Các bài toán về vành oclit

Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

281
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'các bài toán về vành oclit', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các bài toán về vành oclit

Đ IS (CƠ S ) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a TS. Tr n Huyên Ngày 24 tháng 4 năm 2005 Bài 14. CÁC BÀI TOÁN V VÀNH ƠCLÍT Các vành chính - như đã bi t m c trư c - nh có tính ch t cơ b n : m i iđêan là iđêan chính mà s h u đư c khá nhi u các tính ch t chia h t như trong vành Z các s nguyên. Tuy v y, chúng v n còn m t kho ng cách khá xa so v i Z. Ch ng h n, ư c chung l n nh t c a hai ph n t trong m t vành chính A, đã t n t i, nói chung v n không có đư c m t thu t toán tìm UCLN như trong vành s nguyên - thu t toán Ơclit. Khái ni m v vành Ơclit (mà các đi u ki n đ nh nghĩa nó có đư c nh s phân tích, đánh giá các đi u ki n đ m b o cho s th c hi n thu t toán Ơclit trong vành Z !), đư c xem là m t b sung rút ng n b t kho ng cách đó. Đ nh nghĩa Vành Ơclit là m t mi n nguyên A, sao cho trên t p A∗ các ph n t khác 0 xác đ nh đư c ánh x δ : A∗ −→ N, vào t p s t nhiên N th a các đi u ki n: E1 : N u a, b ∈ A∗ mà a\b thì δ(a) δ(b). E2 : ∀a, b ∈ A, b = 0 luôn t n t i q, r ∈ A sao cho a = qb + r, hơn n a n u r = 0 thì δ(r) < δ(b). Ánh x δ đư c g i là hàm b c hay ánh x Ơclit. Hi n nhiên vành Ơclit A là vành chính và đ c đi m nh n bi t m t vành Ơclit trong l p các vành chính nói chung đó là s xác đ nh c a hàm b c trên nó. Vì v y các bài toán v vành Ơclit, ngoài các d ng tương t như có trong vành chính, mà cách x lí nói chung cũng tương t như trong vành chính, đáng đ ý hơn đây là các bài toán liên quan t i hàm b c. Tr ơc h t, chính là các bài toán ki m tra m t vành đã cho là vành Ơclit. Ví d 1 a b Cho æ = : a, b ∈ Z . Ch ng minh r ng æ cùng v i hai phép toán c ng và nhân −b a ma tr n là m t vành Ơclit. Gi i : Đ ch ng minh æ là m t vành Ơclit, trư c h t ta c n ki m tra æ là m t mi n nguyên theo các bư c sau: + æ có nhi u hơn m t ph n t . + æ ⊂ M2 , v i M2 là vành các ma tr n c p hai. v 1
1 0 + Đơn v c a æ là 0 1 + Phép nhân trên æ là giao hoán. + æ không có ư c c a 0. B n bư c đ u khá đơn gi n, xin dành cho b n đ c. Đ ki m tra æ không có ư c c a 0, ta đ ý r ng : a b = a2 + b 2 = 0 ⇔ a = b = 0 −b a nên a b A= =0 −b a khi và ch khi det A = 0. V y n u A = 0, B = 0 thì det AB = det A. det B = 0 nên AB = 0. V y æ là mi n nguyên. Ti p theo ta xây d ng hàm b c δ : æ∗ −→ N mà v i m i A ∈ æ∗ thì δ(A) = det A = a2 +b2 ∈ N. Ta l n lư t ki m tra δ th a các đii u ki n E1, E2 Th t v y, trư c h t n u A\B (A, B ∈ æ∗ ) thì t n t i C mà B = AC ⇒ det B = det A. det C, t đó ta có det A det B (do det C 1). V y : δ(A) δ(B) t c δ th a E1. Bây gi n u A, B ∈ æ và B = 0. Khi đó det B = 0 nên t n t i ma tr n ngh ch đ o B −1 ∈ M2 . Xét ma tr n AB −1 ∈ M2 , d th y nó có d ng r s AB −1 = −s r 1 1 Ta ch n các s nguyên a, b sao cho |a − r| và |b − s| , và l p ma tr n 2 2 a b Q= ∈æ −b a Khi đó ta có A = QB + (A − QB), trong đó ma tr n R = A − QB = (AB −1 − Q)B th a mãn yêu c u det R < det B (n u R = 0) b i : r−a s−b det(AB −1 − Q) = b−s r−a =(r − a)2 + (s − b)2 1 1 + < 1. 4 4 t c δ th a đi u ki n E2. V y æ là vành Ơclit. Các bài toán v tính ch t c a các ph n t liên quan t i b c (t c giá tr c a ánh x Ơclit) c a chúng cũng là nh ng d ng toán đáng chú ý trong vành Ơclit. 2
Ví d 2: Cho vành Ơclit A v i hàm b c δ. Đ t m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m} Ch ng minh r ng : a. N u u ∈ A∗ mà δ(u) = m thì u \ 1 b. N u a ∈ A∗ mà δ(a) = n thì a b t kh qui. Gi i : a) Theo tiên đ E2, v i c p ph n t 1, u = 0, t t n t i q, r ∈ A sao cho 1 = qu + r . N u r = 0 thì δ(r) < δ(u) = min δ(A∗ ) là đi u không th x y ra. V y r = 0 t c 1 = qu hay u\1 . b) Hi n nhiên a = 0 và a không kh ngh ch do δ(a) = n > m = min δ(A∗ ). (n u a \ 1 thì δ(a) = m! ). Đ ch ng minh a b t kh qui ta l y ư c b t kỳ b c a a ta ch ra b là ư c kh ngh ch hay ư c liên k t v i a. Vì b \ a nên t n t i c mà a = bc ; đ ng th i do E1 mà δ(b) ≤ δ(a). Suy ra δ(b) = n hay δ(b) = m. N u δ(a) = m, theo a) ta có : b \ 1. N u δ(a) = n, theo tiên đ E2 áp d ng cho c p b, a = 0, t n t i q, r sao cho : b = qa + r. N u r = 0 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do đó theo a) thì r \ 1. Khi đó ta có : r = b − qa = b − q(bc) = b(1 − qc) ⇒ b \ r. Đi u này không th x y ra vì δ(b) = n > m = δ(r) ! V y r = 0 và b = qa, t c a \ b. Do b \ a và a \ b nên b ∼ a V y ư c b t kỳ b c a a là ư c t m thư ng, do đó a b t kh qui. Ví d 3 Cho A là vành Ơclit v i hàm b c δ không là hàm h ng (δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t !). Ch ng minh r ng t n t i ph n t a ∈ A, sao cho trong vành thương A/ a , m i l p ghép khác 0 đ u ch a ít nh t m t đ i di n kh ngh ch. Gi i : Vì δ(A∗ ) nhi u hơn m t ph n t nên t n t i các s t nhiên m = min δ(A∗ ) và n = min{δ(A∗ ) \ m}. Ch n a ∈ A∗ mà δ(a) = n; ta ch ra a là ph n t c n tìm. Th t v y, n u x + A là l p ghép khác 0 trong A/ a thì x không là b i c a a, do đó t n t i q, r ∈ A v i r = 0 mà : x = qa + r. Theo đii u ki n E2 thì δ(r) < δ(a) ⇒ δ(r) = m, do v y r kh ngh ch và r = x − qa ∈ x + A, là đ i di n kh ngh ch c a l p x + A = 0. 3
BÀI T P 1. Ch ng minh r ng vành các s ph c có d ng a + ib v i a, b ∈ Z là vành Ơclit. 2. Cho t p các s ph c √ √ Z( −2) = a + b( −2) : a, b ∈ Z √ Ch ng minh Z( −2) là vành Ơclit (v i phép c ng và phép nhân s ph c). Ch ng minh √ √ √ r ng ph n t a + b −2 ∈ Z( −2) là b t kh qui trong Z( −2) n u a2 + 2b2 là s nguyên t . 3. Cho A là vành Ơclit. Ch ng minh r ng giá tr c a hàm b c δ trên hai ph n t liên k t là b ng nhau. T đó suy ra r ng A là trư ng khi và ch khi hàm b c δ trên A∗ là hàm h ng (t c δ(x) = n ∈ N, ∀x ∈ A∗ ) 4. Cho A là vành Ơclit v i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N. Ch ng minh r ng t n t i ánh x Ơclit δ : A∗ −→ N sao cho δ (A∗ ) = {0, 1, 2, . . . , n} hay δ (A∗ ) = N 5. Cho A là vành Ơclit không ph i là trư ng và cho a ∈ A∗ là ph n t sao cho m i l p ghép khác 0 c a vành thương A/ a đ u ch a m t đ i di n kh ngh ch. Ch ng minh r ng a là ph n t b t kh qui. Có k t lu n gì v b c c a a ? 6. Cho A là vành Ơclit và I A. Ch ng minh r ng vành thương A/I là vành Ơclit ⇔ A/I là mi n ngyuên. 4