WWW.VNMATH.COM
Chương 7
Tích phân
7.1 Các dạng toán cơ bản về nguyên hàm
Vấn đề 1 : Chứng minh một hàm số F(x)là một nguyên hàm của hàm số f(x)
Cho hàm số fxác định trên K. Hàm số Fđược gọi là một nguyên hàm của ftrên Knếu F′(x)=f(x)với mọi x∈K
Bài 7.1 : 1. Chứng minh rằng
F(x)=4 sin x+(4x+5)ex+1
là một nguyên hàm của hàm số f(x)=4 cos x+(4x+9)ex.
2. Chứng minh rằng hàm số F(x)=|x| − ln(1 +|x|)là một nguyên hàm của hàm số f(x)=x
1+|x|.
3. Chứng minh rằng
F(x)=
8
>
<
>
:
x2
2ln x−x2
4+1khix>0
1khix=0
là một nguyên hàm của hàm số f(x)=
8
<
:
xln xkhix>0
0khix=0
trên [0; +∞).
Bài 7.2 : Xác định các hệ số a,b,cđể hàm số F(x)=(ax2+bx +c)√3−2xlà một nguyên hàm của hàm số f(x)=
x√3−2x.
Bài 7.3 : 1. Tìm mđể hàm số F(x)=ln(x2+2mx +4) là một nguyên hàm của hàm số f(x)=2x−3
x2−3x+4.
2. Cho hàm số f(x)=−xexvà F(x)=(ax +b)ex. Với giá trị nào của avà bthì F(x)là một nguyên hàm của f(x).
Vấn đề 2 : Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
Ta có bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản sau
149
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
R
0dx=C;
R
dx=
R
1dx=x+C;
2.
R
xαdx=xα+1
α+1+C;
R
(ax +b)αdx=1
a.(ax +b)α+1
α+1+C
(với α,−1,a,0);
3.
R
1
xdx=ln |x|+C;
R
1
ax +bdx=1
aln |ax+b|+C(a,0);
4. Với alà hằng số khác 0
(a)
R
sin(ax +b)dx=−cos(ax +b)
a+C;
(b)
R
cos(ax +b)dx=sin(ax +b)
a+C;
(c)
R
e(ax+b)dx=e(ax+b)
a+C;
(d)
R
αxdx=αx
ln α
+C(với 0< α ,1);
5. (a)
R
1
cos2xdx=tan x+C;
(b)
R
1
sin2xdx=−cot x+C.
Bài 7.4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
1. x+√x+1
3
√x;
2.
√x+1
x−√x+1
;
3. 1
sin2xcos2x;
4. cos 2x
sin x+cos x;
5. x3+1
1−x2;
6. 1
(1 +x)(1 −2x);
7. 2x−1
ex;
8. e3−2x;
9. x(x+1)(x+2);
10. 1
√x−1
3
√x;
11.
1−x2
x
2
;
12. 3x2+3x+3
x3−3x+2;
13. 1
x(1 +x)2;
14. x4−2
x3−x;
15. sin
x−π
4
(1 +sin 2x);
16. sin xsin 2xcos 5x;
17. sin6x+cos6x;
18. 1
√2+sin x−cos x;
19. sin xcos2x.
Vấn đề 3 : Tìm hằng số C
Bài 7.5 : 1. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=x3+3x2+3x−1
x2+2x+1, biết rằng F(1) =1
3.
2. Tìm nguyên hàm F(x)của hàm số f(x)=1+sin x
1+cos x, biết rằng F(0) =2.
Bài 7.6 : Tìm các hàm số thỏa mãn các điều kiện sau :
1. f′(x)=2x+1, đồ thị của nó đi qua điểm (1; 5);2. f′(x)=2−x2và f(2) =7
3.
Bài 7.7 : Tìm hàm số y=f(x)có đồ thị đi qua điểm (−1; 2) và thỏa mãn f′(x)=ax +b
x2, ở đây f(1) =4và f′(1) =0.
Vấn đề 4 : Phương pháp nguyên hàm từng phần
Công thức
Z
udv=uv −
Z
vdu.
Về việc chọn u,vnhư thế nào chúng ta xem phần phương pháp tích phân từng phần.
Bài 7.8 : Tính các nguyên hàm sau :
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 150
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
1.
R
(1 −2x)e3xdx;
2.
R
(x2+2x−1)exdx;
3.
R
xsin(2x+1) dx;
4.
R
(x2−1) sin xdx;
5.
R
xln(1 −x)dx;
6.
R
√xln2xdx;
7.
R
excos xdx;
8.
R
exsin xdx;
9.
R
e3xsin 5xdx;
10.
R
e3xcos 7xdx;
11.
R
xexcos xdx;
12.
R
xe2xsin(2x+1) dx;
13.
R
xsin x
2dx;
14.
R
x2cos xdx;
15.
R
√xln xdx;
16.
R
x2exdx;
17.
R
3xcos xdx;
18.
R
xexsin 2xdx;
19.
R
1+sin x
1+cos xexdx;
20.
R
sin(ln x)dx;
21.
R
ln
x+√1+x2
dx;
22.
R
xln 1+x
1−xdx;
23.
R
cos (ln(tan x))dx;
24.
R
xcos x
sin2xdx;
25.
R
x2xdx;
26.
R
xe−xdx;
27.
R
25e3xcos 4xdx.
Vấn đề 5 : Phương pháp đổi biến số
Cho hàm số u=u(x)có đạo hàm liên tục trên [a;b]và hàm số f(u)liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên [a;b]. Khi đó nếu Flà một
nguyên hàm của f, tức
R
f(u)du=F(u)+Cthì
Z
f[u(x)] u′(x)dx=F[u(x)] +C.
Việc chọn u=u(x)như thế nào chúng ta xem thêm phần đổi biến tích phân.
Bài 7.9 : Tìm các nguyên hàm sau :
1.
R
2(4x−1)6dx;
2.
R
7
4−3xdx;
3.
R
3
√2x+1dx;
4.
R
e−4x+5
√3x+2
dx;
5.
R
cos
π
2x
−2
6x+5
dx;
6.
R
(2x+1)4dx;
7.
R
2x(x2+1)3dx;
8.
R
x2
√x3−4dx;
9.
R
x√x−1dx;
10.
R
2x√x2+1dx;
11.
R
3x2√x3+1dx;
12.
R
2x3√4−x4dx;
13.
R
3x2
x3+1dx;
14.
R
x
(3x2+9)4dx;
15.
R
2x√ex2+4dx;
16.
R
2x+4
x2+4x−5dx;
17.
R
x3
√2−t2dx;
18.
R
cos xesin xdx;
19.
R
ex
ex+1dx;
20.
R
cos xsin4xdx;
21.
R
x√x+1dx;
22.
R
cos x
1+sin xdx;
23.
R
x
x2+4dx;
24.
R
(x+1) √x−1dx;
25.
R
tan x
sin2xdx;
26.
R
4x
(1 −2x2)dx;
27.
R
4x
(1 −2x2)2dx;
28.
R
ln x
xdx;
29.
R
e−x
1+e−xdx;
30.
R
1
xln xdx.
Bài 7.10 : Tính các nguyên hàm sau :
1.
R
(2x+1)20 dx;
2.
R
x
x2+1dx;
3.
R
x2√x3+5dx;
4.
R
e3 cos xsin xdx;
5.
R
ln4x
xdx;
6.
R
e2x
√ex+1dx;
7.
R
3x√7−3x2dx;
8.
R
9x2
√1−x3dx;
9.
R
1
√x(1 +√x)3dx;
10.
R
x
√2x+3dx;
11.
R
x
(1 +x2)2dx;
12.
R
dx
ex−e−x;
13.
R
ln2x
xdx;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 151
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
14.
R
3
√1+ln x
xdx;
15.
R
cos xsin3xdx;
16.
R
cos x+sin x
√sin x−cos xdx;
17.
R
sin xcos x
√a2sin2x+b2cos2x,(a2,b2);
18.
R
dx
cos xsin2x;
19.
R
x√1+x2dx;
20.
R
sin2xcos3xdx;
21.
R
e3 sin xcos xdx;
22.
R
(3x+2)10 dx.
Bài 7.11 : Tính các nguyên hàm sau :
1.
R
x3e−x2dx;
2.
R
sin √xdx;
3.
R
ln(ln x)
xdx;
4.
R
cos2(ln x)dx;
5.
R
e√xdx;
6.
R
sin(ln x)dx;
7.
R
cos2√xdx;
8.
R
1
ln2x−1
ln x
dx;
9.
R
xcos x
sin2xdx;
10.
R
sin
√x+1
dx;
11.
R
ln (tan x)
cos2xdx;
12.
R
sin5x
3cos x
3dx;
13.
R
1
x2sin 1
xcos 1
xdx;
14.
R
dx
3+5 cos x;
15.
R
dx
sin x+cos x;
16.
R
dx
8−4 sin x+7 cos x;
17.
R
4 sin x+6 cos x+5
sin x+2 cos x+2dx.
7.2 Các dạng toán tích phân
Vấn đề 1 : Sử dụng tích phân cơ bản
Nếu Flà một nguyên hàm là một nguyên hàm của ftrên [a;b]thì
Z
b
af(x)dx=F(x)
b
a
=F(b)−F(a).
Bài 7.12 : Tính các tích phân sau :
1. 2
R
0
x(x+1)2dx;
2.
π
2
R
0
(2 cos x−sin 2x)dx;
3. 2
R
1
2
1
x(x+1) dx;
4. ln 2
R
0
e2x+1+1
exdx;
5.
π
2
R
0
2x2+cos x
dx;
6.
π
6
R
0
(sin 6xsin 2x−6) dx;
7. 8
R
1
4x−1
33
√x2
dx;
8. 1
R
0
3x−ex
4
dx;
9. 4
R
1
dx
x2(x+1) ;
10.
π
3
R
π
6
sin3x
1−cos xdx;
11. 2
R
0
√x3−2x2+xdx;
12.
π
3
R
π
6
dx
sin2xcos2x;
13.
π
4
R
0
dx
(1 +tan2x) cos4x;
14.
π
2
R
−π
2
cos22xdx;
15.
π
2
R
−π
2
sin 2xsin 6xdx;
16.
π
6
R
0
tan xdx.
Vấn đề 2 : Tích phân hàm chứa dấu trị tuyệt đối
1. Công thức tách cận tích phân
Z
b
af(x)dx=
Z
c
af(x)dx+
Z
b
cf(x)dx.
2. Tích phân chứa dấu trị tuyệt đối b
R
a|f(x)|dx(giả sử a>b).
(a) Giải phương trình f(x)=0, được các nghiệm xi∈[a;b], giả sử a≤x1<x2<···<xn≤b.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 152
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
(b) Dùng công thức tách cận
b
Z
a|f(x)|dx=
x1
Z
a|f(x)|dx+
x2
Z
x1
|f(x)|dx+···+
b
Z
xn
|f(x)|dx
=
x1
Z
a
f(x)dx
+
x2
Z
x1
f(x)dx
+···+
b
Z
xn
f(x)dx
.
Chú ý : Sau khi tách cận chúng ta có thể phá dấu giá trị tuyệt đối chứ không nhất thiết phải đưa giá trị tuyệt đối ra ngoài tích phân.
Bài 7.13 : 1. Cho 5
R
0
f(t)dt=−3và 7
R
0
f(u)du=4, tính 7
R
5
f(x)dx.
2. Xác định hàm số f(x)=Asin πx+B, biết rằng f′(1) =2và 2
R
0
f(x)dx=4.
Bài 7.14 : 1. Cho hàm số f(x)=a.3x+b, biết rằng f′(0) =2và 2
R
1
f(x)dx=12. Tìm các giá trị của avà b.
2. Cho hàm số f(x)=asin 2x+b, biết rằng f′(0) =4và 2π
R
0
f(x)dx=3. Tìm các giá trị của avà b.
Bài 7.15 : 1. Cho 4
R
0
f(x)dx=1và 6
R
0
f(t)dt=5. Tính tích phân I=
6
R
4
f(x)dx.
2. Cho a∈
π
2;3π
2
và thoả mãn 1
R
0
cos(x+a2)dx=sin a. Tính giá trị của a.
Bài 7.16 : Tính các tích phân sau :
1. 2
R
0|1−x|dx;
2. 2
R
0|x2−x|dx;
3. 2π
R
0
√1−cos 2xdx;
4. √3
R
0
|1−x2|
1+x2dx;
5. 2
R
0|x−2|dx;
6. 3
R
−3|x2−1|dx;
7. 4
R
1
√x2−6x+9dx;
8. 5
R
−2
(|x+2| − |x−2|)dx;
9. 3
R
0
√x3−4x2+4xdx;
10. 2
R
0|x2+2x−3|dx;
11. 3
R
0|2x−4|dx;
12. 1
R
−1
√4− |x|dx;
13. π
R
−π
√1−sin xdx;
14.
π
3
R
π
6
√tan2x+cot2x−2dx;
15. π
R
0
√1−sin 2xdx;
16. 2π
R
0
√1+cos xdx;
17.
π
2
R
−π
2
cos x√cos x−cos3xdx;
18.
π
2
R
−π
2|sin x|dx;
19. π
R
0
√1+cos 2xdx;
20. 2π
R
0
√1+cos xdx.
Vấn đề 3 : Phương pháp tích phân từng phần
b
Z
a
udv=uv
b
a−
b
Z
a
vdu.
Dùng phương pháp tích phân từng phần khi tích phân của chúng ta vừa chứa lẫn lộn các hàm : hàm đa thức, hàm mũ, hàm lôga (hoặc
chỉ chứa hàm lôga), hàm lượng giác, hoặc chứa hàm vô tỉ.
Nếu chứa lôga chúng ta thường đặt ulà lôga và dvlà phần còn lại hoặc đặt ulà đa thức và dvlà phần còn lại.
Chú ý :
•Tích phân I=
R
exsin xdxđặt u=exvà dv=sin xdx...;
•Trước khi dùng tích phân từng phần chúng ta phải kiểm tra xem có làm được bằng phương pháp đổi biến số không đã;
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 153
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com