Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trong ln+1"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

91
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vật lý còn được xem là ngành khoa học cơ bản bởi vì các định luật vật lý chi phối tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác. Điều này có nghĩa là những ngành khoa học tự nhiên như sinh học, hóa học, địa lý học... chỉ nghiên cứu từng phần cụ thể của tự nhiên và đều phải tuân thủ các định luật vật lý. Ví dụ, tính chất hoá học của các chất đều bị chi phối bởi các định luật vật lý về cơ học lượng tử, nhiệt động lực học và điện từ học....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Tính dẹt của mặt đối chiều hai spacelike trong ln+1"

TÝnh dÑt cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 §Æng V¨n Cêng (a) n± -¸nh x¹ Gauss cho Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i giíi thiÖu c¸ch x©y dùng r n+1 . mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike chÝnh quy trong kh«ng gian Lorentz-Minkowski L ± -¸nh x¹ Gauss chóng t«i kh¶o s¸t tÝnh dÑt cña mÆt. Th«ng qua nr 1 Më ®Çu B»ng c¸ch ®Æt t¬ng øng mét ®iÓm trªn mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike chÝnh quy Ln+1 víi mét cÆp vect¬ chØ ph¬ng cña 2-ph¼ng trong kh«ng gian Lorentz-Minkoski n+1 , ph¸p trong n-kh«ng gian hyperbolic t©m v b¸n kÝnh 1, trong ®ã v = (0, 0, ..., 0, 1) ∈ L ± ± ta cã kh¸i niÖm nr -¸nh x¹ Gauss. Tõ kh¸i niÖm nµy chóng ta cã c¸c kh¸i niÖm: nr - ± -®é cong chÝnh, n± -®é cong Gauss-Kronecker, n± -®é cong trung ¸nh x¹ Weingarten, nr r r ± ± b×nh, ®iÓm nr -dÑt, mÆt nr -dÑt . . . vµ th«ng qua c¸c kh¸i niÖm nµy chóng t«i tiÕn hµnh kh¶o s¸t tÝnh dÑt cña mÆt. 2 KiÕn thøc c¬ së Kh«ng gian Lorentz-Minkowski 2.1 n-chiÒu Ln+1 Rn+1 Kh«ng gian Lorentz-Minkowski lµ kh«ng gian vect¬ cïng víi mét d¹ng song tuyÕn tÝnh ®îc x¸c ®Þnh bëi n xk yk − xn+1 yn+1 , x, y = k=1 x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ), y = (y1 , y2 , . . . , yn+1 ) ∈ Rn+1 . D¹ng song tuyÕn tÝnh trªn ®îc víi n+1 . gäi lµ gi¶ tÝch v« híng trªn L n+1 , ®é dµi cña vect¬ x ®îc x¸c ®Þnh theo (gi¶) tÝch v« híng Víi x ∈ L ||x|| = | x, x |. C¸c lo¹i vect¬ 2.2 x ∈ Ln+1 , x = 0. Khi ®ã x ®îc gäi lµ spacelike nÕu x, x > 0, timelike Cho nÕu x, x < 0 vµ lightlike nÕu x, x = 0. n+1 ®îc gäi lµ (gi¶) trùc giao víi nhau nÕu x, y = 0. Hai vect¬ x, y ∈ L 1 NhËn bµi ngµy 20/2/2008. Söa ch÷a xong ngµy 24/3/2008.
NhËn xÐt 2.1. (i) Hai vect¬ lightlike phô thuéc tuyÕn tÝnh th× trùc giao víi nhau. (ii) HÖ vect¬ gåm hai vect¬ kh¸c lo¹i th× ®éc lËp tuyÕn tÝnh. a, b ∈ Ln+1 , nÕu a = 0, b, b = −c < 0 vµ a, b = 0 th× a, a > 0. Nãi c¸ch Bæ ®Ò 2.1. Víi kh¸c, mét vect¬ kh¸c kh«ng trùc giao víi mét vect¬ timelike th× nã lµ vect¬ spacelike. Chøng minh. Tõ gi¶ thiÕt dÔ dµng suy ra ®îc ®iÒu ph¶i chøng minh. Chó ý, mét vect¬ trùc giao víi mét vect¬ spacelike th× cha h¼n lµ vect¬ timelike. C¸c lo¹i ph¼ng 2.3 Π lµ m-ph¼ng trong Ln+1 . Cho (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng spacelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chØ chøa c¸c vect¬ spacelike hoÆc vect¬ 0; (+) Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng timelike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π cã chøa Ýt nhÊt mét vect¬ timelike ; Π ®îc gäi lµ m-ph¼ng lightlike nÕu kh«ng gian chØ ph¬ng cña Π chøa Ýt nhÊt (+) mét vect¬ lightlike vµ kh«ng chøa vect¬ timelike nµo. Ln+1 . Π m-ph¼ng Khi ®ã Π m-ph¼ng NhËn xÐt 2.2. Cho lµ mét trong chØ cã thÓ lµ m-ph¼ng timelike, hoÆc lµ m-ph¼ng lightlike. spacelike, hoÆc n-kh«ng gian hyperbolic 2.4 n-chiÒu, ký hiÖu Hn (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau (i) Siªu mÆt hyperbolic Hn (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1}. n n-kh«ng gian hyperbolic, ký hiÖu H+ (−1), ®îc x¸c ®Þnh nh sau (ii) H+ (−1) = {x ∈ Ln+1 | x, x = −1, xn+1 > 0}. n a ∈ Ln+1 , n r ∈ R+ , n-kh«ng H+ (a, r), (iii) gian hyperbolic t©m b¸n kÝnh ký hiÖu ®îc x¸c ®Þnh nh sau H+ (a, r) = {x ∈ Ln+1 | x − a, x − a = −r, xn+1 ≥ 0}. n
3 n± - ¸nh x¹ Gauss r Trong môc nµy chóng t«i giíi thiÖu kh¸i niÖm mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 , giíi thiÖu c¸ch x©y dùng n± -¸nh x¹ Gauss vµ c¸c kh¸i niÖm liªn quan. Cuèi cïng r ± chóng t«i chøng minh mét tÝnh chÊt cña nr -¸nh x¹ Gauss t¬ng tù nh ¸nh x¹ Gauss trong h×nh häc vi ph©n cæ ®iÓn. M = X (U ) lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai trong Ln+1 . M §Þnh nghÜa 3.1. Cho n+1 c¶m sinh mét ®îc gäi lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike nÕu (gi¶) tÝch v« híng trªn L metric Riemann g trªn M , x¸c ®Þnh nh sau gp (w1 , w2 ) = w1 , w2 , ∀w1 , w2 ∈ Tp M, ∀p ∈ M. M Tp M Nãi c¸ch kh¸c, ®îc gäi lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike nÕu mäi vect¬ trªn ®Òu lµ vect¬ spacelike. p ∈ M, M p, Np M , Víi mçi kh«ng gian ph¸p cña t¹i ký hiÖu lµ ®îc x¸c ®Þnh nh sau Np M = N ∈ Ln+1 | N , Xui (p) = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1 . p∈M (n − 1)- M Tp M NÕu lµ mét mÆt spacelike th× víi mçi kh«ng gian tiÕp xóc lµ Np M ph¼ng spacelike vµ kh«ng gian ph¸p lµ 2-ph¼ng timelike. n± -¸nh M §Ó x©y dùng x¹ Gauss ®èi víi mÆt ®èi chiÒu hai spacelike ta quan t©m r n-kh«ng gian Hyperbolic t©m v , b¸n kÝnh 1 ®îc x¸c ®Þnh ®Õn H+ (v, 1) = {x ∈ Rn+1 | x − v, x − v = −1, xn+1 ≥ 0}, n v = (0, 0, . . . , 0, −1) ∈ Ln+1 . H+ (v, 1) nhËn ®îc b»ng c¸ch tÞnh n n-kh«ng víi tiÕn gian hyperbolic däc theo trôc xn+1 ®Õn vÞ trÝ cã ®Ønh n»m ë gèc to¹ ®é. Π r>0 Bæ ®Ò 3.1. Cho lµ 2-ph¼ng timelike ®i qua gèc to¹ ®é. Khi ®ã, víi mçi cho tríc, tËp hîp n {x = (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) ∈ Π ∩ H+ (v, 1) | xn+1 = r} chøa ®óng hai vect¬. Π lµ 2-ph¼ng timelike nªn nã chøa cÆp vect¬ chØ ph¬ng ®¬n vÞ {a, b} sao Chøng minh. a timelike, b spacelike vµ a, b = 0. V× Π ®i qua gèc to¹ ®é nªn ph¬ng tr×nh tham cho sè cña Π ®îc viÕt díi d¹ng x = λa + µb. n x ∈ H+ (v, 1) λ, µ xn+1 = r > 0. Ta t×m sao cho vµ Khi ®ã dÔ dµng chØ ra ®îc hÖ ph¬ng tr×nh −λ2 + µ2 − 2(λan+1 + µbn+1 ) = 0, x − v, x − v = −1, ⇔ (3.1) xn+1 = r λan+1 + µbn+1 = r cã hai nghiÖm ph©n biÖt. Suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
M lµ mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong Ln+1 , khi ®ã víi mçi p ∈ M siªu ph¼ng Cho {xn+1 = r}, (r > 0) c¾t hyperbola Np M ∩ H+ (v, 1) t¹i hai ®iÓm n± (p), ta quy íc chän n r ± (p) sao cho c¸c vect¬ nr det(Xu1 , Xu2 , . . . , Xun−1 , n+ (p), n− (p)) > 0. r r r n HS+ (v, 1) = H+ (v, 1) ∩ {xn+1 = r}, r > 0. Ký hiÖu §Þnh nghÜa 3.2. Víi c¸c ký hiÖu trªn, ¸nh x¹ n± : M r → HS+ (v, 1) r → n± (p) p r n± -¸nh M ®îc gäi lµ x¹ Gauss cña mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike trong r Ln+1 . n± (p) p = X (u1 , u2 , . . . , un−1 ) M, Cho lµ mét ®iÓm cña khi ®ã ®îc x¸c ®Þnh tõ hÖ r ph¬ng tr×nh   Xui , n = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1,  n − v, n − v = −1, (3.2)  nn+1 = r > 0.  ± n n Np r M = Np M ∩ Tn± (p) H+ (v, 1), ta cã ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh §Æt r ± dn± n n : Tp M → Tn± (p) H+ (v, 1) = Tp M ⊕ Np r M. r p r XÐt c¸c phÐp chiÕu trùc giao n± (p) n± (p) ± ± ± n n n πT r : Tp M ⊕ Np r M → Tp M, πNr : Tp M ⊕ Np r M → Np r M ⊂ Np M, ta cã tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh ± Anr : Tp M → Tp M p n± (p) ± ◦ dn± Anr = −πT r víi . p r p Khi ®ã: ¸nh x¹ Anr ± n± -¸nh x¹ Weingarten cña M p; (i) ®îc gäi lµ t¹i ®iÓm p r ± n± -®é n± - n M p, Kp r (ii) cong Gauss-Kronecker cña t¹i ký hiÖu , ®îc ®Þnh nghÜa tõ r r n± n± Kp = det(Ap ); ¸nh x¹ Weingarten r r ± n± n± -®é cong trung b×nh cña M 1 n p cho bëi Hp r = n−1 tr (Ap ); (iii) t¹i r r
± ± ± ± n n nr n± -®é Anr k1 r (p), k2 r (p), . . . , kn−1 (p) (iv) C¸c gi¸ trÞ riªng cña ®îc gäi lµ c¸c cong p r chÝnh cña M t¹i p. M C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø nhÊt cña ®îc x¸c ®Þnh nh sau gij = Xui , Xuj , i = 1, 2, . . . , n − 1. p∈M M C¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø hai cña t¹i ®îc x¸c ®Þnh nh sau ∂2X ± bnr (p) = (p), n± (p) , i, j = 1, 2, . . . , n − 1. r ij ∂ui ∂uj Ln+1 , p lµ mét ®iÓm tuú ý cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike M MÖnh ®Ò 3.1. Cho trong khi ®ã ta cã n± - ¸nh x¹ Weingarten lµ mét to¸n tö tù liªn hîp cña Tp M ; (1) r ± n n± -®é ki r (p), i = 1, 2, . . . , n − 1 M p (2) c¸c cong chÝnh cña t¹i lµ c¸c nghiÖm cña r k) ph¬ng tr×nh (Èn ± det(bnr (p) − kgij (p)) = 0; (3.3) ij ± n± -®é cong Gauss-Kronecker Kp r n (3) ®îc x¸c ®Þnh nh sau r ± det(bnr (p)) n± n± n± n± ij k1 r (p).k2 r (p) . . . kn−1 (p) r Kp r = = . det(gij (p)) p ∈ M . Víi mçi (u1 , u2 , . . . , un−1 ) ∈ U , ký hiÖu Chøng minh. LÊy n± (u1 , u2 , . . . , un−1 ) = n± (X (u1 , u2 , . . . , un−1 )). r r Khi ®ã ta cã ¸nh x¹ n± : U → H+ (v, 1). n r α(t) = X (u1 (t), u2 (t), . . . , un−1 (t)), t ∈ (−ε, ε), ε > 0 lµ mét cung tr¬n trªn M Gäi sao α(0) = p. Ta cã cho β (t) = n± (α(t)) = n± (u1 (t), u2 (t), . . . , un−1 (t)), t ∈ (−ε, ε) r r H+ (v, 1) vµ β (0) = n± (0). Khi ®ã n lµ mét cung tr¬n trªn r n−1 d± dn± = dn± (α (0)) = Xui (p)ui (0) n (u1 , u2 , . . . , un−1 ) r r dt r t=0 i=1 n−1 (n± )ui (0)ui (0). = r i=1
dn± (Xui ) = (n± )ui , i = 1, 2, . . . , n − 1. §Æc biÖt, ta cã r r Tríc hÕt ta chøng minh (n± )ui , Xuj = (n± )uj , Xui , i, j = 1, 2, . . . , n − 1. r r n± , Xui = 0, lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo uj ThËt vËy, tõ ®¼ng thøc ta ®îc r (n± )uj , Xui = − n± , Xui uj . (3.4) r r n± , Xuj = 0, lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo biÕn ui Tõ ®¼ng thøc ®îc r (n± )ui , Xuj = − n± , Xuj ui = n± , Xui uj . (3.5) r r r (n± )ui , Xuj = (n± )uj , Xui . Tõ (3.4) vµ (3.5) ta suy ra r r dn± (Xui ), Xuj = dn± (Xuj ), Xui . MÆt kh¸c ta cã Do ®ã r r ± ± n n dn± = πT r ◦ dn± + πNr ◦ dn± r r r vµ ± n πNr ◦ dn± (Xui ), Xuj = 0, i, j = 1, 2, . . . , n − 1; r nªn ± ± n n πT r ◦ dn± (Xui ), Xuj = πT r ◦ dn± (Xuj ), Xui . r r Nãi c¸ch kh¸c ± ± Anr (Xui ), Xuj = Anr (Xuj ), Xui . p p {Xu1 , Xu2 , . . . , Xun−1 } lµ c¬ së cña Tp M nªn víi mäi w1 , w2 ∈ Tp M 1. Do ®Òu cã ± ± ± Anr (w1 ), w2 = Anr (w2 ), w1 hay Anr lµ to¸n tö tù liªn hîp. p p p ± (aij ) lµ ma trËn cña Anr {Xu1 (p), Xu2 (p), . . . , Xun−1 (p)} cña Tp M . 2. Gäi ®èi víi c¬ së p Khi ®ã n−1 ± Anr (Xuj (p)) aij Xui (p), i = 1, 2, . . . , n − 1. = (3.6) p i=1 Tõ hÖ ph¬ng tr×nh (3.6) ta cã n−1 − dn± (Xuj (p)), Xum (p) = A± (Xuj (p)), Xum (p) = aji Xui (p), Xum (p) r p i=1 n−1 aji gim (p), m = 1, n − 1, j = 1, n − 1. = i=1 n± Xuj um (p), n± (p) = − dn± (Xuj (p)), Xum (p) m = 1, n − 1, j = r bjm (p) = Lu ý víi r r 1, n − 1. Suy ra ± ± (bnr (p)) = (aji )(gim (p)) ⇒ (aji ) = (bnr (p))(gim (p))−1 , jm jm
v× {Xu1 (p), Xu2 (p), . . . , Xun−1 (p)} ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ lµ c¸c vect¬ spacelike nªn det(gim (p)) = )−1 . 0. Suy ra tån t¹i (gim ± Khi ®ã c¸c nr -®é cong chÝnh cña M p lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (theo Èn k) t¹i ± det[(aij ) − kI ] = 0 ⇔ det[bnr (p) − k (gij (p))] = 0. jm n± -®é cong chÝnh cña M p lµ c¸c gi¸ trÞ riªng cña (aij ) hay nghiÖm cña VËy, c¸c t¹i r ph¬ng tr×nh (3.3). n± det(bp r (p)) ± n Kp r = det(aij ) = det(gij (p)) . 3. Theo ®Þnh nghÜa ta cã 4 TÝnh dÑt cña mÆt Trong môc nµy chóng t«i ®a ra c¸c kh¸i niÖm dÑt cña mÆt ®èi chiÒu hai spacelike Ln+1 , sau ®ã tiÕn hµnh kh¶o s¸t mét sè tÝnh chÊt liªn quan ®Õn tÝnh dÑt cña mÆt. trong Ln+1 . M §Þnh nghÜa 4.1. Cho lµ mét mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike trong Chóng ta cã c¸c kh¸i niÖm + n+ -dÑt (n− -dÑt) Anr = 0 p∈M r 1. Víi cè ®Þnh, ®iÓm ®îc gäi lµ ®iÓm (flat) nÕu r r p n− (Ap r = 0); n+ -dÑt nÕu mäi ®iÓm thuéc M ®Òu n+ -dÑt, (r cè ®Þnh). M M 2. ®îc gäi lµ mÆt ®îc r r ± -dÑt nÕu M lµ mÆt n+ -dÑt vµ n− -dÑt; gäi lµ mÆt nr r r p ∈ M , p lµ n+ -dÑt hoÆc p lµ ®iÓm n− -dÑt, M 3. ®îc gäi lµ mÆt dÑt nÕu víi mäi víi r r r > 0; mäi n+ -dÑt cña mÆt víi tÝnh h»ng cña §Þnh lÝ sau cho ta quan hÖ t¬ng ®¬ng gi÷a tÝnh r n+ . hµm r Ln+1 , M §Þnh lÝ 4.1. Cho lµ mét mÆt ®èi chiÒu hai spacelike trong khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau t¬ng ®¬ng n+ -dÑt (n− -dÑt); M 1. lµ mÆt r r n+ (n− ) lµ mét hµm h»ng. 2. r r 1. ⇒ 2. Ta sÏ chøng minh (n+ )ui = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1. Gi¶ sö tån t¹i i Chøng minh. r + + sao cho (nr )ui = 0. Tõ gi¶ thiÕt M lµ nr -dÑt ta suy ra c¸c hÖ sè cña d¹ng c¬ b¶n thø + hai øng víi nr b»ng 0, nghÜa lµ Xui uj , n+ = 0, i, j = 1, 2, . . . , n − 1. r
MÆt kh¸c ta cã Xuj , n+ = 0, j = 1, 2, . . . , n − 1 ⇒ Xuj ui , n+ = − Xuj , (n+ )ui , r r r Xuj , (n+ )ui = 0, j = 1, 2, . . . , n − 1. (n+ )ui ∈ Np M, j = 1, 2, . . . , n − 1. nªn Suy ra VËy r r nªn tån t¹i λ, µ ∈ R sao cho (n+ )ui = λn+ + µn− , i = 1, 2, . . . , n − 1. r r r (n+ )n+1 = (n− )n+1 = r Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra r r (n+ )ui = λ(n+ − n− ) = λ[(n+ − v ) − (n− − v )]. (4.1) r r r r r n+ − v, n+ − v = −1 lÊy ®¹o hµm hai vÕ theo ui ta ®îc (n+ )ui , n+ − Sö dông gi¶ thiÕt r r r r v = 0, kÕt hîp víi (4.1) ta cã λ (n+ − v ) − (n− − v ), n+ − v = 0 ⇒ λ(−1 − n+ − v, n− − v ) = 0. r r r r r (n+ )ui = 0 nªn λ = 0 ta suy ra n+ − v, n− − v = −1. Ta cã Víi gi¶ thiÕt r r r (n+ )ui , (n+ )ui = λ2 (−2 − 2 n+ − v, n− − v ) = 0. r r r r n (n+ )n+1 = r (n+ )ui , (n+ )ui = [(n+ )j ]2 i = 0, MÆt kh¸c, nªn m©u thuÉn víi gi¶ r r r r u j =1 (n+ )ui = 0. VËy n+ lµ hµm h»ng. thiÕt r r 2 ⇒ 1 Theo ®Þnh nghÜa x¸c ®Þnh n+ ta cã Xui , n+ = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1, nªn r r bij (n+ ) = Xui uj , n+ = − Xui , (n+ )uj = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1. r r r n± ®èi víi c¬ së {Xui }i=1,n−1 r Tõ chøng minh cña MÖnh ®Ò 3.1, víi (aij ) lµ ma trËn cña AP th× (aij ) = (bij (n+ )).(gij )−1 = 0. r n+ -dÑt. M Suy ra lµ mÆt r §Þnh lÝ ®îc chøng minh. Ln+1 . Khi ®ã M MÖnh ®Ò 4.1. Cho lµ mÆt tham sè hãa ®èi chiÒu hai spacelike trong n− ) n+ r>0 M (a) NÕu tån t¹i sao cho (hoÆc lµ mét hµm h»ng th× chøa trong mét r r siªu ph¼ng spacelike. r > 0 sao cho n+ vµ n− lµ c¸c hµm h»ng hoÆc tån t¹i r1 , r2 (r1 = r2 ) (b) NÕu tån t¹i r r − + + + sao cho nr , nr (hoÆc nr , nr ) lµ c¸c hµm h»ng th× M chøa trong (n − 1)-ph¼ng, 1 2 1 2 ± 4 vµ khi ®ã nr h»ng víi mäi r > 0. Trong kh«ng gian L th× lóc nµy M chøa trong mét mÆt ph¼ng.
n+ X, n+ = c ∈ R. ThËt vËy Chøng minh. (a) Gi¶ sö lµ hµm h»ng, ta chøng minh r r ∂ X, n+ = Xui , n+ + X, (n+ )ui = 0, i = 1, 2, . . . , n − 1. r r r ∂ui X, n+ = c ∈ R. Nãi c¸ch kh¸c M Suy ra chøa trong mét siªu ph¼ng spacelike. r (b) Lµ hÖ qu¶ trùc tiÕp cña (a). n± -dÑt. M M NhËn xÐt 4.1. (i) NÕu lµ mÆt dÑt th× lµ mÆt r r > 0 sao cho n+ vµ n− lµ c¸c hµm h»ng M (ii) NÕu mÆt tháa m·n ®iÒu kiÖn: tån t¹i r r + , n− lµ c¸c hµm h»ng th× c¶ hai kh¸i niÖm hoÆc tån t¹i r1 , r2 (r1 = r2 ) sao cho nr r2 1 ± dÑt trong §Þnh nghÜa 4.1 trïng nhau. Nh vËy, mét mÆt nr -dÑt lµ mét mÆt dÑt. n+ -dÑt th× kh«ng suy ra ®îc nã lµ n− -dÑt vµ n+ -dÑt kh«ng suy ra M MÆt lµ Chó ý. r r r ®îc mÆt ®ã lµ dÑt. VÝ dô sau lµm râ ®iÒu nµy. L4 Trong xÐt mÆt tham sè hãa VÝ dô 4.1. π π → L4 X : (0, ) × (0, ) 2 2 → (u, v, sin v cos u, u + v − ε), ε > 0 (u, v ) M = X ((0, π ) × (0, π )) chøa trong DÓ dµng chØ ra ®îc mét siªu ph¼ng spacelike nªn 2 2 4 nã lµ mét mÆt 2-chiÒu spacelike trong L . Víi r = 2, gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (3.2) ta nhËn ®îc n+ = (2, 2, 0, 2), n− = 2(1 + cos(u + v ) sin v sin u, 1 − cos(u + v ) cos v cos u, 1). 2 2 n+ -dÑt mµ kh«ng lµ n− -dÑt. M Tõ kÕt qu¶ cña §Þnh lÝ 4.1 ta suy ra lµ 2 2 r = 1 gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh (3.2) ta nhËn ®îc Víi cos2 (u + v ) + 2 2 cos(u + v ) ± n± = (1 + sin v sin u , 1 2 cos2 (u + v ) + 2 2 cos(u + v ) ± 1 − cos v cos u , 2 cos2 (u + v ) + 2 2 cos(u + v ) ± , 1). 2 n− ®Òu kh«ng lµ c¸c hµm h»ng, n+ M Râ rµng vµ nªn theo §Þnh lÝ 4.1 ta suy ra mÆt 1 1 − + kh«ng lµ mÆt n1 -dÑt vµ kh«ng lµ mÆt n1 -dÑt. tµi liÖu tham kh¶o [1] Manfredo P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and surfaces, China Machine Press.
[2] S. Izumiya, On Legendrian singularities, Proceedings of AMS, 101, 1987, 748- 752. [3] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, The lightcone Gauss map and the lightcone developable of a spacelike curve in Minkowski 3-space, Glasgow. Math. J., 42, 2000, 75-89. [4] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, Singularities of hyperbolic Gauss maps, Pro- ceedings of the London Mathematical Society, 86, 2003, 485-512. [5] S. Izumiya, D. Pei and M. C. Romero-Fuster, Umbilicity of spacelike submani- folds of Minkowski space, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 134A, 2004, 375-387. [6] S. Izumiya, D-H. Pei and T. Sano, Horospherical surface of curve in Hyperbolic space, Publictiones Mathematicae (Debrecen), 64, 2004, 1-13. [7] S. Izumiya, and MarÝa del Romero-Fuster, The lightlike flat geometry on space- like submanifolds of codimension two in Minkowski space, Prerint, April, 2006. Summary Ln+1 The flatness of spacelike surfaces of codimension two in n± In this paper we introduce the notion of -Gauss map for a spacelike surface of r Ln+1 codimension two in the Lorentz-Minkowski space and study the flatness of such surfaces. (a) Khoa KH-TN trêng §¹i häc Duy T©n, §µ N½ng.