Bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài báo chứng minh giới hạn thuận được bảo toàn qua phép lấy thương đối với hệ thuận tổng quát. Đây là sự mở rộng một số kết quả xét trên một số hệ thuận đặc biệt của J. J. Rotman.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương

TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 BẤT BIẾN CỦA GIỚI HẠN THUẬN QUA PHÉP LẤY THƯƠNG Phạm Thị Bích Hà1, Lê Xuân Dũng2 TÓM TẮT Bài báo chứng minh giới hạn thuận được bảo toàn qua phép lấy thương đối với hệ thuận tổng quát. Đây là sự mở rộng một số kết quả xét trên một số hệ thuận đặc biệt của J. J. Rotman. Từ khóa: Giới hạn thuận, A-môđun trái. 1. GIỚI THIỆU Cho R là một vành và {M i }iI là họ các R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun) trên tập sắp thứ tự bộ phận I . Giới hạn thuận của {M i }iI luôn tồn tại (xem trong [3], [5], [6]). Ngay sau khi ra đời các khái niệm này có những ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Đại số và Hình học đại số, chẳng hạn đối với Đại số giao hoán trong [4, Section 1] đưa ra cách tính môđun đối đồng địa phương thông qua tính giới hạn thuận. Để phát huy hiệu quả ứng dụng của khái niệm giới hạn thuận trong các lĩnh vực khác, các nhà toán học quan tâm nghiên cứu đến cấu trúc và tính bất biến của giới hạn thuận qua một số phép toán (xem trong [1], [2], [3], [4]). Mục đích chính của bài báo này là mở rộng các kết quả của phép lấy giới hạn thuận qua phép lấy thương của J. J. Rotman [5, Section 5.2]. Ngoài phần giới thiệu, bài báo chia thành hai mục. Mục 2 xây dựng một hệ thuận mới từ hai hệ thuận ban đầu (Mệnh đề 2.4). Mục 3 trình bày kết quả chính của bài báo về tính bất biến của giới hạn thuận qua phép lấy thương (Định lý 3.4) và khi xét hai hệ thuận đặc biệt ta nhận được các kết quả của J. J. Rotman [5, Section 5.2] (Hệ quả 3.5, Hệ quả 3.6). 2. HỆ THUẬN Trong bài viết luôn giả thiết R là vành và M là R-môđun trái (gọi tắt là R-môđun). Giả sử I là một tập sắp thứ tự bộ phận, không mất tính tổng quát ta kí hiệu quan hệ đó là "  " . Một tập sắp thứ tự bộ phận I được gọi là một tập định hướng nếu với mọi i, j  I luôn tồn tại k  I sao cho i  k và j  k . Định nghĩa 2.1. Giả sử Gi iI là một họ các R-môđun và I là một tập tựa sắp thứ tự bộ phận. Gi iI gọi là một hệ thuận các R-môđun ứng với tập chỉ số I nếu với mọi i, j  I sao cho i  j luôn tồn tại một đồng cấu  ij : Gi  G j thỏa mãn hai điều kiện sau: 1, 2 44 Giảng viên khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017  ii : Gi  Gi là đồng cấu đồng nhất với mọi i  I . Nếu k  I sao cho i  j  k thì  ki   kj . ij , nghĩa là biểu đồ sau giao hoán:   Hệ thuận được định nghĩa như trên kí hiệu là G  Gi , ij . Ví dụ 2.2. Cho dãy các môđun con của R-môđun M như sau: M 0  M1    M n     Khi đó, ta có họ M i , ij (i  j )  là hệ thuận trên tập định hướng , trong đó  ij : M i  M j là phép nhúng từ M i vào M j . Ví dụ 2.3. Đặt   {A |A là môđun con của M }. Theo [3, Ví dụ 2.5], ta xem  là   A tập chỉ số trên chính nó và họ A,  A ' , A  A '  là hệ thuận trên tập định hướng . Giả sử M , N là các R-môđun sao cho tồn tại một đơn cấu các R-môđun f : N  M .  A , i i j' (i  j ) M   u và Bu ,  v (u  v) N lần lượt là các hệ thuận các môđun con tương ứng của M và N trên các tập định hướng M và N, trong đó  ij và  vu là các phép nhúng. Giả sử   i hai họ A = Ai ,  j ' (i  j ) M   u và B = B,  v (u  v) N thỏa mãn tính chất sau: với mọi u  N tồn tại i  M sao cho f ( Bu )  Ai . Khi đó ta có thể xây dựng được hệ thuận mới từ hai họ A, B như sau: Mệnh đề 2.4. Giả sử ta có hai môđun M , N và hai họ môđun con A, B thỏa mãn các điều kiện như trong lập luận trên. Khi đó Đặt   {( Ai , Bu )  ( A,B) | f ( Bu )  Ai } cùng với quan hệ "  " , xác định như sau: ( Ai , Bu )  ( Aj , Bv ) nếu i  j và u  v và I là một tập định hướng. Tồn tại họ đồng cấu ((ij,,uv )) : Ai / f ( Bu )  Aj / f ( Bv ), trong đó i  j , u  v sao cho họ các phần tử {( Ai , Bu ), (( ij,,uv )) (i  j , u  v)} là một hệ thuận trên tập định hướng . Chứng minh. Với mọi cặp phần tử ( Ai , Bu ),( A j , Bv )  I ( f ( Bu )  Ai , f ( Bv )  Aj ), do N là tập định hướng nên tồn tại wN sao cho u , v  w . Khi đó tồn tại k  M sao cho f ( Bw )  Ak . Vì M là tập định hướng nên tồn tại t M sao cho i, j , k  t nên 45 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 f ( Bw )  At . Do vậy ( At , Bw )  I và thỏa mãn ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  ( At , Bw ) . Vậy  là tập định hướng. Với mọi cặp phần tử ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  , i  j , u  v luôn xác định dãy đồng cấu i ( i ,u ) u j ( j ,v )  Aj / f ( Bu )   Aj / f ( Bv ) , các R-môđun Ai / f ( Bu )  trong đó i (ji ,u ) (ai  f ( Bu ))   ij (ai )  f ( Bu ) và  (uj ,v ) (a j  f ( Bu ))  a j  f ( Bv ). Đặt ((ij,,uv ))   (uj ,v )i (ji ,u ) , ((ij,,uv )) (ai  f ( Bu ))   ij (ai )  f ( Bv ). Giả sử ( Ai , Bu )  ( Aj , Bv )  ( At , Bw ). Ta có ((t ,jw,v)) ((ij,,uv )) (ai  f ( Bu ))   ((t ,jw,v)) ( ij (ai )  f ( Bv ))  t j ( ij (ai ))  f ( Bw )  ti (ai )  f ( Bw )  ((ti,,wu )) (ai  f ( Bu )). Vậy {( Ai , Bu )  J, ((ij,,uv )) (i  j , u  v)} là một hệ thuận trên tập định hướng . 3. PHÉP LẤY THƯƠNG QUA GIỚI HẠN THUẬN Mục này, trình bày các kết quả chính của bài báo. Trước hết ta nhắc lại khái niệm của giới hạn thuận và cấu trúc của giới hạn thuận khi tập chỉ số là tập định hướng. Định nghĩa 3.1. ([3, trang 237]) Giả sử G là một hệ thuận các R-môđun ứng với tập chỉ số I . Giới hạn thuận của hệ G , kí hiệu là lim  iI Gi hoặc lim Gi là một R-môđun và một họ đồng cấu các R-môđun  i : Gi  lim Gi sao cho  i   j ij , trong đó i  j , thỏa mãn  tính chất: với mọi R-môđun X và họ các đồng cấu gi : Gi  X sao cho gi  g j ij , tồn tại duy nhất một đồng cấu g : lim Gi  X làm cho biểu đồ sau giao hoán:  Mệnh đề 3.2. ([3, Proposition 5.23 và Lemma 5.30]) Giới hạn thuận của một hệ thuận M , , i  j các mô đun R-môđun trên một tập chỉ số sắp thứ tự luôn tồn tại và được i i j I xác định như sau: lim M i  ( M i ) / S , 46 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 trong đó S  { j ij (mi ) - i (mi ) | i, j  I , i  j , mi  M i } và i : M i   M i là đồng cấu nhúng thứ i. Hơn nữa, nếu I là một tập định hướng, ta có Mỗi phần tử của lim M i luôn viết được dưới dạng i (mi )  S . i (mi )  S  0 khi và chỉ khi tồn tại t  I sao cho i  t và ti ( mi )  0. Nhận xét. Theo Mệnh đề 2.4, ta có ba họ A, B và I là các hệ thuận, kết hợp với mệnh đề trên ta thấy giới hạn thuận của các họ này tồn tại và được xác định như sau: lim  iM Ai  { i (ai )  S1 | i  M, ai  Ai }, trong đó  i : Ai  iM Ai ,  i (ai )  (..., 0, ai , 0,...) và S1  { j ij (ai ) -  i (ai ) | i  M, ai  Ai , i  j}. lim  uN Bu  { u (bu )  S 2 | u  N, bu  Bu }, trong đó u : Bu  uN Bu , u (bu )  (..., 0, bu , 0,...) và S 2  { vvu (bu ) -  u (bu ) | u  N , bu  Bu , u  v}. lim  ( Ai , Bu )J Ai  { (i ,u ) (ai  f ( Bu ))  S | ( Ai , Bu )  J, ai  Ai }, f ( Bu ) trong đó  ( i ,u ) : Ai Ai  {(Ai ,Bu )J} ,  (i ,u ) (ai  Bu )  (0,..., ai  f ( Bu ),..., 0) và f ( Bu ) f ( Bu ) S  { ( j ,v )((ij,,uv )) (ai  f ( Bu )) -  (i,u ) (ai  f ( Bu )) | ( Ai , Bu )  J, ai  Ai ,( Ai , Bu )  ( Aj , Bv )}. Nếu A, B thỏa mãn thêm ( Ai , Bu )  ( Aj , Bv ) thỏa mãn  ij . f Bu điều  f Bv kiện với mọi ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  I, . vu ta có thể xây dựng được một đơn cấu từ lim  uN Bu vào lim  iM Ai như trong bổ đề sau:   i Bổ đề 3.3. Cho hai họ A = Ai ,  j ' (i  j ) M , B =  Bu , vu (u  v ) , tập I được N xác định như nêu trong Mệnh đề 2.4 và với mọi ( Ai , Bu ), ( A j , Bv )  I sao cho ( Ai , Bu )  ( Aj , Bv ) thỏa mãn  ij . f Bu  f Bv .vu . Khi đó tồn tại một đơn cấu từ lim  uN Bu vào lim  iM Ai . Hơn nữa, lim  iM Bu  { i (ai )  S1 | u  N , f ( Bu )  Ai , ai  f (bu )}. Chứng minh: 47 TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 35.2017 Lấy  u (bu )  S 2  lim  uN Bu , tồn tại i  M sao cho f ( Bu )  Ai , để cho gọn ta đặt ai  f (bu ) . Xét tương ứng g : lim  uN Bu  lim  iM Ai , g (  u (bu )  S 2 )   i (ai )  S1 Trước hết ta cần chứng minh g là một ánh xạ. Lấy  u (bu )  S 2   v (bv )  S 2 , hay  u (bu )   v (bv )  S 2  0. Tồn tại i, j  M sao cho g (  u (bu )  S 2 )   i (ai )  S1 , g (  v (bv )  S 2 )   j (a j )  S1 , trong đó ai  f (bu ), a j  f (bv ). Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại ( At , Bw )  I và thỏa mãn ( Ai , Bu ), ( Aj , Bv )  ( At , Bw ). Đặt bw   wu (bu )   wv (bv ), dẫn đến  w (bw )   u (bu )   v (bv ), do đó u (bu )   v (bv )  S 2   w (bw )  S 2  0. Theo Mệnh đề 3.2 (ii), tồn tại z  N , w  z sao cho  zw (bw )  0 hay  zu (bu )   zv (bv ). Theo tính chất của hai họ A, B, tồn tại k  M sao cho f ( Bz )  Ak . Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại ( Ap , Bq ) I và thỏa mãn ( At , Bw ),( Ak , Bz )  ( Ap , Bq ). Do vậy từ  zu (bu )   zv (bv ) ta có qu (bu )  qv (bv ) suy ra f (qu (bu ))  f (qv (bv )). Vì ( Ai , Bu )  ( Ap , Bq ) và ( Aj , Bv )  ( Ap , Bq ), nên f ( qu (bu ))   pi ( f (bu ))   pi ( ai ) và f ( qv (bv ))   pj ( f (bv ))   pj ( a j ). Dẫn đến  pi (ai )   pj (a j ) Đặt a t   ti ( a i )   t j ( a j ) , dẫn đến  t ( a t )   i ( a i )   j ( a j ), do đó  i (ai )   j (a j )  S1   t (at )  S1. Ta có  pt ( at )   pt  ti ( ai )   pt  t j ( a j )   pi ( ai )   pj ( a j )  0. Theo Mệnh đề 3.2 (ii) ta có  i (ai )   j (a j )  S1  0 hay  i (ai )  S1   j (a j )  S1. Vậy g là một ánh xạ. Lấy u (bu )  S 2 ,  v (bv )  S 2  lim  uN Bu . Tồn tại i , j  M sao cho g ( u (bu )  S2 )   i (ai )  S1 , g (  v (bv )  S2 )   j (a j )  S1 , trong đó ai  f (bu ), a j  f (bv ). Khi đó ta có g ( u (bu )  S2 )  g (  v (bv )  S 2 )   i (ai )   j (a j )  S1 , Theo Mệnh đề 2.4 (i), tồn tại ( At , Bw ) I và thỏa mãn ( Ai , Bu ),( Aj , Bv )  ( At , Bw ). Đặt bw   wu (bu )   wv (bv )  Bw , dẫn đến  w (bw )   u (bu )   v (bv ),  u (bu )   v (bv )  S 2   w (bw )  S 2  0. Do vậy g (  u (bu )   v (bv )  S 2 )  g (  w (bw )  S 2 )   t ( at )  S1 , trong đó at  f (bw ). Vì vậy at  f (bw )  f  wu (bu )  f  wv (bv )  ti f (bu )  t j f (bv )  ti (ai )  t j f (a j ). Từ đó ta nhận được  i (ai )   j (a j )  S1   t (at )  S1  g ( u (bu )   v (bv )  S 2 ). 48