Bộ 50 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 có đáp án - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9<br /> <br /> Sở GD&ĐT Thanh Hóa<br /> <br /> Đề Số 1<br /> Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9<br /> (Thời gian làm bài 150’)<br /> Câu 1: Giải phương trình.<br /> 6x  3<br /> = 3 + 2 x  x2<br /> x  1 x<br /> <br /> Câu 2: Cho hệ phương trình:<br /> x - 3y - 3 = 0<br /> x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0<br /> Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị<br /> của biểu thức.<br /> M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.<br /> Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC<br /> (B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M<br /> khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF<br /> ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số<br /> <br /> PQ<br /> không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.<br /> EF<br /> <br /> Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.<br /> 2(y+z) = x (yz-1)<br /> Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên<br /> tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.<br /> <br /> 1<br /> <br /> Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9<br /> <br /> Sở GD&ĐT Thanh Hóa<br /> <br /> Đề Số 2<br /> Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9<br /> (Thời gian làm bài: 150’)<br /> Câu 1: Cho biểu thức.<br /> (x + x 2  2006) (y  y 2  2006)  2006<br /> Hãy tính tổng: S = x + y<br /> Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:<br /> <br /> x2  x  y2  y<br /> 0<br /> x 2  y 2 1<br /> <br /> Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.<br /> Câu 3:<br /> Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những<br /> số chính phương.<br /> Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai<br /> đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N.<br /> Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm<br /> thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D<br /> và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.<br /> a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.<br /> b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.<br /> Câu 5: Giải phương trình.<br /> x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2  1<br /> <br /> 2<br /> <br /> Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9<br /> <br /> Sở giáo dục và đào tạo<br /> Thanh hoá<br /> *****<br /> <br /> Sở GD&ĐT Thanh Hóa<br /> <br /> Đề thi học sinh giỏi lớp 9<br /> Môn: Toán<br /> Thời gian: 150 phút<br /> <br /> Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?<br /> <br /> y  5  13  5  13  5  ...<br /> <br /> 1 1 1<br /> 1<br />   <br /> . Chứng minh rằng :<br /> a b c abc<br /> 1<br /> 1 1<br /> 1<br /> Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: n  n  n  n<br /> a b c<br /> a  bn  c n<br /> Bài 3: Giải hệ phương trình:<br />  x  2  2 y  1  9<br /> <br />  x  y  1  1<br /> Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:<br /> (m  1) x  my  2m  1<br /> <br /> 2<br /> mx  y  m  2<br /> Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất<br /> Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,<br /> 1 1 1 1<br /> x3, x4 thoả mãn điều kiện     1<br /> x1 x2 x3 x4<br /> 1<br /> Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y  x 2<br /> 2<br /> a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol<br /> b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ<br /> Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:<br /> x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0<br /> Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao<br /> cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O<br /> và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I<br /> 1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được<br /> 2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích<br /> điểm K khi M di động trên đoạn OB.<br /> Bài 9: Cho tam giác ABC có A  900 , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và<br /> E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M<br /> để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.<br /> Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:<br /> <br /> --------------------------------------------------------<br /> <br /> 3<br /> <br /> Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9<br /> <br /> Sở GD&ĐT Thanh Hóa<br /> <br /> Đề thi học sinh giỏi lớp 9<br /> <br /> đ<br /> <br /> Bài I (2 )<br /> Rút gọn A<br /> <br /> 1  2a<br /> 1  1  2a<br /> <br /> <br /> <br /> 1  2a<br /> 1  1  2a<br /> <br /> Với a =<br /> <br /> 3<br /> 4<br /> <br /> Bài II (6đ)<br /> a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình<br /> 2x2 + 4x = 19-3y2<br /> b) Giải hệ phương trình<br /> x3 =7x +3y<br /> y3 = 7y+3x<br /> Bài III (3đ)<br /> Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1<br /> Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx<br /> Bài IV (6đ)<br /> Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠? CD) M,N lần lượt thứ tự là trung<br /> điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gọi I là giao điểm<br /> của MH’ và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.<br /> Bài V (3đ)<br /> Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.<br /> <br /> 4<br /> <br /> Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9<br /> <br /> Sở GD&ĐT Thanh Hóa<br /> <br /> Đề thi học sinh giỏi - lớp 9<br /> Môn toán -thời gian : 150 phút<br /> người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm<br /> Câu 1: (4 điểm)<br /> Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x<br /> A=<br /> <br /> 6 x  ( x  6) x  3<br /> 3<br /> 1<br /> <br /> <br /> 2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2<br /> <br /> điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1<br /> Câu 2: (3 điểm) giải phương trình<br /> x 2  48 = 4x - 3 +<br /> <br /> x 2  35<br /> <br /> Câu 3: (4 điểm)<br /> Phân tích ra thừa số<br /> A = x3 y3 + z3 - 3xyz<br /> Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình<br /> x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2<br /> <br /> (1)<br /> <br /> t/m đk:<br /> max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z)<br /> <br /> (2)<br /> <br /> Câu 4: (3 điểm)<br /> Tìm GTNN của biểu thức<br /> <br /> <br /> <br /> 1 x10 y10 1 16<br /> = ( 2  2 )  ( x  y16 )  (1  x 2 y 2 )2<br /> 2 y<br /> x<br /> 4<br /> <br /> Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao,<br /> đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4<br /> phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.<br /> Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông<br /> với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường<br /> vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của<br /> đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng<br /> PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0).<br /> <br /> 5<br /> <br />