Bài thuyết trình: Phép tính vi phân

Chia sẻ: Bui Dang Linh | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 25
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cần phân biệt giá trị lớn nhất, bé nhất và giá trị cực đại, cực tiểu vì rất dễ dẫn đến những kết quả và hiểu biết sai lầm trong việc tìm hiểu đạo hàm vi phân. Gía trị cực đại và cực tiểu chỉ mang tính chất địa phương nghĩa là chúng chỉ là giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của điểm cực tiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài thuyết trình: Phép tính vi phân

Đề tài 5: Đề tài thảo luận nhóm 8
(f ± g )′(x ) = f ′(x ) ± g ′(x ) (cf )′(x ) = cf ′(x ) ′ f ′ x ) g (x ) − (x ) g ′ x ) f  ( f (   (x ) = g  g 2 (x )   y′x = yu .u′x ′
1 f ′(x 0 ) = ϕ′( y 0 )
(tgx)’ =1/ cos2x ( c)’ =0 ( xα)’ =αxα-1 ( cotgx)’ =- 1/ sin2x 1 (ax)’ =axlna, (ex)’ =ex ( arcsinx)’ = 1− x 2 1 ( arccosx)’ = − (loga|x|)’ =1/xlna, ( ln|x|)’=1/x 1 − x2 1 ( sinx)’ =cosx ( arctgx)’ = 1 + x2 1 ( arccotgx)’ = − ( cosx)’ =- sinx 1+ x2
Xét hàm số y = f(x) xác định tại x0 và lân cận x0. Cho x số gia tuỳ ý ∆ x sao cho x + ∆ x vẫn thuộc lân cận đó. Nếu số gia ∆ f = f( x0 + ∆ x ) - f(x0) của hàm số có dạng: ∆ f = A. ∆ x + α ( ∆ x ) trong đó A chỉ phụ thuộc x0 chứ không phụ thuộc ∆ x, α ( ∆ x ) là VCB cấp cao hơ n ∆ x khi ∆ x → 0 thì ta nói rằng f(x) khả vi tại x0 và biểu thức A. ∆ x đượ c gọi là vi phân của hàm f(x) tại x0. Ký hiệu df , vậy df = A. ∆ x
+ Nếu hàm f(x) khả vi tại x0 thì nó có đạo hàm tại x0 và =A f ′(x 0 ) + Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó khả vi tại x0 và df = f ′(x 0 )∆x Vậy: công thứ c tính vi phân của hàm f(x) tại x là df = f ′(x ) ∆x Đặc biệt nếu xét hàm số f(x) = x, thì dx = 1. , nghĩa là = dx. ∆x ∆x df Vậy hoặc df = f ′(x ) dx f ′(x ) = dx
Nếu các hàm số f(x) và g(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm đó ta có : d(f+g) = df + dg d(cf) = cdf d(fg) = df.g + f.dg  f  df .g − f .dg (nếu g (x ) ≠ 0 ) d  = g g2 
1.3.1. Đạo hàm cấp cao Giả sử hàm f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a, b). f ′( x) là một hàm xác định trên (a, b), do đó ta có thể lấy đạo hàm của hàm số f ′( x) . Đạo hàm của đạo hàm của hàm số f(x) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số đó. Kí hiệu: f ′′( x) . Tổng quát: Đạo hàm của của đạo hàm cấp n – 1 của hàm số f(x) được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số đó. Kí hiệu: f ( n ) ( x) Vậy f ( n ) ( x) = [ f ( n−1) ( x)]′
Ứng dụng của đạo hàm một biến số 3.1: Tính các giới hạn dạng vô định: ∞ 0 a) Khử dạng vô định hoặc ( Quy tắc L’Hospital) ∞ 0 b) Khử các dạng vô định 0.∞ ; ∞ − ∞ 00 ; ∞ 0 ;1∞ c) Khử dạng vô định 3.2: Cực trị của hàm số: Chú ý: : Cần phân biệt giá trị lớn nhất,bé nhất và giá trị cực đại ,cực tiểu bởi vì rất dễ dẫn đến những kết quả và hiểu biết sai lầm trong việc tìm hiểu đạo hàm vi phân. Giá trị cực đại và cực tiểu chỉ mang tính chất địa phương,nghĩa là chúng chỉ là giá trị nhỏ nhất hay lớn nhất trong một lân cận đủ nhỏ nào đó của điểm cực trị.
2. C ác dạng bài tập cơ bản 2.1/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn: a/Tính đơn điệ của hàm số u a/ Điề kiệ cần của tính đơn điệ u n u Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b) f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọ x thuộ (a;b) i c f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộ (a;b) c b/ Điề kiệ đủ của tính đơn điệ u n u Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b) f'(x) > 0, với mọi x thuộ (a;b) → f(x) tăng trên (a;b) c f'(x) < 0, với mọi x thuộ (a;b) → f(x) giảm trên (a;b) c c/ Hàm hằng f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọ x thuộ (a;b) i c
2. C ác dạng bài tập cơ bản 2.1/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn: b/ Chứng minh bất đẳng thức a/ Định lý Lagrange: Nế f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm u trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c thuộc (a;b) sao cho * Ý nghĩa hình họ : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất c một điể mà tại đó tiế tuyế song song với đườ thẳng AB m p n ng * Áp dụng : Nế f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, u M sao cho : m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồ tạ c : m < f'(c) < M ni Suy ra : b/ Tính đơn điệ hoặc bảng biên thiên u - Khảo sát sự biế thiên của hàm f n - Dựa vào bảng biế thiên, rút ra đpcm (có thểdùng f'' đểxét dấu f') n
2. C ác dạng bài tập cơ bản 2.1/ Bài tập tính đạo hàm của hàm ẩn: c/ Biệ luận phươ trình và bất phươ trình n ng ng a/ Phươ trình f(x) = m ng - Phươ trình f(x) = m là phươ trình hoàng độ điể chung của ng ng m đườ thẳng (d): y = m và đồ thị hàm số (C): y = f (x) Gọi D là MXĐ ng của f(x) - Nghiệ của bất phươ trình f(x) < m là hoành độ các điể thuộc m ng m đồ thị (C): y = f(x) nằm dướ đườ thẳng (d): y = m i ng - Bất phương trình f(x) < m có nghiệ ↔ có một phần của đồ thị (C) m nằm dướ đườ thẳng (d) i ng - Bất phươ trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị ng (C) nằm dướ đườ thẳng (d) i ng Tươ tự với các bất phươ trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m ng ng
2.2/ Bài tập tính giới hạn bằng qui tắc L’Hopital: ∞ 0 a) Khử dạng vô định hoặc ( Quy tắc L’Hospital) ∞ 0 Quy tắc: f ( x) ∞ 0 Xét giới hạn xlim* g x có dạng vô định ( hoặc ) () ∞ 0 →x f '( x) f ( x) = K t hì cũng t ồn t ại lim* =K. Nếu t ồn t ại xlim* → x g '( x) x→ x g ( x ) ∞ 0 Nếu sau khi sử dụng QT, giới hạn vẫn ở dạng vô định ( hoặc ) ∞ 0 t hì ta lại áp dụng quy t ắc đó một lần nữa.
2.2/ Bài tập tính giới hạn bằng qui tắc L’Hopital: b) Khử các dạng vô định 0.∞ ; ∞ − ∞ Phương pháp: Dùng biến đổi sơ cấp để đưa về ∞ dạng ( 0 hoặc ∞ ) 0 rồi dùng quy t ắc L’Hospital để tính tiếp giới hạn.
2.2/ Bài tập tính giới hạn bằng qui tắc L’Hopital: 00 ; ∞ 0 ;1∞ c) Khử dạng vô định  Phương pháp: A = lim u x , rồi lấy log t ự nhiên hai vế đưa giới hạn về  Đặt * x→ x dạng 0.∞ . ∞ 0  Đưa tiếp giới hạn về dạng hoặc . ∞ 0  Dùng QT L’Hospital để tính giới hạn này.