Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo luận văn - đề án 'báo cáo nghiên cứu khoa học: "các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung"', luận văn - báo cáo phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Các phương pháp số để giải phương trình lan truyền xung"

T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 tr−êng §¹i häc Vinh c¸c ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung §inh Xu©n Khoa , NguyÔn ViÖt H−ng , (a) (b) Bïi §×nh ThuËn , Ho ng ThÞ Hång Thanh (a) (c) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i tr×nh bµy nh÷ng c¬ së cña ph−¬ng ph¸p sè ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. B»ng c¸ch sö dông ph−¬ng ph¸p sè, chóng t«i kh¶o s¸t sù t−¬ng t¸c gi÷a c¸c soliton. I. Më ®Çu XuÊt ph¸t tõ ph−¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn suy réng [1]: 2 ∂U  2 ( ) ∂U i ∂ 2U ∂ 3U ∂ 2 . 2 (1) + δ 3 3 + iN U U + iS U U − τ RU =  ∂τ  ∂ξ 2 ∂τ 2 ∂τ ∂τ   trong ®ã U (ξ ,τ ) lµ hµm bao phøc cña xung, c¸c tham sè ®Æc tr−ng cho c¸c hiÖn t−îng t¸n s¾c bËc ba, tù dùng xung vµ tù dÞch chuyÓn tÇn sè t−¬ng øng lµ δ 3 , S vµ τ R . Trong tr−êng hîp tæng qu¸t, viÖc t×m lêi gi¶i gi¶i tÝch cho ph−¬ng tr×nh (1) lµ rÊt khã vµ ®Õn nay vÉn ch−a thùc hiÖn ®−îc. ChØ víi mét vµi tr−êng hîp riªng ng−êi ta míi t×m ®−îc c¸c nghiÖm soliton cña nã mµ th«i. MÆt kh¸c, cÇn l−u ý r»ng ph−¬ng tr×nh (1) chØ lµ mét trong sè rÊt nhiÒu c¸c d¹ng gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung [1,2]. Khi tÝnh ®Õn c¸c sè h¹ng t¸n s¾c vµ phi tuyÕn bËc cao h¬n, ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung sÏ trë nªn rÊt phøc t¹p vµ viÖc t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch chung cho c¸c ph−¬ng tr×nh nµy lµ kh«ng thÓ thùc hiÖn ®−îc. Do nh÷ng khã kh¨n ®ã, ng−êi ta ®· ¸p dông nhiÒu ph−¬ng ph¸p kh¸c nhau ®Ó t×m c¸c lêi gi¶i gÇn ®óng cña ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. Ph−¬ng ph¸p sè ®· ®−îc sö dông rÊt hiÖu qu¶ cho môc ®Ých nµy. NhiÒu t¸c gi¶ ®· ®−a ra c¸c thuËt to¸n kh¸c nhau [4, 5, 6] nh−ng vÒ nguyªn t¾c chung cã thÓ ph©n ra hai lo¹i, ®ã lµ c¸c ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n vµ c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ [7]. Ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ dùa vµo phÐp biÕn ®æi Fourier ®Ó tÝnh gÇn ®óng c¸c ®¹o hµm riªng, do ®ã ®· chuyÓn bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng vÒ bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng. Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu hai thuËt to¸n quan träng ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung theo ph−¬ng ph¸p gi¶ phæ, ®ã lµ thuËt to¸n split - step vµ Runge - Kutta bËc bèn. C¸c phÇn cßn l¹i cña bµi ®−îc bè côc nh− sau: PhÇn II tr×nh bµy nguyªn t¾c cña viÖc rêi r¹c ho¸ bµi to¸n lan truyÒn xung theo c¸c thuËt to¸n trªn, PhÇn III thùc hiÖn mét sè tÝnh to¸n ®Ó kiÓm chøng ®é chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p ®èi víi vµi tr−êng hîp ®Æc biÖt, PhÇn IV lµ c¸c kÕt luËn. NhËn bµi ngµy 02/5/2008. Söa ch÷a xong 12/6/2008. 47
§. X. Khoa, N. V. H−ng, B. §. ThuËn, H. T. H. Thanh... lan truyÒn xung, Tr. 47-53 II. C¸c ph−¬ng ph¸p sè 1. ThuËt to¸n split - step bËc hai §Çu tiªn, chóng t«i tr×nh bµy thuËt to¸n split - step ®Ó gi¶i gÇn ®óng ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. Ph−¬ng tr×nh (1) cã thÓ biÓu diÔn ë d¹ng: ∂U ( ) = L + N (U ) U , ˆˆ (2) ∂ξ ˆ ˆ trong ®ã L vµ N t−¬ng øng lµ c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn t¸c dông lªn hµm bao: 2 3 ˆ i ∂ +δ ∂ L= 3 2 ∂τ 2 ∂τ 3 (3)   2 ( ) ˆ (U ) = iN 2  U 2 + iS 1 ∂ U 2U − τ U ∂ U . N  ∂τ  R U ∂τ   LÊy tÝch ph©n ph−¬ng tr×nh (2) theo biÕn ξ trong kho¶ng ξ → ξ + ξ , ta ®−îc [9]: U (ξ + ∆ξ ,τ ) = exp( A + B )U (ξ ,τ ) (4) víi: ξ + ∆ξ ξ + ∆ξ A = ∫ Ldξ ' =L ∫ dξ ' = ∆ξL ˆ ˆ ˆ ξ ξ (5) ξ + ∆ξ ∫ N (U (ξ ' ,τ ))dξ ' ≈ ∆ξN (U (ξ ,τ )) ˆ ˆ B= ξ Khi kho¶ng chia ξ cña qu·ng ®−êng lan truyÒn lµ ®ñ nhá, sö dông c«ng thøc Baker - Campbell - Hausdorff cho to¸n tö hµm mò trong (4) chóng ta cã thÓ biÓu diÔn d¹ng gÇn ®óng cña nã nh− sau [2, 3, 6]:  A  A exp( A + B ) ≈ exp  exp(B )exp . (6) 2 2 Trong phÐp gÇn ®óng nµy, chóng ta ®· xem r»ng c¸c to¸n tö A vµ B lµ giao ho¸n khi 2 ξ nhá. Sai sè cña c«ng thøc (6) vµo bËc ( ξ) . Thay c¸c biÓu thøc trªn vµo (4) ta cã biÓu thøc m« t¶ thuËt to¸n split - step bËc hai cho bµi to¸n (2) nh− sau:  ∆ξ ˆ   ∆ξ ˆ  ( ) U (ξ + ∆ξ ,τ ) ≈ exp L  exp ∆ξN (U (ξ ,τ )) exp L U (ξ ,τ ). ˆ (7) 2  2  BiÓu thøc nµy cho phÐp x¸c ®Þnh gi¸ trÞ gÇn ®óng cña hµm bao t¹i vÞ trÝ ξ + ξ khi ®· biÕt hµm bao t¹i vÞ trÝ ξ. 2. BiÕn ®æi Fourier rêi r¹c 48
T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 tr−êng §¹i häc Vinh §Ó tÝnh ®−îc gi¸ trÞ hµm bao theo (7) chóng ta cÇn biÕt c¸ch tÝnh t¸c dông cña c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn lªn hµm bao. Chóng ta sÏ giíi h¹n biÕn thêi gian trong kho¶ng h÷u h¹n [a, b] ®ñ lín ®Ó c¸c biªn kh«ng ¶nh h−ëng ®Õn kÕt qu¶ tÝnh to¸n. Gi¶ thiÕt r»ng hµm bao U (ξ ,τ ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn tuÇn hoµn U (ξ , a ) = U (ξ , b ) víi ξ ∈ [0, ξ 0 ] . §Ó tiÖn lîi, chóng ta ®æi biÕn sè ®Ó chuÈn ho¸ kho¶ng [a, b] vÒ kho¶ng [0, 2π] vµ chia kho¶ng nµy thµnh N ®iÓm víi kho¶ng c¸ch 2πj gi÷a c¸c ®iÓm b»ng nhau vµ b»ng τ = 2π/N. KÝ hiÖu c¸c biÕn thêi gian lµ: τ j = ,j N ( ) = 0, 1, 2, ... , N. Ta cã biÕn ®æi Fourier rêi r¹c cña d·y U ξ ,τ j lµ: N −1 1 N N [ ] U (ξ , ωk ) = F U (ξ ,τ j ) = ∑U (ξ ,τ )exp(− iω τ ), (8) ≤ ωk ≤ − 1 − j k j 2 2 N j =0 BiÕn ®æi Fourier ng−îc ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau: N / 2 −1 U (ξ ,τ j ) = F j−1 [U (ξ , ωk )] = ∑U (ξ , ω )exp(iω τ ), (9) j = 0,1, 2, ... , N . k k j k =− N / 2 ë ®©y F lµ ký hiÖu biÕn ®æi Fourier vµ F-1 lµ biÕn ®æi ng−îc cña nã. C¸c tÝnh to¸n trong (8) vµ (9) ®−îc thùc hiÖn rÊt hiÖu qu¶ nhê sö dông thuËt to¸n tÝnh nhanh FFT [8]. C¸c ®¹o hµm riªng theo thêi gian cña hµm bao trong c¶ to¸n tö tuyÕn tÝnh vµ phi tuyÕn (3) ®Òu cã thÓ tÝnh ®−îc dÔ dµng b»ng c¸ch nh©n vµo phÝa tr−íc c¸c hÖ sè Fourier U (ξ , ωk ) c¸c luü thõa cña l−îng ( − iωk ) t−¬ng øng víi cÊp cña ®¹o hµm vµ sau ®ã ¸p dông biÕn ®æi Fourier ng−îc. Ch¼ng h¹n, ®¹o hµm cÊp hai cña hµm bao ë (ξ ,τ )®−îc tÝnh theo c«ng thøc: F [− ω F [U (ξ ,τ )]]. −1 2 j j k k j 3. ThuËt to¸n Runge - Kutta bËc bèn Ph−¬ng tr×nh (1) còng cã thÓ ®−îc tÝnh gÇn ®óng nhê thuËt to¸n Runge – Kutta. ë ®©y, chóng t«i sö dông thuËt to¸n Runge – Kutta bËc bèn, lµ thuËt to¸n th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n [4,5,8]. Sau khi sö dông phÐp biÕn ®æi Fourier ®Ó tÝnh c¸c ®¹o hµm riªng theo thêi gian nh− phÇn trªn th× ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh: (F [U ]) =  (− iω )2 i + (− iω )3δ 3  F [U ] + d     dξ 2 (10) [ [ ]] [[ [ ] ]] + iN  (1 + iS (− iω ))F U U − τ R F UF −1 (− iω )F U  2 2 2     §Æt:   iω 2   2 − iω δ 3 ξ  F [U ], V = exxp  (11) 3     chóng ta cã thÓ viÕt l¹i (1) nh− sau: 49
§. X. Khoa, N. V. H−ng, B. §. ThuËn, H. T. H. Thanh... lan truyÒn xung, Tr. 47-53 dV = f (ξ ,U ), , (12) dξ trong ®ã:      iω 2  [ ] [] − iω 3δ 3 ξ  (1 + Sω )F U U + τ R F UF −1 (iω )F U    (13) f (ξ ,U ) = iN 2 exp  2 2  2            Sö dông thuËt to¸n Runge - Kutta bËc bèn cho ph−¬ng tr×nh (12), gi¸ trÞ cña hµm V t¹i vÞ trÝ (ξ + ξ) ®−îc tÝnh nh− sau [8]: 1 [K1 + 2(K 2 + K 3 ) + K 4 ], V (ξ + ∆ξ ) = V (ξ ) + (14) 6 ë ®©y c¸c hÖ sè K ®−îc x¸c ®Þnh theo: i K1 = ∆ξ . f (ξ ,U (ξ ,τ )),  1 ∆ξ ,U (ξ ,τ ) + K1 , K 2 = ∆. f  ξ +  2 2 (15)  1 ∆ξ ,U (ξ ,τ ) + K 2 , K 3 = ∆ξ . f  ξ +  2 2 K 4 = ∆ξ . f (ξ + ∆ξ ,U (ξ ,τ ) + K 3 ). Tõ (14) vµ (11) chóng ta tÝnh ®−îc gi¸ trÞ hµm bao t¹i vÞ trÝ ξ + ∆ξ :     iω 2  U (ξ + ∆ξ ) = F −1 V (ξ + ∆ξ )exp  − + iω 3δ 3 (ξ + ∆ξ ). (16)  2          Sai sè khi tÝnh theo (16) sÏ cã bËc vµo cì (∆ξ ) . So víi c¸ch tÝnh theo (7) th× (16) cã 5 ®é chÝnh x¸c cao h¬n, tuy nhiªn thêi gian tÝnh sÏ dµi h¬n v× sè l−îng c¸c phÐp tÝnh theo (13) vµ (15) lµ rÊt lín. III. C¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n b»ng sè 1. C¸c soliton quang häc §Ó kh¼ng ®Þnh tÝnh chÝnh x¸c cña c¸c tÝnh to¸n theo c¸c ph−¬ng ph¸p sè tr×nh bµy ë trªn, ®Çu tiªn chóng t«i tiÕn hµnh so s¸nh víi mét sè tr−êng hîp riªng ®· ®−îc thùc hiÖn theo ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch. Theo ph−¬ng ph¸p t¸n x¹ ng−îc, khi c¸c tham sè bËc cao δ 3 , S vµ τ R trong ph−¬ng tr×nh (1) b»ng kh«ng th× víi ®iÒu kiÖn c¸c xung vµo lµ hµm d¹ng secant hyperbolic, ph−¬ng tr×nh sÏ cã c¸c nghiÖm soliton. C¸c soliton cã tÝnh tuÇn hoµn theo chu kú trong qu¸ tr×nh lan truyÒn. BËc cña soliton ®−îc x¸c ®Þnh qua tham sè N trong (1), víi c¸c gi¸ trÞ N cµng lín, tøc lµ soliton bËc cµng cao, th× khi lan truyÒn trong mçi chu kú, hµm bao cµng biÕn ®æi phøc t¹p. Chóng t«i tÝnh to¸n cho c¸c tr−êng hîp lan truyÒn cña soliton khi mµ N = 1 vµ 10 víi xung vµo d¹ng secant hyperbolic [7]: U (0,τ ) = sec h(τ ). . (17) 50
T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 tr−êng §¹i häc Vinh KÕt qu¶ ®−îc tr×nh bµy trªn h×nh 1. H×nh 1. BiÕn ®æi cña c−êng ®é trong qu¸ tr×nh lan truyÒn cña soliton c¬ b¶n (a) vµ π soliton bËc 10 (b) trong mét chu kú ξ = . 2 ë h×nh 1(a), hµm bao cña xung kh«ng thay ®æi d¹ng trong qu¸ tr×nh lan truyÒn, nã vÉn gi÷ d¹ng (17) cña xung vµo ban ®Çu. Trong h×nh 1(b), tuy hµm bao cã nh÷ng biÕn ®æi phøc t¹p khi lan truyÒn nh−ng ®Õn cuèi chu kú th× nã l¹i trë vÒ d¹ng ban ®Çu vµ qu¸ tr×nh l¹i lÆp l¹i trong c¸c chu kú tiÕp theo. C¸c kÕt qu¶ nµy phï hîp rÊt tèt víi kÕt qu¶ gi¶i tÝch vÒ tÝnh chÊt biÕn ®æi tuÇn hoµn theo chu kú cña hµm bao. Víi c¸c soliton bËc cao th× biÓu thøc gi¶i tÝch cña chóng v« cïng phøc t¹p nªn chØ soliton bËc hai vµ ba th× míi viÕt ®−îc ë d¹ng t−êng minh [10] cßn nh− soliton bËc 10 ë trªn th× th−êng chØ cã thÓ ®−îc biÓu diÔn b»ng c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n b»ng sè mµ th«i. 2. Va ch¹m gi÷a c¸c soliton TiÕp theo, chóng t«i xÐt tr−êng hîp lan truyÒn cña nhiÒu soliton. HÖ c¸c soliton ®i vµo m«i tr−êng cã thÓ biÓu diÔn nh− sau: U (0,τ ) = sec h(τ − τ 1 ) + r sec h[r (τ + τ 2 )]exp(iθ ) , (18) víi r lµ liªn hÖ vÒ biªn ®é cßn θ lµ liªn hÖ vÒ pha cña chóng [4, 7]. C¸c kÕt qu¶ gi¶i tÝch [10] ®· chØ ra r»ng do c¸c hiÖn t−îng phi tuyÕn nªn trong qu¸ tr×nh lan truyÒn c¸c soliton sÏ cã t−¬ng t¸c víi nhau. C¸c tÝnh to¸n sau ®©y cña chóng t«i tiÕn hµnh cho qu¸ tr×nh va ch¹m cña c¸c soliton c¬ b¶n vµ c¸c soliton bËc cao. C¸c tham sè trong (18) ®−îc chän lµ, r = 1,θ = 0 vµ τ 1 = τ 2 . KÕt qu¶ tÝnh to¸n biÓu diÔn ë h×nh 2. H×nh 2(a) m« t¶ qu¸ tr×nh va ch¹m gi÷a hai soliton c¬ b¶n. Trong khi lan truyÒn, míi ®Çu hai soliton nµy hót nhau vµ tiÕn l¹i gÇn trong khi c−êng ®é t¨ng dÇn lªn, ë vÞ trÝ hai soliton gÇn nhau nhÊt, c−êng ®é gÊp 4 lÇn gi¸ trÞ ban ®Çu, sau ®ã chóng l¹i ®Èy nhau ra xa vµ c−êng ®é gi¶m dÇn vÒ c¸c gi¸ trÞ ban ®Çu. Qu¸ tr×nh hót vµ ®Èy gi÷a c¸c soliton do ¶nh h−ëng cña c¸c hiÖn t−îng t¸n s¾c vµ phi tuyÕn ®−îc lÆp ®i lÆp l¹i theo chu kú, sau mçi lÇn va ch¹m nh− vËy d¹ng cña hµm bao xung vÉn kh«ng thay ®æi. KÕt qu¶ t−¬ng tù còng xÈy ra víi c¸c soliton bËc cao. Trong h×nh 2(b) 51
§. X. Khoa, N. V. H−ng, B. §. ThuËn, H. T. H. Thanh... lan truyÒn xung, Tr. 47-53 H×nh 2. Va ch¹m cña hai soliton c¬ b¶n trªn qu·ng ®−êng lan truyÒn ξ=90 (a) vµ gi÷a hai soliton bËc 2 trªn qu·ng ®−êng lan truyÒn ξ =10 (b). chóng t«i xÐt va ch¹m cña hai soliton bËc hai. Do kho¶ng c¸ch gi÷a hai soliton gÇn h¬n tr−êng hîp tr−íc nªn qu¸ tr×nh va ch¹m diÔn ra nhanh h¬n. C¸c soliton hót vµ ®Èy nhau vÉn theo chu kú nh−ng biÕn ®æi cña hµm bao lµ kh¸ phøc t¹p. Chóng t«i còng tiÕn hµnh c¸c tÝnh to¸n t−¬ng tù cho c¸c soliton bËc cao h¬n vµ nhËn thÊy r»ng biÕn ®æi cña hµm bao trong mçi chu kú cña va ch¹m cµng phøc t¹p víi c¸c soliton bËc cµng cao. C¸c kÕt qu¶ thu ®−îc phï hîp rÊt tèt víi c¸c tÝnh to¸n trong [9]. IV. KÕt luËn Trong bµi nµy chóng t«i nghiªn cøu c¸c thuËt to¸n split – step vµ Runge – Kutta bËc bèn ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh lan truyÒn xung. Qua mét sè tÝnh to¸n cã tÝnh chÊt kiÓm tra ®èi víi mét sè tr−êng hîp riªng, ®é chÝnh x¸c cña c¸c ph−¬ng ph¸p nµy ®· ®−îc kh¼ng ®Þnh. Trong bµi tiÕp theo chóng t«i sÏ ¸p dông ®Ó tÝnh to¸n cho qu¸ tr×nh lan truyÒn cña c¸c xung femt« gi©y. T i liÖu tham kh¶o [1] Cao Long V©n, NguyÔn ViÖt H−ng, Marek Trippenbach, §inh Xu©n Khoa, Propagation technique for ultrashort pulses I. T¹p chÝ khoa häc, Tr−êng §¹i häc Vinh, 3A, TËp 36, 2007, trang 47-54. [2] Cao Long V©n, §inh Xu©n Khoa, Marek Trippenbach, NhËp m«n Quang häc phi tuyÕn, Vinh - 2003. [3] Cao Long V©n, Marek Trippenbach, §inh Xu©n Khoa, NguyÔn ViÖt H−ng, Phan Xu©n Anh, National Conference on Theoretical Physics, Sam son, Vietnam, 12 - 14 August 2003; Journal of Science, Vinh University 1A, 50, 2003. [4] G. M. Muslu, H. A. Erbay, Mathematics and Computers in Simulation, 67, 2005, pp. 581 - 595. 52
T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 tr−êng §¹i häc Vinh [5] J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker - 2001. [6] T. Hohage, F. Schmidt, On the Numerical Solution of Nonlinear Schrodinger Type Equations in Fiber Optics, Berlin, 2002. [7] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, 2003. [8] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in Fortran 77 - The Art of Scientific Computing, Cambridge University Press, 1992. [9] U. Bandelow, A. Demircan and M. Kesting, Simulation of Pulse Propagation in Nonlinear Optical Fibers, WIAS, 2003. [10] A. L. Maimistov, A. M. Basharov, Nonlinear optical waves, Kluwer Academic, 1999. summary Numerical methods to solve the pulse propagation equation In this paper, we presented numerical techniques to solve approximately the pulse propagation equation. By them we also investigate interactions of solitons. (a) Tr−êng §¹i Häc Vinh (b) Nghiªn cøu sinh ViÖn h n l©m khoa häc Ba Lan (c) Häc viªn cao häc 14- Quang häc, Tr−êng §¹i häc Vinh. 53

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.01: Bộ Luận Văn Thạc Sĩ Quản Trị Kinh Doanh MBA

165 tài liệu

2046 lượt tải

ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.100:9315 failed (errno=111, msg=Connection refused)

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn