Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

73
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển tập những báo cáo nghiên cứu khoa học hay nhất của trường đại học vinh tác giả: 2. Nguyễn Thanh Diệu, Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về tính ổn định tiệm cận bình phương trung bình của hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ"

VÒ tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ NguyÔn Thanh DiÖu (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i ®a ra mét sè ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ víi ma trËn hÖ sè h»ng sè. 1. Giíi thiÖu HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn ®îc sö dông ®Ó m« h×nh ho¸ c¸c hÖ ®éng lùc trong vËt lý, sinh häc, ho¸ häc vµ khoa häc x· héi. Trong nhiÒu trêng hîp tr¹ng th¸i t¬ng lai cña hÖ kh«ng nh÷ng phô thuéc vµo hiÖn t¹i mµ cßn phô thuéc vµo qu¸ khø. HÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn cã trÔ lµ c«ng thøc to¸n häc cña nh÷ng hÖ ®éng lùc ®ã. Bµi to¸n æn ®Þnh cña nh÷ng hÖ nµy ®· ®îc nghiªn cøu bëi nhiÒu t¸c gi¶ [1-6]. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i xÐt ®iÒu kiÖn ®ñ cho tÝnh æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh cña hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn tuyÕn tÝnh cã trÔ d¹ng dx(t) = (Ax(t) + r=1 Ai x(t − hi ))dt + Bx(t)dW (t) i . (2.1) x(u) = ξ (u), ∀u ∈ [−h, 0]; t ≥ 0 A, Ai , B ∈ Rd×d , W (t) lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu, hi ∈ [0, h]. trong ®ã, 2. Mét sè kh¸i niÖm vµ tÝnh chÊt c¬ b¶n (Ω, , { t }t 0 , P ) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ víi läc Trong suèt bµi b¸o ta xÐt { t }t 0 liªn tôc tr¸i, chøa tÊt c¶ c¸c tËp cã x¸c suÊt kh«ng. Ký hiÖu x lµ chuÈn ¥clit x ∈ Rn , A lµ chuÈn cña ma trËn A nghÜa lµ A = sup{ Ax : x = 1}, B T cña vÐct¬ B. P = (pij )n×n lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn Víi lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh λmax (P ); λmin (P ) lÇn lît lµ gi¸ trÞ riªng lín nhÊt, bÐ nhÊt cña P . h lµ d¬ng, ký hiÖu C ([−h, 0]; Rn ) lµ hä tÊt c¶ c¸c hµm liªn tôc trªn [−h, 0] nhËn gi¸ trÞ trªn mét sè d¬ng, n 2 n n kh«ng gian R . L ( [−h, 0]; R ) lµ hä c¸c vect¬ ngÉu nhiªn t ®o ®îc, C ([−h, 0]; R )− t gi¸ trÞ ξ = {ξ (u) : −h 0} tho¶ m·n u 2 2 < ∞, ξ = sup E ξ (u) E −h u 0 E (.) lµ to¸n tö kú väng. trong ®ã XÐt hÖ ph¬ng tr×nh ngÉu nhiªn cã trÔ d¹ng: dx(t) = (Ax(t) + A1 x(t − h))dt + Bx(t)dw(t) víi t 0 (3.1) 1 NhËn bµi ngµy 01/11/2006. Söa ch÷a xong ngµy 06/9/2007.
A, A1 , B ∈ Rn×n vµ −h x(u) = ξ (u) u 0, Víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu lµ víi trong ®ã w lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian x¸c suÊt (Ω, , { t }t 0 , P ), ξ ∈ L2 0 ( [ −h, 0 ] ; Rn ) . Ký hiÖu nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh (3.1) víi ®iÒu kiÖn ban ®Çu x(u) = ξ (u) víi −h u 0 lµ x(t, ξ ). §Þnh nghÜa 3.1. (i) HÖ ph¬ng tr×nh (3.1) ®îc gäi lµ æn ®Þnh b×nh ph¬ng trung b×nh nÕu víi mäi ε > 0 tån t¹i r > 0 sao cho E |x(t, ξ )|2 < ε t > t0 ; vµ ξ ∈ L2 0 ([−h, 0]; Rn ) tho¶ m·n ξ r. khi (ii) HÖ ph¬ng tr×nh (3.1) ®îc gäi lµ æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh nÕu æn ®Þnh b×nh ph¬ng trung b×nh vµ E |x(t, ξ )|2 −→ 0 khi t −→ ∞. (3.2) XÐt hÖ ph¬ng tr×nh: dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t)dW (t) (3.3) x(t0 ) = I ; t t0 , n × n; W (t) lµ qu¸ tr×nh Weiner mét chiÒu x¸c ®Þnh A, B trong ®ã lµ ma trËn h»ng cì (Ω, , { t }t 0 , P ). trªn kh«ng gian x¸c suÊt Φ(t, s) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña (3.3). Gäi (3.3) ®îc gäi lµ æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung §Þnh nghÜa 3.2 HÖ ph¬ng tr×nh b×nh nÕu tån t¹i K > 0; δ > 0 sao cho K e−δ(t−t0 ) . 2 E Φ(t, t0 ) R. Z. Hasminski (1980) ®· chØ ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh nh sau §Þnh nghÜ 3.3. [2]. C¸c mÖnh ®Ò sau t¬ng ®¬ng (i) HÖ ph¬ng tr×nh (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh Q lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Liapounov d¹ng (ii) Tån t¹i ma trËn x¸c ®Þnh d¬ng AT Q + QA + B T QB + P = 0. (3.4) (3.4) ®îc x¸c ®Þnh bëi Ngoµi ra, nÕu (i) tho¶ m·n th× nghiÖm duy nhÊt cña ∞ ΦT (t, 0)P Φ(t, 0)dt Q=E (3.5) 0 Φ(t, 0) lµ ma trËn nghiÖm c¬ b¶n cña (3.3), P víi lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng.
S ∈ Rn×n [6] Gi¶ sö lµ ma trËn ®èi xøng x¸c ®Þnh d¬ng. Víi mäi Bæ ®Ò 3.4. Rn×n ta cã P, Q ∈ ((P + QS −1 QT )x, x). (P x, x) + 2(Qy, x) − (Sy, y ) (3.6) & [5], p.169). §Þnh lý 3.5. (Kolmanovskii Nosov Víi gi¶ thiÕt hÖ ph¬ng tr×nh (3.1) xt (ξ ) = {x(t + θ, ξ ) : x(t, ξ ) cã nghiÖm. Ký hiÖu lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3.1) vµ C ([−h; 0]; Rn ) −h 0}. NÕu tån t¹i hµm liªn tôc V : R+ × −→ R sao cho θ c1 |ϕ(0)|2 2 ∀(t, ϕ) ∈ R+ × C ([−h, 0]; Rn ) V (t, ϕ) c2 ϕ vµ t2 E |x(s, ξ )|2 ds EV (t2 , xt2 (ξ )) − EV (t1 , xt1 (ξ )) −c3 t2 > t1 0, t1 c1 ; c2 ; c3 trong ®ã, lµ c¸c h»ng sè d¬ng th× ph¬ng tr×nh (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh. 3. KÕt qu¶ chÝnh NÕu hÖ ph¬ng tr×nh (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh th× Bæ ®Ò 4.1. Q tho¶ m·n ph¬ng tr×nh ma trËn (3.4) cã nghiÖm λmax (P )K xT Qx x 2. (4.1) δ (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh nªn Chøng minh. HÖ ph¬ng tr×nh ∞ ∞ λmax (P ) x 2 E Φ(t, 0) 2 dt (Qx, x) = E (P Φ(t, 0)x, Φ(t, 0)x)dt 0 0 ∞ λmax (P )K e−δt dt λmax (P ) x 2 K x 2, δ 0 hay ta cã λmax (P )K x 2. (Qx, x) δ §Þnh lý 4.2. Gi¶ sö hÖ ph¬ng tr×nh (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh. Khi ®ã, hÖ ph¬ng tr×nh (3.1) æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh nÕu δ A1 < . (4.2) 2K
x(t) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3.1), ®Æt Chøng minh. Ký hiÖu xt (s) = x(t + s), s ∈ [−h; 0]. Gäi Q lµ ma trËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3.4) víi P = αI. XÐt hµm 0 x(t + τ ) 2 dτ. V (xt , t) = (Qx(t), x(t)) + −h (4.1) suy ra Tõ λmax (P )K 2 + h) xt 2 . λmin (Q) x(t) V (xt , t) ( (4.3) δ ¸ p dông c«ng thøc Ito ta cã dV (xt , t) = {((AT Q + QA + B T QB )x(t), x(t)) + 2(QA1 x(t), x(t − h)) 2 − x(t − h) 2 }dt + M (t). + x(t) víi M (t) = 2x(t)T QBx(t)dW (t). (3.6) vµ (4.1) suy ra MÆt kh¸c theo α2 K 2 2 2 2 2 2 x(t) 2 . 2(QA1 x(t), x(t − h)) − x(t − h) Q A1 x(t) A1 δ2 Tõ ®ã ta cã: α2 K 2 A1 2 ) x(t) 2 dt + M (t). (−α + 1 + dV (xt , t) δ2 EM (t) = 0, lÊy kú väng hai vÕ ta cã V× t α2 K 2 A1 2 )E x(s) 2 ds. EV (xt , t) − EV (x0 , 0) (−α + 1 + (4.4) δ2 0 (α−1) α = 2 nªn Ta l¹i cã, ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i α2 (α − 1)δ 2 δ2 . (4.5) α2 K 2 4K 2 (4.2) vµ (4.5) suy ra, tån t¹i α0 2 sao cho Tõ trong l©n cËn ®iÓm (α0 − 1)δ 2 α2 K 2 2 2 tøc lµ c3 = α0 − 1 − 0 2 A1 < A1 > 0. (4.6) 2 K 2 α0 δ (4.3), (4.4) vµ (4.6) suy ra c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lÝ 3.5 tho¶ m·n víi Tõ α2 K 2 c1 = λmin (Q); c2 = λmaxδ P )K + h; c3 = α0 − 1 − 0 2 A1 2 . VËy ta cã (®pcm). ( δ
Gi¶ sö hÖ ph¬ng tr×nh (3.3) æn ®Þnh mò b×nh ph¬ng trung b×nh. §Þnh lý 4.3. Khi ®ã, hÖ ph¬ng tr×nh (2.1) æn ®Þnh tiÖm cËn b×nh ph¬ng trung b×nh nÕu r δ2 2 Ai < . (4.7) 4rK 2 i=1 x(t) lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2.1), ®Æt xt (s) = x(t + s) Chøng minh. Víi s ∈ [−h; 0] Gäi Q lµ ma trËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (3.3) víi P = αI. XÐt hµm r 0 xt (τ ) 2 dτ. V (xt , t) = (Qx(t), x(t)) + −hi i=1 (4.1) suy ra Theo r λmax (P )K 2 hi ) xt 2 . λmin (Q) x(t) V (xt , t) ( + (4.8) δ i−1 ¸ p dông c«ng thøc Ito ta cã: r T T dV (xt , t) = {((A Q + QA + B QB )x(t), x(t)) + 2 (QAi x(t), x(t − hi ))+ i=1 r 2 x(t − hi ) 2 }dt + M (t). − +r x(t) i=1 víi M (t) = 2xT (t)QBx(t)dW (t). (3.6) vµ (4.1) suy ra MÆt kh¸c theo α2 K 2 2 2 2 2 2 x(t) 2 . 2(QAi x(t), x(t − h)) − x(t − hi ) Q Ai x(t) Ai δ2 VËy r α2 K 2 Ai 2 )) x(t) 2 .dt + M (t). (−α + r + dV (xt , t) ( δ2 i=1 EM (t) = 0, lÊy kú väng hai vÕ ta cã V× r t α2 K 2 Ai 2 ))E x(s) 2 ds. EV (xt , t) − EV (x0 , 0) (−α + r + ( (4.9) δ2 0 i=1 (α − r ) α = 2r Ta l¹i cã ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i nªn α2 (α − r)δ 2 δ2 . (4.10) α2 K 2 4rK 2
(4.7) vµ (4.10) suy ra tån t¹i α0 Tõ sao cho r r (α0 − r)δ 2 α2 K 2 2 Ai 2 ) > 0 . tøc lµ c3 = α0 − r − 0 2 ( Ai < (4.11) 2K 2 δ α0 i=1 i=1 (4.8), (4.9) vµ (4.11) suy ra c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lÝ 3.5 tho¶ m·n víi Tõ α2 K 2 c1 = λmin (Q); c2 = λmaxδ P )K + r=1 hi ; c3 = α0 − r − 0 2 ( r=1 Ai 2 ). ( i i δ VËy ta cã (®pcm). Tµi liÖu tham kh¶o [1] L. Arnold, Stochastic differential equation, Theory and Applications, New York, Springer, 1970. [2] R. Z. Hasminski, Stochastic stability of differential equations, Sythoff and Noard- hoff, Alphen aan den Rijn, The Netherlands Rockville, Maryland, USA, 1980. [3] X. Mao, Exponential stability for stochastic differential delay equations in Hilbert space, Q. J. Math, Oxford, 42 (1991), 77-85. [4] X. Mao, Almost sure exponential stability of delay equations with damped stochastic perturbation, Stochastic Analysis and Application 19 (2.1) (2001), 67-84. [5] Kolmanovskii,V. B. and Nosov,V. R., Stability of Functional Differential equations, Academic Press 1986. [6] N. S. Bay, N. T. Hoan, V. N. Phat, On the asymptotic stability of time- varying differential equations with multiple delays and applications, Acta Math, 28 (2003), 51-64. Summary On the asymptotic stability in mean square of stochastic defferential equations with multiple delays In this paper, we give some sufficient conditions for the asymptotic stability in mean square of times - invarying stochastic defferential equations with multiple de- lays. (a) Khoa to¸n, Trêng §¹i häc Vinh.