Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Vành cấu xạ và QF – vành."

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập các báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh năm 2008 tác giả: 1. Lê Văn An, Nguyễn Thị Hải Anh, Vành cấu xạ và QF – vành. Trong bài báo cáo này chúng tôi đưa ra một số kết quả về vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Vành cấu xạ và QF – vành."

Báo cáo nghiên cứu khoa học: " Vành cấu xạ và QF – vành."
Vµnh cÊu x¹ vµ QF - vµnh (a) (b) Lª V¨n An , NguyÔn ThÞ H¶i Anh Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹. Tõ ®ã ®a ra mét sè ®Æc trng cña QF - vµnh bëi c¸c líp vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹. C¸c kÕt qu¶ nµy lµ sù tiÕp tôc nh÷ng nghiªn cøu cña V. Camillo, W. K. Nicholson vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [8] ...). I. Më ®Çu Trong bµi b¸o nµy c¸c vµnh ®Òu lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ vµ tÊt c¶ c¸c m«®un lµ R nµo ®ã (nÕu kh«ng nãi g× thªm). Cho R−m«®un ph¶i m«®un ph¶i unita trªn vµnh A ⊆ M , A ⊆e M , A ⊆⊕ M ®Ó chØ A lµ m«®un con cña M. Chóng ta dïng ký hiÖu m«®un M , A lµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M , A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña m«®un M. Cho R−m«®un ph¶i M , ta xÐt c¸c ®iÒu kiÖn sau: (C1 ) Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M , hay nãi c¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng trong M lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C2 ) NÕu A vµ B lµ c¸c m«®un con cña M ®¼ng cÊu víi nhau vµ A lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M th× B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (C3 ) NÕu A vµ B lµ c¸c h¹ng tö trùc tiÕp cña M vµ A ∩ B = 0 th× A ⊕ B còng lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M . (1 − C1 ) Mäi m«®un con ®Òu (uniform) cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M . M«®un M ®îc gäi lµ CS −m«®un (t¬ng øng m«®un (1 − C1 ), m«®un liªn tôc, tùa liªn tôc), nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C1 ) (t¬ng øng (1 − C1 ), (C1 ) vµ (C2 ); (C1 ) vµ (C3 )). Theo [6] ta cã (C2 ) =⇒ (C3 ) vµ s¬ ®å kÐo theo sau lµ ®óng: ⇒ Tùa néi x¹ =⇒ Liªn tôc =⇒ Tùa liªn tôc =⇒ CS =⇒ (1 − C1 ). Néi x¹ = M«®un M ®îc gäi lµ (®Õm ®îc) Σ−néi x¹ (t¬ng øng (®Õm ®îc) Σ−tùa néi x¹, (I ) (N ) (®Õm ®îc) Σ − (1 − C1 )) nÕu m«®un M (t¬ng øng M ) lµ néi x¹ (t¬ng øng tùa néi x¹, (1 − C1 )) víi tËp chØ sè I bÊt kú (trong ®ã N lµ tËp hîp c¸c sè tù nhiªn). Vµnh R ®îc gäi lµ QF - vµnh nÕu R lµ vµnh Artin ph¶i vµ tr¸i, tùa néi x¹ ph¶i vµ tr¸i. Vµnh R ®îc gäi lµ QF - 2 ph¶i (tr¸i) nÕu RR (t¬ng øng R R) ®îc ph©n tÝch thµnh tæng trùc tiÕp c¸c i®ªan ph¶i (tr¸i) ®Òu. a cña vµnh R ®îc gäi lµ phÇn tö chÝnh quy (regular) (chÝnh quy kh¶ Mét phÇn tö b cña R sao cho a = aba. nghÞch (unit regular)) nÕu tån t¹i phÇn tö (phÇn tö kh¶ nghÞch) R ®îc gäi lµ vµnh chÝnh quy (chÝnh quy kh¶ nghÞch) nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ Vµnh e cña vµnh R ®îc gäi lµ phÇn chÝnh quy (t¬ng øng chÝnh quy kh¶ nghÞch). PhÇn tö 2 tö luü ®¼ng nÕu e = e. Vµnh R ®îc gäi lµ vµnh Bun nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ luü ®¼ng. l(A) = {b ∈ R | ba = R A lµ mét tËp con kh¸c rçng cña R. Cho mét vµnh vµ §Æt 1 NhËn bµi ngµy 29/2/2008. Söa ch÷a xong 24/11/2008.
0, ∀a ∈ A} vµ gäi lµ linh ho¸ tö tr¸i cña tËp A. T¬ng tù ®Æt r(A) = {b ∈ R | ab = 0, ∀a ∈ A} vµ gäi lµ linh ho¸ tö ph¶i cña tËp A. NÕu A = {a} th× l(a), r(a) lÇn lît gäi lµ linh ho¸ tö tr¸i (ph¶i) cña phÇn tö a. Theo [10, page 8], l (A) (t¬ng øng r (A)) lµ i®ªan tr¸i (t¬ng øng ph¶i) cña vµnh R. Ta nãi vµnh R tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i (hoÆc tr¸i) nÕu mäi chuçi t¨ng c¸c linh ho¸ tö ph¶i (t¬ng øng tr¸i) ®Òu dõng. Vµnh R gäi lµ P −néi x¹ ph¶i (right principally injective) nÕu víi mäi a ∈ R th× lr(a) = Ra. Theo [7, Proposition 5.10], nÕu R lµ P −néi x¹ ph¶i th× RR tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C2 ). Theo [7, Example 5.3], R ⊕ R lµ P −néi x¹ ph¶i khi vµ chØ khi R lµ P −néi x¹ ph¶i. a cña vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) morphic) nÕu Mét phÇn tö b cña R sao cho aR = r(b) vµ bR = r(a) (t¬ng øng Ra = l(b) vµ tån t¹i phÇn tö Rb = l(a)). Vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) morphic ring) nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ cÊu x¹ ph¶i (tr¸i). Vµnh R ®îc gäi lµ cÊu x¹ (morphic ring) nÕu nã lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. a R Mét phÇn tö cña vµnh ®îc gäi lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) quasi - b vµ c cña R sao cho aR = r(b) vµ r(a) = cR (t¬ng morphic) nÕu tån t¹i c¸c phÇn tö Ra = l(b) l(a) = cR). R ®îc gäi lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) (right (left) øng vµ Vµnh quasi - morphic ring) nÕu mäi phÇn tö cña nã lµ tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i). Vµnh R ®îc gäi lµ tùa cÊu x¹ (quasi - morphic ring) nÕu nã lµ vµnh tùa cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. Vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹ ®îc nghiªn cøu bëi V. Camillo, W. K. Nicholson vµ mét sè t¸c gi¶ kh¸c (xem [1], [8], ...). Trong bµi viÕt nµy chóng t«i ®a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh cÊu x¹ (tùa cÊu x¹). Chóng t«i còng ®a ra mét sè ®Æc trng cña QF - vµnh bëi vµnh cÊu x¹ vµ vµnh tùa cÊu x¹. II. Vµnh cÊu x¹ R. MÖnh ®Ò 2.1. Cho vµnh a kh¶ nghÞch trong R lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. (a) PhÇn tö (b) PhÇn tö luü ®¼ng e cña R lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. Chøng minh. b vµ c cña R sao cho aR = r(b), bR = r(a) (a) Ta chøng minh r»ng tån t¹i c¸c phÇn tö Ra = l(c), Rc = l(a). ThËt vËy, v× a kh¶ nghÞch nªn aR = R = r(0) vµ r(a) = 0 = vµ 0R. §Æt b = 0, chóng ta cã: aR = r(b), bR = r(a). T¬ng tù, ®Æt c = 0, chóng ta cã: Ra = l(c), Rc = l(a). VËy a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. (b) Ta chøng minh r»ng eR = r (1 − e), r (e) = (1 − e)R vµ Re = l (1 − e), l (e) = R(1 − e). 2 ThËt vËy, nÕu x ∈ eR th× x = ex. V× thÕ (1 − e)x = (1 − e)ex = (e − e )x = 0 cho nªn x ∈ r (1 − e). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ r (1 − e) th× (1 − e)x = x − ex = 0. Do ®ã: x = ex ∈ eR. Tõ ®ã: eR = r(1 − e). NÕu x ∈ r (e) th× ex = 0. V× thÕ x = (1 − e)x ∈ (1 − e)R. Ngîc l¹i, nÕu x ∈ (1 − e)R 2 th× x = (1 − e)x. Bëi v× ex = e(1 − e)x = (e − e )x = 0 nªn x ∈ r (e). Do ®ã:
r(e) = (1 − e)R. T¬ng tù ta cã: Re = l(1 − e), R(1 − e) = l(e). VËy e lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. R. HÖ qu¶ 2.2. Cho vµnh (a) NÕu R lµ mét thÓ th× R lµ vµnh cÊu x¹. (b) NÕu R lµ vµnh Bun th× R lµ vµnh cÊu x¹. (c) NÕu R lµ vµnh nöa ®¬n th× R lµ vµnh cÊu x¹. Chøng minh. 0 trong mét thÓ ®Òu lµ phÇn tö kh¶ nghÞch. Theo MÖnh ®Ò (a) V× mäi phÇn tö kh¸c 2.1(a) ta cã (a). (b) V× mäi phÇn tö trong mét vµnh Bun ®Òu lµ luü ®¼ng. Theo MÖnh ®Ò 2.1(b) ta cã (b). a ∈ R, ta chøng minh a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. Ta cã aR = r(1 − e) vµ (c) XÐt r(a) = (1 − e)R víi e lµ phÇn tö luü ®¼ng nµo ®ã cña vµnh R. ThËt vËy, nÕu a = 0 th× 0R = 0 = r (1 − 0) vµ r (0) = R = (1 − 0)R. Ta xÐt a = 0. V× R lµ vµnh nöa ®¬n nªn aR lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña RR . Do ®ã aR = eR víi e lµ phÇn tö luü ®¼ng cña vµnh R, suy ra aR = r (1 − e) vµ r (a) = (1 − e)R. VËy R lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i. Chøng minh t¬ng tù R còng lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i. Tõ ®ã R lµ vµnh cÊu x¹. R = Πi∈I Ri lµ tÝch trùc tiÕp c¸c vµnh Ri , víi i ∈ I . Khi ®ã Bæ ®Ò 2.3. Cho a = (ai )i∈I ∈ R (víi ai ∈ Ri ) lµ cÊu x¹ ph¶i trong R khi vµ chØ khi ai (a) PhÇn tö lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . (b) R lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i khi vµ chØ khi Ri lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i víi mäi i ∈ I . Chøng minh. (a) Gi¶ sö a = (ai )i∈I ∈ R lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R. Khi ®ã tån t¹i b = (bi )i∈I ∈ R sao cho aR = r(b) vµ bR = r(a). Ta chøng minh ai lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . Víi xi ∈ ai Ri (i ∈ I ), ta cã x = (xi )i∈I ∈ aR = r (b). V× vËy bx = (bi xi )i∈I = (0) cho nªn bi xi = 0, ∀i ∈ I . Tõ ®ã xi ∈ r (bi ) tøc lµ ai Ri ⊆ r (bi ), ∀i ∈ I . Ngîc l¹i, nÕu xi ∈ r (bi )(i ∈ I ) th× bi xi = 0, ∀i ∈ I . §Æt x = (xi )i∈I , ta cã bx = (0). Do ®ã x ∈ r(b) = aR, tøc lµ x = (xi )i∈I = (ai )i∈I (ri )i∈I = (ai ri )i∈I . V× thÕ xi = ai ri , ∀i ∈ I cho nªn xi ∈ ai Ri , ∀i ∈ I . Suy ra r (bi ) ⊆ ai Ri , ∀i ∈ I . VËy ai Ri = r (bi ), ∀i ∈ I . Chøng minh t¬ng tù bi Ri = r (ai ), ∀i ∈ I . Tõ ®ã ai lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I. Ngîc l¹i, gi¶ sö ai lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . Khi ®ã tån t¹i c¸c phÇn tö bi ∈ Ri (i ∈ I ) sao cho ai Ri = r (bi ) vµ bi Ri = r (ai ) víi mäi i ∈ I . Ta chøng minh a = (ai )i∈I ∈ R lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R. §Æt b = (bi )i∈I , ta cã aR = r (b) vµ bR = r (a). ThËt vËy, nÕu x = (xi )i∈I ∈ aR th× xi ∈ ai Ri = r (bi ), ∀i ∈ I . V× thÕ bi xi = 0, ∀i ∈ I cho nªn bx = (bi )i∈I (xi )i∈I = (bi xi )i∈I = (0). Tõ ®ã x ∈ r (b), tøc lµ aR ⊆ r (b). Ngîc l¹i, nÕu x = (xi )i∈I ∈ r (b) th× bx = (bi )i∈I (xi )i∈I = (bi xi ) = (0). Do ®ã bi xi = 0, tøc lµ xi ∈ r (bi ) = ai Ri , ∀i ∈ I . Suy ra x ∈ aR, hay lµ r (b) ⊆ aR. VËy aR = r (b). Chøng minh t¬ng tù bR = r (a). V× thÕ a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R. (b) Tõ (a) trùc tiÕp suy ra (b).
R víi {ei }n Cho vµnh lµ mét hä c¸c luü ®¼ng trùc giao. C¸c kh¼ng MÖnh ®Ò 2.4. 1 a1 ∈ e1 Re1 ®Þnh sau t¬ng ®¬ng ®èi víi mét phÇn tö a1 lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong e1 Re1 ; (a) (b) a1 + a2 + ... + an lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R víi mäi ai lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong ei Rei , i ∈ {2, .., n}; (c) a1 + a2 + ... + an lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R víi mäi ai lµ phÇn tö kh¶ nghÞch trong ei Rei , i ∈ {2, .., n}; (d) a1 + e2 + ... + en lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R; (e) a1 + a2 + ... + an lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R víi c¸c phÇn tö kh¶ nghÞch ai nµo ®ã trong ei Rei , i ∈ {2, .., n}. (a) ⇒ (b): Tõ gi¶ thiÕt a1 , a2 , ..., an lµ c¸c phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong Chøng minh. e1 Re1 , e2 Re2 , ... , en Ren ta cã (a1 , a2 , ..., an ) lµ phÇn tö cÊu x¹ trong e1 Re1 × e2 Re2 × ... × en Ren bëi Bæ ®Ò 2.3. Do ®ã a1 + a2 + ... + an cÊu x¹ trong R. (b) ⇒ (c): V× c¸c phÇn tö kh¶ nghÞch còng lµ phÇn tö cÊu x¹ (theo MÖnh ®Ò 2.1(a)) nªn kÕt hîp gi¶ thiÕt (b) ta cã (c). (c) ⇒ (d): V× ei lµ phÇn tö kh¶ nghÞch trong ei Rei nªn theo (c), ta cã (d). (d) ⇒ (e): Chän ai = ei vµ theo (d) suy ra (e). (e) ⇒ (a): Gi¶ sö tån t¹i c¸c phÇn tö a2 , ..an sao cho ai kh¶ nghÞch trong ei Rei víi i ∈ {2, .., n} vµ a1 + a2 + ... + an lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong R. Ta chøng minh a1 lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong e1 Re1 , tøc lµ tån t¹i b ∈ e1 Re1 sao cho re1 Re1 (a1 ) = b(e1 Re1 ) vµ re1 Re1 (b) = a1 (e1 Re1 ). ThËt vËy, tõ gi¶ thiÕt (e), tån t¹i b ∈ R sao cho r(a1 + a2 + ... + an ) = bR vµ r(b) = (a1 + a2 + ... + an )R. Chó ý r»ng 0 = b(a1 + a2 + ... + an ) = ba1 + ba2 + ... + ban ∈ e1 R ⊕ e2 R ⊕ ... ⊕ en R, suy ra bai = 0 víi mäi i ∈ {2, .., n}. V× ai kh¶ nghÞch trong ei Rei nªn bei = bai a−1 = 0 víi mäi i ∈ {2, .., n}. Tõ i ®ã be1 = b(1 − e2 − ... − en ) = b. Chøng minh t¬ng tù e1 b = b. VËy b = e1 be1 ∈ e1 Re1 . Víi x = e1 xe1 ∈ e1 Re1 vµ a1 x = 0, ta cã (a1 + a2 + ... + an )x = (a1 + a2 + ... + an )e1 x1 e1 = 0, tøc lµ x ∈ r(a1 + a2 + ... + an ) = bR. Do ®ã x ∈ e1 Re1 ∩ bR = be1 Re1 . V× vËy, re1 Re1 (a1 ) ⊆ b(e1 Re1 ). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ be1 Re1 th× x ∈ bR = r (a1 + a2 + ... + an ). Do 0 = (a1 + a2 + ... + an )x = a1 x, suy ra x ∈ re1 Re1 (a1 ), tøc lµ b(eRe) ⊆ re1 Re1 (a1 ). VËy re1 Re1 (a1 ) = b(e1 Re1 ). MÆt kh¸c a1 (e1 Re1 ) = (a1 + a2 + ... + an )(e1 Re1 ) ⊆ (a1 + a2 + ... + an )R = r (b). Do ®ã a1 (e1 Re1 ) ⊆ re1 Re1 (b). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ re1 Re1 (b) th× x ∈ r(b) = (a1 + a2 + ... + an )R. MÆt kh¸c x = e1 xe1 ∈ e1 Re1 . Ta cã x ∈ a1 (e1 Re1 ), tøc lµ re1 Re1 (b) ⊆ a1 (e1 Re1 ). VËy re1 Re1 (b) = a1 (e1 Re1 ). Do ®ã ai lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i trong e1 Re1 . VËy chóng ta cã (a). R lµ mét vµnh. Bæ ®Ò 2.5. Cho a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ u lµ phÇn tö kh¶ nghÞch trong R th× (a) NÕu au vµ ua còng lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i (t¬ng øng tr¸i). (b) NÕu R lµ vµnh chÝnh quy kh¶ nghÞch th× R lµ vµnh cÊu x¹. Chøng minh. a ∈ R lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. Khi ®ã tån t¹i b ∈ R sao cho aR = r(b) vµ (a) Gi¶ sö r(a) = Rb. Do ®ã ab = ba = 0. Ta chøng minh (ua)R = r(bu−1 ); r(ua) = (bu−1 )R vµ (au)R = r(u−1 b); r(au) = (u−1 b)R.
x ∈ (ua)R th× x = uax1 . V× thÕ bu−1 x = bu−1 uax1 = bax1 = 0, cho ThËt vËy, nÕu −1 ). Do ®ã (ua)R ⊆ r(bu−1 ). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ r(bu−1 ) th× bu−1 x = 0. nªn x ∈ r (bu −1 x ∈ r(b) = aR. Bëi v× u−1 x = ax1 , suy ra x = (ua)x1 ∈ (ua)R. V× Tõ ®ã suy ra u −1 ) ⊆ (ua)R. Ta ®îc (ua)R = r(bu−1 ). vËy, r (bu −1 R), ta cã: x = (bu−1 )x1 . V× thÕ (ua)x = (ua)(bu−1 )x1 = 0 cho L¹i xÐt x ∈ (bu −1 nªn x ∈ r (ua), tøc lµ (bu R) ⊆ r(ua). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ r(ua) th× uax = 0. Bëi v× ax = 0, ta cã x ∈ r(a) = bR. Do ®ã x = bx1 , suy ra x = (bu−1 )ux1 ∈ (bu−1 R). V× vËy, r(ua) ⊆ (bu−1 )R. Ta ®îc r(ua) = (bu−1 )R. Tõ ®ã ua lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. T¬ng −1 b); r(au) = (u−1 b)R, tøc lµ au lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. tù (au)R = r (u (b) XÐt a ∈ R, ta chøng minh a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. ThËt vËy, v× R lµ vµnh chÝnh quy kh¶ ngÞch nªn tån t¹i phÇn tö kh¶ nghÞch b sao cho aba = a. Ta thÊy (ab)2 = abab = ab. Do ®ã ab lµ luü ®¼ng cña vµnh R. Tõ ®ã (ab)R = r(1 − ab) vµ r(ab) = (1 − ab)R, tøc lµ ab lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. Theo (a), (ab)b−1 = a lµ phÇn tö cÊu x¹ ph¶i. VËy R lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i. T¬ng tù R còng lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i. Tõ ®ã R lµ vµnh cÊu x¹. R lµ mét vµnh chÝnh quy. C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng MÖnh ®Ò 2.6. Cho R lµ vµnh chÝnh quy kh¶ nghÞch; (a) (b) R lµ vµnh cÊu x¹; (c) R lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i; (d) R lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i. (a) ⇒ (b): Theo Bæ ®Ò 2.5. Chøng minh. (b) ⇒ (c) vµ (b) ⇒ (d) : HiÓn nhiªn. (c) ⇒ (a): Gi¶ sö R lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i ta chøng minh R lµ vµnh chÝnh quy kh¶ nghÞch. XÐt a ∈ R, khi ®ã tån t¹i b ∈ R sao cho aR = r (b) vµ r (a) = bR. NhËn xÐt ab = ba = 0. V× R chÝnh quy nªn tån t¹i x ∈ R sao cho a = axa. §Æt u = xax + b ta cã aua = a(xax + b)a = axaxa + aba = axa = a. MÆt kh¸c, a(1 − xa) = 0, suy ra 1 − xa ∈ r(a) = bR. Do ®ã 1 − xa = by víi y ∈ R. §Æt v = a + (1 − ax)y , ta chøng minh uv = vu = 1. ThËt vËy, uv = u(a +(1 − ax)y ) = ua + uy − uaxy = (xax + b)a +(xax + b)y − (xax + b)axy = xaxa + ba + xaxy + by − xaxaxy − baxy = xa + xaxy + 1 − xa − xaxy = 1. V× uv = 1 nªn uvu = u, tøc lµ u(1 − vu) = 0. Do ®ã 1 − vu ∈ r (u). Ta chøng minh r(u) = 0. ThËt vËy, nÕu t ∈ r(u) th× 0 = ut = (xax + b)t = xaxt + bt(∗) . Khi ®ã 0 = a(ut) = a(xaxt + bt) = (axa)xt + abt = axt. Sö dông (∗) suy ra bt = 0. Tõ ®ã t ∈ r(b) = aR, tøc lµ t = at1 víi t1 ∈ R. Ta cã 0 = axt = axat1 = (axa)t1 = at1 = t. VËy r (u) = 0. V× 1 − vu =∈ r (u) nªn vu = 1. Nh vËy: a = aua vµ u kh¶ nghÞch. Tãm l¹i R lµ vµnh chÝnh quy kh¶ nghÞch. Ta cã (a). (d) ⇒ (a): Chøng minh t¬ng tù. Mk lµ kh«ng gian vect¬ v« h¹n chiÒu trªn mét VÝ dô. Trong [5, Corollary 2.11], nÕu k R = End(Mk ) lµ vµnh chÝnh quy nhng kh«ng chÝnh thÓ th× vµnh c¸c tù ®ång cÊu R kh«ng lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i (hoÆc tr¸i). quy kh¶ nghÞch. Do ®ã R lµ mét vµnh. Bæ ®Ò 2.7 ([8, Theorem 31 vµ Theorem 24]). Cho R lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i th×: (a) NÕu
R lµ vµnh P −néi x¹ ph¶i. (i) RR tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C2 ). (ii) (b) NÕu R lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i th×: R lµ Artin tr¸i. (i) Soc(RR ) = Soc(R R). (ii) R lµ mét vµnh. §Þnh lý 2.8. Cho R lµ vµnh cÊu x¹, QF - 2 ph¶i (vµ tr¸i) vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ACC trªn tËp (a) NÕu R lµ QF - vµnh. c¸c linh ho¸ tö ph¶i (vµ tr¸i) th× (b) NÕu R lµ vµnh cÊu x¹, CS ph¶i (vµ tr¸i) vµ tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i th× R lµ QF - vµnh. (c) NÕu R lµ vµnh cÊu x¹ tr¸i, tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i vµ (R ⊕R)R lµ CS m«®un th× R lµ QF - vµnh. R Soc(RR ) = Chøng minh. (a) Theo Bæ ®Ò 2.7, lµ vµnh Artin tr¸i vµ ph¶i tho¶ m·n Soc(R R). R MÆt kh¸c còng lµ vµnh QF - 2 ph¶i vµ tr¸i nªn theo ®Þnh lý Kupisch [2, R lµ QF - vµnh. Theorem 6.17], R lµ vµnh liªn tôc ph¶i vµ tr¸i. H¬n n÷a R tho¶ m·n (b) Theo Bæ ®Ò 2.7, chóng ta cã R lµ QF - vµnh. ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i nªn theo [3, MÖnh ®Ò 18.24], ta cã (c) Theo Bæ ®Ò 2.7, RR lµ vµnh P −néi x¹. Do ®ã R ⊕ R còng lµ P −néi x¹ nªn (R ⊕ R)R tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C2 ). MÆt kh¸c (R ⊕ R)R lµ CS m«®un nªn (R ⊕ R)R lµ m«®un liªn tôc. Theo [6, Theorem 3.16], R lµ vµnh tùa néi x¹ ph¶i. H¬n n÷a R tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i nªn theo [3, Propositon 18.9], R lµ QF - vµnh. NhËn xÐt. Nãi chung QF - vµnh kh«ng h¼n lµ vµnh cÊu x¹. Trong [8, Example 36], C2 lµ mét nhãm cÊp 2 th× vµnh nhãm R = ZC2 lµ vµnh giao ho¸n, ®Þa ph¬ng nÕu gäi vµ QF nhng kh«ng lµ vµnh cÊu x¹. Ngîc l¹i, vµnh cÊu x¹ kh«ng lµ QF - vµnh nÕu c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý 2.8 kh«ng ®îc tho¶ m·n. III. Vµnh tùa cÊu x¹ R = Πi∈I Ri lµ tÝch trùc tiÕp c¸c vµnh Ri , víi i ∈ I . Khi ®ã MÖnh ®Ò 3.1. Cho a = (ai )i∈I ∈ R (víi ai ∈ Ri ) lµ tùa cÊu x¹ ph¶i trong R khi vµ chØ khi (a) PhÇn tö ai lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . (b) R lµ vµnh tùa cÊu x¹ ph¶i khi vµ chØ khi Ri tùa cÊu x¹ ph¶i víi mäi i ∈ I . Chøng minh. a = (ai )i∈I lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong R, khi ®ã tån t¹i b = (a) Gi¶ sö (bi )i∈I , c = (ci )i∈I sao cho aR = r(b) vµ cR = r(a). Ta chøng minh ai lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . Víi xi ∈ ai Ri (i ∈ I ), ta cã x = (xi )i∈I ∈ aR = r (b). V× vËy bx = (bi xi )i∈I = (0) cho nªn bi xi = 0, ∀i ∈ I . Tõ ®ã xi ∈ r (bi ) tøc lµ ai Ri ⊆ r (bi ), ∀i ∈ I . Ngîc l¹i, nÕu xi ∈ r (bi )(i ∈ I ) th× bi xi = 0, ∀i ∈ I . §Æt x = (xi )i∈I , ta cã bx = (0). Do ®ã x ∈ r(b) = aR, tøc lµ x = (xi )i∈I = (ai )i∈I (ri )i∈I = (ai ri )i∈I . V× thÕ xi = ai ri , ∀i ∈ I cho nªn xi ∈ ai Ri , ∀i ∈ I . Tõ ®ã r (bi ) ⊆ ai Ri , ∀i ∈ I . VËy ai Ri = r (bi ), ∀i ∈ I . T¬ng
ci Ri = r(ai ), ∀i ∈ I . ai Ri tù ta ®îc Tõ ®ã lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong víi mäi i ∈ I. ai lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong Ri víi mäi i ∈ I . Khi ®ã tån Ngîc l¹i, gi¶ sö bi , ci ∈ Ri (i ∈ I ) sao cho ai Ri = r(bi ) vµ ci Ri = r(ai ) víi mäi i ∈ I . t¹i c¸c phÇn tö Ta chøng minh a = (ai )i∈I ∈ R lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong R. §Æt b = (bi )i∈I vµ c = (ci )i∈I , ta cã aR = r(b) vµ cR = r(a). ThËt vËy, nÕu x = (xi )i∈I ∈ aR th× xi ∈ ai Ri = r (bi ), ∀i ∈ I . V× thÕ bi xi = 0, ∀i ∈ I cho nªn bx = (bi )i∈I (xi )i∈I = (bi xi )i∈I = (0). Tõ ®ã x ∈ r (b), tøc lµ aR ⊆ r (b). Ngîc l¹i, nÕu x = (xi )i∈I ∈ r (b) th× bx = (bi )i∈I (xi )i∈I = (bi xi ) = (0). Do ®ã bi xi = 0, tøc lµ xi ∈ r(bi ) = ai Ri , ∀i ∈ I . Suy ra x ∈ aR, hay lµ r(b) ⊆ aR. VËy aR = r(b). T¬ng tù ta ®îc cR = r (a). V× thÕ a lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i trong R. (b) Tõ (a) ta cã (b). R lµ vµnh chÝnh quy th× R lµ vµnh tùa cÊu x¹. MÖnh ®Ò 3.2. NÕu a ∈ R ta chøng minh a lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i. ThËt vËy, v× Chøng minh. XÐt R lµ vµnh chÝnh quy nªn tån t¹i b ∈ R sao cho a = aba, ta cã aR = r(ab − 1) vµ r(a) = (1 − ba)R. ThËt vËy, nÕu x ∈ aR th× x = ax1 . Khi ®ã (ab − 1)x = (ab − 1)ax1 = (aba − a)x1 = 0, tøc lµ x ∈ r (ab − 1), suy ra aR ⊆ r (ab − 1). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ r (ab − 1) th× (ab − 1)x = abx − x = 0. Tõ ®ã x = abx ∈ aR, tøc lµ r(ab − 1) ⊆ aR. VËy aR = r(ab − 1). NÕu x ∈ (1 − ba)R th× x = (1 − ba)x1 . Khi ®ã ax = a(1 − ba)x1 = (a − aba)x1 = 0, tøc lµ x ∈ r (a). Do ®ã (1 − ba)R ⊆ r (a). Ngîc l¹i, nÕu x ∈ r (a) th× ax = 0. V× bax = 0 nªn x = (1 − ba)x, tøc lµ x ∈ (1 − ba)R, suy ra r(a) ⊆ (1 − ba)R. Tõ ®ã r(a) = (1 − ba)R. Hay a lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ ph¶i. T¬ng tù a lµ phÇn tö tùa cÊu x¹ tr¸i. VËy R lµ vµnh tùa cÊu x¹. Mk k . Trong môc 2, ta VÝ dô. Cho lµ kh«ng gian vect¬ v« h¹n chiÒu trªn mét thÓ R = End(Mk ) kh«ng lµ vµnh cÊu x¹ ph¶i hoÆc tr¸i. Tuy biÕt vµnh c¸c tù ®ång cÊu nhiªn v× R lµ vµnh chÝnh quy nªn R lµ vµnh tùa cÊu x¹ ph¶i vµ tr¸i. Nh vËy, vµnh tùa cÊu x¹ lµ më réng thùc sù cña vµnh cÊu x¹. Lu ý r»ng mäi vµnh cÊu x¹ ph¶i (tr¸i) còng lµ vµnh tùa cÊu x¹ ph¶i (tr¸i). Bæ ®Ò 3.3 ([9, Lemma 1] vµ [1, Lemma 3, Proposition 8]). M = ⊕i∈I Ui , víi Ui lµ c¸c m«®un ®Òu. (a) Cho m«®un NÕu A lµ m«®un con ®ãng M F cña I sao cho: trong th× tån t¹i tËp con A ⊕ (⊕i∈F Ui ) ⊆e M. R lµ vµnh tùa cÊu x¹ tr¸i th× RR (C2 ). (b) NÕu tho¶ m·n ®iÒu kiÖn R lµ vµnh tùa cÊu x¹ tr¸i, QF − 2 ph¶i. §Þnh lý 3.4. Cho C¸c kh¼ng ®Þnh sau lµ t¬ng ®¬ng RR lµ ®Õm ®îc Σ − (1 − C1 ); (a) RR lµ Σ−tùa néi x¹; (b) (c) RR lµ QF - vµnh.
(a) =⇒ (b) : Bëi v× R lµ vµnh tùa cÊu x¹ tr¸i cho nªn RR tho¶ m·n ®iÒu Chøng minh. kiÖn (C2 ) theo Bæ ®Ò 3.3. §Æt R = ⊕i∈I Ri víi Ri lµ c¸c i®ªan ph¶i ®Òu. Ta sÏ chøng minh R lµ CS −vµnh ph¶i. ThËt vËy, gi¶ sö A lµ mét i®ªan ph¶i ®ãng cña R. Khi ®ã theo Bæ ®Ò 3.3 tån t¹i F ⊆ I e sao cho A ⊕ (⊕i∈F Ri ) ⊆ RR . §Æt V1 = ⊕i∈F Ri vµ V2 = ⊕i∈K Ri víi K = I \F . XÐt p1 vµ p2 t¬ng øng lµ c¸c phÐp chiÕu tù nhiªn tõ RR lªn V1 vµ V2 th× ®ång cÊu p2 |A lµ ®¬n −1 cÊu. §Æt h = p1 (p2 |A ) lµ ®¬n cÊu tõ p2 (A) −→ V1 . Ta cã A = {x + h(x) | x ∈ p2 (A)}. Ta chøng minh h kh«ng thÓ cã më réng trong V2 . ThËt vËy, gi¶ sö g : B −→ V1 víi p2 (A) ⊆ B ⊆ V2 lµ mét më réng cña h trong V2 . e e §Æt C = {x + g (x) | x ∈ B }, ta cã A ⊕ V1 ⊆ RR , p2 (A) = p2 (A ⊕ V1 ) ⊆ p2 (RR ) = V2 e e lµ m«®un con cèt yÕu cña p2 (RR ) = V2 . Do ®ã p2 (A) ⊆ B ⊆ V2 , suy ra A ⊆ C . Tõ A lµ i®ªan ph¶i ®ãng cña R nªn A = C vµ p2 (A) = B . VËy g = h. B©y giê xÐt k ∈ K , ®Æt Xk = Rk ∩ p2 (A), ta cã Xk = 0, ∀k ∈ K vµ Xk lµ m«®un ®Òu. §Æt Ak = {x + h(x) | x ∈ Xk }, ta cã Xk ∼ Ak , nªn Ak lµ m«®un con ®Òu cña = A. Gi¶ sö r»ng Ak ⊆e P ⊆ Rk ⊕ V1 , do Ak ∩ V1 = 0, P ∩ V1 = 0, nªn p2 |P lµ ®¬n cÊu. §Æt hk = h |p2 (Ak ) , do h kh«ng më réng nªn hk còng kh«ng më réng ®îc. §Æt λk = p1 (p2 |P )−1 : p2 (RR ) −→ V1 , khi ®ã λk lµ më réng cña hk , nªn p2 (P ) = p2 (Ak ). e Tõ p2 |P lµ ®¬n cÊu, Ak ⊆ P , nªn Ak = P . Do ®ã Ak lµ i®ªan ph¶i ®ãng ®Òu cña RR . RR . MÆt kh¸c Xk ∼ Ak vµ RR tho¶ m·n ®iÒu ⊕ V× RR lµ (1 − C1 )−m«®un nªn Ak ⊆ = ⊕ ⊕ e kiÖn (C2 ), suy ra Xk ⊆ RR . L¹i thÊy r»ng Xk ⊆ Rk ⊆ RR nªn Xk = Rk , ∀k ∈ F . Do ®ã p2 (A) = V2 , suy ra A ∼ V2 = ⊕i∈K Ri nªn A ⊆ RR . Tõ ®ã R lµ CS −vµnh ph¶i ⊕ = nªn R lµ vµnh liªn tôc ph¶i. Theo [4, Proposition 2.5], ta cã R lµ Σ−tùa néi x¹ ph¶i. (b) =⇒ (a) vµ (b) ⇐⇒ (c) : HiÓn nhiªn. R lµ vµnh tùa cÊu x¹ tr¸i, tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö §Þnh lý 3.5. NÕu (R ⊕ R)R lµ CS m«®un th× R lµ QF - vµnh. ph¶i (hoÆc tr¸i) vµ R lµ vµnh tùa cÊu x¹ tr¸i nªn tõ Bæ ®Ò 3.3, ta cã RR tho¶ m·n ®iÒu Chøng minh. V× (C2 ). KÕt hîp ®iÒu kiÖn (R ⊕ R)R lµ CS m«®un vµ theo [7, Corollary 7.41], ta cã kiÖn R lµ vµnh tùa néi x¹. Theo gi¶ thiÕt R tho¶ m·n ACC trªn tËp c¸c linh ho¸ tö ph¶i (hoÆc tr¸i) nªn sö dông [3, Proposition 18.9], ta cã R lµ QF - vµnh. NhËn xÐt. Nãi chung QF - vµnh kh«ng h¼n lµ vµnh tùa cÊu x¹. Trong [1, Example C2 2 R = Z4 C2 19], nÕu gäi lµ mét nhãm cÊp th× vµnh nhãm lµ vµnh h÷u h¹n, giao ho¸n, ®Þa ph¬ng vµ QF nhng kh«ng lµ vµnh tùa cÊu x¹. Ngîc l¹i, vµnh tùa cÊu x¹ kh«ng lµ QF - vµnh nÕu c¸c ®iÒu kiÖn cña c¸c ®Þnh lý 3.4, 3.5 kh«ng ®îc tho¶ m·n. Tµi liÖu tham kh¶o [1] V. Camillo and W. K. Nicholson, Quasi - morphic rings, J. of Algebra and its Appl., Vol. 6, No. 5, 2007, 789 - 799. [2] A. W. Chatters, C. R. Hajarnavis, Rings with Chain Conditions, Pitman, Lon- don, 1980.
[3] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK,1994. [4] D. V. Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001, 119 - 128. [5] T. Y. Lam, A crash course on stable range, cancellation, substitution and ex- change, Journal of Algebra and Its Applications, Vol. 3, No. 3, 2004, 301 - 343. [6] S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series147, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1990. [7] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No. 158. Cambridge Univ. Press, London, New York, 2003. [8] W. K. Nicholson and E. S¸nchez Campos, Rings with the dual of the isomorphism theorem, J. Algebra 27, 2004, 391 - 406. [9] N. S. Tung, L.V. An and T.D. Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December 2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, p.p. 235 - 241. [10] R. Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading 1991. SUMMARY MORPHIC RINGS AND QF RINGS In this paper, we give some results on morphic rings and quasi - morphic rings. We also characterize QF rings by class morphic rings and quasi - morphic rings. These results are continuation of some previous results of V. Camillo, W. K. Nicholson... (see [1], [3], [12] ...). (a) Trêng THPT chuyªn Phan Béi Ch©u, NghÖ An (a) K45A To¸n, Trêng §¹i häc Vinh.