Bất đẳng thức trung bình điều hòa

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Mạnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

447
lượt xem 100
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, bất đẳng thức tam giác là một định lý phát biểu rằng trong một tam giác chiều dài của một cạnh phải nhỏ hơn tổng, nhưng lớn hơn tri tuyet doi hiệu của hai cạnh còn lại. Bất đẳng thức là một định lý trong các không gian như hệ thống các số thực, tất cả các không gian Euclide, các không gian Lp (p≥1) và mọi không gian tích trong. Bất đẳng thức cũng xuất hiện như là một tiên đề trong định nghĩa của nhiều cấu trúc trong giải tích toán học và giải...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bất đẳng thức trung bình điều hòa

BÊt BÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ. Bµi 1. Bµi to¸n 1 1 1 1 Cho hai cÆp sè d−¬ng x1 , x2 vµ y1 , y2 ta cã: + ≤ (1) 11 11 1 1 + + + x1 x2 y1 y2 x1 + x2 y1 + y2 (1) gäi lµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ ®èi víi hai cÆp sè. Chøng minh. x1 y1 xy ( x + x )( y + y2 ) + 22 ≤ 1 2 1 (1) ⇔ x1 + y1 x2 + y2 x1 + x2 + y1 + y 2 ⇔ ( x1 + y1 + x2 + y2 ) [ x1 y1 ( x2 + y2 ) + x2 y2 ( x1 + y1 ) ] ≤ ( x1 + x2 ) ( y1 + y2 ) ( x2 + y2 ) ( x1 + y1 ) 2 ⇔ ( x1 y2 − x2 y1 ) ≥ 0, ∀ x1 , x2 , y1 , y2 Më réng bµi to¸n cho n sè tù nhiªn ta cã Më MÖnh ®Ò 1 Cho hai bé n sè tù nhiªn xi , yi , i = 1, n (n ∈ N ) ta cã: n 1 1 ∑1 (2) ≤ 1 1 1 + + i =1 n n xi yi ∑ xi ∑y i i =1 i =1 (2) ®−îc gäi lµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ víi hai bé n sè d−¬ng. Chøng minh k 1 1 ∑1 Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k nghÜa lµ: ≤ 1 1 1 + + i =1 k k xi yi ∑x ∑y i i i =1 i =1 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi x1 : y1 = x2 : y2 = ... = xk : yk Ta chøng minh cho (2) ®óng víi n = k + 1. ThËt vËy, k +1 k 1 1 1 1 1 ∑1 =∑ + ≤ + 1 11 1 1 1 1 1 1 + + + + + i =1 i =1 n n xi yi xi yi xk +1 yk +1 xk +1 yk +1 ∑x ∑y i i i =1 i =1 k k ∑x ,x ∑y ,y ¸p dông bÊt ®¼ng thøc (1) cho hai cÆp sè: vµ ta cã: i k +1 i k +1 i =1 i =1
1 1 1 + ≤ 1 1 1 1 1 1 + + + k k k +1 k +1 xk +1 yk +1 ∑x ∑y ∑x ∑y i i i i i =1 i =1 i =1 i =1 k k ∑ xi : ∑ yi = xk +1 : yk +1 §¼ng thøc x¶y ra khi:  i =1 ⇔ x1 : y1 = x2 : y2 = ... = xk +1 : yk +1 i =1  x : y = x : y = ... = x : y 1 1 k k 2 2 VËy, ta ®· chøng minh ®−îc (2). Chóng ta më réng (1) theo h−íng kh¸c ta cã: MÖnh ®Ò 2. Cho 3 cÆp sè d−¬ng x1 , x2 ; y1 , y2 ; z1 , z1 ta cã: MÖnh 1 1 1 (3) + ≤ 111 111 1 1 1 ++ ++ + + x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 (3) gäi lµ bÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ víi 3 cÆp sè d−¬ng. Chøng minh. 1 1 1 1 1 + = + ≤ 111 111 1 1 1 1 1 1 ++ ++ + + + 1 1 1 1 x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 x2 x1 + x2 + 11 11 11 11 + + + + y1 z1 y2 z 2 y1 z1 y2 z2 1 1 ¸p dông (1) cho hai cÆp sè d−¬ng: x1 , x2 ; , 111 1 + + y1 z1 y2 z2 1 1 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi: x1 : = x2 : 11 11 + + y1 z1 y2 z 2 TiÕp tôc ¸p dông (1) cho hai cÆp sè d−¬ng y1 , y2 ; z1 , z2 ta ®−îc. 1 1 1 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi: y1 : y2 = z1 : z2 + ≤ 11 11 1 1 + + + y1 z1 y2 z 2 y1 + y2 z1 + z2
1 1 1 ⇒ ≤ = 1 1 1 1 1 1 1 + + + + 1 1 1 x1 + x2 x1 + x2 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 + 11 11 1 1 + + + y1 z1 y2 z 2 y1 + y2 z1 + z2 1 1 1 VËy , + ≤ 111 111 1 1 1 ++ ++ + + x1 y1 z1 x2 y2 z2 x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2  1 1 x1 : = x2 :   11 11 + + ⇔ x1 : y1 : z1 = x2 : y2 : z2 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi:  y1 z1 y2 z 2   y1 : z1 = y2 : z2  B»ng chøng minh quy n¹p ta cã c¸c më réng sau cña bÊt ®¼ng thøc MÖnh ®Ò 3 BÊt ®¼ng thøc trung b×nh ®iÒu hoµ cho 3 bé n sè d−¬ng. MÖnh n 1 1 ∑1 ≤ 11 1 1 1 ++ + + i =1 n n n xi yi zi ∑x ∑ y ∑z i i i i =1 i =1 i =1 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi: x1 : y1 : z1 = x2 : y2 : z2 = ... = xn : yn : zn 1 1 1 MÖnh ®Ò 4. B§T trung b×nh ®iÒu hoµ víi n cÆp sè d−¬ng MÖnh + ≤ n n n 1 1 1 ∑x ∑x ∑x i1 + xi 2 i =1 i =1 i =1 i1 i2 MÖnh ®Ò 5. B§T trung b×nh ®iÒu hoµ m bé n sè d−¬ng. MÖnh Cho n bé gåm m sè d−¬ng x1i , x2i ,....xmi i = 1, m 1 1 1 1 + + ... + ≤ n n n 1 1 1 1 1 1 ∑x ∑x ∑x + + ... + m m m 1 1 1 ∑x ∑x ∑x i =1 i1 i =1 i 2 i =1 im j =1 1 j j =1 2 j j =1 nj