Bộ ba số Pythagore
Định lý Pythagore : a2 + b2 = c2
Một bộ ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho
a2 + b2 = c2. Khi đó ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba ai cũng biết là
(3, 4, 5). Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với
số nguyên dương k bất kỳ cũng là Pythagor. Một bộ ba số Pythagore
được gọi là bộ ba số Pythagor nguyên tố nếu a, b và c là các số nguyên
tố cùng nhau.
Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ định lý Pythagore. Các bộ ba
số Pythagore có thể lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông với độ
dài cạnh huyền là c. Tuy nhiên, độ dài các cạnh của một tam giác vuông
không tạo thành bộ ba số Pythagor nếu chúng không là các số nguyên.
Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông
, nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagore vì √2 không là số nguyên.
Không có bộ ba số Pythagore nào có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau (trừ
3,4 và 5)
Có 16 bộ ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:
( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)
(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)
(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)
Mục lục
1 Công thức tổng quát
2 Tính chất sơ cấp
3 Xem thêm
4 Liên kết
[sửa] Công thức tổng quát
Công thức sau tổng quát tất cả các bộ ba số Pythagore (không đơn trị):
a = k*(2mn)
b = k*(m2 - n2)
c = k*(m2 + n2)
trong đó m và n là hai số nguyên dương với m > n và k là số nguyên
dương tùy ý. Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới công thức cổ điển cho bởi
Euclid (kh. 300 TCN) trong cuốn sách Elements của ông, thường được
gọi là công thức Euclid:
a = 2mn
b = m2 - n2
c = m2 + n2
Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là các số
nguyên tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn. Nếu cả n và m
là chẵn, thì a, b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó không nguyên tố cùng
nhau. Mọi bộ ba nguyên tố (có thể đổi vai trò giữa a và b) sinh ra từ một
cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.
[sửa] Tính chất sơ cấp
Trong một bộ ba Pitago nguyên thủy, kí hiệu:
Hai cạnh góc vuông:
m2 − n2 và 2mn là 2 cạnh góc vuông a,b; trong đó 2mn là cạnh góc
vuông chẵn.
c = m2 + n2 là cạnh huyền.
Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pitago,
(c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm
tra xem một bộ ba số có phải là bộ ba Pitago hay không, tuy vậy
đây chỉ là điều kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn
(c − a)(c − b)/2 là số chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba
Pitago. Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) " (c − a) và (c −
b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện cần và đủ để
(a,b,c) lập thành bộ ba Pitago; bộ ba Pitago này có thể không
nguyên thủy.
Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pitago nguyên tố cùng nhau thì đó là
bộ ba Pitago nguyên thủy.
Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có cạnh huyền là số chính
phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có một cạnh góc vuông là
số chính phương
Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn của một bộ ba
Pitago nguyên thủy là một số chính phương lẻ; và trung bình cộng
của cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ là một số chính phương
(m2 + n2) + (2mn) = (m + n)2
.
Diện tích (A = ab/2) là số đồng dư (tiếng Anh: congruent number)
chẵn.
Trong hai số a, b có đúng một số lẻ; và c là số lẻ.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.
Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.
Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia
hết cho 8.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia
hết cho 9.
Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có đúng
một số chia hết cho 11.
Tất cả các ước nguyên tố của c đều là số nguyên tố có dạng 4k + 1