Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber

Chia sẻ: Nguyen Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 CHỈNH HÓA BÀI TOÁN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP LANDWEBER Phạm Hoàng Quân*, Phan Trung Hiếu Lê Minh Triết, Nguyễn Quang Huy† 1. Mở đầu Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt nhằm xác định phân bố nhiệt độ tại thời điểm ban đầu t = 0 từ phân bố nhiệt độ đo được tại thời điểm sau đó, chẳng hạn tại t = 1. Bài toán này còn có thể coi như một bài toán điều khiển: bài toán điều khiển phân bố nhiệt độ ban đầu (t = 0) để có thể nhận được phân bố nhiệt độ như ý muốn tại thời điểm t = 1. Đây là một bài toán không chỉnh theo nghĩa là nó không luôn luôn tồn tại nghiệm và ngay cả khi nghiệm của bài toán tồn tại thì nó lại không phụ thuộc liên tục theo dữ kiện. Bài toán này được rất nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát. Chúng ta có thể tham khảo [1], trong đó ngoài các tài liệu trích dẫn phong phú, tác giả còn cho ta một cái nhìn tổng quan về các phương pháp khảo sát cũng như chỉ ra những vấn đề còn bỏ ngỏ của bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Cụ thể, trong [2], các tác giả đưa ra nghiệm chỉnh hóa như là tổ hợp tuyến tính một số hữu hạn các hàm riêng của toán tử -  và trong [3], tác giả chỉnh hóa bài toán trong trường hợp tổng quát như là một phương trình vi phân trong không gian Hilbert trừu tượng. Để ý rằng miền phân bố nhiệt khảo sát trong [2] và [3] là các miền bị chặn. Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt trên . Bài toán sẽ được chuyển về một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber cũng như đưa ra đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Cụ thể, chúng tôi chứng minh rằng nếu sai số giữa dữ kiện chính xác và dữ kiện nhận được do đo đạc là  thì sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa có bậc là 1 khi   0.  1  ln      * TS, Đại Học Sài Gòn. † Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM. 10 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 2. Phương trình tích phân và chỉnh hóa 2.1. Bài toán thuận Xét phương trình nhiệt  2 u u   , ( x, t )   (1) x 2 t với điều kiện u(x,0) = v(x) x . (2) Bài toán thuận cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác định u(x,t) thỏa hệ thống (1) - (2) với v(x) là hàm liên tục, bị chặn cho trước. Ta dễ dàng tìm được nghiệm của bài toán là  1   x    2  u ( x, t )   exp   v ( )d  . (3)  2  t  4t  2.2. Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt Xét phương trình nhiệt  2u u   , ( x, t )   (4) x 2 t với các điều kiện u(x,0) = v(x) x (5) u(x,1) = g(x) x . (6) Bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt được khảo sát là nhằm xác định ẩn hàm v sao cho hệ thống (4) - (5) - (6) có một nghiệm u với g là dữ kiện cho trước. Từ (3), thay t = 1, kết hợp với (6), ta có 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009  1  ( x   )2  2   v( )exp  4  d  g ( x) .  (7) Đây là một phương trình tích phân loại tích chập theo v ( ) và cũng là một bài toán không chỉnh. Thật vậy, ta đặt  x2  K ( x)   exp   . (8)  4 Ta có, với mọi x    1 1  ( x   )2  ( K  v)( x )  2  v( ) K ( x   )d   2   v ( ) exp   4  d  và (7) được viết lại thành ( K  v)( x)  g ( x) . (9) Từ (8), ta có  1 2 Kˆ ( )   K ( x)e  ix dx  2 e  (10) 2  và lấy biến đổi Fourier hai vế của (9), ta nhận được đẳng thức Kˆ ( )vˆ( )  gˆ ( ) . Xét phương trình P (vˆ )  gˆ trong đó P : L2 ( )  L2 ( ) (11) ˆ ˆ. vˆ  P(vˆ)  Kv Phương trình P (vˆ )  gˆ là không chỉnh vì không thỏa tính tồn tại. Thật vậy, lấy gˆ gˆ  Kˆ , khi đó vˆ   1 L2 ( ) . Kˆ 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả 2.3. Chỉnh hóa bài toán nhiệt ngược thời gian bằng phương pháp lặp Landweber Bây giờ, gọi vex là nghiệm chính xác cần tìm của (9) ứng với dữ kiện chính xác g ex ở vế phải và gọi g là dữ kiện bị nhiễu nhận được do đo đạc, ta được kết quả sau Định lí. Giả sử vex  L2 ( ) và g  gex 2   với . 2 là chuẩn trong L2 ( ) . Khi đó, tồn tại nghiệm xấp xỉ ổn định v của (9) sao cho v  vex 0 2 khi   0 . Hơn nữa, nếu vex  H 1 ( ) ,   (0,1) thì C v  vex  2  1  ln      với C là hằng số thỏa C  4 max 1, E1 , E2  , trong đó E1 , E2 là các hằng số dương sao cho vˆex  E1 ,  vˆex  E2 , 2 2 với  ( x)  x . Chứng minh. Từ (11), ta có P 2 : L2 ( )  L2 ( ) trong đó 2 ˆ ˆ )  P( K  v)  Kˆ K  v  KKv P 2 (vˆ)  P  P(vˆ )   P( Kv ˆ ˆ ˆ  K vˆ . Ta có dãy lặp theo phương pháp lặp Landweber : 1 2 m1 1 ˆ 1 2 m1 1 ˆ vˆ 0  0 và vˆ m  ( I  P )vˆ  Kgˆ  (1  K )vˆ  Kgˆ .(12) 2 2 2 2 Bằng cách quy nạp theo m, ta thấy rằng vˆ m có dạng như sau 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 k m 1 ˆ m 1  1 2 vˆ  Kgˆ   1  K  , với m = 1, 2,… . (13) 2 k 0  2  Từ (13), ứng với dữ kiện đo, ta có k m 1 ˆ m1  1 2 vˆ   Kgˆ   1  K  , với m = 1, 2,… , (14) 2 k 0  2  và ứng với dữ kiện chính xác, ta có k 1 ˆ m1  1 2 vˆexm  Kgˆ ex  1  K  , với m = 1, 2,… . (15) 2 k 0  2  Ta có vm  vex  vˆm  vˆex  vˆm  vˆexm  vˆexm  vˆex . (16) 2 2 2 2 Trước tiên, ta chứng minh vˆm  vˆexm  0 khi   0 . 2 Từ (14) và (15), ta có m 1 k m m 1 ˆ  1 2 vˆ  vˆ   ex K ( gˆ   gˆ ex ) 1  K  , với m = 1, 2,… . (17) 2 k 0  2  Hơn nữa, chú ý đến (10), ta có 1 2 1 0 2  K ( )   2 2 2 2 e 2  e 2  1 với mọi   , suy ra 1 2 0 1 2   K ( )  1 . (18) Từ (17) và (18), ta có m 1 k 1  2  1 2 1 vˆm  vˆexm  2 e ( g  g ex )   1  ˆ ˆ K   m gˆ   gˆ ex . 2 k 0  2  2 14 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả Vậy 2 1 2 2 vˆm  vˆexm  m gˆ   gˆ ex . (19) 2 Hơn nữa, vì ( gˆ   gˆ ex )  L2 ( ) nên (vˆm  vˆexm )  L2 ( ) . (20) Từ (19) và (20), ta có 1 1 vˆm  vˆexm  m g  g ex 2  m . (21) 2 2 2 1 Bây giờ, ta sẽ chọn m( ) sao cho m( )  và m( )  0 (khi 2   0 ). 1 1 Ta chọn m( ) sao cho m( )  . Vậy ta chọn 2   2  m( )    (22)     2  2 trong đó   là số nguyên lớn nhất không vượt quá .     Khi đó  0 1 1 m( )   và 0  vˆm ( )  vˆexm ( )  m( )   . 2 2  Vậy vˆm  vˆexm  0 khi   0 . (23) 2 Tiếp theo, ta chứng minh vˆexm  vˆex  0 khi m   . 2 Ta có 15 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 m m  1 2  1 2 m 1 k 1   1  K  1   1  K   1 2  2   2  .  1  k 0  2 K    1 2  1 2 (24) 1  (1  K ) K 2 2 Từ (15) kết hợp với (24), ta có m  1 2 1  1  K  m 1 ˆ ˆ  2   vˆ 1  (1  1 K 2 ) m  , vˆex  K ( Kvˆex ) ex   (25) 2 1 2  2  K 2 suy ra  1 2 m 1 2 m vˆexm  vˆex  vˆex  1  (1  K )   vˆex  vˆex (1  K ) . (26)  2  2 Từ (26) và (18), ta có m 2 m 2  1 2 2 vˆ  vˆex ex  vˆex  1  K   vˆex  2  và 2m m 2 2 1 2 vˆ  vˆex ex  (vˆex ) 1  K   0 khi m   .  2  Vì vˆex  L2 ( ) nên theo Định lí hội tụ bị chặn, ta có  vˆm ex  vˆex   L2 ( ) (27) và vˆexm  vˆex  0 khi m   . (28) 2 Từ (16), (23), (28), ta được vm  vex  0 khi   0 . 2 16 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả Đặt v  vm . Như vậy, ta đã chứng minh được v  vex  0 khi   0 . 2 Bây giờ, với giả thiết vex  H 1 ( ) và  ( x)  x , ta có vex  L2 ( ) , suy ra vex  L2 ( ) . Hơn nữa, ta có vex ( )  ivˆex ( ), suy ra 2 2 2 2 vex ( )  ivˆex ( )  vˆex ( )   ( )vˆex ( ) . Vậy vˆex  L2 ( ) . Từ (27) và (26), ta có 2m 2  2 1 2  2 2m m vˆ  vˆex ex 2   vˆex ( )  1   2    K ( )  d    vˆex ( ) 1  e 2 2   d 2 2m 2 2m D    vˆex ( ) 1  e2 2  d   \D  vˆex ( ) 1  e2 2  d (29) trong đó D   :  2  r2  với mọi r  0 , r sẽ được chọn sau . 2 2 Với mọi   D , ta có  2  r2 , suy ra 1  e 2  1  e 2 r , cho nên 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 2 2m 2 2m  vˆex ( ) 1  e D  2  2  d   vˆex ( ) 1  e 2 r D  2  d . Hơn nữa, ta có 2 2m 2m 2 2m 2  2 r  vˆex ( ) 1  e  D 2   d  1  e 2 r 2  2 r  vˆex ( ) d  1  e  D  2  vˆex . 2 Vậy 2 2m 2m 2  vˆex ( ) 1  e D 2  2  d  1  e 2 r 2  vˆex . 2 (30) Mặt khác, từ (10) và (18), ta có 2m  0  1  e 2 2   1, (31) suy ra 2 2m 2  \D vˆex ( ) 1  e 2 2  d   \D vˆex ( ) d . (32) 1 1 Hơn nữa, với mọi   D thì  2 ( )   2  r2 , suy ra  , cho nên  2 r2 2 1 2 1 2 1 2  vˆex () d    ()vˆex () d    ˆ     ˆ v r2  ( ) vex ( ) d ex 2 . (33) \D r2 \D r2 Từ (32) và (33), ta được 2 2m 1 2  \D vˆex ( ) 1  e 2 2  d  r2  ˆ vex 2 . (34) Từ (29), (30), (34), ta được 2 2m 2 1 2 vˆexm  vˆex 2   1  e 2 r 2  vˆex 2  r2  vˆex 2 , suy ra 18 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả m 1 vˆexm  vˆex 2   1  e 2 r 2  vˆex  2 r  vˆex . 2 (35) Từ (16), (21), (35), ta được 1 m 1 vm  vex 2  2  m  1  e 2 r 2  vˆex  2 r  vˆex 2 1 m 1  2  m  1  e 2 r 2  E1  r E2  1 m 1  C1   2 m  1  e 2 r 2     r  (36) với C1 là hằng số thỏa C1  max 1, E1 , E2  . Hơn nữa, ta có m 2 m  1   e 2 r   2   1   m  . (37)  1  e 2 r   1  e 2 r 2  Theo bất đẳng thức Bernoulli, ta có 2 m 2  e 2 r  me 2 r  1  2 r2   1  2 m  . (38)  1 e  1  e 2 r Từ (37) và (38), ta được m 1 1  2 1  e 2 r   me 2 r2  1  me 2 r 2 m  . (39) 1 2 1  e 2 r Từ (36) và (39), ta được  1 1 1  vm  vex  C1  m  2 r 2  . (40) 2  2 1  me  r  19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 1 Với cách chọn m( ) như (22) thì m( )  và m( )  0 (khi 2 1   0 ), ta sẽ chọn r sao cho r   và 2  0 (khi   0 ). 1  m( )e 2 r 2 1 ln( m( )) Ta chọn r sao cho e 2 r  , suy ra r  , khi đó m( ) 2  0  0 1 1 r   và 2 1  m( )e 2 r  1  m( )  0.  2  ln( m( )) Như vậy, từ (40), với cách chọn m( )    , r  , ta    2 được  1 2  vm ( )  vex  C1      (41) 2  1  m( ) ln( m( ))  với C1 là hằng số thỏa C1  max 1, E1 , E2  . C Bây giờ, ta chứng minh với   (0,1) thì vm ( )  vex  , 2  1  ln      với C  4max 1, E1 , E2  . 1 Vì   (0,1) nên 0    1, suy ra  1 . Ta dễ dàng có   1  1 ln   , (42)     suy ra 20 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả  1   ln      1,    vì vậy, ta được 1   với   (0,1) . (43)  1  ln      2 2 Vì 0    2  1 nên  . Ta dễ dàng có  2  1 1 2 2  2    1     m( ) . (44)  2      Từ (42) và (44), ta có  1  ln    m( ) ,    suy ra  1  ln    m( )  m( )  1 ,    vì vậy, ta được 1 1  2   với   (0,1) và với m( )   . (45)  1  ln  m( )  1        Từ (44), ta có  1  ln( m( ))  ln  ,    suy ra 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 1  1  ln( m( ))  ln  , 2    vì vậy, ta được 2 2  2   với   (0,1) và m( )   . (46) ln( m( ))  1  ln         Từ (41), (43), (45), (46), ta được     m ( )  1 1 2  C v  vex  C1     , 2  ln  1   1   1    1    ln   ln   ln                  trong đó C  4C1  4max 1, E1 , E2  . C Như vậy, ta đã chứng minh được v  vex  với   (0,1) . 2  1  ln      Định lí đã được chứng minh. 2.4. Ví dụ minh họa Ta xét một ví dụ cụ thể minh họa cho các tính toán lý thuyết ở mục 3. Xét phương trình nhiệt  2u u   , ( x, t )   x 2 t với các điều kiện u(x,0) = v(x) x 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả u(x,1) = g(x) x . Xét dữ kiện chính xác 2 1 5x g ex ( x )  e , 5 thì 1 1 2  1  2 x  2  1 5   2  g ex 2    e 5 dx     4 , 5  5 2 10      và nghiệm chính xác tương ứng là 2 vex ( x )  e  x , suy ra 2  1  x 2  ix 1 4 vˆex ( )  e e dx  e . 2  2 10 Xét dữ kiện bị nhiễu g ( x )  (1  4  ) g ex ( x) , ta có  10 10 10  g  gex 2  4  g ex  4  gex 2  4  4  .  2   10 Khi đó, nghiệm chỉnh hoá là  1 i x v ( x )  2  vˆ ( )e   d , trong đó k 2 1 ˆ m 1  1 2  1  (1  e 2 ) m m vˆ ( )  vˆ ( )   2 K ( ) gˆ  ( ) 1  k 0  2  K ( )   gˆ  ( )   2 e  2 , với 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 2  2  Kˆ ( )  2 e , m =  ,    2  1  i x 1  4 10  54 gˆ  ( )  g  ( x )e dx  1   e . 2  2   Ta tính được sai số và đánh giá sai số cho bởi bảng sau C v  vex  2  m vˆ  1  v  vex ln   2    k 10 1 1 ˆ 6  1 2 7 Kgˆ    1  K  4.1735 0.008484 2 k 0  2  k 102 1 ˆ 24  1 2 25 Kgˆ    1  K  2.9511 0.007992 2 k 0  2  k 10 3 1 ˆ 78  1 2 79 Kgˆ    1  K  2.4096 0.007623 2 k 0  2  k 104 1 ˆ 249  1 2 250 Kgˆ    1  K  2.0867 0.007356 2 k 0  2  k 10 5 1 ˆ 791  1 2 792 Kgˆ    1  K  1.8664 0.007172 2 k 0  2  k 1 ˆ 250661  1 2 10 10 250662 Kgˆ   1  K  1.3198 0.006813 2 k 0  2  150 1 1 ˆ 2.506628.10  1  10 300 2.50662 2 Kgˆ   1   2 K   0.2410 0.006729 8.10150 k 0 trong đó v  vex  vˆ  vˆex , C  2 2 4 2 . 2 2 24 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Phạm Hoàng Quân và các tác giả Hình vẽ biến đổi Fourier của nghiệm chính xác và biến đổi Fourier của nghiệm chỉnh hóa. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dang Dinh Ang (1990), On the backward parabolic equation: A critical survey of some current methods, Numerical Analysis and Mathematical Modelling, Warsaw, 509-515. [2] Dang Dinh Ang and Dang Dinh Hai (1990), On the backward heat equation, Annales, Polomici Mathematici, LII, 29-32. [3] Dang Dinh Ang (1985), Stabilized approximate solutions of the inverse time problem for a parabolic evolution, J. Math. Anal. Appl, 1, 148-155. [4] Đặng Đình Áng, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2007), Biến đổi tích phân, NXBGD. 25 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP. HCM Số 18 năm 2009 [5] Andreas Kirsch (1996), An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, Springer. [6] Nguyễn Cam, Phạm Hoàng Quân (1998), Chỉnh hóa một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt, Tạp chí Phát triển Khoa học & Công nghệ, Tập 1, số 5. [7] P.H.Quan, T.N.Lien, D.D.Trong (2005), A discrete form of the backward heat problem on the plane, International Journal of evolution equations, Volume 1, Number 3, September. [8] Pham Hoang Quan, Nguyen Dung (2005), A backward nonlinear heat equation: regularization with error estimates, Applicable Analysis, Vol.84, No.4, April. Tóm tắt Chúng tôi khảo sát một bài toán ngược thời gian cho phương trình nhiệt. Bài toán được quy về việc khảo sát một phương trình tích phân loại tích chập và được chỉnh hóa bằng phương pháp lặp Landweber với các đánh giá sai số. Abstract Regularization of an inverse time problem for the heat equation with Landweber method We consider an inverse time problem for the heat equation. The problem is formulated as an integral equation of the convolution type and is regularized via the Landweber method with error estimates. 26