2011 Phân công th ảo luận (danh sách kèm theo bên trên) Hà Nội ngày 15/11/2011 Nhóm trƣởng Thƣ ký 3 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 1. Lý thuyết cơ bản Trong rất nhiều lĩnh vực, chuyển động c ủa một hệ đƣợc mô hình hóa b ởi các phƣơng trình vi phân , tức là phƣơng trình có chứa các đ ạo hảm c ủa ẩn hàm c ần tìm. Chẳng hạn, trong cơ học c ổ điển (Newton), trong thiên văn học (s ự chuyển động c ủa các hành tinh), trong hóa học (các phản ứng hóa học, s ự phân rã phóng xạ), trong sinh học (s ự phát triển quần thể, quần xã), trong xã hội học (s ự phát triển dân s ố), trong điện tử…Trong hầu hết các lĩnh vực nhƣ thế, bài toán chung nhất là việc mô tả nghiệm c ủa phƣơng trình này (c ả về định tính lẫn định lƣợng). 1.1 Vài mô hình đơn giản Sự rơi tự do. Xét một vật có khối lƣợng m đƣợc thả rơi tự do trong khí quyển gần mặt đất. Theo đ ịnh luật II Newton, chuyển động c ủa vật đó có thể đƣợc mô tả bởi phƣơng trình F = ma (1) Trong đó F là hợp lực tác d ụng lên vật và a là gia tốc chuyển động c ủa vật. Hợp lực F có thể giả thiết là chỉ bao gồm lực hấp d ẫn (tỉ lệ với khối lƣợng của vật và hƣớng xuống) và lực c ản (tỉ lệ với vận tốc c ủa vật và hƣớng lên trên). Ngoài ra, do gia tốc c huyển động nên (1) có thể viết dƣới dạng (2) là gia tốc trọng trƣờng, còn là hệ s ố c ản. Vậy vận tốc v c ủa vật rơi tự do thỏa mãn phƣơng trình (2) với s ự xuất hiện của đạo hàm c ủa v. Những phƣơng trình nhƣ vậy gọi là phƣơng trình vi phân. Dung dịch hóa h ọc. Giả sử tại thởi điểm ban đầu t = t0 một thùng chứa x0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nƣớc. Ta cho chảy vào thùng một loại 4 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 nƣớc muối nồng độ a (kg/lít) với lƣu lƣợng r(lít/phút) và khuấy đều. Đồng thời cho hỗn hợp đó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc độ nhƣ trên. Gọi x = x(t) là lƣợng muối trong thùng tại thời điểm bất kỳ. Rõ ràng tỉ lệ thay đổi lƣợng muối trong thùng bằng hiệu c ủa tỉ lệ muối chảy vào ar (kg/phút) trừ đi tỉ lệ muối chảy ra tại thời điểm đang xét (kg/phút). Vậy ta có phƣơng trình vi phân với dữ kiện ban đ ầu x(t0) = x0 1.2 K hái niệ m phương trình vi phân 1.2.1 Phƣơng trình vi phân Phƣơng trình vi phân là phƣơng trình liên hệ giữa biến độc lập (hay các biến độc lập), hàm chƣa biết và đạo hàm c ủa hàm s ố đó. Phƣơng trình vi phân có d ạng () ( ) ( ) là ẩn hàm c ần tìm và nhất thiết phải có s ự tham gia Trong đó c ủa đạo hàm (đ ến c ấp nào đó) c ủa ẩn. Trong trƣờng hợp ẩn hàm c ần tìm là hàm nhiều biến (xuất hiện các đạo hàm riêng) thì phƣơng trình vi phân còn đƣợc gọi là phƣơng trình đạo hàm riêng. Để phân biệt, ngƣời ta thƣờng gọi phƣơng trình với ẩn hàm là hàm một biết là phƣơng trình vi phân thƣơng và là đ ối tƣợng nghiên c ứu c ủa bài thảo luận này. Ta nói một phƣơng trình vi phân c ấp n nếu n là c ấp lớn nhất c ủa đạo hàm c ủa ẩn xuất hiện trong phƣơng trình. Ví d ụ : √ 5 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 lần lƣợt là các phƣơng trình vi phân cấp II, c ấp III và c ấp I. 1.2.2 Nghiệm của phƣơng trình vi phân Cho một phƣơng trình vi phân c ấp n. Mọi hàm s ố, khả vi đến c ấp n mà khi thay vào phƣơn trình đó cho ta đ ồng nhất thức đều gọi là nghiệm c ủa phƣơng trình vi phân đó. Ví d ụ : Cho phƣơng trình vi phân : √ ( ) với Nghiệm của phƣơng trình là mọi hàm dạng là ( ) thay vào phƣơng trình ta đƣợc hằng s ố tùy ý. Thật vậy, ( ) √( ) √ 1.3 Phương trình vi phân c ấp I Phƣơng trình vi phân cấp I là phƣơng trình vi phân ở dạng đơn giản nhất và là nền tảng cho các phƣơng trình vi phân ở c ấp cao hơn. 1.3.1 Dạng biểu diễn Phƣơng trình vi phân cấp I có d ạng tổng quát là ( ) .Ở đây, là hàm 3 biến. Phƣơng trình sau gọi là phƣơng trình vi phân cấp I, giải đƣợc với đạo hàm ( ) hay ( ) ( ) là hàm 2 biến, xác đ ịnh trong miền nào đó thuộc mặt phẳng tọa độ . Phƣơng trình vi phân cấp I có thể đƣợc cho với biến , biến có vai trò bình đ ẳng. ( ) ( ) 6 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 Khác với các trƣờng hợp ban đ ầu, phƣơng trình cuối có thể có nghiệm dạng với là hằng s ố. 1.3.2 Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng ( ), trong đó Định nghĩa 1 . Họ các hàm s ố dạng là hằng s ố tự do, thỏa mãn phƣơng trình đã cho gọi là nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình. ( ) là nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình √ Định nghĩa 2 . Nếu từ nghiệm tổng quát cho hằng s ố cụ thể thì ( ) đƣợc gọi là nghiệm riêng c ủa phƣơng trình ấy. hàm s ố  Lƣu ý rằng phƣơng trình có nh ững nghiệm có th ể không ch ứa trong nghiệm tổng quát với bất kỳ hằng số cụ thể nào. Phƣơng trình √ Có nghiệm những lại không chứa trong nghiệm tổng quát. Định nghĩa 3 . Giải phƣơng trình vi phân cấp I đƣợc kết quả ở dạng ( ) là hằng s ố tùy ý thì ( ) với gọi là tích , đẳng thức ( ) phân tổng quát c ủa phƣơng trình. Với gọi là tích phân riêng c ủa phƣơng trình. Ví d ụ. Phƣơng trình ( ) ( ) có tích phân tổng quát là . 1.3.3 Định lý về sự tồn tại và duy nh ất nghiệm Bài toán Cauchy 1.3.3.1 Ta nhận xét rằng nghiệm c ủa một phƣơng trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng s ố tùy ý nào đó. Để 7 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 xác đ ịnh một nghiệm c ụ thể, ta c ần thêm một hay nhiều hằng s ố tùy ý nào đó (tùy theo c ấp c ủa phƣơng trình vi phân ). Chẳng hạn, là nghiệm c ủa phƣơng trình . Dễ thấy là nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ( ) . Ta xét bài toán sau đây, gọi là bài toán Cauchy ( ) Tìm nghiệm ( ) thỏa mãn { ( ) Trong đó ( ) đƣợc gọi là điều kiện ban đ ầu. Vậy thì, câu hỏi đặt ra là liệu bài toán trên có Lời giải không, và nếu có thì s ẽ có bao nhiêu Lời giải. Ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng không phải lúc nào bài toán Cauchy cũng có nghiệm và khi có nghiệm thì cũng không nhất thiết là chỉ có duy nhất () nghiệm. Chẳng hạn, phƣơng trình có duy () nhất 1 nghiệm là . Phƣơng trình () không có nghiệm nào. Còn phƣơng trình có í t nhất 2 nghiệm (tích phân) là . Trong mục sau ta s ẽ phát biểu định lý giải quyết trọn vẹn bài toán Cauchy cho phƣơgn trình vi phân c ấp I. Định lý về s ự tồn tại và duy nhất nghiệm 1.3.3.2 Cho phƣơng trình vi phân cấp I, giải đƣợc với đạo hàm ( ). Nếu hàm s ố ( ) liên tục trên miền mở có chứa điểm ( ) thì tồn tại một nghiệm ( ) c ủa phƣơng ( ) ( ). Nếu đạo hàm riêng trình đó, sao cho cũng liên tục trên thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. ( ) gọi là điều kiện ban đ ầu. Điều kiện ban Điều kiện đầu đƣợc ký hiệu 8 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 | 1.4 Phương trình vi phân c ấp II 1.4.1 Mở đầu về phƣơng trình vi phân cấp II Phƣơng trình vi phân cấp II có d ạng tổng quát ( ) Trong đó nhất thiết không đƣợc thiếu . Dạng giải đƣợc đối với đạo hàm b ậc hai : ( ) 1.4.2 Định lý tồn tại và duy nh ất nghiệm ( ). Nếu hàm s ố ( ) liên tục trên Xét phƣơng trình nào đó chứa điểm ( ) thì tồn tại nghiệm miền mở ( ) của phƣơng trình sao cho ( ) () . Nếu cũng liên tục trên thì nghiệm nói trên là nghiệm duy nhất. 2. Các dạng bài tập 2.1 Phương trình vi phân c ấp I 2.1.1 Các dạng phƣơng trình vi phân cấp I có th ể giải đƣợc và phƣơng pháp giải Trong phần này, ta s ẽ giới thiệu một s ố dạng phƣơng trình vi phân cấp I mà có thể tích phân đƣợc theo nghĩa có thể viết biểu thức c ủa nghiệm tổng quát dƣới dạng tƣờng minh ho ặc phụ thuộc tham s ố. Ta nói một phƣơng trình vi phân là c ầu phƣơng đƣợc nếu có thể biểu diễn nghiệm c ủa nó dƣới dạng tổ hợp hữu hạn các phép toán trên các hàm sơ c ấp và tích phân c ủa chúng. Lƣu ý rằng ta không có phƣơng pháp giải tổng quát cho các phƣơng trình vi phân , thậm chí với những phƣơng trình vi phâ n cấp I. Điều đó cũng có nghĩa là không phải tất c ả các phƣơng trình vi phân (kể c ả c ấp I) đ ều giải đƣợc. 9 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 2.1.2 Phƣơng trình với biến số phân ly Phƣơng trình vi phân cấp I với biến s ố phân ly (hay còn gọi là phƣơng trình tách biến) là phƣơng trình vi phân có d ạng () () Cách giải: Các hàm ( ) ( ) đƣợc giả thiết liên tục trên các khoảng nào đó. Khi đó chỉ c ần tích phân 2 về của phƣơng trình là ta thu đƣợc tích phân tổng quát c ủa nó. ∫() ∫ () ( ) Ví dụ: Giải phƣơng trình Nhận xét: Phƣơng trình có d ạng phân ly biến s ố. Tích phân 2 vế ta thu đƣợc tích phân tổng quát ()() () Nhận xét. Các phƣơng trình d ạng () ()() ()() đều có thể đƣa về đƣợc phƣơng trình có biến s ố phân ly. ()() a) Phƣơng trình có d ạng ( ) ( )⇔ ()() ⇔() () b) Phƣơng trình có d ạng ( ) () () () ⇔() () ()() ()() c) Phƣơng trình có d ạng ()() ()() () () ()() ⇔ ()() ( ) ( ). * Nếu chia c ả 2 vế cho 10 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 () () () () là phƣơng trình d ạng trên. Tích phân c ả 2 vế () () ∫ ∫ () () * Trƣờng hợp N(y) hoặc P(x) b ằng 0 thì phải thử trực tiếp vào phƣơng trình. Tuy nhiên phép thử chỉ mang ý nghĩa tƣợng trƣng, ta s ẽ luôn có nghiệm ( ) ( ) Ví dụ. Giải phƣơng trình ( ) ( ) Nhận xét : ( )( ) , nên ta có ( ) ( ) ⇔∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) Tức là Vậy tích phân tổng quát c ủa phƣơng trình đã cho là ( )( ) trong đó là hằng s ố dƣơng tùy ý. 2.1.3 Phƣơng trình đ ẳng cấp cấp I Định nghĩa 1. Hàm ( ) đƣợc gọi là hàm đ ẳng c ấp bậc m nếu với mọi t ta có ( ) ( ) Định nghĩa 2. Phƣơng trình 11 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 ( ) ( ) ( ) ( ) là các hàm đ ẳng c ấp cùng b ậc đƣợc Trong đó gọi là phƣơng trình đ ẳng c ấp. Phƣơng trình cuối luôn có thể đƣợc biến đổi về dạng () Cách giải: Đặt , ta có . Từ đ ó () () Hay Nếu ( ) thì ta có hay () || || () || ∫ () () Hay () Nếu thì b ằng cách thử trực tiếp ta thấy hàm là nghiệm c ủa phƣơng trình đã cho. Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Đặt , khi đó Phƣơng trình có d ạng || ⇔ ⇔ ⇔ 12 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 ( || )( ) ta có Thay PHƢƠNG TRÌNH ĐƢA VỀ DẠNG ĐẲNG CẤP ( ) Nếu | | , ta đ ặt 2 với là các biến mới, còn là các hằng s ố thỏa mãn hệ { Khi đó phƣơng trình đƣợc đƣa về dạng đẳng c ấp có d ạng ( ) Nếu | | thì đƣa phƣơng trình đã cho về dạng ( ) ( ) ( ) Đặt , đƣa về phƣơng trình có vế phải không chứa biến . Ví dụ. Giải phƣơng trình : ( ) ( ) Ta có đ ịnh thức | | . Giải hệ { ta đƣợc Đặt { , đƣa phƣơng trình về dạng ( ) ( ) Đây là phƣơng trình đ ẳng c ấp. Giải bằng phép đ ổi biến , ta đƣợc 13 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 Trở về biến theo công thức đặt ban đ ầu. Tích phân tổng quát c ủa phƣơng trình này là 2.1.4 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp I Trong mục này ta xét lớp các phƣơng trình vi phân mà biểu thức là tuyến tính đ ối với ẩn và đ ạo hàm c ủa nó. Các phƣơng trình nhƣ thế gọi là phƣơng trình vi phân tuyến tính. Dạng tổng quát c ủa phƣơng trình vi phân c ấp I là () () Trong đó ( ) ( ) là các hàm xác đ ịnh trên ( ) nào đó. Với ( ) ta có phƣơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất : () Định lý. Giả s ử ( ) ( ) liên tục trên ( ) và ( ) thì với mọi giá trị phƣơng trình tuyến tính thuần nhất chỉ có một nghiệm duy nhất thỏa mãn ( ) . Cách giải. Ta giải phƣơng trình vi phân tuyến tính b ằng phƣơng pháp biến thiên hằng s ố. Để giải đƣợc phƣơng trình vi phân tuyến tính trƣớc hết ta phải giải phƣơng trình tuyến tính () thuần nhất () || () ⇔ ∫ || ( ) Nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình là ∫ () ( ), khi đó là một hàm c ủa : Coi ∫ () () Và do đó 14 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 ∫ () ∫ () ( )) ( () ( ), ta đƣợc Thay vào phƣơng trình : ∫ () () ∫ () ∫() ⇔ vào nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình thuần nhất, ta có Thay nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình không thuần nhất : ∫ () ∫ () (∫ ( ) ) là hằng s ố tùy ý. Ví dụ : Tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân ,đi qua điểm (0 ; 4) Lời giải. Ta có ( ) ⇒∫ ( ) . Do đó nghiệm tổng quát là (∫ ) ( ) vào đ ẳng thức trên ta tìm đƣợc và Thay nghiệm riêng c ần tìm là * Hệ quả : Nghiệm của phƣơng trình vi phân tuyến tính c ấp I với điều kiện ( ) cho b ởi công thức ()() ∫ () () 15 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 () ∫ () Trong đó 2.1.5 Phƣơng trình Bernoulli Phƣơng trình có d ạng () () trong đó là s ố thực nào đó, đƣợc gọi là phƣơng trình ( ) ( ) đƣợc giả thiết là các hàm liên Bernoulli. Các hàm tục. Cách giải. 1) Nếu thì phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình tuyến tính c ấp I. 2) Nếu thì phƣơng trình Bernoulli là phƣơng trình tuyến tính c ấp I thuần nhất do s ẽ biến đổi đƣợc dƣới dạng ,() ( )- 3) Nếu thì chia c ả 2 vế của phƣơng trình cho ta đƣợc () () Đặt , đƣa phƣơng trình về dạng phƣơng trình tuyến tính. () () ( )() ( )() 4) Nếu thì ngoài nghiệm nhƣ ở 3) còn có thêm nghiệm . Ví dụ : Giải phƣơng trình √ Rõ ràng đây là phƣơng trình Bernoulli với và là một nghiệm c ủa phƣơng trình đã cho. Giả s ử , chia c ả 2 vế cho ta đƣợc : 16 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 Đặt ta có . Khi đó phƣơng trình đã cho trở thành phƣơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Giải phƣơng trình này ta đƣợc nghiệm || ( ) Do đó phƣơng trình có nghiệm tổng quát là || . / Và 1 nghiệm là 2.2 Phương trình vi phân c ấp II 2.2.1 Các trƣờng h ợp giảm cấp đƣợc Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc vào 2.2.1.1 () Phƣơng trình có d ạng Cách giải. Lấy tích phân liên tiếp 2 lần ∫() ∫ (∫ ( ) ⇒ ) Trƣờng hợp vế phải không phụ thuộc vào 2.2.1.2 ( ) Phƣơng trình Cách giải. Đặt . Khi đó phƣơng trình có d ạng ( ). Đây là phƣơng trình vi phân cấp I đ ối với hàm . ( ). Giả s ử nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình này là ( ). Giải tiếp đƣợc nghiệm Khi đó ta có ∫( ) 17 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Đặt , đƣa phƣơng trình về dạng bởi , ta có . Nghiệm tổng quát c ủa phƣơng Thay trình này là || Trƣờng hợp vế phải không chứa 2.2.1.3 ( ) Phƣơng trình có d ạng Cách giải. Trƣớc tiên kiểm tra trƣờng hợp . Trƣờng hợp ( ), ta có còn lại đặt ( ). Giả s ử phƣơng Thay vào phƣơng trình ta có ( ). Giải tiếp phƣơng trình trình này có nghiệm là ( ), ta đƣợc . Từ đây ta có ( ) ∫ ( ) Ví dụ. Giải phƣơng trình Lời giải. Phƣơng trình có nghiệm . Trƣờng hợp còn lại ( ), ta có đặt . Thay vào phƣơng trình ta đƣợc ⇔ 18 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
Bài thảo luận NHÓM 10 Đây là phƣơng trình vi phân tuyến tính c ấp I c ủa hàm theo biến độc lập . Giải theo phƣơng pháp biến thiên hằng s ố, ta đƣợc nghiệm tổng quát là tùy ý). Thay lại ( ( )⇔ √ biến cũ ⇔ ∫√ ( tùy ý). √ 2.2.2 Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp II Phƣơng trình vi phân tuyến tính c ấp II là phƣơng trình có d ạng () () ()  Nếu ( ) thì phƣơng trình không thuần nhất.  Nếu ( ) thì phƣơng trình thuần nhất. Định lý nghiệm. Nghiệm tổng quát c ủa phƣơng trình không thuần nhất () () ( ) bằng tổng c ủa nghiệm tổng quát phƣơng trình thuần nhất và một nghiệm riêng nào đó c ủa phƣơng trình không thuần nhất. Nguyên lý chồng chất nghiệm. Cho phƣơng trình () () () () Nếu là nghiệm riêng c ủa phƣơng trình c ủa phƣơng trình () () () Nếu là nghiệm riêng c ủa phƣơng trình c ủa phƣơng trình () () () Thì là nghiệm riêng c ủa phƣơng trình ban đ ầu. Lƣu ý : Kết quả này có thể mở rộng cho trƣờng hợp vế phải là tổng c ủa hàm. 19 Toán cao cấp 2 : PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN