Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 2)

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:216

Thêm vào BST

Báo xấu

238
lượt xem 70
download

Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 2)

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nối phần 1, phần 2 Tài liệu trình bày nội dung chương II - Phép tính vi phân của hàm nhiều biến. Chương này cung cấp cho sinh viên các kiến thức về giới hạn hàm số, tính liên tục, đạo hàm riêng, vi phân của hàm, không gian mêtric, hàm ẩn, đổi biến, công thức Taylor, cực trị của hàm nhiều biến.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Các ví dụ và bài tập Giải tích toán học - Phần I: Tập 2 (Phần 2)

CHƯƠNG li P H É P T I N H V I PHÂN CỦA HÀM N H I Ề U BIẾN ặl. G I Ớ I HẠN CỦA HÀM s ố . TÍNH LIÊN T Ụ C 1. G i ớ i hạn của hàm sổ. Giả sử hàm f ( p ) = f(%i, %1, . . . Ì Xô) xác định trên tập E với điềm giới hạn p . 0 SỔ Á được gọi là giá trị giới hạn của hàm f ( p ) tại điềm p (háy-giới hạn a của hàm sổ khi p Q p )T nẾu V e > ó 38 — 8(8. P . ) > 0 sào cho I f (p) —A I< s khi p 6 E và 0 < ọịp, Po)' < e, trong đổ p(p, Po) lá khoảng cách giấa các diêm p và p . Đế ký hiệu giá trị giới hạn A của hàm số f ( p ) tại điềm p, ta dùng cách viết 0 7 lim ỉ(p) = Ả hay / O ) -* i , nếu p r-» />. 0 P — Po 2. T i n h l i ê n tục. Giả sử điềm p € £ , E là miền xác định của hàm a : ? e — lân cận bất kỳ của điềm p chứa các điềm khắc với p . 0 0 " Hàm f ( p ) gọi là liên tục tại điềm p nếu ol lim ftp) = /(/>„)• (1) P-*Po Điềm mè tại đấy (1) không thỏa m ã n , được gọi là diêm-gián đoạn của h à m BỔ. Hăm f ( p ) được gọi là liên lục trên miền đẳ cho, nếu nỏ liên tục tại mọi điểm cửa miền này. 3. T í n h l i ê n tục đèn. H à m / ( p ) được gọi là liên tục đều tro ng miền G, nẾù V e > v, 3Ô = ô(e) sao cho I f(p') - Ị(p") I < e V />'. p" € G thỏa mẫn bất đẳng thức ? ( / > ' , # ' ) < 8. -ý- Hàm liên t$c trong miền kín và giới nội thì liên tục đều tro ng miên đ ỏ . Cũ ' ĨỊ 1. Chứng minh rằỊỊg đ ố i với hàm f'(x, ỳ) == — — X + y lira (lim fịx,,Tj)) = Ì, lim (lim f(x,y))~ - Ì X -* 0 y-T*
trong k h i đ ó l i m f(x, y) không tòn t ạ i . X -*0 y - 0 Giai. Ta có X l i mÌ ( lim -—— Ị = lim — 1; OA y -*• 0 x + y ỉ X 0 X I / lime 2L-JL) = lim -ụ - 1. y _ >0U \V XX- * U 0 X - x t -+I / y/ J y _»0 ỉ/ Bởi vì các dãy ị x , Z/J = Ị — , — ỉ , Ịar^, ỉ/iị = ị ~ , ị-ị đ ề u h ộ i tụ t ờ i diễm n ị n n ì ị n n ) (0, 0) k h i n - * 00, c ò n các dãy t ư ơ n g ứng các giá trị pụa h à m l ạ i h ộ i l ạ t ớ i những g i ớ i hạn khác nhau ỉ í/(*». y„)| = ỊOỊ-0 Ì Í / K , y'n)\ - n — khi n co _3_ 3 n nên l i m f(x, ị/)-không lòn t ạ i , X — 0 2 1 X ỵ 2. Chứng minh rằng đ ố i v ớ i h à m / ( r e , Ịj)ịr— ,, „ [ta có lim (lim f ( x , y ) ) ~ V x y + ( l i m n(lim f(a x ~ v ) X -» 0 y -» ặ y -»-0 X - » 0 tuy nhiên l i m /Xx\ ụ) k h ô n g tòn t ạ i . •0 0 Giải. Đẳng thức CUA các g i ớ i hạn lặp suy ra t ừ lim /(ác, #) =0, lim /"(.T, Ị/) = 0. 0 X -* . y 0 Còn g i ớ i h ạ n b ồ i ( k é p ) không tồn t ạ i vì các dãy đ ề d h ộ i tụ t ớ i d i ê m (0, 0), và các dãy t ư ? n g ứng các giá trị hàm số l ạ i h ộ i ỉ t ớ i những giá t r i g i ớ i han khác nhau k h i n - » 00: Ì Ì
s i n ( 3. Chứng minh rằng đối với hàir( /(#, y) = (x + ý ) sin — J~j' giới hạn lặp lim ( lim f(x, y)) và lim X Í Ỉ E x - » 0 y-r»-0 y-»-0 X - > 0 /(*rỹ)) khống tồn tại, nhưn^l giới bạn kép tồn tại VẠ lỉm /"(à;, ỉ / ) = 0. x-»0 y-»0 Giải. G i ả sử y°h— (n = Ì, 2, ...) thi ý sin - ì - = £ 0. Hiến nhiên các dãy nít JỊ 1 2 x n = —— , xù — — — (lì — 1, 2, ...) hội tụ tới không khi n - * 00 ; các dãy me (4n +1)TC tương ứng các giá trỊ của hàm ị f ( x , y)\ = a | 0 j ; f/*0 A s « ' y-0 4. Giới hạn sau đây có lòn tại hay không 2xg " lim 2 X — 0 s + ỉ/ Giói. Giới hạn này không tòn tại, bói vì các dãy , „ . I 9 l = Ị - i , - L Ị , K 9 í | = Ị±.J Ị r hội tụ tời điếm (0, 0) khi n - » 00 , trong khi đó các dãy tương ứng các giá trỊ của hàm sẽ h ộ i tụ. tới những giả trỊ giới hạn khác nhau: JL 2_ lĩ" — 0 1 1 2 n /ỉ* /í .4 khi /? -> ao . iti
2 5. G i ớ i h ạ n của hầm f{x, g)= X e~(* " ^ d ọ c theo m ộ i tia bai kỳ X — /cosa, y = / s i n a (0 < t < + 00) k h i / - * + 00 l à bao n h i ê u ? cỏ tế h gọi h à m số đ ó l à v ô p n g b é k h i X —> 00 và y - * 00 " đ ư ợ c k h ô n g ? 2 2 2 2 t cos a + tsina. Giải. K ỷ h i ệ u F ( / , a ) = /"(/cosa, / s i n a ) , k h i đ ó F(t, oi) = / c o s a e" (0 < a < 2TC). Nếu a = ± — thì F ị t , ± —y = 0 và vì vậy F.Ị/, ± — j -* 0 khỉ í-* + 00. N ế u a =f= + — , t h ì cos*a =/= ơ v à £ COS OC — / s i n a - * •+ co k h i t - » + 0 0 . 2 2 Kh 2 đ è * theo quy tắc L ô p i l a n ta c ó ' • ử- 2 lim F(t, cc) = cos a lim —-——— — = z t _ y + 00 t—+ 00 r c o s o - tsin a e = COS « lim '—Ị- - = . • V t- + co ( 2 / c o s * a - s i n a) é* c o s a _ t s i n a 2 l = cos a lim — :— —T —5 = 0. 2 t— + 0= í COS a - ° - J gtWa-tsina Vi vậy lim F(ỉ, a) = 0 v ớ i a bất kỳ. t-*+ 00 H à m f ị x , y) k h ô n g phải là vỏ cùng bé khi X - » 00, bịi vì khi r„ = n + co, y n = /ỉ -* 0° t ả c ỏ đ ẳ n g t h ứ c 2 n 2 - n l 2 lim f ( x , y) n n = lim /I e~( ) = lim n == + oe n—* co n—»• 00 ri—> 00 ĩ i ề u n à y t r á i v ớ i định nghĩa đ ạ i lượng vô cùng bẻ. 6. Tin? lim (lim f(x, y)) v à lim (lim f ( x , y)), nế u : X—*a y-»b y-»b X—»a a sà) f ( x , g) = —2~~4~»' = eo , ft = 00 z z + ÍT 1>) f(x,g)>=> \ — . a - + co, 6 = +0; c) / Y x , t f ) — s i n — — — — • , a = 00, ố = 00 ; 2z + Ụ 216
xụ d) f ( x , y ) = , a = 0, b = 00 ; xụ 1 + x y l 0 k h ô n g đ ố i , thì hàm x liên tục v ớ i mọi X > 0; vi vày- y 0 0 li m ;r = + • X—»+ 00 Sử dụng các đ ã n g thức nhặn được. la cỏ : lim lim -» + oo \y .+0 Ì + * y KỲ- lim I lim _ — \_ y-» + 0 Ax-H-00 l + * y / c) V ớ i m ỗ i giá trị X cố đinh thi hàuà sổ liên tục theo biến y, còn khi ỉ/ cố định thì h à m số liên .tục theo b i ế n X. Vì vậy lim- sin nx = 0; lim sn TO = l i m sin — Ì y _ , 00 • 2x + y x - » oe 2a: + ỉ/ X Do đ ó lim I l i m sin — — = 0 ; l i m / l i m sin - — ) = 1. X - * 00 \ y—* 00 2x + ý ĩ y — « U-*oo 2x ++ 2 x yy ' x y á) Khi X =Ị= 0 CỐ đ i n h , lim = Ì ; vì vậy do tính liên tục của y - * a> Ì + *y bặm tg ta nhận đ ư ợ c : lim _ i _ tg *y . . = 0. p o o í'!/ Ì - f ajỹ 217
Giả sử bây giờ cổ định y, khi đỏ, do lim — Ì, nên a xy tg + x y 1 lim À * ' ! / ) = ' l i m (Ì + xy)" = 1. x-»0 X—»0 xy Ì + xy Từ đó ta c ó : lim í lim/ J L tg - __ xy ) = 0; Ổ ly-* ả *y 1 + xg ĩ y lim ( lim — tg - f ) = 1. . y—* 00 \ X—»0 xy 1+xy / l n ( x + y ) e) Ta c ỏ f(x, g) = log (x + ự) = x , X > 0, * + y > 0, X + Ì. T ừ lua: S%Ị3 tính liên tục của hàm lỏgarit suy ra l n x 1>_ ri In (35+ ụ) \ Ì- „ 1 ; , / lim / ( £ , ý) =t lim — — ' = ——- — Ì. n x n í C y-í*0 y-*0 l ' ' Vì vậy,, lim (finĩ f ( x , y ) ) = l . x-»4 y-»0 Bởi vì lim ÌBặ+írt + 00, nếu — Ì < y < 0 X-+1-0 In* — 00, nếu 0
ao la c ọ : X + y 0 < lim 2 2 < lim ỉ-^~ + — ) = 0. X—»• 00 X — xy + y X-**V|0Ê [ X ị t • y-T* co y—»• 00 vậy mỉm (» + !/) _ n y—> 00 Giải. G i ả sử X =f 0, ỉ/ =f 0. K h i đó 2 2 -2 £ + Ị/ X 0 < 4 + < - ^ 4T + 7 + 7 X 4 + y X 4 + ỉ/ 4 3 y 4 1 1 (1) xz + ý vìì l i m Y_L -|_-Lì = [) n ê n từ bắt đẳng thức (1), la kết luận rằng x_*oo \ x * r i ™ • » « Giải. Ta có J*Ẹ2L . y = #1/ Jisa X . .._ sin.Tỉ/ 1 sin/ vì lim — — lim -—• = 1 (xy—t, aỶ 00 )< XI X -»0 J t—*Q y-*a sin/ lim ™a = lim t->0 . li y—a 2 2 x lo. lim f ( z + y ) e-( +y) X — » + 00 * y-*-h 9» 219
Giãi. Sử dụng b ấ t đẳng thức s ơ cấp sau đây (thỏa m ã n k h i X > 0, ỊỊ > • p_ X x++y V ' ^ xT + Jy.V ^ » 1 «r * ta nhận được : (x+ lim •(«» + y v~ y ) < lim + jị\ _ 0 oe x - » + 00 V é* í-y / y - > + 0° y - * ị ao Từ đó lim ( x2 +. y 2 „2,)e - ( * + y ) - 2 n X—»4- oe y - * + ao .2 li. lim x - > + 00 ( .T 2 +V ) Giải. T ừ bất đ ẳ n g thức hiền nhiên X + y > 2xy suy ra — 5 - ^ — < 2 2 2 X + y 2 V i vậy xy \x / 1 \x 2 . » < ( ^ r 0 Giãi. T ừ các b ấ t đẳng thức *Y < ị (* +V) >(z +ỉ/ ) 2 2 (đủng khi 0 < X + y < 1) và từ ị(* +y ) -ỉ-t" 2 2 4 2 2 2 4 l i m (X + y ) = lim í -~- x-*0 t-»+0 ill 4 = lim e = 1 t-*ífeO 220
ra đẳng thức 2 2 x y lim ịx + y ) = ỉ. x->0 y-+0 x + \ y 13. lim X—>eo y-*a Ki) " • Ì v Giải. Do tinh liên lục của h à m m ũ và h à m lôgarit ta có 4- T7X'°K)" ( Ì \ i + —Ì \Ị x "T"" + y = lim e 1 : x y-*a y-*a 14. ln(* + lim — ei) X ™ ; Vx2 + y2 y->0 2 2 Giải. Sử dụng tính liên tục c ủ a l í à m lôgaritvà lim Vx + y = Ì =ệ= 0, x-*l y-»0 hận đ ư ợ c : 1 ln(£ •+• e ) l n 2 lim — --— IIUn tú* - X->1 Vx2 + í/2 1 1 ÉM ỵ 2 + 2 % i 2 a) lim e y ; b) lim e -y sin 2xy, p-*+0 p-H-00 a; = pcos
2 2 ^ầỉri vì P -H-00, còn sin (p sin2cfì) là hàm giới n^ĩ, tiến giới hạn hữú hạn, liều CÒS.2
liên tục theo m ồ i mật biến ác v à ỉ/ riêng biệt (với giá tri cổ định của bí$ậi kia) nhưnơ k h ô n g liên tục ậồng thời theo cả hai biến đ ó . Giải. G i ả sử ý ^ 0» Vo là sổ cố định bắt kỳ. Khi đ ó lim f ( x ý) = t lỉm . = /
Giải. Ta cỏ fcos*a, sin* lim / (/cosoc, /si na) == lim t-»0 •t->0 < C08 a + 2 4 sinV Bởi yìf (tcosa, /sina) S i 0 khi oe = (k = 0, Ì, 2,...), nên với những gỊ tri a này lim f (tcosi, /sina)"=0 = /•(0,0). Nếu 0 < a < 2át. a =f= — = Ì, 2, ...), thì í cos « + 2 4 sin a > 2 € V Ằ • • 2 4 2 2 í cos á + sln a -» sin a > 0 khi t -» 0. Vì vậy l i m / (/cosa /sina) = 0 = /"(0, 0).Nh r vậy theo m ỗ i lia bất kỳ đi qua điẽjm (0, 0) hàm f (x, y) liên tục tạkđiềm nàv. • • . . • .V ( l i ) Hàm / {x, y) gián đoạn l ạ i điềm (0, 0) dược suy ra l ừ dãy Ị— , —r-('-hội t 2 . r ' ' ( /ỉ /ỉ ) tới điềm (0,0) khi n -> o o , còn Ị 0). -lim f(ì;-i.\=--lim - = J-^./-(0, n* -.4 T /ỉ* n4 2 0 . Khảo sát tỉnh liêu tục đều cốa hàm tpyến tính / {x, -y) = 2a: — 3# + ì trong mặt phàng vô hạn Ẹ = Ị I X I < ; + 0 0 , I y I < + tso ị . 2 2 Giải. Đối với cấc'điếm bất kỳ ( X i / Ị h ) . (íC , ỉ/2) € tf 2 ta. cỏ: I / ( * ! • ỉ/i) - /• I = I 2 ( X i - a: ) - 3 {gi - y2> 2 g) 2 Ị < • 0 Jà một số bất kỳ cho trưỏrc.khi đó với điều kiên I x —x x 2 Ì .
Giai. V ớ i e > 0 tùy ý và 2 điế m bất kỳ ( X j , ÌJỊ), (ar , y ) 2 z £ E 2 ta c ó : I ỉ/i) - » ( « 2 » Ỡ2) I = I V xị + gi - i + yị ị = i x\ + y\ + Vĩ| + ĩìị ^ 1 X l X z 1 1 x + x 1 1 U l y 1 1 ữ l + 1 < ~ * * + ~ * ầẳ ^ '-ự xị+ỵ* +-ự xỉ + yị i x \ + ỵ\. + V xị+yị ^ < ị X l Ì * I I «iỊĨ I *L! 2 + ị _ y ị 2 6 = I 'i -a *2 I+ I 01 - Í/2 l < - y + Y= I «1 - »2 l < - y = 8, I Vi - y2 I < — = 8. Vì v ậ y theo đ i n h nghĩa thi hàm tỉ liêq tục đ ề u trong m ặ t p h ẳ n g É . 1 2 2 22. H à m f (x, y) = sin ^ có liên tục đ ề u trong m i ề n X + y
Giải. Miên xác định E đ ư ợ c xác định từ bất đ ẳ n g thức I X ị ^ I ỳ I , y = Trong m i ề n n à y h à m u (x, ỵ) liên tục vì là h à m hợp của n h ữ n g h à m liên tục. Tuy nhiên h à m đ ặ cho k h ô n g liên tục đều, bởi vì đối v ớ i các M a ( - ì , - ì \ ; M' I— ũ , - — \ (/í = Ì , 2, . . . ) , ta có hệ t h ứ c : \n n Ị \ n nỉ k h i lĩ ~* 0 0 , còn khoảng cách giữa các giá trị của h à m t ạ i c á c đ i ề m t ư ơ n g ứ n g I u (M ) - u (Aín) I — I arcsinl - arcsin (—1) I = J 2 a r c s i n l I = oi, k h ô n g I n Jilẽ bé hơn TI. Tị) 24. Chứng minh r ằ n g tẩp các đ i ế m gián đ o ạ n của h à m số f (x, y) ị 1 Ì = .TSin — , nếu y =/= 0 và Ị (x, 0) = 0 không phải là tập đóng. y 2 ĨIX Chứng minh. G i ả sử y = , x = ——2— (ri = Ì , 2, . . ; ) , ở n n 7Ĩ (Ì + 4n) n + Ì , x a là một số cố đ ị n h bẩt k ỳ . K h i đ ó d ã y ịx , a ỊỊ/nj h ộ i tụ tới diêm (x , 0 0), ki TC RS> x n - » 00 . T ừ h ệ thức lim f (Xa, b„) = lim —^2— sin ^ Ỳ ^ = o » - Ì -L n 9 n—»00 n—>00 í T li á f (x , 0) = 0 (x, a 0) suy ra r ằ n g (x 0) (a; =jt 0) là đ i ế m g i ả n đ o ạ n của hài ot 0 f i x , ỳ). Gòn t ừ bất đẳng thức I f (x, y) I = I xsin — I < I X ị suy ra t í n h HỄ * y tục của h à m f (x, y) t ạ i đ i ế m (0,0). N h ư v ẩ y , tẩp c á c điềm, g i ả n đ o ạ n của h à m / (x, y) l ấ p đ ầ y t r ụ c Ox, t r ừ điê (0, 0), m à d i ê m đ ỏ là đ i ễ j n g i ớ i h ạ n của tẩp h ợ p n à y . V i v ẩ y , t ẩ p d i ê m gián đoi của h à m / (x, ỵ) k h ô n g chửa lất, cả các d i ê m g i ớ i h ạ n của n ó n ê n k h ô n g p h ả i tẩp đỏng. 25. Chửng m i n h r ằ n g , n ế u t r o n g m ộ t m i ề n G n à o đ ó h à m số f {x, y) IU tục theo biến X và liên tục đ ề u theo b i ế n y đ ổ i vờix, thì h à m số đ ó liên tục troi m i ề n đang xét. Chứng minh. Giả sử có 2 đ i ề m (x , y ) "và (Xo + A x , y -ị- Áy) thuộc mít 0 0 h xác đ ị n h của h à m f (x, ỳ), ta có : I À/" (x , g )\ 0 0 = \f {x a + &x, y 0 + Ay) - f {x , 0 y ) I < 0 < ịf(x ữ + Ax, y a + Ay) - f (x 0 + àx, y ) ị + D + | / ( x + A x , y ) - f {x ,g ) I . 0 0 o 0 ( Bỏfi vì h à m f{x,y) liên tục đ ề u theo b i ế n y đ ố i v ớ i x , nên ữ V e > 3 S 1 = ôi(8. ỉ/ ), sao cho k h i I Ay I < ộ ta có 0 t I f{x + ^x, y„ + Áy) - f(x + Ax, ý.) I < - | a b 226
(ắt dẳng thức này thoa mãn đ ố i v ớ i x 4- ầx bất kỷ thuộc m i ê n t á c định của ữ i à m / ( x , ý). H ơ n nữa, do h à m f(x, ỵ) liên tục theo biển X , nên với E đã chì ra h t r ê n , ỏ = ô (e, X o , ỉ/o) sao cho 2 2 I f(x a + Ax, y ) - 0 f{x ,, y„) | < a (3) Igay k h i I Ax I
s l y ' — y" I < - Do dãy ị 4 n ê n V ồ > 0 (trong đ ó Ci số ô đ ã chỉ r à ở t r ê n ) 3N = N(ỗ) đề cho I ?n p(x) - + | < ô, V " > N , V P > 0 và \/x€ [a, Ả]. Trong bất đ ẳ n g thức (1) ta đ ặ t y' =
được t h ỏ a m ã n . TìậíCảc b ấ t đ ẳ n g t h ứ c (1) v à (2) ta c ó : ị f(ẹ(u, V), q(u, v)) - f(ẹ{u , 0 v ), 0 W(u , 0 v ))0 ị = I F(u, v) - F(u , 0 v ) ị < 0 e, k h i I u—u ì < 8, I V — v I < ô, t ứ c l à h à m F(u, o) l i ê n tục t ạ i đ i ể m ( u , y ) . D o a 0 0 0 ( u , v ) l à d i ê m b a i k ỳ c ủ a fí', n é n ta k ế t l u ậ n r ằ n g h à m F(u, V) l i ê n t ụ c t r o n g Q 0 miền R'. §2. ĐẠO HÀM RIÊNG, VI PHÂN CỦA HÀM 1. Đ ạ o h à m r i ê n g . G i ả s ử h à m u = f ( x x . . . , x ) x á c đ ữ n h t r o n g m ộ t m i ê n v 2 ĩ m G n à o đ ấ y v à M (X\, xị,... xin) l à m ộ t d i ê m t r o n g của m i ề n n à y . N ế u l ò n l ạ i g i ớ i a h ạ n ( h ữ u h ạ n h o ặ c v ồ h ạ n ) của t ỷ số sổ gia r i ề n g kxỵii c ủ a h à m u t ạ i d i ê m M ữ v ớ i s ố g i a t ư ơ n g ứ n g &xỵ c ủ a b iế n x: k A Jk u ^ J(xỊ..... xĩ_ u x° + k &x , k xị ,...,+ỉ X&) - f(xỊ, . . . a£V , , k h i A.x - * 0, t h ì g i ớ i h ạ n n à y g ọ i l à đ ạ o h à m r i ê n g của h à m t i = f(Xị, k XỊ, .... x) m t ạ i d i ễ m
N ế u h à m li k h ả v i t ạ i đ i ề m M , Q t h ì t ạ i d i ê m n à y t ồ n t ạ i c á c đ ạ o h à m riê 9 í í ịk = Ì, 2,..., m), đ ò n g t h ờ i d" = A. k N h ư v ậ y , đ i ề u k i ệ n k h ả v i của hàn tại điềm M 0 cỏ t h ê v i ế t d ư ớ i d ạ n g sau : A 9 t í A , 3" . , , au . i .' Au = — — Aa-J + -—— Hx 2 + ... + — — A . T m + O(p), ở đ â y các đ ạ o h à m r i ê n g đ ư ợ c tính "tại d i ê m M . a P h ầ n t u y ể n t i n h c h í n h đ ố i v ớ i c á c số g i a của c á c đ ố i số của số gia của h k h ả v i li t ạ i đ i ề m M đ ư ợ c g ọ i là v i p h â n của h à m n à y t ạ i đ i ế m M v à k5 h i ệ i a 0 r du. D o đ ỏ du = AịAXị + A ầx + ... + i 4 A : r . 2 2 m m B ở i vì, h à m k h ả v i thì A i = - (í = Ì , 2,.... in), v à àXị = dXi, n ê n b i ê u thứ( dXị p h â n cỏ thế đ ư ợ c viết n h ư sau: (iu = ——— tí*! H — dx 2 + . . . -ẵ —— dx . m C ô n g t h ứ c (1) đ ú n g cả t r o n g t r ư ờ n g h ợ p c á c đ ố i sổ . T ị , ar . . . . . 2"m là n h í 2 h à m k h ả v i cảa c á c b i ế n m ớ i ỉ ị, / , ?k. 2 Đ ạ o h à m r i ê n g của i] i e o h i ể n x , tức là b i ê u t h ứ c ——í n d" \ được là đ ạ o h à m r i ê n g c ấ p h a i v à k ý h i ệ u b ẵ n g m ộ t t r o n g n h ữ n g k ý h i ệ u sau : 2 a tĩ (2) ——— . li X _ k X n . dx k dx n Đòng Ihời, nếu k =ệ= n t h ì đ ạ o h à m r i ê n g t r ê n đ ư ợ c g ọ i là đ ạ o h à m h ỗ n ỉ T ư ơ n g t ự ta c ó t h ề đ ị n h n g h ĩ a đ ạ o h à m c ấ p cao h ơ n h a i . N ế u h à m k h ả v i t ạ i đ n à o đ ẩ y lì l ầ n , t h i t ạ i ' d i ễ m n à y đ ạ o h à m h ỗ n h ợ p c ấ p li t ù y ý k h ô n g p h ụ th v à o t h ứ t ự của c á c biến đ u ự i l á y đạo h à m . V i p h â n c ủ a da, t ứ c là b i ế u t h ứ c (/(dí/), đ ư ợ c g ọ i là v i p h â n c ấ p h a i vi 2 2 3 3 4 h i ệ u l à d u. T ư ơ n g t ự : d ( d í j ) = d u ; d(d u) = đ í i , . . . Đ ố i v ớ i v i p h â n c ấ p ca c ó c ô n g t h ứ c l ư ợ n g t r ư n g sau : ( 9 õ n d \ —— íỉXị + — - — da'2 + ... H — dx \ m li. dx l dx 2 dx m Ị 3. Đạo hâm hàm hợp. Nếu hàm u = f ( X ị , ,T , .., x ) , 2 m Xi = cpiơi' '2- ••• (í = Ì , 2, m) khả v i , thì m Ỵ 1 _ÍÍL ZĨL 2. ; , „ / ! ) . du _ r^ - \ du ÔX; d(Ọị 3/ ô/ k ỉ—l dXị dtỵ t i= l 230
4 . Đạo hàm theo hường Građiên. G i ả sử cho h à m k h ả vi u = f(x, y, z) l ạ i lân cận nào đỏ của diễm M 0 ( x 0 ^ y 0 , z ) và a hưởng l được đặc trưng bởi các côsin chỉ phương: Ị co s a , c o s p , COSỴ ị . Khi đó đạo hàm theo hướng / được tính theo cÔDg thức : du du , du „ , du cosa H — COS0 -ị—-— COSỴ. di Bx dụ dz r > G r a đ i è n của h à m u = / t y , Ị/, z) t ạ i d i ê m M Q là m ộ t v e c t ơ ( k ý h i ệ u l à g r a d u ) c ó cc áá cc t ọ a đđộ bằng nhũng đạo hàm tương ứng : , , l y tại điềm M dx dy d: Như vậy du du du gradỉ/ dx dị! dz Đòng thời kh đ ó ta cỏ t h ề v i ế t du —— = {&, građu), trong đó Ét = ị COS5C, c o s p , COSỴ j . * G r a đ i è n đ ì a t j à m lí l ạ i d i ễ m M đ ặ c t r ư n g cho h ư ớ n g v à đ ạ i l ư ở n g đ ộ t ă n g 0 l ớ n n h ấ t của h à m đ ó t ạ i đ i ề m M . D o đ ỏ 0 V e c t ớ gradỉí t ạ i đ i ề m M 0 d ã cho v u ô n g g ó c v ó i m ạ t m ứ c c ù a h à m tỉ = f ( x , í/, z) đ i qua đ i ề m M . a 3 0 . T ì m /•' {x, 1), n ế u f(x, y) = X + (ụ — 1) a r c s i n ~\JỴ-' Giải. T h e o đ ị n h nghĩa đ ạ o h à m r i ê n g ta c ó : /;
Giải* Từ định nghĩa của đạo h à m r i ê n g ta c ó : / (0,0) = x lim = lim — = 0, Ax-^o Ax Ax-»0 Ax f „ n _ .. m AO. Áy) - /xo. Ọ) V w ^ j - o . - f ' ( 0 , 0) =lim — = lim = 0. A Ay-*0 .ỉ/ Ay->0 Áy Đề nghiên cửu t í n h khả v i của h à m đ ã cho t ạ i đ i ề m O(0, Ọ ) , ta viết sớ gia của hàm SỐ đ ố tại đ i ề m n à y : A/"(0, 0) wm VAxAy == s(Ax, Á y ) . p, ở đây p = VA* 2 + At/* ; s(Ax, Au) = VA.U . All' ; . V Y > VẢO* + AỊ/2 a ( 0 , ( ) ) ( 0 0 ) B ồ i vì Ai = ^ = Ó, A = 2 ^ ' = 0, nên đ ễ h à m khả v i , thì h à m e(ầx, Áy) dx dụ phải là vô cùng bé khi p - * 0, lức là k h i A i —>• 0, Áy -> 0. Giả sử Ao: = — , n ' Áy = — (n = Ì, 2,...), h i ề n n h i ê n Arr -> 0 và Ai/ - * 0 khi /ỉ -» so. Vì d ã y đ i ề m n Mn Ị—, — I k h i n -» 00 t iến lới d i ễ m 0(0, 0), c ò n dãy t ư ơ n g ứng các giá trị của / ỉ n / hàm e / — , — \ = - ^ L r t i ế n t ớ i - f 00 khi / ỉ -+ oo nên h à m e(A.T, Áy) k h ô n g p h ả i là \ lì n Ị V2 vô cùng b é k h i Ax -* 0, A i / -»• 0. Vì v y hàm /•(#, Ị/) k h ô n g k h ả v i t ạ i đ i ề m ơ ( 0 , 0 ) . 32. Hàm f(x, ụ) = V.r3 + y3 cỏ khả v i l ạ i d i ê m 0(0, 0) hay k h ô n g ? Giải. Ta tìm các đạo h m r i ê n g : rao. 0) = l i m /(**'>--/•(»•«> = lim A x Ax—0 . Ax-*0 Acc $ 0 . 0 ) . - , lim A",A { / )- 0,0) í ( = A ^ = 1 Ay-*0 Áy Ay_«.o Áy Biêu diễn sô gia của h à m / ( a ; , y) t ạ i d i ê m ơ ( 0 , 0) d ư ớ i d ạ n g : 3 A/'(0, 0) = VAa;3 + Á y = Ax + Áy + ( VAx3 + Aỉ/3 - Ao; - Ay) = / ; ( 0 , 0) ầx + / ; ( 0 , 0) % + e(A.r, Ây), ọ 3 3 ở' đây AA 8(Ax, íA A X HỀ Ay) _ VAa^ +• A Iy —. Arc = — At/ — . 232