intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Các chuyên đề luyện thi Đại học - Trần Anh Tuấn (tt)

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:138

Thêm vào BST
Báo xấu
91
lượt xem 12
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết, bài tập, tổng hợp với các mức độ dễ và khó giúp các em tự ôn luyện, tự kiểm tra kiến thức và nâng cao kỹ năng làm bài tốt nhất. Cùng thử sức nhé!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các chuyên đề luyện thi Đại học - Trần Anh Tuấn (tt)

  1. Chương 7 Tích phân 7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là một nguyên hàm của f trên K nếu F ′ (x) = f (x) với mọi x ∈ K Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng F(x) = 4 sin x + (4x + 5)ex + 1 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 4 cos x + (4x + 9)ex . x 2. Chứng minh rằng hàm số F(x) = |x| − ln(1 + |x|) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = . 1 + |x| 3. Chứng minh rằng x2 x2 ln x − +1 khix > 0 F(x) = 2 4 1 khix = 0 x ln x khix > 0 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = trên [0; +∞). 0 khix = 0 √ Bài 7.2 : Xác định các hệ số a, b, c để hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) 3 − 2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) = √ x 3 − 2x. 2x − 3 Bài 7.3 : 1. Tìm m để hàm số F(x) = ln(x2 + 2mx + 4) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 . x − 3x + 4 2. Cho hàm số f (x) = −xex và F(x) = (ax + b)ex . Với giá trị nào của a và b thì F(x) là một nguyên hàm của f (x). Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau 149 WWW.VNMATH.COM
  2. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Ê Ê Ê Ê sin(ax + b) 1. 0 dx = C; dx = 1 dx = x + C; (b) cos(ax + b) dx = + C; a Ê xα+1 Ê 1 (ax + b)α+1 Ê 2. xα dx = + C; (ax + b)α dx = . +C e(ax+b) α+1 a α+1 (c) e(ax+b) dx = + C; (với α −1, a 0); a Ê αx Ê 1 Ê 1 1 (d) α x dx = + C (với 0 < α 1); 3. dx = ln |x| +C; dx = ln |ax + b| +C (a 0); ln α x ax + b a Ê 1 4. Với a là hằng số khác 0 5. (a) dx = tan x + C; cos2 x Ê cos(ax + b) Ê 1 (a) sin(ax + b) dx = − + C; (b) dx = − cot x + C. a sin2 x Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau : √ x+ x+1 2x − 1 1 1. √ ; 7. ; 13. ; 3 x ex x(1 + x)2  √ ¡  √ ¡ 8. e3−2x ; x4 − 2 2. x+1 x− x+1 ; 14. ; x3 − x 3. 1 ; 9. x(x + 1)(x + 2); π sin2 x cos2 x 15. sin x − (1 + sin 2x); 1 1 4 cos 2x 10. √ − √ ; 16. sin x sin 2x cos 5x; 4. ; 3 x x sin x + cos x 1 − x2 2 17. sin6 x + cos6 x; x3 + 1 11. ; 5. ; x 1 1 − x2 18. √ ; 2 + sin x − cos x 1 3x2 + 3x + 3 6. ; 12. ; 19. sin x cos2 x. (1 + x)(1 − 2x) x3 − 3x + 2 Vấn đề 3 : Tìm hằng số C x3 + 3x2 + 3x − 1 1 Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 2 + 2x + 1 , biết rằng F(1) = . x 3 1 + sin x 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = , biết rằng F(0) = 2. 1 + cos x Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau : 1. f ′ (x) = 2x + 1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5); 7 2. f ′ (x) = 2 − x2 và f (2) = . 3 b Bài 7.7 : Tìm hàm số y = f (x) có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f ′ (x) = ax + , ở đây f (1) = 4 và f ′ (1) = 0. x2 Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần Công thức u dv = uv − v du. Về việc chọn u, v như thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần. Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 150
  3. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Ê Ê Ê √ Ê 1+x 1. (1 − 2x)e3x dx; 8. e x sin x dx; 15. x ln x dx; 22. x ln dx; Ê Ê Ê 1−x 2. (x2 + 2x − 1)e x dx; 9. e3x sin 5x dx; 16. x2 e x dx; Ê 23. cos (ln(tan x)) dx; Ê Ê Ê 3. x sin(2x + 1) dx; 10. e3x cos 7x dx; 17. 3 x cos x dx; Ê x cos x Ê Ê Ê 24. dx; 4. (x − 1) sin x dx; 2 11. xe cos x dx; x 18. xe sin 2x dx; x sin2 x Ê Ê Ê Ê 1 + sin x 25. x2 x dx; 5. x ln(1 − x) dx; 12. xe sin(2x + 1) dx; 2x 19. e dx; x 1 + cos x Ê Ê √ Ê x Ê 26. xe−x dx; 6. x ln2 x dx; 13. x sin dx; 20. sin(ln x) dx; 2 Ê Ê Ê √ Ê 7. e x cos x dx; 14. x2 cos x dx; 21. ln x + 1 + x2 dx; 27. 25e3x cos 4x dx. Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên [a; b] và hàm số f (u) liên tục sao cho f [u(x)] xác định trên [a; b]. Khi đó nếu F là một Ê nguyên hàm của f , tức f (u) du = F(u) + C thì f [u(x)] u′ (x) dx = F [u(x)] + C. Việc chọn u = u(x) như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân. Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau : Ê Ê √ Ê cos x 1. 2(4x − 1)6 dx; 11. 3x2 x3 + 1 dx; 22. dx; 1 + sin x Ê 7 Ê √ 2. dx; 12. 2x3 4 − x4 dx; Ê x 4 − 3x 23. dx; Ê3x2 x2 + 4 Ê 3 13. dx; Ê √ 3. √ dx; x3 + 1 24. (x + 1) x − 1 dx; 2x + 1 Ê x Ê −4x √ 14. dx; Ê tan x 4. e + 3x + 2 dx; 5 (3x 2 + 9)4 25. dx; Ê √ sin2 x Ê π 2 15. 2x e x2 +4 dx; Ê 4x 5. cos x − dx; Ê 26. dx; 2 6x + 5 2x + 4 (1 − 2x2 ) 16. dx; Ê x2 + 4x − 5 6. (2x + 1)4 dx; Ê 3 √ Ê 4x 17. x 2 − t2 dx; 27. dx; Ê (1 − 2x2 )2 7. 2x(x2 + 1)3 dx; Ê 18. cos xesin x dx; Ê ln x Ê x 2 28. dx; 8. √ dx; Ê ex x x3 − 4 19. dx; Ê e x+1 e−x Ê √ Ê 29. dx; 9. x x − 1 dx; 20. cos x sin4 x dx; 1 + e−x Ê √ Ê √ Ê 1 10. 2x x2 + 1 dx; 21. x x + 1 dx; 30. dx. x ln x Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau : Ê Ê Ê x 1. (2x + 1)20 dx; e2x 10. √ dx; 6. √ dx; 2x + 3 Ê x ex + 1 2. dx; Ê √ Ê x x2 + 1 7. 3x 7 − 3x2 dx; 11. dx; Ê √ (1 + x2 )2 3. x2 x3 + 5 dx; Ê 9x2 Ê dx Ê 8. √ dx; 12. ; 4. e3 cos x sin x dx; 1 − x3 e x − e−x Ê ln4 x Ê 1 Ê ln2 x 5. dx; 9. √ √ dx; 13. dx; x x(1 + x)3 x TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 151
  4. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com √ Ê Ê Ê sin x cos x 3 1 + ln x 17. , (a2 b2 ); 20. sin2 x cos3 x dx; 14. dx; √ 2 sin2 x + b2 cos2 x x a Ê Ê 15. cos x sin3 x dx; Ê dx 21. e3 sin x cos x dx; 18. ; Ê cos x + sin x cos x sin2 x 16. √ dx; Ê √ Ê sin x − cos x 19. x 1 + x2 dx; 22. (3x + 2)10 dx. Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau : Ê Ê Ê ln (tan x) Ê dx 1. x3 e−x dx; 6. sin(ln x) dx; 2 11. dx; 15. ; Ê √ Ê √ cos2 x sin x + cos x 2. sin x dx; 7. cos2 x dx; Ê x x Ê 12. sin cos dx; 5 Ê ln(ln x) 8. 1 − 1 dx; 3 3 Ê dx 3. dx; ln2 x ln x 16. ; x Ê 1 1 1 8 − 4 sin x + 7 cos x Ê Ê x cos x 13. sin cos dx; 4. cos (ln x) dx; 2 9. dx; x2 x x sin2 x Ê √ Ê  √ ¡ Ê dx Ê 4 sin x + 6 cos x + 5 5. e x dx; 10. sin x + 1 dx; 14. ; 17. dx. 3 + 5 cos x sin x + 2 cos x + 2 7.2 Các dạng toán tích phân Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản Nếu F là một nguyên hàm là một nguyên hàm của f trên [a; b] thì b ¬b ¬ f (x) dx = F(x)¬ = F(b) − F(a). a a Bài 7.12 : Tính các tích phân sau : Ê Ê dx π π 1. 2 x(x + 1)2 dx; Ê2   ¡ 9. 4 ; Ê4 dx 5. 2x2 + cos x dx; 2 (x + 1) 13. ; 0 0 1 x 0 (1 + tan2 x) cos4 x π π Ê π Ê 2 π Ê 3 sin x 3 Ê2 2. (2 cos x − sin 2x) dx; 10. dx; 14. cos2 2x dx; 6 6. (sin 6x sin 2x − 6) dx; π 1 − cos x 0 0 6 −π 2 Ê2 1 Ê8 1 Ê √ 2 Ê2 π 3. dx; 7. 4x − √ dx; 11. x3 − 2x2 + x dx; 15. sin 2x sin 6x dx; x(x + 1) 3 1 2 1 3 x2 0 −π 2 π Ê ln 2 e2x+1 +1 Ê1 Ê3 dx π Ê6 4. dx; 8. 3x − e x 4 dx; 12. 2 ; 16. tan x dx. 0 ex 0 π 6 sin x cos2 x 0 Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối 1. Công thức tách cận tích phân b c b f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx. a a c Êb 2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối | f (x)| dx (giả sử a > b). a (a) Giải phương trình f (x) = 0, được các nghiệm xi ∈ [a; b], giả sử a ≤ x1 < x2 < · · · < xn ≤ b. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 152
  5. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com (b) Dùng công thức tách cận b x1 x2 b | f (x)| dx = | f (x)| dx + | f (x)| dx + · · · + | f (x)| dx a a x1 xn ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ x1 ¬ ¬ x2 ¬ ¬ b ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ =¬ ¬ f (x) dx¬ + ¬ ¬ ¬ f (x) dx¬ + · · · + ¬ ¬ ¬ f (x) dx¬ . ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ a x1 xn Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân. Ê5 Ê7 Ê7 Bài 7.13 : 1. Cho f (t) dt = −3 và f (u) du = 4, tính f (x) dx. 0 0 5 Ê2 2. Xác định hàm số f (x) = A sin πx + B, biết rằng f ′ (1) = 2 và f (x) dx = 4. 0 Ê2 Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f (x) = a.3 x + b, biết rằng f ′ (0) = 2 và f (x) dx = 12. Tìm các giá trị của a và b. 1 Ê 2π 2. Cho hàm số f (x) = a sin 2x + b, biết rằng f ′ (0) = 4 và f (x) dx = 3. Tìm các giá trị của a và b. 0 Ê4 Ê6 Ê6 Bài 7.15 : 1. Cho f (x) dx = 1 và f (t) dt = 5. Tính tích phân I = f (x) dx. 0 0 4 å è π 3π Ê1 2. Cho a ∈ ; và thoả mãn cos(x + a2 ) dx = sin a. Tính giá trị của a. 2 2 0 Bài 7.16 : Tính các tích phân sau : Ê2 Ê3 Ê3 Ê √ 2π 1. |1 − x| dx; 6. |x2 − 1| dx; 11. |2 x − 4| dx; 16. 1 + cos x dx; 0 −3 0 0 π Ê2 Ê √ 4 Ê √ 1 Ê2 √ 2. |x2 − x| dx; 7. x2 − 6x + 9 dx; 12. 4 − |x| dx; 17. cos x cos x − cos3 x dx; 0 1 −1 −π 2 Ê √ 2π Ê5 Ê √ π π 3. 1 − cos 2x dx; 13. 1 − sin x dx; Ê2 8. (|x + 2| − |x − 2|) dx; 18. | sin x| dx; 0 −2 −π −π 2 √ π Ê 3 |1 − x2 | Ê √ 3 Ê3 √ Ê √ π 4. dx; 9. x3 − 4x2 + 4x dx; 14. tan2 x + cot2 x − 2 dx; 19. 1 + cos 2x dx; 0 1 + x2 0 π 6 0 Ê2 Ê2 Ê √ π Ê √ 2π 5. |x − 2| dx; 10. |x2 + 2x − 3| dx; 15. 1 − sin 2x dx; 20. 1 + cos x dx. 0 0 0 0 Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần b ¬b b ¬ u dv = uv¬ − v du. a a a Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ. Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt u là lôga và dv là phần còn lại hoặc đặt u là đa thức và dv là phần còn lại. Chú ý : Ê • Tích phân I = e x sin x dx đặt u = e x và dv = sin x dx . . .; • Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã; TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 153
  6. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com • Một cách tổng quát, chúng ta đặt u là biểu thức dễ xác định đạo hàm, dv là phần còn lại dễ xác định nguyên hàm. Bài 7.17 : Tính các tích phân sau : Ê ln 2 Ê1 Ê5 1. xe2x dx; 9. (x2 + 1)e2x dx; 17. 2x ln(x − 1) dx; 0 0 2 Ê1 Ê1 Êe 2. (2x2 + x + 1)e x dx; 10. (2x − 1)e−2x dx; 18. x ln2 x dx; 0 0 1 Ê π Ê √ 3 √ Ê1 √ 11. dx; 19. 1 + x2 dx; 2 x+1 3. (1 − x) sin x cos x dx; x + 1e x ln x + 0 0 0 π Ê1 √ Ê3 Ê4 12. 2 x dx; 20. (ln(x − 1) − ln(x + 1)) dx; 4. x sin x dx; 0 2 0 Êπ Êπ Ê3 13. (x2 + 2x + 3) cos x dx; 21. e x cos2 x dx; 5. 2x ln x dx; 0 0 1 π Ê2 Ê1 Êe 14. (x − 1) sin x dx; 22. e x sin2 (πx) dx; 6. x3 ln2 x dx; 0 0 1 π Ê2 π π Ê2 Ê2 15. x cos x sin2 x dx; 23. x2 cos x dx; 7. e2x sin 3x dx; 0 0 0 π Êπ Ê2 x − sin x π Ê3 8. e cos 2x dx; x 16. dx; 24. (2 − x) sin x dx. 0 π 3 1 + cos x 0 Vấn đề 4 : Phương pháp đổi biến số 1. Phương pháp đổi biến số đơn giản Ê 1Ê (a) f (ax + b) dx = f (ax + b) d(ax + b); a Ê 1Ê 1 (2x − 3)3 VD : (2x − 3)2 dx = (2x − 3)2 d(2x − 3) = + C. 2 2 3 1 Chú ý : d(ax + b) = a dx ⇒ dx = d(ax + b). a Ê 1 (b) f (xn+1 )xn dx = f (xn+1 ) d(xn+1 ), đặt t = xn+1 ; Ê n+1 Ê VD : I = (4x3 + 1)2 x5 dx = (4x3 + 1)2 x3 .x2 dx. 1−t Đặt t = 4x3 + 1 ⇒ dt = 12x2 dx và x3 = . 4 Ê 1−t 3 dt Vậy I = t2 = ··· 4 12 (c) Về cơ bản khi có căn chúng ta thường đặt t là toàn bộ căn, rồi lũy thừa hai vế cho mất căn; nếu biểu thức trong các hàm sin, cos, tan, cot, ln hoặc lũy thừa là phức tạp thì ta thường đặt t là biểu thức phức tạp đó. VD : Ê √ √ t dt Ê t dt i. I = x2 2x3 + 1 dx, đặt t = 2x3 + 1 ⇒ t2 = 2x3 + 1 ⇒ 2t dt = 6x2 dx ⇒ x2 dx = , nên I = t. = ··· 3 3 Ê Ê Ê dt ii. I = x3 .e x +1 dx, đặt t = x2 + 1 ⇒ dt = 2x dx và x2 = t − 1, nên I = x2 .e x +1 x dx = (t − 1)et rồi dùng phương 2 2 2 pháp nguyên hàm từng phần. Ê 1 1 1 1 dx Ê 1Ê iii. I = sin cos dx, đặt t = ⇒ dt = − 2 , nên I = − sin t cos t dt = − sin 2t dt. x2 x x x x 2 2. Phương pháp đổi biến số tích phân lượng giác Tích phân chỉ chứa các hàm số lượng giác sin, cos, tan, cot chúng ta biến đổi về một trong các dạng sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 154
  7. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Ê (a) f (sin x) cos x dx, hàm f (sin x) là tính theo sin x (chú ý rằng cos2 x = 1 − sin2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của cos x đều đưa được về sin x), đặt t = sin x ⇒ dt = cos x dx (tức là tích phân chứa sin x mũ lẻ). Ê (b) f (cos x) sin x dx, hàm f (cos x) là tính theo cos x (chú ý rằng sin2 x = 1 − cos2 x và nói chung lũy thừa bậc chẵn của sin x đều đưa được về cos x), đặt t = cos x ⇒ dt = − sin x dx (tức là tích phân chứa cos x mũ lẻ). Ê dx dx (c) f (tan x) 2 , đặt t = tan x ⇒ dt = (tức là tích phân có lũy thừa của sin x và cos x cùng tính chẵn lẻ). Trường cos x cos2 x 2t 1 − t2 hợp đặc biệt, tích phân chứa tan x, sin 2x, cos 2x cũng đặt t = tan x, khi đó sin 2x = 2 , cos 2x = . 1+t 1 + t2 Ê dx dx (d) f (cot x) 2 , đặt t = cot x ⇒ dt = − 2 . sin x sin x π (e) Tích phân chứa (sin x + cos x) dx hoặc sin x + dx đặt t = sin x − cos x. 4 π (f) Tích phân chứa (sin x − cos x) dx hoặc sin x − dx đặt t = sin x + cos x. 4 dx Ê Ê cos x dx Ê 1 Ê 1 VD : I = = = cos x dx = cos x dx, đặt t = sin x. cos x cos 2x cos 2x 1 − sin2 x √ 3. Phương pháp đổi biến với tích phân chứa ax2 + bx + c √ π π (a) Nếu chứa a2 − x2 đặt x = a sin t, − ≤ t ≤ . 2 2 √ a π π (b) Nếu chứa x 2 − a2 đặt x = , − ≤ t ≤ và t 0. sin t 2 2 √ π π (c) Nếu chứa x2 + a2 đặt x = a tan t, − < t < . 2 2 VD : Ê dx √ π π √ (a) I = √ , đặt x = 2 sin t (− ≤ t ≤ ) ⇒ dx = 2 cos t dt. Ta được : 2−x 2 2 2 √ √ √ √ √ Ê 2 cos t dt Ê 2−x 2 = 2 2 − 2 sin t = 2 cos 2t = 2 cos t, và I = √ = dt = t + C. 2 cos t Ê √ π π dt √ 1 (b) I = x2 + 1 dx, đặt x = tan t, − < t < , nên dx = và x2 + 1 = . Ta được : 2 2 cos2 t cos t Ê dt Ê d(sin t) 1 Ê (sin t + 1) − (sin t − 1) 2 I= = = d(sin t) = . . . cos3 t (1 − sin2 t)2 2 (sin t + 1)(sin t − 1) Ê dx √ (c) I = √ , đặt x = tan t và ta được I = ln |x + x2 + a2 | + C. x2 + a 2 x (d) Một cách tổng quát tích phân chứa sin x, cos x, tan x, cot x chúng ta đặt t = tan . 2 4. Phương pháp đổi biến với tích phân chỉ chứa hàm mũ Ta đặt t là cả hàm mũ đó, chẳng hạn : Êex dt Ê t dt (a) I = x+1 dx, đặt t = e x ⇒ dt = e x dx = t dx ⇒ dx = , vậy thì I = = . . .. e t t+1 t Ê dx dt Ê dt (b) J = , đặt t = 2 x ⇒ dt = 2 x ln 2 dx = t ln 2 dx ⇒ dx = , vậy thì J = t ln 2 = . . . 2x + 1 t ln 2 t+1 5. Phương pháp đổi biến tích phân chứa lôga và phân thức Ê dx dx I = f (ln x). , đặt t = ln x, ta được dt = . x x Ê ln x + 1 dx Ê VD : Tính I = dx, đặt t = ln x + 1 ⇒ dt = , vậy I = t dt. x x Bài 7.18 : Tính các tích phân sau : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 155
  8. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com π π Ê2 sin 2x dx Ê3 x dx 22 π2 Ê3 √ Ê4 1. 3 3x + 5 dx; 12. ; 23. cos x dx; 33. ; 0 0 4 − cos2 x 0 cos2 x 0 Ê1 Ê2 2x 2. x3 (1 + x4 )3 dx; 13. √ dx; Ê5 ln(ln x) e π Ê2 (1 + sin x)1+cos x 0 1 1 + x2 24. dx; 34. ln dx; e2 x 0 1 + cos x Ê1 Ê ln2 x e 3. 2 3x3 xe dx; 14. dx; Ê1 0 1 x 25. x3 e x dx; 2 π Ê2 35. (x + sin2 x) cos x dx; π Ê2 sin x Ê ln 2 √ 0 4. dx; 15. e x − 1 dx; 0 Êe 0 1 + cos x 0 √ 26. cos(ln x) dx; π Ê2   ¡ a Êe 1 + ln x 1 36. esin x + cos x cos x dx; Ê2 dx 16. dx; 5. √ , (a > 0); x Ê 1 + x ln x e 0 0 a 2 − x2 1 √ 27. dx; Ê x Ê dx 8 1 π a 1+x Ê3 6. , (a > 0); 17. dx; 37. sin x ln(tan x) dx; 0 a 2 + x2 3 x π Ê2 π 28. cos x ln(sin x) dx ; 4 Ê1 dx Ê1 √ π 7. ; 18. x2 2 − x2 dx; 4 x 2+x+1 Ê1 x dx 0 0 π Ê4 x dx 38. ; Ê2 Ê √ 1 29. ; 0 x4 + x2 + 1 8. x(1 − x)5 dx; 19. 1 + 4 sin x cos x dx; 0 1 + sin 2x 1 0 π Ê ln 2 Ê 3 2 Ê π Ê ln 3 xe x 39. e2x sin2 (e x ) dx; 30. dx; 1 x + 2x + 10x + 1 2 sin 2x 9. dx; 20. √ dx; √ 0 x2 + 2x + 9 0 ex + 1 0 0 cos2 x + 2 sin2 x π π Ê1 Êπ Ê3 x+1 Ê4 dx 31. e x ln(e x + 1) dx; 40. xe x cos x dx; 10. √ 3 dx; 21. ; 0 0 3x + 1 0 (sin x + 2 cos x)2 0 √ π π Ê3 √ Ê2   ¡ Ê4 x sin x dx Ê ln(ln x) e 2 11. x5 1 + x2 dx; 22. esin x + cos x cos x dx; 32. ; 41. dx. 0 0 0 cos3 x e x Bài 7.19 : Tích phân các hàm số lượng giác Êπ Ê3 π π Ê2 dx 1. sin4 x cos4 x dx; 12. cos 3x cos 5x dx; 23. ; 0 −π 2 0 1 + sin x + cos x π Ê3 π π Ê4 3 sin 2x + 4 cos 2x + 5 2. cos 3x tan x dx; Ê4 dx 24. dx; 0 13. ; 3 cos 2x − 4 sin 2x + 5 0 1 + cos 2x 0 Êπ π 3. sin x sin 2x cos 5x dx; π Ê2 4 sin3 x Ê2 3 cos x + sin x + 2 0 14. dx; 25. dx; 1 + cos x 0 2 sin x + cos x + 1 π 0 Ê3 π 4. cos10 x + sin10 x − sin4 x cos4 x dx; π Ê2 Ê6 tan4 x 0 15. √ cos x dx; 26. dx; 0 cos 2x 0 1 + cos2 x Êπ 5. cos4 x dx; π π Ê4   ¡ Ê4 dx 0 16. tan2 x + tan4 x dx; 27. ; 0 cos4 x π 0 Ê2 6. sin x + cos x dx; π 6 6 π Ê2 Ê4 dx 28. sin3 x cos2 x dx; 0 17. ; 0 π 0 (sin x + 2 cos x)2 Ê3 √ π 7. tan2 x + cot2 x − 2 dx; π Ê2 sin x + 7 cos x + 5 Ê4 sin5 x 29. dx; 18. dx; π 6 0 cos7 x π 0 4 sin x + 3 cos x + 5 Ê2 4 sin3 x π Ê6 dx 8. dx; π Ê2 9 sin x − 2 cos x 30. ; 0 1 + cos x 19. dx; 0 cos x cos x + π π 0 cos x + 2 sin x + 1 4 Ê2 9. sin 2x sin 5x dx; π Ê2 sin x π Ê4 dx −π 2 20. dx; 31. √ ; 0 3 + cos2 x 0 2 + sin x − cos x 5π Ê 12 dx Ê π π Ê4 sin x dx 10. √ √ ; 4 πsin 2x + 2 3 cos2 x + 2 − 3 21. sin2 x cos4 x dx; 32. ; 12 0 0 1 + sin 2x √ π π π Ê3 2 sin x − 4 π Ê2 √ Ê2 dx 11. dx; 22. cos x cos x − cos3 x dx; 33. . 0 cos x −π 2 π 3 sin 2x − 2 sin x TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 156
  9. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 7.20 : Tích phân hàm vô tỉ Ê3 dx Êdx 1 1 Ê2 x3 − x5 1. √ Ô ; 17. √ ; 4 33. √ dx; 0 x + 1 + (x + 1)2 0 1+ x 1 − x2 −1 2 Ê2 x+3 Êa √ 2. √ dx; 18. x2 a2 − x2 dx, với a > 0; 1 x 2x + 3 Ê2 1+x 34. dx; 1 0 Ê √ 1−x Ê7 x dx 1 0 3. √ ; 19. x 3 + x2 dx; Ê 3 0 x+1 0 1 1−x 35. x dx; Ê7 x dx Ê2 dx 0 1+x 4. √ ; 20. √ ; √ 0 1+ 2+x 2 x2 −1 Ê1 2x − 3 36. √ dx; Ê 64 dx Ê1 x x2 + x + 1 5. √ √ ; 21. (1 − x) dx; 0 1 x+ 3x 2−x 0 Ê5 x2 + 1 Ê1 dx √ 37. √ dx; 6. Ê1 x− x2 − 2x + 2 dx √ ; 22. √ . ; 4 x2 − 4x + 3 0 1+ 3x 0 x+ x 2 − 2x + 2 x2 − 2x + 2 Ê1 x Ê1 1−x Ê4 dx 38. √ dx; 7. dx; 23. √ ; 0 1+ 3x 1+x √ 0 2+ 2 (x − 1) x2 − 4x + 3 √ 2Ê 3 dx Ê2 dx Ê0 √ 39. √ ; 8. √ √ ; 24. x 4 − x2 ; 2 √ 5 x x2 + 4 1 x+1+ x−1 −1 Ê1 √ Ê √ 0 Ê1 1+x 9. (x2 + x) x + 1 dx; 25. −x(x + 2) dx; 40. dx; 0 −1 1 x3 3 3 Ê 4 x dx Ê √ 1 √ 10. √ ; 26. 2x − x2 dx; Ê3 √ 0 1−x 0 41. x3 x2 + 1 dx; 0 Ê2 x dx Ê2 √ 11. √ ; 27. x 2 4− x2 dx; Ê3 √ 1 1+ x−1 1 42. x3 1 − x2 dx; 1 Ê 16 dx Ê1 dx 12. √ √ ; 28. √ ; √2 3 1 x+9− x 0 1 + x + x2 + 1 Ê5 Ô 43. x5 3 (2 − 5x3 )2 dx; Ê1x dx Ê2 x+1 1 13. √ ; 29. √ dx; √ 3 5 0 1+x 1 x2 − 2x + 2 Ê x2 − 2x + 5 Ê1 dx Ê √ 3 1 44. √ , n ∈ N; 14. x3 − 2x2 + x dx; 30. √ dx; 0 (1 + xn ) n 1 + xn 0 0 3 + 2x − x2 Ê1 2x2 Ê1 dx Ê1 √ 45. x7 8x4 + 1 dx; 7 15. √ dx; 31. Ô dx; 0 1+x 0 (x2 + 8)3 0 Ê √ 9 Ê1 dx Ê1 √ 16. x 1 − x dx; 32. ; 46. x15 1 + 3x8 dx. 3 √ 1 −1 4 − x2 0 Vấn đề 5 : Tích phân các hàm hữu tỉ P(x)Ê Xét tích phân dạng dx, với P(x) là một đa thức nào đó. + bx + cax2 Ê 2x + 3x − x 3 2 VD : Tính I = dx. x2 + 2x + 2 • Chia tử cho mẫu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu), được −3x + 2 I= (2x − 1) dx + dx x2+ 2x + 2 Ê −3x + 2 vấn đề là cần tính I1 = dx. x2+ 2x + 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 157
  10. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com −3 • Tách tử theo đạo hàm của mẫu : đạo hàm của mẫu là 2x + 2, và tử là −3x + 2 = (2x + 2) + 5, vậy : 2 3 (2x + 2) dx dx I1 = − +5 . 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 Ê (2x + 2) dx Ê d(x2 + 2x + 2) – Với = = ln |x2 + 2x + 2| + C. x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 Ê dx – Với , ta nhận thấy mẫu x2 + 2x + 2 vô nghiệm, nên x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 (tổng quát : ax2 + bx + c = x2 + 2x + 2 b 2 ∆ a x+ + ) và ta được 2a 4a dx dx = x2 + 2x + 2 (x + 1)2 + 1 dt 1 đặt x + 1 = tan t ⇒ dx = 2t và (x + 1)2 + 1 = tan2 t + 1 = , thay vào ta được cos cos2 t dx dt 2 + 2x + 2 = cos2 t 1 = dt = t + C. x cos2 t Ê dx Dạng tổng quát : , đặt x = a tan t. x2 + a2 Một ví dụ khác với mẫu là đa thức hai nghiệm phân biệt. Ê 2x3 − x2 + x − 4 VD : Tính I = dx và biến đổi như trên ta được : 2x2 − 3x + 1 3x − 5 3 4x − 3 11 dx I= (x + 1) dx + dx = (x + 1) dx + dx − 2x2 − 3x + 1 4 2x2 − 3x + 1 4 2x2 − 3x + 1 Ê 4x − 3 Ê d(2x2 − 3x + 1) • Với dx = = ln |2x2 − 3x + 1| + C. 2x2 − 3x + 1 2x2 − 3x + 1 Ê dx 1 1 • Với , nhận thấy mẫu 2x2 − 3x + 1 có hai nghiệm phân biệt 1 và , nên 2x2 − 3x + 1 = 2(x − 1) x − . 2x2 − 3x + 1 2 2 1 (x − 1) − x − 1 1 1 1 2 1 1 Ta biến đổi 2 = . = .(−2). =− − . 2x − 3x + 1 2 1 2 1 x− 1 x−1 (x − 1) x − (x − 1) x − 2 2 2 Ta được : ¬ ¬ dx dx dx d x− 1 d(x − 1) ¬ 1¬ = − ln ¬ x − ¬ − ln |x − 1| + C. 2 =− − =− − ¬ 2x2 − 3x + 1 x− 1 x−1 2 x− 1 2 x−1 2¬ Và cuối cùng ta xét ví dụ với mẫu là đa thức có nghiệm kép. Ê dx 1Ê dx 1 Ê d(x + 1) 1 1 VD : Tính 2 − 4x + 2 = 2 = =− . + C. 2x 2 (x + 1) 2 (x + 1)2 2 x+1 Chú ý rằng : • Nếu ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 , x2 thì ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ). • Nếu ax2 + bx + c có nghiệm kép x = x0 thì ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 . • d(x + a) = dx với mọi số thực a. Bài 7.21 : Tính các nguyên hàm sau : Ê dx Ê dx Ê x3 + 5x2 + 3x − 7 Ê dx 1. ; 3. ; 5. dx; 7. ; 3x + 1 −2x2 −x+1 x2 + 6x + 9 x2 (x + 1) Ê x2 + 3x − 1 Ê dx Ê x2 − 6x + 10 Ê 2x − 7 2. dx; 4. 2 − 4x + 4 ; 6. dx; 8. dx; −2x + 3 x x2 − 6x + 8 x2 − 3x + 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 158
  11. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Ê x−1 Ê 3x + 1 Ê x dx Ê x4 − 1 9. dx; 12. dx; 14. ; 16. dx; (x2 + 3x + 2)2 (x + 1)3 (x2 + 1)2 x3 − x Ê 2x + 5 10. dx; 9x2 − 6x + 1 Ê 2x + 1 Ê x3 Ê x2 + 2x + 1 Ê (x2 + 1) dx 11. 2 − 4x + 4)3 dx; 13. dx; 15. dx; 17. ; (x (x2 + 1)2 x2 + 1 (x − 1)3 (x + 3) Bài 7.22 : Tính các tích phân sau : 1 Ê2 x3 dx Ê1 x dx Ê2 (x2 + 1) dx Ê −1 dx 1. ; 11. ; 21. ; 31. ; x2 − 3x + 2 −1 x2 +x+1 1 (x2 + 3x − 1)(x 2 + 5x − 1) 2 (11 + 5x)2 0 Ê 3x dx Ê1 (x − 4) dx 2 Ê2 (x2 − 4) dx (x2 + 1) dx ; 32. Ê 2 3 2. ; 12. ; 22. 2 2 2 x 2 + 2x + 1 2x3 − 4x2 + 6x − 12 1 (x − 3x + 4)(x − 2x + 4) 2 + 5x + 1)(x2 − 3x + 1) 0 0 1 (x Ê Ê1 6x2 + x + 2 Ê1 x dx 1 3x + 8 23. dx; (4x + 2) dx 3. ; 13. dx; 2 Ê2 0 x 4 + x2 + 1 0 x2 − 9x + 14 0 (4x + 1)(x + 1) 33. 2 + x)(x2 + x + 2) ; 1 (x Ê1 x4 + 5x2 + 4 Ê 1 − x2 2 Ê4 x dx 24. dx; 4. dx; 14. ; x(x2 + 2)2 Ê2 (x2 − 6) dx 1 1+ x4 0 x4 + 4x2 + 3 1 2 34. 2 2 1 (x + 3x + 2)(x + 9x + 18 Ê1 dx Ê1 x2 Ê1 4x − 2 5. ; 15. dx; 25. dx; x4 + 4x2 + 3 (1 + x)2 0 (x + 2)(x + 1) 2 Ê0 x 2 0 0 √ √ 35. 2 − 3x + 2 dx; 1 Ê 2x + 1 2+ 6 −1 x Ê2 dx 4 Ê2 x2 + 1 6. ; 16. dx; 26. dx; 3x2 − 2x − 1 2 x2 + x 1 x4 + 1 Ê1 x dx 0 36. 2 + 1)2 ; Ê1 dx Ê2 x−1 2 Ê x dx 1 0 (x 7. ; 17. dx; 27. 3 ; x2 − 4x + 5 x+2 0 (x + 1) 0 −1 Ê2 5x + 3 Ê (1 − 3x)4 Ê1 x2 − 1 37. dx; Ê2 dx 1 28. dx; 1 x 3 − 2x2 − 3x 8. ; 18. dx; 4 x2 − 2x + 2 0 (2x + 1)3 1 x + 1 1 2 3 Ê2 dx Ê1 x dx Ê1 x3 dx Ê 2x + 1 2 1 38. ; 9. ; 19. ; 29. dx; 1 x3 − 4x 0 x4 − 5x2 + 4 0 (x2 + 1)2 0 x+1 1 Ê x2 dx 1 Ê1 x5 dx Ê1 x2 Ê2 3x2 − 8x + 13 10. ; 20. ; 30. dx; 39. dx. 0 x2 + 1 0 4x 6 + 4x3 + 1 0 (x 2 + 1)2 0 (x + 3)(x − 1)2 Vấn đề 6 : Tích phân một số hàm đặc biệt 1. Đối với hàm chẵn, lẻ (a) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a] thì a a f (x) dx = 2 f (x) dx. −a 0 (b) Nếu hàm số y = f (x) là hàm số lẻ, liên tục trên [−a; a] thì a f (x) dx = 0. −a Nhận xét : Như vậy, trước khi tính tích phân ta cần chú ý đến hai cận, nếu thấy hai cận đối nhau ta cần để ý đến tính chẵn lẻ của hàm số dưới dấu tích phân rồi áp dụng kết quả khẳng định trên. 2. Tích phân kết hợp giữa hàm chẵn và hàm mũ Cho f (x) là hàm số chẵn, liên tục trên [−a; a]. Khi đó : a a f (x) dx = f (x) dx. mx + 1 −a 0 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 159
  12. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com 3. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau Êb Êb Ta có hệ thức : f (a + b − x) dx = f (x) dx. a a 4. Tích phân hàm tuần hoàn Nếu hàm số y = f (x) liên tục, tuần hoàn với chu kì T thì a+T T f (x) dx = f (x) dx. a 0 5. Hàm số dưới dấu tích phân có trục đối xứng thẳng đứng Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên [a; b] và f (a + b − x) = f (x) thì b b a+b x f (x) dx = f (x) dx. 2 a a Êπ πÊπ Đặc biệt : x f (sin x) dx = f (sin x) dx. 0 20 6. Tích phân của các hàm số đối xứng nhau - tích phân liên kết lượng giác π π Ê2 Ê2 Nếu f (x) liên tục trên [0; 1] thì f (sin x) dx = f (cos x) dx. 0 0 Đặc biệt π π π π 2 2 2 2 sink x cosk x sink x cosk x = ; = . (sin x + cos x)n (sin x + cos x)n sinn x + cosn x n sin x + cosn x 0 0 0 0 7. Biến đổi tách đôi hàm số và co cận tích phân Ê 2a Êa Nếu f (x) là hàm liên tục trên [0; 2a], thì f (x) dx = ( f (x) + f (2a − x)) dx. 0 0 Ê1 Ê1 Bài 7.23 : 1. Chứng minh rằng ecos x dx = 2 ecos x dx. −1 0 2. Tính các tích phân sau: 1 2 2 √ 1+x I1 = ln(x + x2 + 1) dx; I2 = cos x ln dx. 1−x −2 −1 2 Bài 7.24 : Tính các tích phân sau : π 1 Ê3 Ê2 dx 1. cos7 x dx; 8. √ ; −π 3 −1 2 (e x + 1) 1 − x2 Ê x6 + tan x 1 π 2. dx; Ê2 x2 |sin x| −1 x2 + 1 9. ; −π 2 2009 x + 1 Êa √ 3. x2 sin x + a2 − x2 dx (a > 0); π −a Ê2 sin x sin 2x cos 5x 10. dx; Ê ä 1 √ ç2007 −π 2 ex + 1 4. ln x + 1 + x2 dx; √ −1 Ê x ln 1 + 1 1 + x2 Ê1 3x x 2+x 11. √ dx; 5. x2 + cos 6x + sin sin ln dx; −1 (3 x + 1) 1 + x2 −1 2 2 2−x Ö Ê x2 ln(1 + x2 ) 1 Ê1 x4 x5 − x3 + x − sin x 12. dx; 6. 3 dx; −1 2x + 1 −1 sin4 x + cos4 x x4 + x2 + 1 + cos x 1 1+x Ê2 x ln Ê1 dx 13. 1−x dx; 7. x + 1)(x2 + 1) ; ex + 1 −1 (2 −1 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 160
  13. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com π π Ê2 x2 cos x Ê2 1 14. dx; 27. − tan2 (cos x) dx; −π 2 ex + 1 0 cos2 (sin x) π π Ê4 Ê2 sinn x 15. ln(1 + tan x) dx; 28. n−1 ; 0 0 sin x + cosn−1 x Ê ln(1 + x) 1 π 16. dx; Ê2 0 1+ x2 29. ln(tan x) dx; 0 Ê sin7 3x cos8 5x 4π 17. dx; π Ê2 0 1 + cos10 x 30. ln(sin x) dx; 0 Êä ç π 2 18. tan2007 2x + sin2009 6x dx; π Ê2 dx 0 31. dx; Ê 2007π √ 0 1 + tan2009 x 19. 1 − cos 2x dx; √ 0 Ê4 ln(9 − x) 32. √ √ dx; 5π Ê4 2 ln(9 − x) + ln(x + 3) sin 2x 20. dx; π cos4 x + sin4 x Ê 3π 33. sin x sin 2x sin 3x dx; Ê x sin x dx π 0 21. ; 0 9 + 4 cos2 x Êπ sin 5x 34. cos 7x dx; 3 Êπ sin 3x 22. x sin x dx; 0 0 Ê √ 2π Êπ 35. 1 + sin x dx; 23. x sin x dx; 3 0 0 Ê x sin x d x π Êπ 24. I = ; 36. x sin x cos2 x dx; 0 1 + sin2 x 0 π π Ê2 cos4 x Ê2 cos3 x 25. ; 37. dx; 0 sin4 x + cos4 x 0 sin x + cos x π Ê2 sin x Ê1 x4 26. ; 38. dx; 0 (sin x + cos x)3 −1 1 + 2x Bài 7.25 : Chứng minh các hệ thức sau : Ê1 Ê1 1. xm (1 − x)n d x = xn (1 − x)m dx; 0 0 Êa 1 Ê2 a 2. x3 f (x2 ) d x = x f (x) dx (a > 0; x > 0); 0 2 0 T Ê T Ê2 3. Chứng minh rằng nếu y = f (x) là hàm chẵn, tuần hoàn với chu kì T thì f (x) dx = 2 f (x) dx. 0 0 7.3 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng Bài 7.26 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2 y2 1. elíp : + = 1, (a, b > 0). a2 b2 2. đồ thị hàm số y = x3 − 1, đường thẳng x = 2, trục tung và trục hoành. 3. đồ thị hàm số y = 4 − x2 , đường thẳng x = 3, trục tung và trục hoành. 4. parabol y = 2 − x2 và đường thẳng y = −x. 5. đường thẳng y = x + 2 và parabol y = x2 + x − 2. √ 6. đồ thị hàm số y = x, trục hoành và đường thẳng y = x − 2. Bài 7.27 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 161
  14. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com 27 x2 1. đồ thị các hàm số y = ,y = và y = x2 . x 27 2. parabol y = 2x2 − 4x − 6, trục hoành, và hai đường thẳng x = −2, x = 4. 3. parabol (P) : y = x2 − 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) tại A(1; 2) và B(4; 5). 4. đồ thị các hàm số y = |x2 − 1| và y = |x| + 5. √ 5. đồ thị các hàm số y = − 4 − x2 và x2 + 3y = 0. 6. đồ thị các hàm số y = sin |x| và y = |x| − π. 8 7. đồ thị các hàm số x2 = 4y và y = x2 +4 Bài 7.28 : Cho parabol (P) : y = x2 + 1 và cho đường thẳng dm : y = mx + 2. 1. Chứng minh rằng với mọi m thì (P) và dm luôn cắt nhau tại hai điểm phân biêt. 2. Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (P) và dm có diện tích nhỏ nhất. Bài 7.29 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : x2 2 8 1. đồ thị các hàm số y = x2 , y = , y = và y = . 4 x x 2. đồ thị các hàm số y2 = 2x, x − 2y + 2 = 0 và trục hoành. 3. đồ thị hàm số y2 + x − 5 = 0 và đường thẳng x + y − 3 = 0. 4. đồ thị các hàm số x2 = 3y và y2 = 3x. 5. parabol y = x2 − 2x + 2 và các tiếp tuyến của nó đi qua điểm A(2; −2). 7.4 Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể tròn xoay Bài 7.30 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi parabol y = 2x − x2 và trục hoành. 1. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. 2. Tính thể tích Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Oy. 27 x2 Bài 7.31 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 , y = và y = . Tính thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi x 27 khi quay S quanh trục Ox, Oy (tương ứng). Bài 7.32 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi các parabol y = 4 − x2 và y = x2 + 2. Tìm thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy. Bài 7.33 : Cho S là hình tròn tâm I(2; 0) và bán kính R = 1. Tìm thể tích V x , Vy của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox, Oy. Bài 7.34 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1 . Tìm thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.35 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = sin x, trục hoành, các đường thẳng x = 0 và x = π. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. Bài 7.36 : Cho hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x ln x, trục hoành, các đường thẳng x = 1 và x = e. Tính thể tích V x của hình tròn xoay tạo bởi khi quay S quanh trục Ox. TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 162
  15. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com 7.5 Tích phân trong các kì thi ĐH Ê   1 ¡ Bài 7.37 (CĐ09) : Tính tích phân : I = e−2x + x e x dx. 0 Ê 2x − 1 1 Bài 7.38 (CĐ10) : Tính tích phân I = dx. 0 x+1 Bài 7.39 (A02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = |x2 − 4x + 3|, y = x + 3. √ 2Ê 3 dx Bài 7.40 (A03) : Tính tích phân : I = √ . √ 5 x x2 + 4 Ê2 x Bài 7.41 (A04) : Tính tích phân : I = √ dx. 1 1+ x−1 π Ê2 sin 2x + sin x Bài 7.42 (A05) : Tính tích phân : I = √ dx. 0 1 + 3 cos x π Ê2sin 2x Bài 7.43 (A06) : Tính tích phân : I = √ dx. 0 cos 2 x + 4 sin2 x Bài 7.44 (A07) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x. π Ê6 tan4 x Bài 7.45 (A08) : Tính tích phân : I = dx. 0 cos 2x π Ê2   ¡ Bài 7.46 (A09) : Tính tích phân : I = cos3 x − 1 cos2 dx. 0 Ê x2 + e x + 2x2 e x 2 Bài 7.47 (A10) : Tính tích phân I = dx. 0 1 + 2e x Ö x2 x2 Bài 7.48 (B02) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = 4− và y = √ . 4 4 2 √ Êe 1 + 3 ln x ln x Bài 7.49 (B04) : Tính tích phân I = dx. 1 x π Ê2 sin 2x cos x Bài 7.50 (B05) : Tính tích phân I = dx. 0 1 + cos x Ê ln 5 dx Bài 7.51 (B06) : Tính tích phân I = . ln 3 e x + 2.e−x − 3 Bài 7.52 (B07) : Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = x ln x, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. π dx π Ê4 sin x − Bài 7.53 (B08) : Tính tích phân : I = 4 . 0 sin 2x + 2(1 + sin x + cos x) Ê 3 + ln x 3 Bài 7.54 (B09) : Tính tích phân : I = dx. 1 (x + 1)2 Êe ln x Bài 7.55 (B10) : Tính tích phân I = dx. 1 x(2 + ln x)2 Ê2 Bài 7.56 (D03) : Tính tích phân : I = |x2 − x| dx. 0 Ê3 Bài 7.57 (D04) : Tính tích phân : I = ln(x2 − x) dx. 2 π Ê2   ¡ Bài 7.58 (D05) : Tính tích phân : I = esin x + cos x cos x dx. 0 Ê1 Bài 7.59 (D06) : Tính tích phân : I = (x − 2)e2x dx. 0 Êe Bài 7.60 (D07) : Tính tích phân : I = x3 ln2 x dx. 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 163
  16. www.VNMATH.comCHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Ê ln x 2 Bài 7.61 (D08) : Tính tích phân : I = dx. 1 x3 Ê3 dx Bài 7.62 (D09) : Tính tích phân : I = . 1 ex − 1 Êe 3 Bài 7.63 (D10) : Tính tích phân I = 2x − dx. 1 x 7.6 Bài tập tổng hợp Ê x3 dx 2 Bài 7.64 : Tính tích phân : I = . 0 x2 + 1 Ê ln 3 e x dx Bài 7.65 : Tính tích phân : I = Ô . 0 (e x + 1)3 Ê0 √ Bài 7.66 : Tính tích phân : I = x + 1 dx. 3 x 22x + −1 π Ê4 x Bài 7.67 : Tính tích phân : I = dx. 0 1 + cos 2x Ê1 √ Bài 7.68 : Tính tích phân : I = x3 1 − x2 dx. 0 Ê ln 5 e2x dx Bài 7.69 : Tính tích phân : I = √ . ln 2 ex − 1 Ê1 Bài 7.70 : Tính tích phân : I = x3 e x dx. 2 0 Ê x2 + 1 e Bài 7.71 : Tính tích phân : I = ln x dx. 1 x π Ê3 Bài 7.72 : Tính tích phân : I = sin2 x tan x dx. 0 Ê x+2 7 Bài 7.73 : Tính tích phân : I = √ 3 dx. 0 x+1 Êe Bài 7.74 : Tính tích phân : I = x2 ln x dx. 1 π Ê4 Bài 7.75 : Tính tích phân : (tan x + esin x . cos x) dx. 0 Ê 3 e ln2 x Bài 7.76 : Tính tích phân : I = √ dx. 1 x ln x + 1 π Ê2 Bài 7.77 : Tính tích phân : I = (2x − 1) cos2 x dx. 0 Ê6 dx Bài 7.78 : Tính tích phân : I = √ . 2 2x + 1 + 4x + 1 Bài 7.79 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol : y = x2 − x + 3 và đường thẳng d : y = 2x − 1. √ Ê e 3 − 2 ln x Bài 7.80 : Tính tích phân : I = √ dx. 2 x 1 + 2 ln x Ê 10 dx Bài 7.81 : Tính tích phân : I = √ . 5 x−2 x−1 π Ê2 Bài 7.82 : Tính tích phân : I = (x + 1) sin 2x dx. 0 Ê2 Bài 7.83 : Tính tích phân : I = (x − 2) ln x dx. 1 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 164
  17. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com √ Ê4 2x + 1 Bài 7.84 : Tính tích phân : I = √ dx. 0 1 + 2x + 1 x(1 − x) Bài 7.85 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0 và y = . x2 + 1 √ Bài 7.86 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 và y = 2 − x2 . Ê x(x − 1) 1 Bài 7.87 : Tính tích phân : I = dx. 0 x2 − 4 Ê2 Bài 7.88 : Tính tích phân : I = x2 cos x dx. 0 3x x2 Bài 7.89 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = và y = . 4 x+1 √ Bài 7.90 : Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3−x 2x + 1; y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox. Bài 7.91 : Tính thể tích khối tròn xoay nhận được do quay quanh trục Oy hình phẳng được giới hạn bởi các đường y2 = x và 3y − x = 2. Bài 7.92 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = |x2 − 4x| và y = 2x. Bài 7.93 : Cho D là hình hình giới hạn bởi (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1. Tính thể tích vật thể khi quay D quanh trục Ox. Bài 7.94 : Tính các tích phân sau : Êe ln x π Êπ sin 2x 1. dx; 14. dx; (1 + x)2 Ê x + sin x 2 1 + cos4 x 8. dx; 1 0 e 0 1 + cos x Ê1 π 2. (2x − 1)2 e3x dx; Ê cos3 x 0 9. dx; Ê x sin2 x dx 4 π cos x − sin x 15. ; Ê e+1 2 π sin 2x cos2 x 3. x2 ln(x − 1) dx; 6 2 π π Ê cos x − 4 4 Ê1 dx 10. dx; Êe ln3 x 4. √ ; 0 4 − 3 cos x 16. dx; 0 x + 1 − x2 1 x(ln2 x + 1) Ê2 x dx Êπ 11. √ √ ; 5. x sin x cos x dx; 0 2+x+ 2−x π 0 π Ê ¢ 2 £ Ê5 x2 + 1 17. 3x(x − 1) + e1+cos x sin 2x dx; Ê x sin x 4 6. √ dx; 12. dx; 0 1 x 3x + 1 3 0 cos x π Ê ln(x2 + 3) 3 Ê x3 − x2 1 Ê4 dx 7. dx; 13. √ − 1 dx; 18.   ¡. 1 x2 0 3 x 3x − 4 −π 4 cos2 x 1 + e−3x Bài 7.95 : Tính các tích phân sau : √ 3Ê 2 e2x dx π Ê ln 3 dx 7. ln ; Ê2 x cos x 1. ; √ 13. dx; 0 e 2x + 1 0 1+ 3e x + 1 π 4 sin3 x √ Ê1 dx Ê x x−1 2 2. √ ; 8. dx; 0 1 + 1 − x2 x−5 Ê ln 5 dx 1 14. √ ; π (10.e−x − 1) e x − 1 Ê1 dx ln 2 Ê 2 9. √ ; 3. cos 2x sin4 x + cos4 x dx; −1 1 + x + 1 + x2 π 0 Ê4 x sin x Ê2 2 x ln(x + 1) + x 3 15. dx; Ê1 dx 10. 0 cos3 x 4. 4 + 4x2 + 3 ; 0 x2 + 1 0 x Ê ä√ 2 ç Ê 1+x 1 π Ê2 sin 2x − 3 cos x 5. x(2 − x) + ln(4 + x2 ) dx; 11. √ dx; 16. dx; 0 0 1+ x 0 2 sin x + 1 π π √ Ê x + sin2 x 3 Ê 3 sin x Ê2 4 − x2 6. dx; 12. √ dx; 17. dx; 0 1 + cos 2x 0 cos x 3 + sin2 x 1 x2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 165
  18. Chương 8 Số phức Bài 8.1 : 1. Mối quan hệ z = z đúng nếu và chỉ nếu z là số thực ; 2. Với bất kì số phức z quan hệ z = z là đúng ; 3. Với bất kì số phức z, số phức z.z ∈ R là một số thực không âm ; 4. z1 + z2 = z1 + z2 (liên hợp của một tổng bằng tổng các liên hợp) ; 5. z1 .z2 = z1 .z2 (liên hợp của một tích bằng tích các liên hợp) ; 6. Với bất kì số phức z 0, có z−1 = (z)−1 ; z1 z1 7. = , z2 0 (liên hợp của một thương bằng thương các liên hợp) ; z2 z2 z+2 z−z 8. ℜ(z) = và ℑ(z) = . 2 2i 5 + 5i 20 Bài 8.2 : 1. Tính z = + ; 3 − 4i 4 + 3i 2. Giả sử z1 , z2 ∈ C. Chứng minh rằng số E = z1 .z2 + z1 .z2 là một số thực. Bài 8.3 : Chứng minh các khẳng định sau : 1. −|z| ≤ ℜ(z) ≤ |z| và −|z| ≤ ℑ(z) ≤ |z| ; 2. |z| = | − z| = |z| ; 3. z.z = |z|2 ; 4. |z1 .z2 | = |z1 |.|z2 | (môđun của một tích bằng tích các môđun) ; 5. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | ; 6. |z−1 | = |z|−1 , z 0; ¬ ¬ ¬ z1 ¬ |z1 | 7. ¬ ¬ = ¬ z ¬ |z | , z2 0 (môđun của một thương bằng thương các môđun) ; 2 2 8. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 − z2 | ≤ |z1 | + |z2 |. Bài 8.4 : Chứng minh rằng |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) với mọi số phức z1 , z2 . z1 + z2 Bài 8.5 : Chứng minh rằng nếu |z1 | = |z2 | = 1 và z1 .z2 −1, thì là số thực. 1 + z1 z2 Bài 8.6 : Giải sử a là một số thực dương và ¬ ¬ ¬ ¬ Ma = ¬z + 1 ¬ = a . z∈C :¬∗ z¬ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của |z| khi z ∈ Ma . 167 WWW.VNMATH.COM
  19. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 8.7 : Chứng minh rằng với bất kì số phức z, có 1 |z + 1| ≥ √ hoặc |z2 + 1| ≥ 1. 2 Bài 8.8 : Chứng minh rằng : Ö Ö 7 7 ≤ |1 + z| + |1 − z + z2 | ≤ 3 2 6 với mọi số phức mà |z| = 1. Bài 8.9 : Xét tập H = {z ∈ C : z = x − 1 + xi, x ∈ R}. Chứng minh rằng có duy nhất số z ∈ H sao cho |z| ≤ |w| với mọi w ∈ H. Bài 8.10 : Giả sử x, y, z là các số phức phân biệt sao cho y = tx + (1 − t)z, t ∈ (0; 1). Chứng minh rằng |z| − |y| |z| − |x| |y| − |x| ≥ ≥ . |z − y| |z − x| |y − x| Bài 8.11 : Giải phương trình trên tập số phức z2 − 8(1 − i)z + 63 − 16i = 0. Bài 8.12 : Giả sử p, q là các số phức với q 0. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình bậc hai x2 + px + q2 = 0 có cùng p môđun, thì là một số thực. q Bài 8.13 : Giả sử a, b, c là các số phức khác không với |a| = |b| = |c|. 1. Chứng minh rằng nếu các nghiệm của phương trình az2 + bz + c = 0 có môđun bằng 1, thì b2 = ac. 2. Nếu mỗi phương trình az2 + bz + c = 0 và bz2 + cz + a = 0 có một nghiệm có môđun bằng 1, thì |a − b| = |b − c| = |c − a|. Bài 8.14 : Giải các phương trình sau trong C : 1. z2 + z + 1 = 0 ; 2. z3 + 1 = 0. Bài 8.15 : Tìm các số thực x, y thỏa mãn mỗi trường hợp sau : 1. (1 − 2i)x + (1 + 2i)y = 1 + i ; 1 2 3. (4 − 3i)x2 + (3 + 2i)xy = 4y2 − x + (3xy − 2y2 )i. x−3 y−3 2 2. + =i; 3+i 3−i Bài 8.16 : Tính : √ 6 √ 6 1. (2 − i)(−3 + 2i)(5 − 4i) ; −1 + i 3 1−i 7 4. + ; 2 2 2. (2 − 4i)(5 + 2i) + (3 + 4i)(−6 − i) ; 16 8 1+i 1−i 3 + 7i 5 − 8i 3. + ; 5. + . 1−i 1+i 2 + 3i 2 − 3i Bài 8.17 : Tính : 1. i2000 + i1999 + i201 + i82 + i47 ; 3. i1 .i2 .i3 . . . i2000 ; 2. En = 1 + i + i2 + · · · + in , với n ≥ 1 ; 4. i−5 + (−i)7 + (−i)13 + i−100 + (−i)94 . TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 168
  20. www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC www.VNMATH.com Bài 8.18 : Giải phương trình trong C : √ 1. z2 = i ; 2. z2 = −i ; 1 2 3. z = − i 2 . 2 2 1 Bài 8.19 : Tìm tất cả các số phức z 0 sao cho z + ∈ R. z Bài 8.20 : Chứng minh rằng : √ √ 19 + 7i n 20 + 5i n 1. E1 = (2 + i 5)7 + (2 − i 5)7 ∈ R ; 2. E2 = + ∈ R. 9−i 7 + 6i Bài 8.21 : Chứng minh các đẳng thức sau : 1. |z1 + z2 |2 + |z2 + z3 |2 + |z3 + z1 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 + |z1 + z2 + z3 |2 ; 2. |1 + z1 z2 |2 + |z1 − z2 |2 = (1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |)2 ; 3. |1 − z1 z2 |2 − |z1 − z2 |2 = (1 − |z1 |2 )(1 − |z2 |)2 ; 4. |z1 + z2 + z3 |2 + | − z1 + z2 + z3 |2 + |z1 − z2 + z3 |2 + |z1 + z2 − z3 |2 = 4(|z1 |2 + |z2 |2 + |z3 |2 ). ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ¬z3 + 1 ¬ ≤ 2. Chứng minh rằng ¬z + 1 ¬ ≤ 2. Bài 8.22 : Giả sử z ∈ C sao cho ¬ ∗ z3 ¬ ¬ z¬ Bài 8.23 : Tìm tất cả các số phức z sao cho : 1. |z| = 1 và |z2 + z2 | = 1 ; 2. 4z2 + 8|z|2 = 8 ; 3. z3 = z. Bài 8.24 : Xét số phức z ∈ C với ℜ(z) > 1. Chứng minh rằng ¬ ¬ ¬1 1¬ 1 ¬ − ¬< . ¬ z 2¬ 2 √ 1 3 Bài 8.25 : Giả sử a, b, c là các số thực và ω = − + i . Tính 2 2 (a + bω + cω2 )(a + bω2 + cω). Bài 8.26 : Giải các phương trình : 1. |z| − 2z = 3 − 4i ; 4. iz2 + (1 + 2i)z + 1 = 0 ; 2. |z| + z = 3 + 4i ; 5. z4 + 6(1 + i)z2 + 5 + 6i = 0 ; 3. z3 = 2 + 11i, ở đây z = x + yi và x, y ∈ Z ; 6. (1 + i)z2 + 2 + 11i = 0. Bài 8.27 : Tìm tất cả các số thực m sao cho phương trình z3 + (3 + i)z2 − 3z − (m + i) = 0 có ít nhất một nghiệm thực. Bài 8.28 : Tìm tất cả các số phức z sao cho z′ = (z − 1)(z + i) là một số thực. ¬ ¬ ¬1¬ Bài 8.29 : Tìm tất cả các số phức z sao cho |z| = ¬ ¬. ¬z¬ √ Bài 8.30 : Giả sử z1 , z2 ∈ C là các số phức sao cho |z1 + z2 | = 3 và |z1 | = |z2 | = 1. Tính |z1 − z2 |. Bài 8.31 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho √ n √ n −1 + i 3 −1 − i 3 + = 2. 2 2 TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 WWW.VNMATH.COM Trang 169
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1116 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
4=>1