Báo cáo khoa học: "lập ma trận độ cứng phần tử thanh từ ma trận chuyển tiếp"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Nguyễn Phương Hà Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

83
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo giới thiệu một cách thiết lập ma trận độ cứng của thanh và siêu thanh của ph-ơng pháp phần tử hữu hạn xuất phát từ ma trận chuyển tiếp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo khoa học: "lập ma trận độ cứng phần tử thanh từ ma trận chuyển tiếp"

lËp ma trËn ®é cøng phÇn tö thanh tõ ma trËn chuyÓn tiÕp GS. Vò ®×nh lai Bé m«n Søc bÒn vËt liÖu - §H GTVT Tãm t¾t: Bμi b¸o giíi thiÖu mét c¸ch thiÕt lËp ma trËn ®é cøng cña thanh vμ siªu thanh cña ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n xuÊt ph¸t tõ ma trËn chuyÓn tiÕp. Summary: In this paper, is introduced a efficient method for founding the Stiffness Matrix of a bar or superbar in the finite element method from the transfert – matrix. i. ®Æt vÊn ®Ò Trong c¸c tµi liÖu nghiªn cøu hoÆc gi¶ng d¹y ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n (PTHH) [1, 2, 3] nãi chung, ng−êi ta th−êng sö dông nguyªn lý n¨ng l−îng ®Ó lËp ma trËn ®é cøng (MT§C). Riªng ®èi víi phÇn tö thanh, ng−êi ta l¹i th−êng sö dông nh÷ng c«ng thøc s½n cã cña Søc bÒn vËt liÖu, do ®ã viÖc lËp MT§C ®−îc dÔ dµng l¹i chÝnh x¸c. Tuy nhiªn, ®èi víi phÇn tö thanh phøc t¹p, thÝ dô thanh cã mÆt c¾t biÕn ®æi, thanh thµnh máng, … th× viÖc sö dông nh− thÕ l¹i kh«ng dÔ dµng. NhiÒu tr−êng hîp ng−êi ta l¹i ph¶i trë vÒ ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng trong ®ã hµm chuyÓn vÞ th−êng lµ hµm gÇn ®óng, lµm cho ®é cøng cña phÇn tö còng lµ gÇn ®óng. Khi ®ã bµi to¸n gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p PTHH chØ ®¹t ®−îc ®é chÝnh x¸c mong muèn khi hÖ ®−îc ph©n thµnh nhiÒu phÇn tö nhá. Trong [4] tuy vÉn dïng ph−¬ng ph¸p n¨ng l−îng nh−ng c¸c t¸c gi¶ ®· sö dông hµm chuyÓn vÞ cña thanh trªn nÒn ®µn håi lµ hµm ®óng ®· ®−îc gi¶i ë m«n Søc bÒn vËt liÖu nªn ®· ®¹t ®−îc MTC§ “®óng”. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i giíi thiÖu ph−¬ng ph¸p lËp MT§C thanh hoÆc thanh d¹ng d¶i phøc t¹p dùa vµo ma trËn chuyÓn tiÕp (MTCT) cña chóng. V× MTCT rót ra tõ ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch cña SBVL, nªn cã thÓ coi MT§C cña phÇn tö thanh hoÆc siªu thanh tÝnh theo c¸ch nµy lµ chÝnh x¸c (theo nghÜa ®· ®−îc chÊp nhËn trong lý thuyÕt thanh vµ hÖ thanh). Do −u ®iÓm nµy cña MT§C lËp tõ MTCT nªn trong bµi to¸n cô thÓ chiÒu dµi phÇn tö thanh hoÆc siªu thanh kh«ng bÞ h¹n chÕ mµ vÉn ®¶m b¶o ®é chÝnh x¸c. Ii. lËp mt®c thanh tõ mtct Theo lý thuyÕt tõ MTCT ta cã quan hÖ gi÷a vÐc t¬ chuyÓn vÞ – néi lùc ë 2 ®Çu thanh nh− sau (h×nh 1). {w2 W2} = LCT {w1 W1} (1) trong ®ã: {Wi} = {uξliuξ2iuξ3iϕξliϕξ2iϕξ3i}: vÐc t¬ chuyÓn vÞ t¹i nót i (i = 1, 2);
{Wi} = {QξliQξ2iQξ3iMξliMξ2iMξ3i}: vÐc t¬ lùa t¹i nót i (i = 1, 2); L11 L12 L CT = : ma trËn chuyÓn tiÕp tõ nót 1 ®Õn nót 2. L 21 L 22 H×nh 1. Do vÐc t¬ lùc t¹i nót 2 cña ph−¬ng ph¸p MTCT cã ý nghÜa lµ vÐc t¬ lùc ë nót 1 ®−îc chuyÓn tiÕp ®ªns ®Çu cña phÇn tö kÕ tiÕp, trong khi ®ã, ë ph−¬ng ph¸p PTHH, vÐc t¬ nµy cã ý nghÜa lµ vÐc t¬ lùc ë nót cuèi cña phÇn tö ®ang xÐt (h×nh 2), v× vËy ®Ó b¶o ®¶m ý nghÜa ®· quy ®Þnh, tr−íc khi tÝnh to¸n cÇn ®æi dÊu vÐc t¬ W2 , còng tøc lµ ®æi dÊu cña c¸c phÇn tö t−¬ng øng ë ma L11 L12 trËn LCT. Khi ®ã ta ®−îc MTCT theo quy −íc dÊu míi: L = . − L 21 − L 22 H×nh 2. Thay LCT ë (1) b»ng L ta viÕt ®−îc: {w 2 } = L11 {w1 } + L12 {W1} ⎫ {W2 } = −L 21 {w 1 } − L 22 {W1 }⎬ (2) ⎭ Gi¶i hÖ (2) ta rót ra: {W1} = K11 {w1} + K12{w2} {W2} = K21 {w1} + K22{w2} hay: ⎧W1 ⎫ ⎧w 1 ⎫ ⎧w 1 ⎫ K 11 K 12 ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬ = K⎨ ⎬ = ⎨ ⎨⎬ (3) ⎪W2 ⎪ ⎪w 2 ⎪ ⎪w 2 ⎪ ⎩ ⎭ ⎩⎭ ⎩⎭ K 21 K 22
trong ®ã Kij (i, j = 1, 2) lµ nh÷ng ma trËn thµnh phÇn cña MT§C cÇn t×m: ⎫ K 11 = −L−1 L11 12 ⎪ ⎪ = L−1 K 12 ⎪ 12 ⎬ (4) −1 = −L 21 + L 22 L12 L11 ⎪ K 21 ⎪ = −L 22 L−1 ⎪ ⎭ K 22 12 iii. thÝ dô thiÕt lËp mt®c PhÇn tö dÇm cã mÆt c¾t kh«ng ®æi trªn nÒn ®μn håi Winkler: MTCT cña dÇm (xem [5]): B D C − A 3 EJm2 m EJm C B − 4mD − A EJm2 EJm LCT = k k −B − C A 4mD m2 m k k B − − C D A m2 m3 m ¸p dông (4) ta rót ra d¹ng cuèi cïng cña MT§C cña phÇn tö dÇm: − 8m3B 2m3P 2m2N 8m2C − 8m2C mQ 8mD EJ K= M §X − 2m2N 2m3P mQ Trong nh÷ng quan hÖ trªn: k: hÖ sè nÒn ë ®¸y dÇm, m = (k/4EJ) Λ (1/4): hÖ sè dÇm nÒn, A = chml.cosml, 1 (sin ml.chml + cos ml.shml), B= 2 C = shml.sinml, 1 (sin ml.chml − cos ml.shml), D= 4 M = ch2ml + cos2ml, N = ch2ml – cos2ml, P = sh2ml + sin2ml, Q = sh2ml – sin2ml. V× môc ®Ých minh ho¹ thÝ dô trªn ®· ®−îc tÝnh b»ng ch÷. Trong thùc tÕ, c¸c siªu phÇn tö cã thÓ phøc t¹p h¬n, khi ®ã viÖc lËp MTCT sÏ ph¶i thùc hiÖn b»ng sè ngay tõ ®Çu, sau ®ã cã thÓ viÕt d−íi d¹ng t−êng minh biÓu thøc quan hÖ chuyÓn tiÕp gi÷a vÐc t¬ chuyÓn vÞ – néi lùc ë 2 mÆt c¾t ®Çu vµ cuèi cña thanh phøc t¹p (siªu phÇn tö) [6], råi tõ MTCT cña biÓu thøc lËp ®−îc MT§C theo c¸c quan hÖ (4).
Tµi liÖu tham kh¶o [1] J. H. Argiris. Recent advances in matrix methods of structural analysis. Pergamon press. Oxford. 1964 (b¶n dÞch tiÕng Nga). [2] Hå Anh TuÊn, TrÇn B×nh. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. Nhµ xuÊt b¶n KH vµ KT. Hµ Néi. 1978 [3] NguyÔn Xu©n Lùu. Ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n. Gi¸o tr×nh Tr−êng §¹i häc Giao th«ng VËn t¶i. Hµ Néi, 2000. [4] Vò V¨n Thμnh, L−¬ng Xu©n BÝnh. KÕt hîp ph−¬ng ph¸p phÇn tö h÷u h¹n vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ®Ó n©ng cao ®é chÝnh x¸c ph−¬ng ph¸p ph©n tÝch kÕt cÊu. T¹p chÝ KH vµ CN X©y dùng. Bé x©y dùng. Sè 3/2000. [5] Vò §×nh Lai, NguyÔn Xu©n Lùu, Bïi §×nh Nghi. Søc bÒn vËt liÖu. Nhµ xuÊt b¶n GTVT. Hµ Néi, 2002. [6] Vò §×nh Lai. Më ®Çu vÒ ph−¬ng ph¸p ma trËn chuyÓn tiÕp. Chuyªn ®Ò Cao häc. §¹i häc Giao th«ng vËn t¶i. Hµ Néi, 1999