Bài toán đường tròn của GAUSS và đánh giá tiệm cận một số hàm số học

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước liên quan đến bài toán đường tròn Gauss.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài toán đường tròn của GAUSS và đánh giá tiệm cận một số hàm số học

TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN BÀI TOÁN ĐƯỜNG TRÒN CỦA GAUSS VÀ ĐÁNH GIÁ TIỆM CẬN MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC GAUSS A CIRCLE CI C PROBLEM P O AND AN ASYMPTOTIC A PTOTIC EVALUATION A ATION OF O ARITHMETICAL A ITH TICA FUNCTIONS NCTION Ngà N y nhận bài : 07/3/2021 ThS. Nguyễn Nguyễn Tấn Bình ThS. Hoàng Thị Hà My Ngà N y nhận kết quả phản biện : 16/9/2021 Trườ Trường ng Đại Đại học học Tài Tài chính chính -- Kế Kế toán toán Trườ Trường ng Đại Đại học học Quảng Quảng Nam Ngà N y duyệt đăng : 25/9/2021 TÓM TẮT Bài báo giới thiệu về bài toán đường tròn của Gauss và bài toán liên quan, đồng thời tìm hiểu ước lượng tiệm cận một số hàm số học. Thứ nhất, bài báo trình bày một công thức xấp xỉ để xác định số điểm nguyên nằm trong và trên đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính (căn bậc hai của N) cho trước ( ) liên quan đến bài toán đường tròn Gauss. Đó là R ( N ) = π .N + E ( N ) , trong đó sai số E ( N ) = O N . Thứ hai, bài báo trình bày hai công thức xấp xỉ cho D(N) để xác định số điểm nguyên nằm trong góc phần tư thứ nhất và nằm dưới hoặc trên đường hyperbol. Thứ ba, bài báo trình bày kết quả xấp xỉ của hàm Φ ( t ) là hàm tổng của hàm Euler. Mục đích của tác giả trong bài viết này là nghiên cứu, tìm hiểu một số bài toán, định lý trong bước đầu tiếp cận lý thuyết số giải tích. Từ khóa: Hàm số học, tiệm cận, ước lượng ABSTRACT In this article, Gauss’s circle problem and related ones are introduced and the asymptotic estimation of some arithmetic functions is studied. Firstly, the article presents an approximation formula to determine the number of integer points in and on a circle with a given origin and radius (square root of N) related to ( ) the Gaussian circle problem. That is R ( N ) = π .N + E ( N ) , in which the error E ( N ) = O N . Second, the article presents two approximation formulas for D(N) to determine the number of integer points lying in the first quadrant and below or above the hyperbola. Third, the paper presents the approximation result of the function Φ ( t ) which is the sum function of the Euler function. This article aims at studying some problems and theorems in the first step of approaching analytical number theory. Keywords: Arithmetical function, asymptotic, evaluation. 1. Đặt vấn đề Lý thuyết số là một ngành của toán học lý thuyết nghiên cứu về tính chất của số nói chung và số nguyên nói riêng, cũng như những lớp rộng hơn các bài toán mà phát triển từ những nghiên cứu của nó. Lý thuyết số giải tích sử dụng công cụ giải tích và giải tích phức để giải quyết các vần đề về số nguyên, định lý số nguyên tố và giả thuyết Riemann là các ví dụ. Chứng minh về tính siêu việt của các hằng số toán học, như là π hay e, cũng được xếp vào lĩnh vực lý thuyết số giải tích. Việc nghiên cứu các hàm số học, đặc biệt là những hàm số học “không chính quy” là một trong những nội dung chính và thú vị của lý thuyết số giải tích. Nội dung bài báo là giới thiệu bài toán đếm số điểm nguyên trong và trên đường tròn cho trước của Gauss (Gauss circle problem) và tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học. Các định nghĩa, bổ 78
ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN đề, định lý trong bài báo được trích trong các tài liệu tham khảo tương ứng, một vài chứng minh được tác giả trình bày một cách chi tiết để tiện cho độc giả theo dõi. 2. Bài toán đường tròn của Gauss và bài toán ước của Dirichlet 2.1. Một số ký hiệu ban đầu Hàm r ( n ) : hàm số học đếm số biểu diễn của một số nguyên n ( n ≥ 1) như một tổng của 2 bình phương của 2 số nguyên, hay nói cách khác nó là số nghiệm của phương trình x 2 + y 2 = n , x, y ∈ (trong đó, những nghiệm khác nhau về dấu được đếm là khác nhau). N Hàm R ( N ) : R ( N ) = ∑ r ( n ), r ( 0 ) = 1 . Nhận xét 1. Về mặt hình học, hàm R ( N ) là số những điểm nguyên nằm trong và trên đường n =0 tròn x 2 + y 2 = N . Hàm số Euler của một số nguyên dương n được định nghĩa là số các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng n nguyên tố cùng nhau với n. Ký hiệu: ϕ ( n ) . Bài toán đường tròn của Gauss (Gauss circle problem) Bài toán 1 (Gauss circle problem). Cho đường tròn tâm O(0,0), bán kính r trong 2 ( r ≥ 0 ), bài toán yêu cầu đếm có bao nhiêu điểm có dạng ( m, n ) nằm trong và trên đường tròn này, trong đó m và n là những số nguyên. Định lý sau của Gauss sẽ cho ta lời giải đáp cho bài toán trên. Định lý 1 (Gauss)([1]). ( ) R(N ) = π N + O N . Chứng minh: Ta có nhận xét đầu tiên là những điểm nguyên trong mặt phẳng là những đỉnh của hình vuông mà mỗi cái có diện tích là 1. Mỗi điểm nguyên nằm trên và trong đường tròn x 2 + y 2 = N , ta có thể kết hợp với một hình vuông (chẳng hạn, ta có thể chọn hình vuông về phía Tây Nam). Khi đó, R ( N ) là tổng của những diện tích của những hình vuông này. Tuy nhiên, một vài hình vuông không nằm hoàn toàn bên trong của đường tròn, mặt khác một vài phần không được phủ bởi hình vuông. Vì đường chéo của mỗi hình vuông là 2 nên tất cả các ( ) 2 hình vuông được chứa trong đường tròn x 2 + y 2 = N + 2 ( ) 2 sao cho R ( N ) < π N + 2 . Lập luận tương tự, những hình vuông phủ hoàn toàn đường tròn nhỏ có bán kính N − 2 sao ( ) 2 cho R ( N ) > π N − 2 , N ≥ 2 . ( ) ( ) Vì vậy, ta có π N − 2 2 N + 2 < R ( N ) < π N + 2 2 N + 2 , hay nói cách khác R(N ) = π N +O ( N ). 2.2. Bài toán đếm điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol xy = N . Mặc dù bài toán gốc là đếm điểm nguyên trong và trên đường tròn tâm O, bán kính r cho trước. Nhưng không có lý do gì để ta không mở rộng bài toán đối với các đường conic. Bài toán ước của Dirichlet (Dirichlet’s divisor problem) là một bài toán tương tự, trong đó, đường tròn được thay bởi hyperbol. Sau đây, ta sẽ xem xét bài toán đó. N Ký hiệu 1. D ( N ) = ∑τ ( n ) trong đó τ ( n ) là số các ước của n. n =1 Nhận xét 2. 79
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Về mặt hình học, D(N) là số những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol xy = N . Ta sẽ sử dụng những kết quả dưới đây để ước lượng hàm D(N), tức là giải quyết bài toán đặt ra ở trên. Bổ đề 1([1]). Nếu g là hàm đơn điệu giảm theo biến thực t được định nghĩa với t ≥ 1 và g ( t ) > 0 X thì ∑ g ( n ) = ∫ g ( t )dt + A + O ( g ( X ) ) , trong đó n ∈ 1≤ n ≤ X + , X ≥ 1 và A là hằng số chỉ phụ thuộc vào g. 1 1 1  Hệ quả 1([1]). Tồn tại hằng γ (hằng của Ơle) sao cho ∑ 1≤ n ≤ X n = log X + γ + O  X .  Định lý 2 ([1]). D ( N ) = N log N + γ N + O ( N ) . Chứng minh: Ta có D ( N ) = ∑ 1. Do đó, D(N) là số những 1≤ xy ≤ n điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng (x,y), nằm trên hoặc dưới hyperbol xy = N (trừ những điểm trên các trục). Rõ ràng những điểm này nằm bên trái của đường thẳng x = N và dưới của đường thẳng y = N . Ta đếm chúng bằng cách xét những điểm nguyên trên mỗi đường thẳng đứng với hoành độ nguyên. Số những điểm nguyên trên một tọa độ có N độ dài N / x là [ N / x ] . Vì vậy, D ( N ) = ∑ [ N / x ] . x =1 N Đặt [ N / x] = N / x − θ x , 0 ≤ θ x < 1 , vì ∑θ x < N nên x =1 1 N 1 N N D ( N ) = N ∑ − ∑θ x = N ∑ + O ( N ) . x =1 x x =1 x =1 x Từ hệ quả trên suy ra rằng D ( N ) = N log N + γ N + O ( N ) . Định lý 3 (Dirichlet) ([1]). ( ) D ( N ) = N log N + ( 2γ − 1) N + O N , với γ là hằng số Ơle. Chứng minh: Hyperbol xy = N là quan hệ đối xứng với đường thẳng x = y nên ABGEO và CDOFG chứa cùng số những điểm nguyên. Tổng những điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất nằm trên hoặc dưới hyperbol (trừ những điểm nằm trên các trục) bằng hai lần số điểm nguyên trong ABGEO trừ đi số điểm nguyên trong hình vuông OFGE. 2 2 N  2 Vì vậy, D ( N ) = 2 ∑ 1 −  N  = 2 ∑ ∑ 1 −  N  = 2 ∑   −  N  1≤ x ≤ N 1≤ x ≤ N 1≤ y ≤ N 1≤ x ≤ N  x  1≤ xy ≤ N x Ta đặt  N  = N − θ x ;0 ≤ θ x < 1 và  N  = N − θ ;0 ≤ θ < 1 thì ta được  x  x   1 1 ( ) 2 D ( N ) = 2N ∑ x − 2 ∑ θx − N −θ = 2N ∑ x − N − 2 ∑ θ x + 2θ N − θ 2 1≤ x ≤ N 1≤ x ≤ N 1≤ x ≤ N 1≤ x ≤ N Nhưng ∑ 1≤ x ≤ N θx = O ( N ) ,θ 2 = O (1) . Vì vậy, 80
ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN 1 D ( N ) = 2N ∑ 1≤ x ≤ N x − N +O ( N)  1  = 2 N log N + 2 N γ + 2 NO   N − N +O ( N ) = N log N + ( 2γ − 1) N + O ( N ) . 3. Đánh giá tiệm cận một số hàm số học Đa số những hàm số học (như hàm µ ( n ) ,τ ( n ) ,…) phụ thuộc rất nhiều vào tính chất của n. Tuy 1  nhiên, những hàm tổng hay trung bình  ∑ f ( n ), ∑ f ( n )  được đánh giá ước lượng khá chính  x n≤ x n≤ x  xác về những hàm số học đơn giản hơn. Có rất nhiều phương pháp ước lượng: phương pháp tích chập, phương pháp hyperbol Dirichlet,…Dưới đây, ta sẽ tìm hiểu về ước lượng một số hàm số học theo hướng giải tích. 3.1. Xấp xỉ một số hàm Nhận xét 3. Nếu n là số nguyên tố thì τ ( n ) = 2 và lim τ ( n ) = 2 . n →∞ τ ( ni ) Định lý 4 ([1]). Với mỗi ∆ > 0 , tồn tại những số nguyên ni sao cho i →∞  →∞ . ( log ni ) ∆ Chứng minh: Lấy k là số nguyên được định nghĩa k ≤ ∆ < k + 1 , pk +1 là số nguyên tố thứ k+1 và lấy n = ( 2.3.5... pk +1 ) , m ∈ . Khi đó, τ ( n ) = ( m + 1) > m k +1 m + k +1 k +1  log n   > c. ( log n ) (c được gọi là hằng số của n). Ta lấy m = 1, 2,3,... k +1 nhưng m k +1 =    log ( 2.3.5... p ) k +1  ta thu được dãy vô hạn của những số nguyên dương τ ( n ) > c ( log n ) . Đặt k + 1 = ∆ + α (α > 0 ) , ta k +1 τ (n) > c ( log n )  α n →∞ có →∞ . ( log n ) ∆ Bổ đề 2 ([1]). Nếu f là hàm số học nhân tính và f ( p m )  m p →∞ → 0 , trong đó p là số nguyên tố, m ∈ + (nghĩa là f ( n ) → 0 khi n chạy khắp tập các lũy thừa của số nguyên tố) thì f ( n )  n →∞ →0 . Định lý 5 ([1]). τ ( n ) = o ( nδ ) , ∀δ > 0 Chứng minh: Xem [1]. 3.2. Ước lượng hàm tổng của hàm Ơle ϕ 3.2.1. Hàm Ơle 1 Nhận xét 4. Nếu n = p m , trong đó p là số nguyên tố, p > , 0 < ε < 1 thì ϕ (n) ε  1 ϕ ( n ) = n 1 −  > n (1 − ε ) . Do đó, lim = 1 .  p n →∞ n ϕ ( n ) n→∞ Định lý 6([1]). Với mỗi δ > 0 , ta có 1−δ  →∞ . n Chứng minh: Xem [1]. 3.2.2. Hàm tổng của hàm Ơle Định nghĩa 1. Φ ( t ) = ∑ ϕ (n) 1≤ n ≤t Nhận xét 5. Φ ( t ) là số những số hạng trong dãy Farey cấp N. 3t 2 Định lý 7 (Mertens)([1]). Φ ( t ) = + O ( t log t ) . π2 81
TẠP CHÍ KHOA HỌC TÀI CHÍNH KẾ TOÁN Chứng minh: Vì Φ ( t ) = ∑ ∑ 1= ∑ 1 nên Φ ( t ) bằng số những điểm nguyên với những tọa 1≤ n ≤t 1≤ m ≤ n 1≤ m ≤ n ≤t ( m , n ) =1 độ nguyên tố cùng nhau, cái mà nằm trong hoặc trên tam giác vuông 0 < y ≤ x < t . Ta xem xét hình vuông 0 < x ≤ t , 0 < y ≤ t . Đường thẳng x = y chia nó thành 2 tam giác vuông, mỗi cái như vậy chứa cùng số những điểm nút với những tọa độ nguyên tố cùng nhau. Một trong chúng được cho bởi 0 < y ≤ x ≤ t . Điểm nguyên duy nhất với những tọa độ nguyên tố cùng nhau trên đường thẳng x = y là điểm x = y = 1 . Gọi ψ ( t ) là số những điểm nguyên với những tọa độ nguyên tố cùng nhau trong hình vuông được đề cập ở trên, ta có ψ ( t ) = 2Φ ( t ) − 1 (1) với điểm x = y = 1 được đếm trong cả hai tam giác. Tổng những điểm nguyên trong hình vuông 0 < x ≤ t , 0 < y ≤ t là [t ] sao cho 2 [t ] ∑ 1= ∑ ∑ (2) 2 = 1 0< m ≤t 1≤ d ≤t 0 < m ≤t 0< n ≤t 0< n ≤t ( m,n )=d m n Vì (m, n) = d tương đương với  ,  1 nên tồn tại tương ứng 1-giữa hai điểm nút với d d những tọa độ m, n sao cho 0 < m ≤ t , 0 < n ≤ t , ( m, n ) = d và những cặp số nguyên m ', n ' sao cho t t 0 < m ' ≤ , 0 < n ' ≤ , ( m ', n ') = 1 . d d Từ định nghĩa của ψ , tồn tại chính xác ψ  t  những cặp m ', n ' như vậy. Vì vậy (2) có thể viết d  t [t ] = ∑ ψ   (3) 2 1≤ d ≤t d  2 t  Áp dụng công thức đảo Mobius thứ hai cho (3) ta được ψ ( t ) = ∑ µ ( d )   , t ≥ 1 . 1≤ d ≤t d  t t  Vì =   + θ , 0 ≤ θ < 1 nên d d  t  2 µ (d )  1   ψ ( t ) = ∑ µ ( d )  + O (1)  = t 2 ∑ + 2tO  ∑  + O  ∑ 1 . d  1≤ d ≤t d  2 1≤ d ≤t  1≤ d ≤t d  1≤ d ≤t   1  1   Ta có 2tO  ∑  = 2tO  log t + γ + O    = O ( t log t ) và O  ∑ 1 = O(t) .  1≤ d ≤t d    t   1≤ d ≤t  µ ( d ) Vì vậy: ψ ( t ) = t 2 ∑ 2 + O ( t log t ) .Ta có 1≤ d ≤t d µ (d ) ∞ µ (d ) ∞ µ (d ) ∑ 1≤ d ≤t d 2 = ∑ d =1 d 2 − ∑ d =[t ]+1 d 2 (4) ∞ µ (d ) ∞ 1 du 1 ∞ 1 và ∑ d2
ĐẠI ẠI HỌC TÀI CHÍNH - KẾ TOÁN ∞ 1 ∞ µ ( m) ∞ cϑ ∑n ∑ =∑ , cυ = ∑ µ ( k ) . n =1 2 m =1 m 2 ϑ =1 ϑ2 kϑ Vì c1 = 1, cn = 0 ( n > 1) và ∞ π 2 nên áp dụng định lý đồng nhất Mobius ta có ∑n 6 −2 = µ (n) −1 n =1 ∞  ∞ 1  6 6 ∑ n =1 n2 =  ∑ 2  = 2 . Thay vào (5) ta được ψ ( t ) = t 2 2 + O ( t log t ) .  n =1 n  π π Kết luận Bài báo đã tìm hiểu, trình bày lại bài toán đường tròn của Gauss cùng bài toán liên quan, cũng như một số vấn đề về ước lượng các hàm số học. Cụ thể là tôi trình bày, chứng minh chi tiết cho bài toán đường tròn của Gauss trong định lý 1 và bài toán liên quan trong định lý 2, định lý 3. Tôi trình bày một số ước lượng của các hàm cơ bản trong định lý 4, định lý 5. Đặc biệt, tôi trình bày chứng minh chi tiết định lý Mertens về ước lượng hàm tổng của hàm Ơle. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. K. Chandrasekharan (1968), Introduction to Analytic Number theory, Springer. 2. Gerald Fenenbaum (1995), Introduction to Analytic and probabilistic number theory, printed in Great Britain at the University Press, Cambridge. 3. I.M.Vinogradov (1949), Elements of number theory, Dover publications, Inc. 4. Tim Jameson, The Gauss Circle problem notes by Tim Jameson. 5. Titus Hilberdink and László Tóth (2016), On the average value of the least common multiple of k positive integers, Journal of Number Theory 169. 83