Chương 2: Ngôn ngữ tập hợp

Chia sẻ: Bach Thanh Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

184
lượt xem 17
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm về tập hợp và phần tử: tập hợp và phần tử là các từ nguyên thủy không có định nghĩa

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Ngôn ngữ tập hợp

Chöông 2. Ngoän ngöõ Taäp hôïp 2. NGOÂN NGÖÕ TAÄP HÔÏP. 2..1. Khaùi nieäm veà taäp hôïp vaø phaân töû. Taäp hôïp vaø phaân töû laø caùc töø nguyeân thuûy khoâng coù ñònh nghóa. Moät phaân töû a thuoäc veà moät taäp hôïp X ñöôïc kyù hieäu a ∈X Neáu a khoâng phaûi laø moät phaân töû cuûa taäp hôïp x, ta vieát a ∉X Moät taäp hôïp ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh neáu vôùi moät phaàn töû baát kyø a ta coù theå khaúng ñònh phaân töû ñoù coù thuoäc veà taäp hôïp ñoù hay khoâng. Thí duï 1.- Taäp hôïp caùc sinh vieân Tröôøng Hoa Sen laø m oät taäp hôïp. - Caùc taäp hôïp soá : N, Z, Q, R, C. Moãi taäp hôïp xaùc ñònh tính chaát cuûa caùc phaân töû. Moãi tính chaát xaùc ñònh moät taäp hôïp caùc phaân töû . Thí duï. 2. c = {x/sin(x) = 1} c = {0, 1} Moãi taäp hôïp ñöôïc trình baøy baèng caùch lieät keâ caùc phaân töû cuûa noù hoaëc neâu ra moät tính chaát ñaëc tröng cuûa caùc phaân töû cuûa noù. Thí duï 3. x = { 0 , ± 2, ± 4, .....} hoaëc x = { x ∈ Z: x laø moät soá chaún} Neáu coù theå lieät heát taát caû caùc phaân töû cuûa taäp hôïp , ta noùi taäp hôïp ñoù laø höõu haïn, ngöôïc laïi ta noùi taäp hôïp ñoù laø voâ haïn. Thí duï 4. - X laø taäp hôïp 20 sinh vieân lôùp QL. Vaäy x laø höõu haïn vaø Carñ(X) = 20 - Caùc taäp hôïp soá N, P, Q, R, laø caùc taäp hôïp voâ haïn. Taäp hôïp ñöoïc bieåu dieãn baèng sô ñoà VENN: Taäp hôïp khoâng coù phaân töû naøo goïi laø taäp hôïp roãng (∅ ). 2.2 . Taäp hôïp con. A laø taäp hôïp con cuûa moät taäp hôïp X neáu moät phaân töû baát kyø a ∈ A cuõng laø phaân töû cuûa X, kyù hieä u A ⊂ X Ta coù meänh ñeà luoân luoân ñuùng: A ⊂ X ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ X). Tính chaát. X⊂ X ∅⊂ X Taäp hôïp goàm taát caû caùc taäp hôïp con cuûa X ñöôïc kyù hieäu P ( X): Tröông Myõ Dung 15
Chöông 2. Ngoän ngöõ Taäp hôïp ( A ⊂ X) [ A ∈ P(x) ] ⇔ Moãi taäp hôïp con A cuûa X ñöôïc xaùc ñònh baèng moät tính chaát ñaëc tröng p(x). Thí duï: a. X Taäp hôïp caùc sinh vieân Tröôøng Hoa Sen A Taäp hôïp caùc sinh vieân Tröôøng Hoa Sen Ngaønh Quaûn lyù. Ta vieát A = { x ∈ X: x hoïc Ngaønh Quaûn lyù } Vaäy tính chaát ñaëc tröng cuûa A laø p(x) : “ x hoïc Ngaønh Quaûn lyù “. b. X=Z A = { 0, ± 3, ± 6, ± 9 ....}, Vaäy A = { x ∈ Z: x laø boäi soá cuûa 3 } vaø tính chaát ñaëc tröng cuûa A laø p(x) : “ x laø boäi soá cuûa 3” Chuù yù . p (x) khoâng phaûi laø moät meänh ñeà. Tuy nhieân neáu gaùn cho x moät phaân töû baát kyø a∈ x thì p (a) laø moät meänh ñeà. Do ñoù ta goïi p (x) laø haøm meänh ñeà vaø coù theå aùp duïng caùc pheùp noái logic: khoâng, vaø, hay, keùo theo, töông ñöông cho caùc haøm meänh ñeà . Quan heä giöõa 2 taäp hôïp con, ta vieát A⊂B (A chöùa trong B) neáu moïi phaân töû cuûa A ñeàu laø phaân töû cuûa B. Neáu A coù tính chaát ñaëc tröng p (x) vaø B coù tính chaát ñaëc tröng q (x) thì quan heä A ⊂ B ñöôïc bieåu dieãn baèng meänh ñeà keùo theo p (x) ⇒ q ( x), Thí duï . A = { x ∈ Z : x laø boäi soá cuûa 10 } B = { x ∈ Z : x laø boäi soá cuûa 5 } Nhö vaäy p (x) : “x laø boäi soá cuûa 10” q (x) : “x laø boäi soá cuûa 5” vì p (x) ⇒ q (x) laø moät meänh ñeà ñuùng neân ta coù A ⊂ B. Ta coù 2 taäp hôïp con A vaø B baèng nhau, kyù hieäu A=B, neáu ñoàng thôøi A ⊂ B vaø B ⊂ A. Nhö vaäy quan heä töông ñöông giöõa A vaø B ñöôïc bieåu dieãn bôûi meänh ñeà p (x) ⇔ q (x) Thí duï. X = Z A = { x ∈ Z : p (x) } vôùi p (x) : “ x chia heát cho 5” B = { x ∈ Z : q (x) } vôùi q (x) : “ x taän cuøng baèng 0 hay 5” Roõ raøng p (x) ⇔ q (x) laø meänh ñeà ñuùng. Vaäy A=B 2.3. Caùc pheùp toaùn treân caùc taäp hôïp con. 2.3.1 Phaàn phuï. A laø moät taäp hôïp con cuûa X phaàn phuï cuûa A, kyù hieäu A A laø taäp hôïp caùc phaân töû x ∉ A Tính chaát.  A = A . Tröông Myõ Dung 16
Chöông 2. Ngoän ngöõ Taäp hôïp 2.3.2. Phaàn giao vaø phaàn hoäi . A vaø B laø hai taäp hôïp con cuûa X. § A Giao B, kyù hieäu A∩B laø taäp A B hôïp x ∈ X sao cho x ∈ A vaø x ∈ B. A ∩ B = { x ∈ x/x ∈A vaø x ∈B } B A A hoäi B, kyù hieäu A ∪ B laø taäp hôïp § A ∪ B = { x ∈ x/x ∈A hay x∈B } A∪ B Neáu p (x) vaø q (x) laàn löôït laø caùc tính chaát ñaëc tröng cuûa A vaø B thì : A ∩ B coù tính chaát ñaëc tröng p (x) vaø q (x). A ∪ B coù tính chaát ñaëc tröng p (x) hay q (x). 2.3.3. Caùc tính chaát cuûa phaàn giao vaø phaàn hoäi a. Phaàn giao Phaàn hoäi A∩A=A A∪A=A A∩B=B∩A A∪B=B∪A ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ) (A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ) A ∩ A = ∅ A ∪ A = X A ∩∅ =∅ b. Tính phaân phoái. A∩(B∪C)=(A∩B)∪( A ∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩( A ∪C) c. Qui luaät DE MORGAN. ( A ∩ B) = A ∪  B (A ∪ B) = A ∩  B Do coù caùc tính chaát nhö treân ta coù P (x) vôùi caùc pheùp toaùn Hoäi, Giao. Phaàn phuï laø moät heä ñaïi soá BOOLE . 2.3.4. Hieäu cuûa hai taäp hôïp con. Hieäu cuûa hai taäp hôïp cuûa X. Kyù hieäu A\ B laø taäp hôïp caùc B\A phaân töû x ∈ A vaø x ∉ B A\B Vaäy A\B = A ∩ B B\A = B ∩  A Tröông Myõ Dung 17
Chöông 2. Ngoän ngöõ Taäp hôïp 2.3.5. Phaân hoaïch cuûa moät taäp hôïp . A 1, A2, ..., An laø taäp hôïp con cuûa moät taäp hôïp con cuûa moät taäp hôïp X thoaû caùc ñieàu kieän : A1 ∪ A 2 ∪.. ∪ A n = X Ai ∩ Aj = ∅ neáu i ≠ j . Khi ñoù ta noùi ( A1, A 2,..., An) laø moät phaân hoaïch cuûa X. Thí duï . 1. X = {a, b, c, d, e} Ta coù moät phaân hoaïch cuûa X: { (a,b), (c,d,e) } . Ngoaøi ra, cuõng coù caùc phaân hoaïch khaùc cuûa X: {(b, c, e), (a), (d)} hay {(a), (b), (c), (d), (e)}. 2. Moät taäp hôïp voâ haïn cuõng coù theå phaân hoaïch ñöôïc. Vôùi X=Z Ta coù theå phaân loaïi caùc soá nguyeân theo caùc soá dö khi chia soá ñoù cho 3. Ta ñöôïc phaân hoaïch cuûa Z goàm 3 lôùp Z0 = { x ∈ Z: x = 3k, k ∈ Z}, Z1 = { x ∈ Z: x = 3k +1, k ∈ Z }, Z2 = { x ∈ Z: x = 3k +2, k ∈ Z }. 2.4. Soá phaân töû cuûa caùc taäp hôïp höõu haïn. - Neáu A vaø B laø hai taäp hôïp höõu haïn, taùch (phaân bieät) thì Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) - Neáu A vaø B laø hai taäp hôïp baát kyø thì : Card(A ∪ B) = Card (A) + Card (B) - Card (A ∩ B) Thí duï 1 . A, B, C laø caùc taäp hôïp höõu haïn. Tìm coâng thöùc cho bieát soá phaân töû cuûa taäp hôïp A ∪ B ∪ C Giaûi . Ta vieát : A∪B∪C = (A ∪ B ) ∪ C Vaäy: Card(A ∪B∪C) = Card((A ∪B) ∪ C) = Card(A∪ B)+Card(C)-Card (A ∪B) ∩C) = Card(A)+Card(B)-Card(A ∩B)+Card(C) -Card((A∩ C) ∪(B∩C)) = Card(A)+Card(B)+ Card(C) -Card(A ∩ B) - Card(A ∩ C) - Card(B ∩ C) + Card(A∩B ∩C). Thí duï 2 . Khaûo saùt 100 sinh vieân ngöôøi ta nhaän thaáy soá sinh vieân hoïc caùc ngoaïi ngöõ Anh , Phaùp, Ñöùc ñöôïc phaân boå nhö sau: 42 sinh vieân hoïc tieáng Phaùp 10 sinh vieân hoïc tieáng Anh vaø Phaùp 30 sinh vieân hoïc tieáng Ñöùc 05 sinh vieân hoïc tieáng Ñöùc vaø Phaùp 28 sinh vieân hoïc tieáng Anh 03 sinh vieân hoïc 3 thöù tieáng . Tröông Myõ Dung 18
Chöông 2. Ngoän ngöõ Taäp hôïp 08 sinh vieân hoïc tieáng Anh vaø Ñöùc a. Coù bao nhieâu sinh vieân khoâng hoïc ngoaïi ngöõ naøo? b. Coù bao nhieâu sinh vieân chæ hoïc moät ngoaïi ngöõ duy nhaát? Giaûi . a. Soá SV coù hoïc ngoaïi ngöõ laø P (42) Card(A∪B∪ Ñ)= 28+42+30-8-5+3 10 A (28) 3 = 80 8 5 Vaäy soá SV khoâng hoïc ngoaïi ngöõ naøo laø 100 - 80 = 20 X Ñ(30) b. Soá SV chæ hoïc duy nhaát tieáng Anh = 28 - 8 - (10 - 3) = 13 Phaùp = 42 - 5 - (10 - 3) = 30 Ñöùc = 30 - 8 - (5 - 3) = 20 Tröông Myõ Dung 19