Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một tương tự của định lý ABC cho hàm nhiều biến"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hu-Yang đã ch ng minh m t k t qu suy r ng c a đ nh lý trên, trong đó đ ng th c a + b = c đư c thay b i f0 + · · · + fn+1 = 0 Trong bài báo này, chúng tôi ch ng minh đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. Gi s f là m t....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Một tương tự của định lý ABC cho hàm nhiều biến"

T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009 M T TƯƠNG T C A Đ NH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHI U BI N Nguy n Th Phương Nhung Trư ng Đ i h c Vinh Tóm t t.Trong bài báo này, b ng k thu t Wronskian trên đa th c chúng tôi ch ng đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. 1. Gi i thi u: Gi s F là m t trư ng đóng đ i s có đ c s 0 và f (z ) là m t hàm khác h ng s v i h s thu c F . Ký hi u r(f ) là s các không đi m phân bi t c a f . Đ nh lý abc cho hàm m t bi n đư c phát bi u như sau: Đ nh lý abc([3]). Gi s a(z ), b(z ), c(z ) là các đa th c trên F không đ ng th i là h ng s sao cho a + b = c. Khi đó max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1. Trong [2], Hu-Yang đã ch ng minh m t k t qu suy r ng c a đ nh lý trên, trong đó đ ng th c a + b = c đư c thay b i f0 + · · · + fn+1 = 0 Trong bài báo này, chúng tôi ch ng minh đư c m t k t qu tương t c a đ nh lý abc cho các hàm nhi u bi n. Gi s f là m t đa th c nhi u bi n v i h s trong F và f có s phân tích: s p αi , f= i i=1 trong đó các đa th c pi là b t kh quy, phân bi t, và αi > 0 là các s nguyên. Đ nh nghĩa s N0 (f ) = deg( pi ). i=1 K t qu chính c a bài báo là đ nh lý sau đây: Đ nh lý:Gi s f0 , ..., fn+1 là n + 2 đa th c nhi u bi n trong vành F [x1 , ..., xl ] không có không đi m chung sao cho f0 , ..., fn đ c l p tuy n tính. Gi s r ng f0 + · · · + fn+1 = 0. (1) 97
Khi đó n(n + 1) max deg fi ≤ (N0 (f0 · · · fn+1 ) − 1). 2 0≤i≤n+1 2. Ch ng minh Đ nh lý: Gi s f là m t hàm h u t nhi u bi n, ta vi t f dư i d ng: f1 f= , f2 trong đó f1 , f2 là các đa th c khác không và nguyên t cùng nhau trong vành đa th c F [x1 , ..., xl ]. B c c a f , ký hi u deg f , đư c đ nh nghĩa b i deg f1 − deg f2 . Gi s p là m t đa th c b t kh quy, ta vi t f dư i d ng: g1 f = pα , g2 trong đó g1 , g2 là các đa th c sao cho p không là ư c c a tích g1 g2 . Khi đó, s nguyên α đư c g i là b c c a f t i p và đư c ký hi u b i µp . Chúng ta có m t s tính ch t f đơn gi n c a µp sau đây. f B đ 2.1.Gi s f, g là hai đa th c và p ∈ F [x1 , ..., xl ] là m t đa th c b t kh quy, ta có: a) µp +g ≥ min(µp , µp ), g f f b)µp g = µa + µp , g f f c) µp = µp − µp . g f f g Cho ∆ là m t toán t vi phân d ng ∂ µ1 ∂ µm ∆ = (µ1 · · · µm )−1 · · · µm , ∂xµ1 ∂xm 1 trong đó µi ≥ 0 là các s nguyên. Ta ký hi u h ng c a ∆ b i: m ρ(∆) = µi . i=1 B đ 2.2. Gi s ϕ là m t đa th c nhi u bi n th a mãn ∆ϕ ≡ 0, p là m t đa th c b t kh quy. Khi đó µp ϕ ≥ −ρ(∆) + µp . ϕ ∆ Ch ng minh: Gi s µp = m, khi đó t n t i đa th c f sao cho ϕ = pm f. Ta có ϕ ∂ϕ ∂f ∂p = pm−1 (p + mf ). ∂xi ∂xi ∂xi 98
T đó ta có µp∂ϕ ≥ m − 1. ∂xi Do đó µp∂ϕ ≥ −1 + µp . ϕ ∂xi T đó ta thu đư c µp ϕ ≥ −ρ(∆) + µp . ϕ ∆ Cho ∆0 , ..., ∆s sao cho ρ(∆i ) ≤ i và các đa th c h0 , ..., hs trong F [x1 , ..., xl ], Wronskian suy r ng có d ng W [h0 , ..., hs ] = det |∆i hj |0≤i,j ≤s . (2) M t k t qu (xem [7, 8]) kh ng đ nh r ng n u các hàm hi đ c l p tuy n tính trên F thì t n t i Wronskian suy r ng (2) không tri t tiêu. Ch ng minh đ nh lý: Theo gi thi t f0 , ..., fn đ c l p tuy n tính, khi đó t n t i m t Wronskian suy r ng W c a f0 , ..., fn không tri t tiêu. Ta đ t W (f0 , ..., fn ) P= , f0 ....fn f0 ....fn+1 Q= . W (f0 , ..., fn ) T đó ta có fn+1 = P Q. (3) Trư c h t, ta ch ng minh r ng deg Q ≤ ρN0 (f0 · · · fn+1 ) n trong đó ρ = ρ(∆j ). j =0 Gi s r ng p là m t ư c c a f0 f1 · · · fn+1 và p là m t đa th c b t kh quy. T gi thi t này ta suy ra t n t i m t ch s ν, 0 ≤ ν ≤ n + 1 sao cho p không là ư c c a fν . T gi thi t f0 + · · · + fn + fn+1 = 0 ta có µp f0 ···fn+1 = µp f0 ···fν −1 fν +1 ···fn+1 W (f0 ,...,fn ) W (f0 ,...,fν −1 ,fν +1 ,...,fn+1 ) n+1 µpj − µp (f0 ,...,fν −1 ,fν +1 ,...,fn+1 ) = f W j =0 trong đó W (f0 , ..., fν −1 , fν +1 , ..., fn+1 ) là m t t ng c a các h ng t δ ∆0 fα0 ∆1 fα1 · · · ∆n fαn , 99
αi ∈ {0, ...n + 1}\{ν }, δ = ±1. T các B đ 2.1, 2.2 chúng ta có µp 0 f α 0 ∆1 fα1 ···∆n fαn ∆ n n µpα − ≥ ρ(∆j ) f j j =0 j =0 µQp − ρ. = n fαj j =0 Theo B đ 2.1 ta có Q µp (f0 ,...,fν −1 ,fν +1 ,...fn+1 ) ≥ µp n − ρ. W f αj j =0 Do đó µp f0 ···fn+1 ≤ ρ. W (f0 ,...,fn ) Theo đ nh nghĩa b c c a hàm h u t , ta có: deg Q ≤ ρN0 (f0 · · · fn+1 ). (4) Ti p theo, chúng ta s ch ng minh r ng deg P ≤ −ρ. Ta có đ nh th c P là t ng c a các h ng t sau ∆0 fβ0 ∆1 fβ1 ∆2 fβ2 ....∆n fβn δ . fβ0 fβ1 fβ2 ...fβn V i m i h ng t ta có ∆0 fβO ∆1 fβ1 ∆2 fβ2 ....∆n fβn deg fβ0 fβ1 fβ2 ...fβn ∆0 fβO ∆1 fβ1 ∆n fβn + · · · + deg = deg + deg fβ0 fβ1 fβn ≤ −ρ(∆0 ) − ρ(∆1 ) − · · · − ρ(∆n ) = −ρ. Do đó deg P ≤ −ρ. (5) T (3), (4), (5) chúng ta có deg fn+1 = deg P + deg Q ≤ ρ (N0 (f0 · · · fn+1 ) − 1) . 100
n(n+1) T ρ(∆i ) ≤ i, ta có ρ ≤ 1 + 2 + · · · + n = . Do đó 2 n(n + 1) deg fn+1 ≤ (N0 (f0 · · · fn+1 ) − 1). 2 Tuơng t đ i v i các đa th c f0 , f1 , ...., fn , ta có n(n + 1) max deg fi ≤ (N0 (f0 · · · fn+1 ) − 1). 2 0≤i≤n+1 Đ nh lý đư c ch ng minh. Tài li u tham kh o TÀI LI U THAM KH O [1] Browkin, J. and Brzezinski, J., Some remarks on the abc conjecture, Mathe- matics of Computation, 62, (1994), 931-939. [2] P.C. Hu and C.C.Yang, Notes on a generalized abc-conjecture over function fields, Ann. Math. Blaise Pascal 8 (2001), No. 1, 61-71. [3] Lang, S., Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc. 23 (1990), 3775. [4] Leonid N. Vaserstein and Ethel R. Wheland, Vanishing polynomial sums, Com- munications in Algebra, 31, No. 2, (2003), 751-772. [5] Mason, R. C., Equations over function fields, Lecture Notes in Math. 1068 (1984), 149-157, Springer. [6] Mason, R.C., Diophantine equations over function fields, London Math. Soc. Lec-ture Note Ser. 96, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984. [7] K. F. Roth, Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika 2, (1955), 1-20. [8] T. Schneider, Einfuhrung in die tranzsendenten Zahlen, Berlin, (1957), 15-16. [9] H.N. Shapiro and G.H. Sparer, Extension of a Theorem of Mason, Comm. Pure and Appl. Math., 47 (1994), 711-718. AN ANALOG TO ABC-THEOREM FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES Nguyen Thi Phuong Nhung Department of Mathematics,Vinh University SUMMARY In this paper we prove an analog to abc theorem for functions of several variables. 101