Chỉ số và khả nghịch Drazin của ma trận khối

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Chỉ số và khả nghịch Drazin của ma trận khối đề cập đến một số kết quả về chỉ số và nghịch đảo Drazin của ma trận khối . Mối quan hệ giữa chỉ số của A và chỉ số của BC cũng được làm rõ, đồng thời các ví dụ được đưa ra để minh họa cho các quan hệ đó.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chỉ số và khả nghịch Drazin của ma trận khối

CH S À KH NGH CH DRAZ N C A MA TR N KH V T n c Khoa oán và Khoa khoa h c t nh n Ema l ducvt dhhp edu vn Ngày nh n bài: 03/3/2022 Ngày PB ánh giá: 28/3/2022 Ngày duy t ng: 29/3/2022 TÓM T T Trong bài báo này c p n m t s k t qu v ch s và ngh ch o Drazin c a ma tr n kh i . M i quan h gi a ch s c a A và ch s c a BC c ng c làm rõ, ng th i các ví d c a ra minh h a cho các quan h ó. T khóa Ch s Drazin, kh ngh ch Drazin, ma tr n kh i. THE INDEX AND THE DRAZIN INVERSE OF A BLOCK MATRIX ABSTACT In this paper , some results about the index and the Drazin inverse of a block matrix . are given. Relationships between the index of A and the index of BC are determined, and examples are given to illustrate all such possible relationships. Keyword Drazin index, Drazin inverse, block matrices 1. GIỚI THIỆU Cho A là ma trận vuông phức cấp n . Số nguyên không âm k nhỏ nhất thỏa mãn , được gọi là chỉ số của ma trận A và ký hiệu là indA . Cho ma trận vuông phức A cấp n với indA = k . Ma trận vuông phức X cấp n được gọi là khả nghịch Drazin của A nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau AX = XA (1) XAX = X (2) Ak +1 X = Ak (3) Ký hiệu khả nghịch Drazin của ma trận A là AD . Khi indA = 0 hoặc ind( A) = 1 th AD được gọi là nghịch đảo nhóm của A , và ký hiệu là A# . Nếu A là ma trận lũy linh bậc k th indA = k và A D = O ; còn nếu A là ma trận khả nghịch thì indA = 0 và AD = A-1 . TR NG I H C H I PH NG
Vấn đề tìm kiếm các biểu diễn một cách chi tiết cho nghịch đảo Drazin của một ma trận khối tổng quát đã được Campbell và Meyer đặt ra ở [1]. Kể từ đó, các trường hợp đặc biệt của vấn đề này đã được nghiên cứu. Một số bài báo gần đây đề cập đến vấn đề biểu diễn nghịch đảo Drazin của các ma trận khối như vậy là [2 , 3 , [5 , 6 , tuy nhi n nhiều vấn đề chung vẫn còn bỏ ngỏ. Trong bài báo này ta nghiên cứu khả nghịch Drazin ma trận khối: O B A= , (4) C O ở đây là ma trận cỡ p (n - p ) , còn là ma trận cỡ (n - p) p. 2. CÁC KHỐI BIỂU DIỄN CỦA AD Định lí 2.1. Xét ma trận có dạng (4). Khi đó: D O ( BC ) D B A = . C ( BC ) D O Hơn nữa , nếu indBC = q th indA 2q + 1 Chứng minh. Kí hiệu: O ( BC ) D B X = . C ( BC ) D O Ta có O B O ( BC ) D B BC ( BC ) D O AX = = . C O C ( BC ) D O O C ( BC ) D B O ( BC ) D B O B ( BC ) D BC O XA = = . C ( BC ) D O C O O C ( BC ) D B Lại có BC ( BC ) D = ( BC ) D BC n n AX = XA . Mặt khác thì O ( BC ) D B O B O ( BC ) D B XAX = , C ( BC ) D O C O C ( BC ) D O O ( BC ) D B BC ( BC ) D O = , C ( BC ) D O O C ( BC ) D B O ( BC ) D BC ( BC ) D B = . C ( BC ) BC ( BC ) D D O T P CH KHOA H C, S 52, tháng 5 n m 2022
Lại có ( BC ) D BC ( BC ) D = ( BC ) D , suy ra O ( BC ) D B XAX = =X. C ( BC ) D O Vậy X là khả nghịch Drazin của ma trận . Đặt indBC = q , khi đó O B O B BC O ( BC ) q +1 O A2 = . = A2 q + 2 = . C O C O O CB O (CB) q +1 Suy ra ( BC ) q +1 O O ( BC ) D B A2 q + 2 X = , O (CB) q +1 C ( BC ) D O O ( BC ) q +1 ( BC ) D B O ( BC ) q B = = . (CB ) q +1 C ( BC ) D O (CB ) q +1 C ( BC ) D O V (CB) q +1 C = C ( BC )( BC )...( BC ) = C ( BC ) q +1 n n 2 q+2 O ( BC ) q B O ( BC ) q B A X = = = A2 q +1 . C ( BC ) q +1 ( BC ) D O C ( BC ) q O Ta có , do đó Im A2 q +2 = Im A2 q +1 . Vậy indA 2q + 1 . Bổ đề 2.1. Nếu T là ma trận vuông thì (T 2 ) D = (T D ) 2 . Chứng minh. Ta có: (T D ) 2 T 2 = T D (T DT )T = (T DT )(T DT ) = (TT D )(TT D ) = T (T DT )(T D ) = T 2 (T D ) 2 . (T ) T (T ) = (T T T )(TT T ) = (T DTT D )(T DTT D ) = T D .T D = (T D ) 2 . D 2 2 D 2 D D D D Vậy (T 2 ) D = (T D ) 2 . Bổ đề 2.2. Với P là ma trận cỡ m n và Q là ma trận cỡ n m th ( PQ) D = P ((QP) 2 ) D Q . Chứng minh. Đặt = P ((QP) 2 ) D Q , ta có: TR NG I H C H I PH NG
( PQ) = P ((QP ) 2 ) D Q( PQ) P ((QP ) 2 ) D Q, = P ((QP) D ) 2 Q( PQ) P ((QP ) D ) 2 Q, = P (QP) D (QP) D (QP )(QP )(QP ) D (QP ) D Q, = P (QP) D (QP)(QP) D (QP ) D (QP )(QP ) D Q. V (QP) D (QP)(QP) D = (QP) D , suy ra ( PQ) = P(QP) D (QP) D Q = . Mặt khác thì ( PQ ) = ( PQ ) P ((QP ) 2 ) D Q = P (QP )(QP ) D (QP ) D Q, = P (QP ) D (QP )(QP ) D Q = P (QP ) D Q. ( PQ) = P((QP) 2 ) D Q( PQ) = P(QP) D (QP) D (QP)Q, = P (QP ) D (QP )(QP ) D Q = P (QP ) D Q. Suy ra ( PQ ) = ( PQ) , do đó ( PQ) D = P((QP) 2 ) D Q . Bổ đề 2.3. Với các ma trận B, C xác định ở (4), ta có: ( BC ) D B = B(CB) D và (CB) D C = C ( BC ) D . Chứng minh. Bởi Bổ đề 2.1 và Bổ 2.2, ta có: ( BC ) D B = B ((CB ) D ) 2 CB = B (CB ) D (CB ) D CB, = B(CB) D (CB)(CB ) D = B(CB ) D . Thay đổi vai trò của ma trận B, C cho nhau ta được: (CB) D C = C ( BC ) D . Hệ quả 2.1. Với ma trận khối A xác định ở (4), ta có: O B (CB ) D AD = . (CB ) D C O Nhận xét. 1) Nếu A là ma trận khả nghịch thì B, C là ma trận khả nghịch. Khi đó công thức ở Hệ quả 2.1 thành: D O C -1 A = -1 . B O 2) Nếu BC là ma trận lũy linh thì ( BC ) D = O , do đó AD = O . 3) Nếu C = B* với rank( B) < p , thế thì BB* là ma trận suy biến và là ma trận Hermite suy ra indBB* = 1 . Khi đó thì A cũng là ma trận Hermite và indA = 1 . Trong trường hợp này thì AD = A+ , với A+ nghịch đảo Moore-Penrose của A : T P CH KHOA H C, S 52, tháng 5 n m 2022
O ( BB* ) + B O B *+ AD = * * + = + = A+ . B ( BB ) O B O 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỈ SỐ A VÀ CHỈ SỐ CỦA BC Kết quả trong phần này mà chúng tôi nêu đối với chỉ số theo BC và chỉ số BC có thể được nêu theo cách khác là CB và chỉ số . Với ma trận ở (4). Với j = 0,1,2,... ( BC ) j O A2 j = và O (CB) j 2 j +1 O ( BC ) j B O B (CB ) j A = = .CB C ( BC ) j O (CB ) j C O Như vậy thì rankA2 j = rank( BC ) j + rank(CB) j (5) rankA2 j +1 = rank( BC ) j B + rankC ( BC ) j (6) = rankB(CB) j + rank(CB) j C Đặt indBC = q , giả sử q = 0 . Nếu n = 2 p th B, C là các ma trận vuông cấp p khả nghịch, do đó indA = 0 . Trong trường hợp này ta có AD = A-1 . Nếu n 2 p , khi đó rankBC = rankB = rankC = rankCB . Suy ra rankA = rankA2 , do đó indA = 1 và AD = A# , với A# là nghịch đảo nhóm của A . Sau đây ta sẽ sử dụng bất đẳng thức về hạng ma trận (xem 4 , trang 13) của Frobenius trong một số chứng minh ở phần này. Bổ đề 2.4. ( Bất đẳng thức Frobenius) Với các ma trận U cỡ m k , V là k n và W là n p th : rankUV + rankVW rankV + rankUVW . Định lí 2.2. Cho ma trận A có dạng (4) và giả sử indBC = q 1 . Khi đó indA = 2q - 1, 2q hoặc 2q + 1. Chứng minh. Theo Định lí 2.1 ta có indA 2q + 1. Theo Bổ đề 2.4, ta có: rank( B(CB)q -1 ) + rank((CB)q -1 C ) rank(CB)q -1 + rank( BC )q . V indBC = q n n rank( BC ) q < rank( BC ) q -1 , suy ra rank( B(CB) q -1 ) + rank((CB)q -1 C ) < rank(CB) q -1 + rank( BC ) q -1 (7) TR NG I H C H I PH NG
Từ (5) , (6) và (7), suy ra rankA2 q - 2 < rankA2 q -1 , do đó indA = 2q - 1, 2q hoặc 2q + 1 . Ở các định lí dưới đây, ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ cho mỗi giá trị của chỉ số của ma trận được xác định ở Định lí 2.1. Định lí 2.3. Cho ma trận có dạng (4) và giả sử indBC = q 1 . Khi đó ind( A) = 2q - 1 nếu và chỉ nếu ít nhất một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn: i rank( BC ) q = rank( BC )q -1 B và rank(CB) q = rank(CB) q -1 C . ii rank( BC ) q = rank(CB) q -1 C và rank(CB) q = rank( BC ) q -1 B . 2q 2 q -1 Chứng minh. Từ (5) và (6) ta có, rankA = rankA nếu và chỉ nếu rank(CB)q -1 + rank( BC )q = rankB (CB )q -1 + rank(CB )q -1 C (8) Ta chứng minh (8) thỏa mãn nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện i) hoặc ii) được thỏa mãn. Rõ ràng nếu i) hoặc ii) thỏa mãn thì (8) được thỏa mãn. Ngược lại, nếu (8) thỏa m n th i) và ii) thỏa m n. Thật vậy, ta có: rank( BC ) q rank(BC )q -1 B rank( BC ) q rank(CB) q -1 C và rank(CB) q rank(CB) q -1 C rank(CB ) q rank(BC ) q -1 B Rõ ràng nếu i) hoặc ii) kh ng thỏa m n th (8) kh ng xảy ra. Do đó ta có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.5. Nếu indBC = q th rank( BC ) q +1 = rank( BC )q = rank( BC )q B = rankC ( BC )q = rank(CB)q +1 . Chứng minh. Đặt rank( BC ) q = s . Ta có: s = rank( BC ) q = rank( BC ) q +1 rank( BC ) q B rank( BC ) q = s s = rank( BC ) q = rank( BC ) q +1 rankC ( BC ) q rank( BC ) q = s Do đó rank( BC )q +1 = rank( BC )q = rank( BC )q B = rankC ( BC ) q = s . Mặt khác theo Bổ đề 2.4, ta có: 2 s = rankC ( BC ) q + rank( BC ) q B rank(BC ) q +1 + rank(CB) q+1 . Theo (5), ta có: rank(BC )q +1 + rank(CB)q +1 = rankA2 q + 2 rankA2 q +1 . Theo (6), ta có: T P CH KHOA H C, S 52, tháng 5 n m 2022
rankA2 q +1 = rank(BC )q B + rankC (CB )q = 2s . Suy ra rank(BC ) q +1 + rank(CB) q +1 = 2 s rank(CB)q +1 = s . Định lí 2.4. Cho ma trận A có dạng khối (4) và giả sử indBC = q 1. Khi đó indA = 2q nếu và chỉ nếu ind(CB) = q và rank( BC ) q < rank( BC ) q -1 B hoặc rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 . Chứng minh. Giả sử indA = 2q , đặt s = rank( BC ) q . Khi đó: rankA2 q = rankA2 q +1 = 2 s < rankA2 q -1 . Lại có rankA2 q = rank(BC ) q + rank(CB ) q , suy ra rank(CB) q = s . Theo (6) th rankA2 q -1 = rank(B(CB))q -1 + rank((CB) q -1 C ) rank(CB) q -1 + rank( BC ) q Do đó rankA2 q -1 rank(CB) q -1 + s , suy ra 2s < rankA2 q -1 rank(CB) q -1 + s rank(CB) q -1 > s . V rank(CB) q +1 = s n n ind(CB ) = q . Nếu rank( BC ) q = rank( BC )q -1 B và rank(CB) q < rankC ( BC ) q -1 thì theo Định lí 2.3 ta có indA = 2q - 1 , mâu thuẫn với giả thiết. Do đó rank( BC )q < rank( BC )q -1 B hoặc rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 . Ngược lại, giả sử indCB = q và rank( BC )q < rank( BC )q -1 B hoặc rank(CB) q < rankC ( BC )q -1 . V indCB = q n n rank(CB) q = rank(CB) q +1 = s theo Bổ đề 2.5. Từ Định lí 2.3 ta có indA 2q - 1. Nếu indA = 2q + 1 th rankA2 q +1 < rankA2 q rank( BC )q B + rankC ( BC )q < rank( BC )q + rank(CB )q Từ Bổ đề 2.5 suy ra s < rank(CB) q , mâu thuẫn. Kết hợp với Định lí 2.2 ta có indA = 2q . Định lí 2.5. Cho ma trận A có dạng khối (4) và giả sử indBC = q 1 . Khi đó q q indA = 2q + 1 nếu và chỉ nếu rank(CB) > rank(CB) C . Chứng minh. Đặt rank( BC ) q = s và giả sử rằng indA = 2q + 1. Ta có: rankA2 q +1 = rankA2 q + 2 = 2s < rankA2 q . Theo (5) th rankA2 q = rank( BC ) q + rank(CB) q rank(CB)q > s . TR NG I H C H I PH NG
Bởi Bổ đề 2.5, ta có: rankC ( BC ) q = rank(CB) q +1 = s rank(CB) q C = rank(CB) q +1 = s . Do đó rank(CB ) q > rank(CB) q C . Ngược lại, nếu rank(CB) q > rank(CB) q C = rankC ( BC ) q , ta có: rank( BC ) q + rank(CB) q > rank( BC ) q B + rankC (CB )q rankA2 q > rankA2 q +1 . Do đó indA = 2q + 1. Hệ quả 2.2. Cho ma trận có dạng khối (4) và giả sử indBC = q 1 . Khi đó indA = 2q + 1 nếu và chỉ nếu indCB = 2q + 1 . Chứng minh. Giả sử indA = 2q + 1. Theo Định lí 2.5 thì rank(CB ) q > rank(CB) q C rank(CB )q +1 . Suy ra indCB q + 1 . Ta có rankA2 q + 2 = rankA2 q + 4 rank( BC )q +1 + rank(CB )q +1 = rank( BC )q + 2 + rank(CB )q + 2 V rank( BC ) q +1 = rank( BC ) q + 2 n n rank(CB) q+1 = rank(CB) q+ 2 . Do đó indCB = q + 1 . Ngược lại, giả sử indCB = q + 1 , suy ra rank(CB) q > rank(CB) q +1 , do đó rankA2 q > rankA2 q + 2 . 2 q +1 Sử dụng (5), (6) và Bổ đề 2.5 ta có rankA = rankA2 q + 2 . Do đó indA = 2q + 1. Ví dụ 1. Xét ma trận A viết dưới dạng khối: O B A= , C O với 1 0 1 1 1 B = 1 -2 ; C = . 1 1 2 -1 1 Khi đó 1 1 1 0 0 -1 0 0 -1 BC = -1 -1 -3 ; ( BC ) 2 = 0 0 -1 ; ( BC )3 = 0 0 -1 . 0 0 1 0 0 1 0 0 1 T P CH KHOA H C, S 52, tháng 5 n m 2022
2 3 Ta có rankBC = 2; rank( BC ) = rank( BC ) = 1 n n indBC = 2 = s . 2 3 4 Lại có rankA = 4; rankA = 3; rankA = rankA = 2 n n indA = 3 = 2 s - 1 . Dễ kiểm tra được rằng điều kiện i) và ii) ở Định lí 2.3 được thỏa mãn. Ví dụ 2. Xét ma trận được cho dưới dạng khối: O B A= , C O với 1 1 0 -1 0 0 1 0 -1 1 B= 1 1 0 0 ;C = . 0 0 -1 0 1 1 0 1 0 0 Khi đó 0 -1 0 0 -1 -1 2 BC = 1 0 1 ;( BC ) = 0 -2 0 . 0 -1 0 -1 0 -1 0 1 0 1 1 -1 1 -1 0 1 0 -1 -1 -1 CB = ; CBC = . 0 -1 -1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 Ta có rankBC = rank(BC ) 2 = 2 và indBC = 1 = s . Chú ý rằng rankCB = 3 > rankCBC = 2 và indCB = 2 . Khi đó theo Hệ quả 2.2 th ind A = 2s + 1 = 3 . 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này, ta đi nghiên cứu chỉ số và khả nghịch Drazin của ma trận khối O B đặc biệt A = . Ta đã đưa ra được công thức tìm khả nghịch Drazin cũng như C O mối quan hệ giữa chỉ số của ma trận khối với các khối ma trận thành phần. Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa cho các định lí được trình bày trong bài báo. TR NG I H C H I PH NG
T I LI U THAM KH O 1. S. L. Campbell and C. D. Meyer (1991), Generali ed Inverses of Linear Transformations. Pitman, London, 1979; Dover Publications, Inc., New York. 2. N. Castro-Gonzales and E. Dopazo (2005), Representations of the Dra in inverse for a class of block matrices. Linear Algebra and its Applications. 3. J. Chen, Z. Xu, and Y. Wei (2009), Representations for the Dra in inverse of the sum P + Q + R + S and its applications. Linear Algebra and its Applications. 4. R. Hartwig, X. Li, and Y. Wei (2005), Representations for the Dra in inverse of a 2 2 block matrix. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2005. 5. R.A. Horn and C.R. Johnson (1985), Matrix Analysis. Cambridge University Press, New York. 6. X. Li and Y. Wei (2007), A note on the representations for the Dra in inverse of 2 2 block matrices. Linear Algebra and its Applications. T P CH KHOA H C, S 52, tháng 5 n m 2022