Tam giác đồng dạng: Tổng hợp kiến thức và bài tập chủ đề

Chñ ®Ò

: Tam gi¸c ®ång d¹ng

I- Môc tiªu: -Cñng cè vµ kh¾c s©u cho häc sinh mét sè kiÕn thøc vÒ: §Þnh lý Ta- lÐt trong tam gi¸c; Kh¸i niÖm tam gi¸c ®ång d¹ng vµ c¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c -RÌn luyÖn cho häc sinh mét sè kü n¨ng nh: vÏ h×nh, chøng minh mét bµi to¸n h×nh häc -Ph¸t triÓn cho häc sinh mét sè kh¶ n¨ng t duy: Quan s¸t, dù ®o¸n, suy luËn l« gÝc -Häc sinh cã høng thó víi m«n häc. II-Ph¬ng ph¸p: -Tõ viÖc «n tËp, cñng cè c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n; Gi¸o viªn híng dÉn HS n¾m v÷ng mét sè kiÕn thøc cña chñ ®Ò. -Häc sinh vËn dông tèt kiÕn thøc vµo c¸c bµi to¸n cô thÓ

TiÕt 1: ĐÞnh lý ta-lÐt trong tam gi¸c

A- KiÕn thøc c¬ b¶n: 1)§Þnh lý Ta-lÐt trong tam gi¸c: ?Ph¸t biÓu néi dung ®Þnh lý Ta-lÐt (VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt- kÕt luËn) 2) §Þnh lý Ta-lÐt ®¶o: ?Ph¸t biÓu néi dung ®Þnh lý ®¶o cña ®Þnh lý Ta-lÐt ( VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt -kÕt luËn) 3)HÖ qu¶ cña ®Þnh lý Ta-lÐt: ? Ph¸t biÓu néi dung hÖ qu¶ cña ®Þnh lý Ta-lÐt (VÏ h×nh, viÕt gi¶ thiÕt- kÕt luËn) B- Bµi tËp: 1)TÝnh ®é dµi xcña c¸c ®o¹n th¼ng trong c¸c h×nh vÏ sau: A 3 B

2 A M O 3 x 2 x I K E F x 2 2,5 3 6,5 5,25

B IK//BC C N EF// x NP P R AB//RS S

2/Tam gi¸c ABC cã ®êng cao AH .§êng th¼ng d//AC c¾t c¸c c¹nh AB, AC vµ ®êng cao AH theo thø tù t¹i c¸c ®iÓm B’, C’ ,vµ H’ (h×nh vÏ).

' CB BC

(cid:0) a)Chøng minh r»ng: AH AH

b)¸p dông:Cho biÕt AH’= AH vµ diÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ 67,5cm2. TÝnh diÖn tÝch 1 3

tam gi¸c AB’C’. A B ’ H’ C’ d

B H C C- Bµi tËp vÒ nhµ: 1/Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm D trªn c¹nh AB sao cho AD b»ng 13,5 cm , DB b»ng 4,5 cm. TÝnh tØ sè c¸c kho¶ng c¸ch tõ c¸c ®iÓm D vµ B ®Õn c¹nh AC. 2/ Tam gi¸c ABC cã BC b»ng 15 cm .Trªn ®êng cao AH lÊy c¸c ®iÓm I, K sao cho AK=KI=IH. Qua I vµ K vÏ c¸c ®êng EF//BC, MN //BC. a)tÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng MN vµ EF. b)tÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNFE. BiÕt r»ng diÖn tÝch cña tam gi¸c ABC lµ 270cm2.

TiÕt 2: TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c

A-KiÕn thøc c¬ b¶n: ?: Häc sinh ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c?

1 2

A GT Cho tam gi¸c ABC cã: A1=A2 , (D(cid:0) BC)

KL DB (cid:0) DC AB AC

1 2 4,5 7,2

B D C B-Bµi tËp: 1/T×m x trong h×nh vÏ sau A

3,5 x

B D C Gi¶i:

(cid:0) (cid:0) Ta cã: (t/c ®êng ph©n gi¸c) (cid:0) (cid:0) x= 5,6 5,3 5,4 x 2,7 2,7.5,3 5,4 BD (cid:0) AB DC AC

2/Cho tam gi¸c ABC cã AB=14cm,AC=10cm,BC=12cm.®êng ph©n gi¸c cña gãc BAC c¾t c¹nh BC ë D

a)TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng DB, DC A b)tÝnh tØ sè diÖn tÝch cña 2 tam gi¸c ABD vµ ACD

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hay = (cid:0) DC AC BD (cid:0) 14 DC 10 DC 10 12 24 1 2

Gi¶I: a) V× AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A nªn ta cã: BC BD (cid:0) BD AB 24 14 (cid:0) BD=7; DC=5 B D H C

ABD

ADC

AH BD . (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) S S BD DC 7 5 AH DC . 1 2 1 2 C-Bµi tËp vÒ nhµ:

(cid:0) . . 1 FA FB EC EA

1/Cho tam gi¸c ABC cã c¸c ®êng ph©n gi¸c AD, BE vµ CF .Chøng minh r»ng DB DC 2/Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, ®êng ph©n gi¸c cña gãc B c¾t c¹nh AC t¹i D vµ cho biÕt AB=15cm; BC=10cm. a)TÝnh AD; DC b)§êng vu«ng gãc víi BD t¹i B c¾t ®êng th¼ng AC kÐo dµi t¹i E. TÝnh EC TiÕt 3: Kh¸i niÖm tam gi¸c ®ång d¹ng

' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC vµ A’=A; B’=B; C’=C A-KiÕn thøc c¬ b¶n: 1/ Kh¸i niÖm tam gi¸c ®ång d¹ng: ? Nªu kh¸i niÖm tam gi¸c ®ång d¹ng ? BA ' AB CB ' BC CA ' AC

A’B’C’

2/TÝnh chÊt: -Mçi tam gi¸c th× ®ång d¹ng víi chÝnh nã -NÕu (cid:0) - NÕu (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC th× (cid:0) ABC ®ång d¹ng víi (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) A’’B’’C’’vµ (cid:0) A’’B’’C’’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC th× (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC

AMN ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC

ADE ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC. TÝnh tØ sè ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c ®ã

3/ §Þnh lý vÒ tam gi¸c ®ång d¹ng: ? Ph¸t biÓu ®Þnh lý vÒ tam gi¸c ®ång d¹ng ? GT: (cid:0) ABC ,MN//BC (M thuéc AB,Nthuéc AC) KL: (cid:0) * VÝ dô:Cho tam gi¸c ABC vµ ®iÓm D trªn c¹nh AB sao choAD=2/3DB. Qua D kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t AC ë E. a)CMR: (cid:0) b)TÝnh chu vi cña tam gi¸c ADE, biÕt chu vi cña tam gi¸c ABC b»ng 60 cm Gi¶i: a) Ta cã: DE//BC (GT), do ®ã (cid:0)

Gäi k lµ tØ sè ®ång d¹ng th× k = . A ADE ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC. AD BD

Theo GT: AD =2/3 BD nªn , suy ra D E 2(cid:0) 3

ADE

ABC

(cid:0) hay . (cid:0) AD AB AD (cid:0) AD AD BD 2(cid:0) 5 2 23 ADE ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè k =2/5 B C BD VËy (cid:0) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AD AB DE BC AD AB ADE ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè k =2/5 nªn ta cã: AE AC C C 2 5

DE BC ADE =2/5 chu vi (cid:0) ABC =2/5. 60 = 24 cm

AE AC VËy chu vi (cid:0) B-Bµi tËp: 1) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng 3/14; (cid:0) A’’B’’C’’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng 5/7 . Tam gi¸c A’B’C’ ®ång d¹ng víi tam gi¸c A’’B’’C’’ theo tØ sè nµo? Gi¶i: ' (cid:0) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng 3/14, ta cã:

(cid:0) (cid:0) A’’B’’C’’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng 5/7, ta cã: BA ' AB BA '' '' AB 3 14 5 7

' '' (cid:0) (cid:0) (cid:0) : : Suy ra .VËy, tam gi¸c A’B’C’ ®ång d¹ng víi tam gi¸c BA ' AB BA '' AB ' '' 5 7 3 14 BA ' BA ''

3 10 A’’B’’C’’ theo tØ sè ®ång d¹ng k = 3/10 2)Tam gi¸c ABC cã AB= 5 cm, AC = 10 cm, BC = 7 cm Tam gi¸c A’B’C’ ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC cãc¹nh lín nhÊt lµ 15 cm. TÝnh c¸c c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c A’B’C’ Gi¶i: Khi hai tam gi¸c ®ång d¹ng víi nhau th× c¹nh lín cña tam gi¸c nµy sÏ t¬ng øng tØ lÖ víi c¹nh lín cña tam gi¸c kia . Theo ®Ò bµi tam gi¸c A’B’C’ ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC mµ Aclµ c¹nh lín nhÊt cña tam gi¸c ABC nªnA’C’ lµ c¹nh lín nhÊt cña tam gi¸c A’B’C’, do ®ã A’C’ = 15 cm ' ' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hay Ta cã: BA ' AB CB ' BC AC ' ' AC BA ' 5 CB ' 4 15 10

(cid:0) 5,7 VËy, A’B’= cm

(cid:0) 5,10 B’C’= cm 5.15 10 7.15 10

A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng k= 2/5.TÝnh chu vi cña mçi tam

C- Bµi tËp vÒ nhµ: 1) (cid:0) gi¸c, biÕt hiÖu chu vi cña hai tam gi¸c ®ã lµ 51 dm 2)Cho tam gi¸c ABC. Dùng tam gi¸c ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC theo tØ sè ®ång d¹ng k = 3/8

TiÕt 4: c¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c

A- KiÕn thøc c¬ b¶n: 1/Trêng hîp ®ång d¹ng thø nhÊt: ?:Ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ trêng hîp ®ång d¹ng thø nhÊt? ' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) A’B’C’, (cid:0) ABC cã: (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC BA ' AB CA ' AC CB ' BC

2/Trêng hîp ®ång d¹ng thø hai: ?:Ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ trêng hîp ®ång d¹ng thø hai? ' ' (cid:0) (cid:0) A’B’C’, (cid:0) ABC cã: , vµ A’=A (cid:0) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC BA ' AB CA ' AC

(cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC

' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ; 3/Trêng hîp ®ång d¹ng thø ba: ?:Ph¸t biÓu ®Þnh lÝ vÒ trêng hîp ®ång d¹ng thø ba? (cid:0) A’B’C’, (cid:0) ABC cã: A’=A, B’=B (cid:0) B-Bµi tËp: 1/Cho (cid:0) ABC vµ (cid:0) A’B’C’ cã AB=4cm ,AC= 5cm, BC=6cm vµ A’B’=8mm, B’C’=10mm , A’C’=12 mm. a) (cid:0) A’B’C’vµ (cid:0) ABC cã ®ång d¹ng víi nhau kh«ng v× sao? b)TÝnh tØ sè chu vi cña hai tam gi¸c ®ã. Gi¶i: a)Ta cã: AB=4cm=40mm, AC=5cm=50mm, BC=6cm=60mm. BA CB ' ' AB BC CA ' AC 10 50 12 60 8 40 ' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 1 1 5 .5 A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC (cid:0) 1 5 CA ' AC BA ' AB CB ' BC

CBA ' '

ABC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ' ' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) b) (cid:0) (cid:0) (cid:0) C C CBCABA ' ' ' AC AB BC 30 150 1 5

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ; AB (cid:0) AC AE AD AE AD 8 (cid:0) 16 3 (cid:0) 6 1 2 1 2 2/Cho (cid:0) ABC cã AB=8cm, AC=16cm,. Gäi Dvµ E lµ hai ®iÓm lÇn lît trªn c¸c c¹nh AB, AC sao cho BD=2cm, CE=13cm. Chøng minh : a) (cid:0) AEB ®ång d¹ng víi (cid:0) ADC. b)Gãc AED b»ng gãc ABC A c)AE.AC=AD.AB E Gi¶i: a)XÐt tam gi¸c AEB vµ tam gi¸c ADC cã D AB AC MÆt kh¸c lai cã gãc A chung B C (cid:0) tam gi¸c AEB vµ tam gi¸c ADC ®ång d¹ng víi nhau.

b)Chøng minh t¬ng tù c©u a) ta cã (cid:0) AED ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC (cid:0) AED =ABC (hai gãc t¬ng øng) c)Theo c©u b) ta cã (cid:0) AED ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC (cid:0) (cid:0) AE.AC=AB.AD AE (cid:0) AB AD AC

3) chøng minh r»ng nÕu (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè k th× : a)TØ sè hai ®êng ph©n gi¸c trong còng b»ng k b) TØ sè hai ®êng trung tuyÕn t¬ng øng còng b»ng k Gi¶i: GV híng dÉn h/s ttù chøng minh. C-Bµi tËp vÒ nhµ: 1/Cho tam gi¸c ABC cã: AB:BC:CA = 5:6:7. BiÕt tam gi¸c DÌ ®ång d¹ng víi tam gi¸c ABC vµ c¹nh nhá nhÊt cña tam gi¸c DÌ lµ 1,5cm. TÝnh c¹nh cña tam gi¸c DEF. 2/Cho h×nh thang ABCD cã gãc A b»ng gãc D b»ng 900, AB = 2cm, BD = 4cm, CD = 8cm a)Chøng minh tam gi¸c ABD ®ång d¹ng víi tam gi¸c BDC b)TÝnh BC. 3/Cho h×nh thang ABCD (AB//CD) cã AB=4cm, CD=9cm,< ADB=

TiÕt 5: C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c vu«ng

A- KiÕn thøc c¬ b¶n: 1)C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng: ? Häc sinh nh¾c l¹i ®Þnh vÒ c¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña hai tam gi¸c vu«ng ? -Hai tam gi¸c vu«ng ®ång d¹ng víi nhau nÕu: +Tam gi¸c vu«ng nµy cã mét gãc nhän b»ng gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia +Tam gi¸c vu«ng nµy cã hai c¹nh gãc vu«ng tØ lÖ víi hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia -Trêng hîp ®Æc biÖt: A’ A

B’ C’ B C

' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC BA ' AB CB ' BC 2) TØ sè ®êng cao vµ tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng:

? HS nh¾c l¹i ®Þnh lý vÒ tØ sè ®êng cao vµ ®Þnh lý vÒ tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng

TiÕt 5+6 C¸c trêng hîp ®ång d¹ng cña tam gi¸c vu«ng

-Trêng hîp ®Æc biÖt: A’ A

B’ C’ B C

' ' (cid:0) (cid:0) (cid:0) A’B’C’ ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC BA ' AB CB ' BC

(cid:0) (cid:0) cm (75,18 ) ,do ®ã BE= Suy ra: BMBC . AB BM AB 2) TØ sè ®êng cao vµ tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng: ? HS nh¾c l¹i ®Þnh lý vÒ tØ sè ®êng cao vµ ®Þnh lý vÒ tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c ®ång d¹ng. *)VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, cã AB =24cm, AC =18cm. §êng trung trùc cña BC c¾t BC,BA,CD lÇn lît ë M,E,D. TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n th¼ng BC,BE,CD Gi¶i: Tam gi¸c ABC vu«ng ë A(GT) B Theo ®Þnh lý Py-ta-go, ta cã: BC2 = AB2+ AC2= 242+182 =900, suy ra BC = 30 cm Do ®ã MB =MC =15 cm. M (cid:0) MEB vµ (cid:0) ACB cã: E M =A = 900 Gãc B chung Do ®ã (cid:0) MEB ®ång d¹ng víi (cid:0) ACB (g.g) D A C 15.30 24

BE (cid:0) BC (cid:0) DMC vµ (cid:0) BAC cã: M = A=900 Gãc C chung Do ®ã (cid:0) DMC ®ång d¹ng víi (cid:0) BAC (g.g) BC (cid:0) (cid:0) cm (25 ) Suy ra , do ®ã DC = MC AC MC . AC 15.30 18

DC (cid:0) BC B-Bµi tËp: 1)Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, AB = 4,5cm, AC = 6cm. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2cm. §êng vu«ng gãc víi BC ë D c¾t AC ë E.

a)TÝnh ®é dµi c¸c ®o¹n EC,EA; b)TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c EDC. Gi¶i: a) Ta cã:

DC BC (cid:0) (cid:0) cm (5,2 ) B D C , do ®ã EC = DC AC 2.5,7 6 BC2 = AB2+AC2 = 4,52+62= 56,25, suy ra BC = 7,5 (cm) E (cid:0) DEC ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC(g.g), nªn ta cã: EC (cid:0) . AC BC Suy ra AE =AC –EC = 3,5cm

(cid:0) b) (cid:0) DEC ®ång d¹ng víi (cid:0) ABC theo tØ sè ®ång d¹ng k = DC AC 1 3

DEC

2cm

ABCS

ABC

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AC AB . (5,16.5,4. ) . do ®ã .Suy ra SDEC= = (cid:0) k (cid:0) (cid:0) 1 9 1 .9 1 2 2 (cid:0) 6 1 9 1 2 S S 1 3 1 9

2)Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. a)Chøng minh AH2= HB.HC ; b)BiÕt BH = 9cm, HC = 16cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC

3)Cho h×nh thang vu«ng ABCD (A=D = 900), AD = 17cm. Gäi E lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AD. BiÕt BE = 10cm, EC = 15cm, DE = 9cm Chøng minh BEC = 900 Giải

4)Cho tam gi¸c ABC, ph©n gi¸c AD. Gäi E vµ F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B vµ C lªn AD. a)Chøng minh r»ng: (cid:0) ABE ®ång d¹ng víi (cid:0) ACF vµ (cid:0) BDE ®ång d¹ng víi (cid:0) CDF b)Chøng minh AE.DF = AF.DE