Chương 1 : Phép tính vi phân hàm một biến

Chia sẻ: Shino Bùi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

157
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho X và Y là các tập hợp rỗng. Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy tắc tương ứng mỗi phần tử của X với duy nhất một phần tử Y.Kí hiệu là f : X- Y

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 1 : Phép tính vi phân hàm một biến

( 45 ti t ) Ch ng 1 : Phép tính vi phân hàm m t bi n Ch ng 2 : Phép tính tích phân hàm m t bi n Ch ng 3 : Lý thuy t chu i Ch ng 4 : Phép tính vi phân hàm nhi u bi n Ch ng 5 : ng d ng c a hàm nhi u bi n TÀI LI U THAM KH O [1] Toán h c cao c p, t p 2&3, Nguy n ình Trí (ch biên), NXB Giáo d c, 2009 [2] Toán cao c p, Gi i tích hàm m t bi n & Gi i tích hàm nhi u bi n, Công Khanh (ch biên), NXB HQG TP.HCM, 2010
Ch ng 1. Phép tính vi phân hàm m t bi n 1.1. Các khái ni m c b n v hàm s m t bi n 1.1.1. nh ngh a. Cho X và Y là các t p h p khác r ng. M t ánh x t t p X vào t p Y là m t quy t c tt ng ng m i ph n t c a X v i duy nh t m t ph n t c a Y. Ký hi u là f : X Y x y f x trong ó: y c g i là nh c a x qua ánh x f x c g i là t o nh c a y qua ánh x f VD. f : là ánh x ; f : không là ánh x (vì s 0 x x2 1 không có nh) x x
1 N u y Y ta có t p h p f y x X f x y có không quá m t ph n t (ho c f x 1 f x2 x1 x2 ) thì f là n ánh. 1 N u y Y ta có t p h p f y (ho c f X Y ) thì f là toàn ánh. N ufv a n ánh v a toàn ánh thì f là song ánh. T c v i m i y Y , t n t i duy nh t m t ph n t x X sao cho f(x) = y. VD. f : là song ánh x x3 f : không n ánh, không toàn ánh x x2
Cho f : X Y là song ánh. Khi ó, v i m i y Y, t n t i 1 duy nh t m t ph n t x X sao cho f(x) = y. Ánh x f :Y X tt ng ng ph n t y v i ngh ch nh x c a nó c g i là ánh x ng c c a f. 1 V y: y Y,f y x f x y 1 (Ánh x ng cf c a f c!ng là song ánh) Cho hai t p khác r ng X , Y . Ánh x f : X Y c g i là m t hàm s . Ký hi u y = f(x). T pX c g i là t p xác nh c a f, ký hi u Df. T pY y f x x X c g i là mi n giá tr c a f.
1.1.2. Hàm s ng c nh ngh a. Cho song ánh f : X Y . Ánh x ng c c a f là f 1 g i là hàm s ng c c a hàm y = f(x), và vi t là x y ; y Y 1 N uy f x là hàm s ng c c a hàm y = f(x) thì th c a chúng i x ng qua " th#ng y = x. ng VD. f x 2x f 1 x lo g 2 x ; x > 0
1.1.3. Hàm s l ng giác ng c Hàm s y sin x ; x ; 1 y 1 có hàm 2 2 ng c là y a rcs in x ; 1 x 1; y 2 2
Hàm s y c o sx ; 0 x ; 1 y 1 có hàm ng c là y a rcco sx ; 1 x 1; 0 y Hàm s y ta n x ; x ; ;y 2 2 có hàm ng c là y a rcta n x ; x ;y ; 2 2 Quy c: arctan 2 arctan 2
Hàm s y cot x ; x 0; ;y có hàm ng c là y a rc c o t x ; x ;y 0; Quy c: arctan arctan 0
1.2. Gi i h n c a hàm s m t bi n 1.1.1. nh ngh a. Cho D là t p s th$c. i%m xo c g i là i m gi i h n (hay i m t ) c a t p D n u trong m i kho ng x o , xo u ch a vô s các ph n t c a t p D. VD. D 0 ,1 i%m t c a D là [0, 1] !1 # " # D $ ;n % D có duy nh t m t i%m t là 0 #n # & # # ' ! # n n 1 " # D $ 1 ;n % D có 2 i%m t là 1 và –1 # # & n 2 # # '
nh ngh a 1. (theo ngôn ng “ (”) Cho hàm s y = f(x) xác nh trên t p X và xo là i%m gi i h n c a t p X. S l c g i là gi i h n c a hàm s f khi x d n n xo n u 0, ) ( 0 : x X mà 0 x xo ( f x l Khi ó ký hi u: lim f x l hay f x l khi x xo x xo Chú ý. Trong nh ngh&a không òi h'i hàm f ph i xác nh t i xo. x2 4 VD. lim 4 m c dù hàm không xác nh t i x = 2. x 2 x 2
nh ngh a 2. (theo ngôn ng dãy) Hàm f c g i là có gi i h n l khi x d n n xo n u v i m i dãy s th$c x n n X mà xn x o và x n x o khi n thì f xn l khi n Chú ý. Th " dùng ng nh ngh&a này % ch ng t' hàm không có gi i h n. (N u tìm c hai dãy x n , x n * x o mà f x n , f x n h i * t v hai s khác nhau thì hàm không có gi i h n). 1 VD. Ch ng t' không t n t i gi i h n lim sin x 0 x nh lý. Gi i h n c a hàm s f khi x x o n u có là duy nh t.
1.1.2. Gi i h n vô cùng và gi i h n vô cùng. (Xem giáo trình) 1.1.3. Gi i h n m t phía. Cho hàm s y = f(x) xác nh trên X. S l c g i là gi i h n trái c a hàm f khi x xo n u 0, ) ( 0 : x X mà 0 xo x ( f x l . Ký hi u: lim f x l f xo x xo Cho hàm s y = f(x) xác nh trên X. S l c g i là gi i h n ph i c a hàm f khi x xo n u 0, ) ( 0 : x X mà 0 x xo ( f x l . Ký hi u: lim f x l f xo x xo nh lý. lim f x l lim f x lim f x l x xo x xo x xo
Chú ý. nh lý trên th "ng c dùng % ch ng t' hàm không có gi i h n. Gi i h n m t phía th "ng c dùng trong các tr "ng h p hàm ch a c(n b c ch)n, ch a tr tuy t i ho c hàm ghép. sin x VD 1. Ch ng t' không t n t i gi i h n lim ! 2 x 3; x + 0 x 0 x # # VD 2. Cho f x # . Tìm lim f x $ 1 # x sin ; x 0 x 0 # # x & 1.1.4. Tính ch t và các phép toán c a gi i h n hàm s . (Xem Giáo trình) nh lý. Gi s ba hàm s f, g, h th'a mãn b t #ng th c: f x g x h x v ix a, b Khi ó, n u lim f x lim h x l thì lim g x l x xo x xo x xo
1.1.5. M t s k t qu gi i h n c n nh . x 1 ln 1 x 1) lim 1 e 6 ) lim 1 x , x x 0 x 1 tan x 2) lim 1 x x e 7) lim 1 x 0 x 0 x 1 1 arcsin x 3) lim 1 x x 8) lim 1 x 0 e x 0 x sin x arctan x 4) lim 1 9) lim 1 x 0 x x 0 x ex 1 1 cos x 1 5) lim 1 10) lim x 0 x x 0 x2 2
1.3. Vô cùng bé (VCB) và vô cùng l n (VCL) nh ngh a. Hàm f c g i là m t VCB khi x x o (xo có th% là h*u h n ho c vô cùng) n u lim f x 0 x xo Hàm f c g i là m t VCL khi x x o (xo có th% là h*u h n ho c vô cùng) n u lim f x x xo VD. x, sinx, tanx, ex – 1, ln(1+x), 1 – cosx là các VCB khi x 0 x, lnx, ex là các VCL khi x
T+ng ho c tích c a hai VCB khi x x o là m t VCB khi x xo Tích c a m t VCB khi x x o và m t hàm b ch n trong lân c n c a xo là m t VCB khi x xo . lim f x l f x l g x ; trong ó g là VCB khi x xo x xo f x * Gi s f và g là hai VCB khi x x o và lim l . Khi ó x xo g x N u l = 0 thì ta nói f là VCB b c cao h n g, ký hi u là f = o(g) N ul= thì ta nói f là VCB b c th p h n g N u0 l thì ta nói f và g là các VCB cùng b c, ký hi u là f = O(g) c bi t, n u l = 1 thì ta nói f và g là các VCB t ng ng, ký hi u là f g
– Các VCB t ng ng có tính ch t b c c u, t c n u f g và g h thì f h VD. Các VCB t ng ng c n nh khi x 0 s in x x ; ta n x x ; a rcsin x x ; a rctan x x; ex 1 x ; ln 1 x x 0 * Ta có th% dùng các VCB t ng ng % kh các d ng vô nh . 0 C th% ta dùng các k t qu sau: nh lý. i u ki n c n và % f, g là hai VCB t ng ng là f – g là VCB b c cao h n f ho c g
M nh . a) N u f , g , f * , g * là các VCB khi x x o và f f *, f x f* x g g * thì lim lim x xo g x x xo g * x b) N u f, g là hai VCB khác b c thì f + g t ng ng v i VCB b c th p h n c) N u f, g là hai VCB khi x x o và chúng u là t+ng c a nhi u f x VCB. Khi ó lim b,ng gi i h n c a t- s c a hai VCB b c x xo g x th p nh t . t và . m/u (V t b' các VCB b c cao h n) VD. Tìm gi i h n: x2 x sin 3 x ta n 3 x a ) lim ; c ) lim x 0 s in x x 0 3x x2 9 x6 x 3 co s x 1 b ) lim x 0 x4 x2
* T nh ngh&a suy ra: ngh ch o c a m t VCB là m t VCL và ngh ch o c a m t VCL là m t VCB nên ta c!ng có các k t qu t ng t$ nh trên i v i VCL và ta dùng các VCL t ng ng % kh các d ng vô nh VD 1. Tìm gi i h n x2 4 2x 3 x (v t b' các VCL b c th p h n) lim x x2 4 x
VD 2. Tìm gi i h n ln 1 x tan x sin e x 1 1 1) I lim 2 3 4) I lim x 0 x sin x x 1 ln x ln cos x esin 5 x esin x 2) I lim 5) I lim x 0 ln 1 x 2 x 0 ln 1 2x e x2 cos x ex 1 cos x 1 3) I lim 6) I lim x 0 sin 2 x x 0 sin 3 x 2x4