Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về V-môđun"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

99
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 6. Hồ Sỹ Hùng, Ngô Sỹ Tùng, Một số kết quả về V-môđun...Cụ thể thì Vật lý khoa học nghiên cứu về các quy luật vận động của tự nhiên, từ thang vi mô (các hạt cấu tạo nên vật chất) cho đến thang vĩ mô (các hành tinh, thiên hà và vũ trụ). Trong tiếng Anh, từ vật lý (physics) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp φύσις (phusis) có nghĩa là tự nhiên và φυσικός (phusikos) là thuộc về tự nhiên....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một số kết quả về V-môđun"

Mét sè kÕt qu¶ vÒ v-m«®un (a) (b) Hå Sü Hïng , Ng« Sü Tïng M: Tãm t¾t. Trong bµi viÕt nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ sau cho m«®un M/ Soc M lµ V-m«®un nÕu vµ chØ nÕu M/ Soc M lµ GV-m«®un. (1) M/ Soc M lµ V-m«®un vµ Z (M ) ∩ Z ∗ (M ) = 0 th× M lµ GV-m«®un. (2) NÕu (3) NÕu m«®un M cã tÝnh chÊt (Ve) th× M/A lµ V-m«®un víi mäi m«®un con A cña M chøa Soc M . (4) M«®un M lµ V-m«®un khi vµ chØ khi M/H lµ V-m«®un, víi H lµ m«®un con kh«ng cèt yÕu trong M vµ H ∩ N bÐ trong N , víi mäi m«®un con cèt yÕu thùc sù N cña M . Më ®Çu 1. Cã nhiÒu híng kh¸c nhau ®Ó nghiªn cøu lý thuyÕt m«®un. Mét trong nh÷ng híng quan träng lµ ®Æc trng c¸c líp m«®un theo mét sè tÝnh chÊt x¸c ®Þnh nµo ®ã. Trong sè c¸c líp m«®un nµy th× líp m«®un néi x¹ vµ líp m«®un x¹ ¶nh ®îc xem lµ hai trô cét chÝnh ®Ó tõ ®ã ngêi ta nghiªn cøu vµ x©y dùng c¸c líp m«®un kh¸c. Trong nh÷ng n¨m gÇn ®©y, líp c¸c V-m«®un ®îc rÊt nhiÒu ngêi quan t©m vµ nghiªn cøu. C¸c kÕt qu¶ vÒ líp m«®un nµy ®· ®îc giíi thiÖu trong [2], [8]. Trong [6], t¸c gi¶ Ayse Cigdem Ozcan ®· ®a ra mét sè tÝnh chÊt cña V-m«®un vµ vµnh dùa vµo tÝnh chÊt (V) vµ (Ve). TiÕp tôc híng nghiªn cøu cña Ayse Cigdem Ozcan, chóng t«i ®· ®a ra ®îc thªm mét sè tÝnh chÊt vÒ V vµ GV-m«®un thÓ hiÖn qua c¸c §Þnh lý 2.4, §Þnh lý 2.6, §Þnh lý 2.8. Trong bµi viÕt nµy, vµnh lu«n ®îc gi¶ thiÕt lµ kÕt hîp, cã ®¬n vÞ. NÕu kh«ng nãi g× thªm th× c¸c m«®un trªn mét vµnh ®îc hiÓu ®ã chÝnh lµ c¸c m«®un ph¶i unita trªn R cè ®Þnh nµo ®ã. mét vµnh M, Rad M , Soc M , Z(M ), E(M ) Cho m«®un c¸c kÝ hiÖu lÇn lît lµ c¨n, ®Õ, m«®un M. M M con suy biÕn, bao néi x¹ cña m«®un M«®un ®îc gäi lµ bÐ nÕu lµ m«®un con E(M ) cña nã. Cho c¸c m«®un A vµ M , ta dïng c¸c ký hiÖu A M, bÐ trong bao néi x¹ A
M M -néi x¹. M«®un ®îc gäi lµ GV-m«®un, nÕu mäi m«®un ®¬n, suy biÕn lµ M M«®un ®îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (V), (Ve) t¬ng øng nÕu m ∈ M − K , m«®un con cña M K M (V) : Víi mäi m«®un con thùc sù cña vµ tèi M K , kh«ng chøa m lµ tèi ®¹i trong M . ®¹i trong líp c¸c m«®un con cña chøa K (Ve) : Trong ®Þnh nghÜa cña tÝnh chÊt (V), chØ yªu cÇu lµ m«®un con cèt yÕu M. thùc sù cña C¸c kÕt qu¶ 2. Chóng ta b¾t ®Çu víi c¸c Bæ ®Ò sau mµ c¸c phÐp chøng minh lµ hiÓn nhiªn. 2.1. X, M R-m«®un. A, B M A (Xem [4]) Cho lµ c¸c lµ c¸c m«®un con cña vµ Bæ ®Ò B . NÕu X lµ M/A-néi x¹ th× X lµ M/B-néi x¹. 2.2. N M Cho lµ m«®un con cña m«®un tháa m·n ®ång thêi hai ®iÒu kiÖn Bæ ®Ò N M. (i) cèt yÕu trong N M -néi x¹. (ii) lµ M = N. Khi ®ã M . f : N −→ X 2.3. M, X R-m«®un, N Cho lµ c¸c lµ m«®un con cña lµ toµn Bæ ®Ò N ∩ L = ker f L cña M N +L = M f cÊu m«®un. NÕu tån t¹i m«®un con sao cho vµ th× M X. më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ tíi Sau ®©y lµ c¸c kÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o nµy: 2.4. M . Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng: Cho m«®un §Þnh lý M/ Soc M (1) lµ V-m«®un. M/ Soc M (2) lµ GV- m«®un. M (3) cã tÝnh chÊt (Ve). Chøng minh. (1)⇒(2). Râ rµng. (2)⇒(3). Gi¶ sö M , m ∈ M − K . L lµ m«®un K lµ mét m«®un con cèt yÕu thùc sù cña
M , tèi ®¹i chøa K , kh«ng chøa m. Khi ®ã ta cã (mR + L)/L lµ ®¬n vµ suy biÕn. con cña (mR + L)/L M/ Soc M L K L M, Theo (2) ta cã lµ - néi x¹. V× chøa nªn cèt yÕu trong L chøa Soc M . Theo Bæ ®Ò 2.3 ta cã (mR + L)/L lµ M/L-néi x¹. do ®ã A/L 0 M/L. L MÆt kh¸c, gi¶ sö lµ m«®un con thùc sù kh¸c cña Do lµ tèi ®¹i tho¶ m ∈ A, (mR + L)/L ∩ A/L = 0. L K, m m·n chøa kh«ng chøa nªn dÉn ®Õn Nh vËy (mR + L)/L M/L. M/L = (mR + L)/L cèt yÕu trong Tõ ®ã theo Bæ ®Ò 2.2, ta cã lµ L tèi ®¹i trong M . m«®un ®¬n. Do ®ã (3)⇒(1). (Xem [6]). Chóng t«i cã mét phÐp chøng minh kh¸c nh sau. X N/ Soc M Cho lµ m«®un ®¬n nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu thùc sù cña M/ Soc M , f : N/ Soc M −→ X 0. ker f = K/ Soc M . X lµ ®ång cÊu kh¸c Gäi Do ®¬n vµ f 0 nªn ta cã kh¸c (N/ Soc M )/(K/ Soc M ) ∼ X = N/K ∼ X , K N. N/ Soc M M/ Soc M = dÉn ®Õn do ®ã tèi ®¹i trong V× cèt yÕu trong nªn N M . B©y giê ta xÐt hai trêng hîp sau: cèt yÕu trong x ∈ N − K, L K N, K M. Trêng hîp 1: cèt yÕu trong dÉn ®Õn cèt yÕu trong Gäi lµ M, K, x. L m«®un con cña tèi ®¹i chøa kh«ng chøa Theo tÝnh chÊt (Ve) ta cã tèi ®¹i M . Khi ®ã ta cã: trong M = xR + L = N + L. N ∩L=N K = N ∩ L. Nh vËy ta cã V× nªn K/ Soc M = N/ Soc M ∩ L/ Soc M. f M/ Soc M X. X Theo Bæ ®Ò 2.3, më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ ®Õn Do ®ã lµ M/ Soc M -néi x¹. K N. K N K Trêng hîp 2: kh«ng cèt yÕu trong V× tèi ®¹i trong nªn lµ h¹ng tö trùc N = K ⊕ T , dÉn ®Õn T N. T M tiÕp cña Do ®ã tån t¹i m«®un con cña sao cho ®¬n. Do T Soc M K , kÐo theo T = 0 vµ N = K ®ã lµ m©u thuÉn. Z∗ (M ) : = {m ∈ M | mR bÐ} ®îc gäi lµ 2.5. M. Cho m«®un M«®un §Þnh nghÜa M. m«®un con ®èi suy biÕn cña Z(M ) ∩ Z∗ (M ) = 0 2.6. M. M/ Soc M M Cho m«®un NÕu lµ V-m«®un vµ th× §Þnh lý lµ GV-m«®un.
N Chøng minh. Cho X lµ m«®un ®¬n, suy biÕn nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu X . §Æt K = ker f , ta cã N/K ∼ X M f 0 tõ N = thùc sù cña vµ lµ ®ång cÊu kh¸c ®Õn nªn K N . B©y giê ta xÐt 2 trêng hîp sau tèi ®¹i trong x ∈ N − K, L K N, K M. Trêng hîp 1: cèt yÕu trong dÉn ®Õn cèt yÕu trong Gäi lµ K, x. M/ Soc M m«®un con tèi ®¹i chøa kh«ng chøa Do lµ V-m«®un nªn theo §Þnh lý M L tèi ®¹i trong M . Do ®ã ta cã 2.4, tho¶ m·n tÝnh chÊt (Ve). Tõ ®ã ta cã M = xR + L = N + L. N ∩L = N N ∩ L chøa K K = N ∩ L. VËy theo N MÆt kh¸c ta cã vµ tèi ®¹i trong nªn f M X . Do ®ã X M -néi x¹. Bæ ®Ò 2.3, ta cã më réng ®îc thµnh ®ång cÊu tõ ®Õn lµ K N. K N Trêng hîp 2: kh«ng cèt yÕu trong V× tèi ®¹i trong nªn tån t¹i m«®un con N = K ⊕ T . Khi ®ã ta cã N/K ∼ T ∼ X. Do ®ã T T M == cña sao cho lµ m«®un ®¬n. T T Tríc hÕt ®Ó ý r»ng nÕu lµ m«®un ®¬n vµ kh«ng néi x¹ th× lµ m«®un bÐ, bëi v× E(T ) nªn T ∩ X = Y = 0. Bëi v× T T + X = E(T ). Khi ®ã, do T nÕu cã cèt yÕu trong ®¬n Y = T , do ®ã T ⊆ X X = E(T ). VËy T
H ∩N 2.8. M H M Cho m«®un vµ lµ m«®un con kh«ng cèt yÕu trong tháa m·n §Þnh lý N N M. bÐ trong víi mäi m«®un con cèt yÕu thùc sù cña Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t¬ng ®¬ng M (1) lµ V-m«®un. M/H (2) lµ V-m«®un. Chøng minh. (1)⇒(2). HiÓn nhiªn. (2)⇒(1). Gäi X N M lµ m«®un ®¬n nµo ®ã. Gi¶ sö lµ m«®un con cèt yÕu thùc sù cña vµ f : N −→ X K = ker f . lµ ®ång cÊu kh¸c 0. §Æt Ta cã (N ∩ H )/(K ∩ H ) ∼ ((N ∩ H ) + K )/K N/K ∼ X. = = Tõ ®ã xÈy ra 2 trêng hîp sau ((N ∩ H ) + K )/K = N/K , dÉn ®Õn Trêng hîp 1: (N ∩ K ) + K = N. (N ∩ H ) N K = N. Do bÐ trong nªn suy ra §iÒu nµy lµ m©u thuÉn vµ trêng hîp 1 kh«ng x¶y ra. ((N ∩ H ) + K )/K = 0, N ∩ H = K ∩ H. Trêng hîp 2: do dã ta cã Ta x©y dùng ¸nh h : (N + H )/H −→ X h(x + H ) = f (x). h x¹ x¸c ®Þnh bëi Khi ®ã lµ mét ®ång cÊu g : M/H −→ X g ◦ i = h, víi M/H m«®un. Do lµ V-m«®un nªn tån t¹i ®ång cÊu sao cho i : (N + H )/H −→ M/H ϕ : M −→ M/H lµ phÐp nhóng. Gäi lµ toµn cÊu tù nhiªn, khi g ◦ ϕ lµ më réng cña f . VËy X M -néi x¹, hay M ®ã lµ lµ V-m«®un . Tµi liÖu tham kh¶o [1] F. W. Anderson and K.R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Text in Math., No.13 Springer - Verlag, NewYork, Heidelberg, Berlin, 1992. [2] N. V. Dung, D.V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman 313, Longman, Harlow, UK, 1994. Research Notes in Mathematics series [3] C. Faith, Algebra II, Ring Theory, Springer- Verlag, 1976.
[4] S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. 147, Cambridge Univ, Press, Cambridge, 1990. Soc. Lecture Notes series [5] M. Harada, Non - small and non - cosmall modules, Proc. of the Adtw. Conf., Marcel - Dekker Inc (1979), 669 - 689. [6] Agse Cigdem Ozcan, Some characterizations of V- modules and rings, Vietnam J. 26(3) 1998, 253-258. of. Math., [7] Harmanci and Smith, Relative injectivity and modules classes, Comm. in Alg., 20(9) (1992), 2471-2501. [8] R. Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach. Reading 1991. SUMMARY SOME RESULTS ON V-MODULES In this note, we obtain some results on V and GV-modules. The followings hold for M: a module (1)M/ Soc M is a V-module if and only if M/ Soc M is a GV-module. ∗ Z(M ) ∩ Z (M ) = 0 then M M/ Soc M (2) If is a V-module and is a GV-module. M M/A is a V-module for every submodule A of (3) If a module has property (Ve) then M Soc M . containing M M/H H M (4) is a V-module if and only if is a V-module for every submodule of H ∩N H M N such that is not essential in and is small in for every essential proper N M. submodule of (a) Trêng PTTH Phan Béi Ch©u (b) Trêng §¹i Häc Vinh.