Chương 2: Phương trình phi tuyến

Chia sẻ: Trần Xuân Đạt | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

110
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu chương 2 "Phương trình phi tuyến" dưới đây để nắm bắt chi tiết các phương pháp giải phương trình fx=0 phức tạp tính gần đúng nghiệm của phương trình. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Phương trình phi tuyến

Chöông 2 PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN 2.1 ÑAËT BAØI TOAÙN Muïc ñích cuûa chöông naøy laø tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình f(x) = 0 (2.1) vôùi f(x) laø haøm lieân tuïc treân moät khoaûng ñoùng hay môû naøo ñoù. Nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø giaù trò x sao cho f(x) = 0. Trong giaùo trình naøy ta chæ xeùt nhöõng nghieäm ñôn coâ laäp. Veà maët hình hoïc, nghieäm cuûa phöông trình (2.1) laø hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa ñöôøng cong y = f(x) vôùi truïc hoaønh. Khoaûng ñoùng [a, b] (ñoâi khi ta cuõng xeùt khoaûng môû (a, b)) maø treân ñoù toàn taïi duy nhaát nghieäm cuûa phöông trình (2.1) ñöôïc goïi laø khoaûng caùch li nghieäm. Vì ta chæ xeùt nghieäm ñôn cuûa phöông trình (2.1), neân neáu haøm f(x) lieân tuïc treân khoaûng caùch li nghieäm [a, b] thì f(a) · f(b) < 0. Thoâng thöôøng, ñeå tìm nghieäm cuûa phöông trình (2.1) chuùng ta tieán haønh theo hai böôùc sau: Böôùc 1: Tìm taát caû caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình (2.1). Böôùc 2: Trong töøng khoaûng caùch li nghieäm, tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình baèng moät phöông phaùp naøo ñoù vôùi sai soá cho tröôùc.
16 PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN Ñònh lí 2.1. Neáu haøm f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a, b] vaø giaù trò cuûa haøm traùi daáu taïi hai ñaàu muùt thì phöông trình (2.1) coù nghieäm treân [a, b]. Theâm vaøo ñoù, neáu haøm f(x) ñôn ñieäu thì nghieäm laø duy nhaát. YÙ nghóa hình hoïc cuûa ñònh liù laø: moät ñöôøng cong lieân tuïc noái hai ñieåm ôû hai phía cuûa truïc hoaønh seõ caét truïc hoaønh ít nhaát taïi moät ñieåm. Neáu ñöôøng cong laø ñôn ñieäu (taêng hoaëc giaûm) thì ñieåm caét laø duy nhaát. Chuùng ta coù theå tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa moät phöông trình baèng nhieàu caùch vaø ñònh liù 2.1 laø moät coâng cuï höõu ích cho muïc ñích naøy. Ví duï 2.1. Tìm caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình f(x) = x3 − 3x + 1 = 0. Chuùng ta tính giaù trò cuûa haøm taïi moät soá ñieåm ñaëc bieät vaø laäp baûng giaù trò sau: x −2 −1 0 1 2 f(x) −1 3 1 −1 3 Töø baûng treân ta thaáy phöông trình coù nghieäm naèm trong caùc khoaûng khoâng giao nhau (-2, -1), (0, 1), (1, 2). Vì phöông trình baäc ba coù toái ña ba nghieäm, neân moãi ñoaïn treân chöùa duy nhaát moät nghieäm. Vaäy chuùng laø caùc khoaûng caùch li nghieäm cuûa phöông trình ñaõ cho. Ví duï 2.2. Xeùt phöông trình f(x) = x5 + x − 12 = 0. Ta coù f 0 (x) = 5x4 + 1 > 0 vôùi moïi x. Cho neân f(x) laø haøm ñôn ñieäu taêng. Ta cuõng coù f(1) < 0 vaø f(2) > 0, neân phöông trình chæ coù duy nhaát nghieäm naèm trong [1, 2]. Ví duï 2.3. Xeùt phöông trình f(x) = x2 − sin πx = 0. Chuyeån phöông trình veà daïng töông ñöông x2 = sin πx. Ta veõ ñoà thò cuûa hai haøm y = x2 vaø y = sin πx theo hình veõ döôùi ñaây. Töø hình veõ, ta nhaän thaáy phöông trình coù moät nghieäm x = 0 vaø moät nghieäm nöõa naèm trong ñoaïn [1/2, 1].
2.2 Phöông phaùp chia ñoâi 17 Hình 2.1: Nghieäm cuûa phöông trình x2 − sin πx = 0 Coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt cuûa nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình (2.1) ñöôïc theå hieän qua ñònh liù sau. Ñònh lí 2.2. Giaû söû haøm f(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi trong (a, b). Neáu x∗ laø nghieäm gaàn ñuùng cuûa nghieäm chính xaùc x trong [a, b] vaø ∀x ∈ [a, b], |f 0 (x)| > m > 0. Theá thì ta coù coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá toång quaùt sau ñaây |f(x∗ )| |x∗ − x| 6 (2.2) m Ví duï 2.4. Xeùt phöông trình f(x) = x3 − 5x2 + 12 = 0 trong [−2, −1] coù
nghieäm gaàn ñuùng x∗ = −1.37. Khi ñoù |f 0 (x)| =
3x2 − 10x
> 13 = |f(−1.37)| m > 0, ∀x ∈ [−2, −1]. Do ñoù: |x − x∗ | 6 ≈ 0.0034. 13 2.2 PHÖÔNG PHAÙP CHIA ÑOÂI Xeùt phöông trình (2.1) coù nghieäm chính xaùc x trong khoaûng caùch li nghieäm [a, b] vaø f(a)f(b) < 0. Ñaët a0 = a, b0 = b, d0 = b0 − a0 = b − a vaø x0 laø ñieåm giöõa cuûa ñoaïn [a0, b0]. Tính giaù trò f(x0 ). Neáu f(x0 ) = 0 thì x0 chính laø nghieäm vaø quaù trình döøng laïi. Ngöôïc laïi ta xeùt daáu cuûa f(x0 ). Neáu f(x0 )f(a0 ) < 0, ñaët a1 = a0, b1 = x0 . Neáu f(x0 )f(b0 ) < 0, ñaët a1 = x0, b1 = b0 . Nhö vaäy ta thu ñöôïc [a1, b1] ⊂ [a0, b0] vaø ñoä daøi d0 b−a d1 = b1 − a1 = = . Tieáp tuïc quaù trình chia ñoâi nhö vaäy ñeán n 2 2
18 PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN laàn, ta ñöôïc caùc keát quaû sau:   an 6 x 6 bn , an 6 xn = an + bn 6 bn,  2 (2.3)  b − a ∀n = 0, 1, 2, . . .  f(an )f(bn ) < 0, dn = bn − an = 2n Hình 2.2: Phöông phaùp chia ñoâi Nhö vaäy ta ñöôïc {an}∞ ∞ n=0 laø daõy taêng vaø bò chaën treân, coøn {bn }n=0 laø daõy giaûm vaø bò chaën döôùi. Do ñoù chuùng cuøng hoäi tuï. Töø (2.3) ta coù lim an = lim bn = lim xn = x n→∞ n→∞ n→∞ Thoâng thöôøng ta söû duïng coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá sau b−a |x − xn| 6 (2.4) 2n+1 Ví duï 2.5. Cho phöông trình f(x) = 5x3 − cos 3x = 0 trong khoaûng caùch li nghieäm [0, 1]. Baèng phöông phaùp chia ñoâi, haõy tìm nghieäm gaàn ñuùng x5 vaø ñaùnh giaù sai soá cuûa noù. Keát quaû ñöôïc cho trong baûng sau: n 0 1 2 3 4 5 an(−) 0 0 1/4 3/8 7/16 15/32 bn(+) 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 xn 1/2 1/4 3/8 7/16 15/32 31/64 sign f(xn ) + − − − − 31 1−0 1 31 1 Nhö vaäy x5 = vaø ∆x5 = = . Vaäy x = ± . 64 26 64 64 64
2.2 Phöông phaùp chia ñoâi 19 Ví duï 2.6. Xeùt phöông trình f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 coù nghieäm trong khoaûng caùch li nghieäm [1, 2]. Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp chia ñoâi cho ta baûng sau n an bn xn f(xn ) 0 1.0 2.0 1.5 +2.375 1 1.0 1.5 1.25 −1.79678 2 1.25 1.5 1.375 +0.16211 ... ... ... ... ... 8 1.36328125 1.3671875 1.365234375 +0.000072 9 1.36328125 1.365234375 1.364257813 −0.01605 10 1.364257813 1.365234375 1.364746094 −0.00799 11 1.364746094 1.365234375 1.364990235 −0.00396 12 1.364990235 1.365234375 1.365112305 −0.00194 Sau laàn laëp thöù 12, theo coâng thöùc (2.4), giaù trò x12 = 1.365112305 seõ xaáp xæ nghieäm chính xaùc x vôùi sai soá |x − x12| 6 (2 − 1)/213 ≈ 0.000123. Töø baûng treân ta cuõng nhaän thaáy |f(x12 )| = 0.00194 trong khi |f(x8 )| = 0.000072. Ñeå yù raèng nghieäm chính xaùc ñeán chín chöõ soá leû sau daáu phaûy thaäp phaân laø x = 1.365230013. Khi ñoù nghieäm x8 = 1.365234375 coù naêm chöõ soá leû ñaùng tin sau daáu phaûy thaäp phaân vaø noù xaáp xæ x toát hôn nghieäm x12. Phöông phaùp chia ñoâi laø phöông phaùp ñôn giaûn nhaát ñeå tìm nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình (2.1), tuy nhieân ñoä chính xaùc khoâng cao. Thoâng thöôøng phöông phaùp chia ñoâi ñöôïc söû duïng neáu khoâng theå söû duïng caùc phöông phaùp khaùc hoaëc vôùi muïc ñích thu heïp khoaûng caùch li nghieäm. Thuaät toaùn cuûa phöông phaùp chia ñoâi ñöôïc theå hieän trong Chöông trình 2.1. Ñoái soá cuûa chöông trình goàm: f laø bieåu thöùc cuûa haøm f(x), a vaø b laø hai ñieåm bieân cuûa khoaûng caùch li nghieäm [a, b], eps laø sai soá cho tröôùc (giaù trò maëc ñònh laø 10−6) vaø N laø soá laàn laëp toái ña cho pheùp (giaù trò maëc ñònh laø 100). Keát quaû traû veà cuûa chöông trình goàm x laø vectô nghieäm chöùa daõy laëp {xn}, fx laø vectô chöùa giaù trò cuûa haøm f(xn ) vaø n laø soá laàn laëp thöïc teá.
20 PHÖÔNG TRÌNH PHI TUYEÁN Chöông trình 2.1. - c2bisect : Phöông phaùp chia ñoâi. function [x,fx,n] = c2bisect(f,a,b,eps,N) if nargin < 5, N = 100; end; if nargin < 4, eps = 1.0E-6; end; if nargin < 3, error('Haøm phaûi coù toái thieåu 3 ñoái soá.'); end; fa = feval(f,a);x=[];fx=[];n=0;err=eps+1; while (neps) ptbh n=n+1;c = a+(b-a)/2;fc = feval(f,c); x=[x;c];fx=[fx,fc]; if fa*fc > 0, a = c;fa = fc;else, b = c;end; err = b-a; end; 2.3 PHÖÔNG PHAÙP LAËP ÑÔN Ñaây laø phöông phaùp phoå bieán ñeå giaûi phöông trình (2.1) trong khoaûng caùch li nghieäm [a, b]. Tröôùc tieân ta chuyeån töø phöông trình (2.1) veà daïng töông ñöông trong [a, b] x = g(x). (2.5) Khi ñoù nghieäm cuûa phöông trình (2.5) coøn ñöôïc goïi laø ñieåm baát ñoäng cuûa haøm g(x). Choïn moät giaù trò ban ñaàu x0 ∈ [a, b] tuøy yù. Xaây döïng daõy laëp {xn}∞ n=1 theo coâng thöùc laëp xn = g(xn−1) ∀n = 1, 2, 3, . . . (2.6) Baøi toaùn cuûa chuùng ta laø khaûo saùt söï hoäi tuï cuûa daõy {xn}∞ n=1 ; daõy coù hoäi tuï veà nghieäm cuûa phöông trình (2.5) hay khoâng; söï hoäi tuï vaø giôùi haïn cuûa daõy phuï thuoäc nhö theá naøo vaøo giaù trò laëp ban ñaàu x0; vaø cuoái cuøng laø coâng thöùc ñaùnh giaù sai soá.
2.3 Phöông phaùp laëp ñôn 21 Ñònh nghóa 2.1. Haøm g(x) ñöôïc goïi laø haøm co trong ñoaïn [a, b] neáu ∀x1, x2 ∈ [a, b], toàn taïi moät soá q : 0 6 q < 1, goïi laø heä soá co, sao cho |g(x1 ) − g(x2 )| 6 q |x1 − x2 | √ Ví duï 2.7. Xeùt haøm g(x) = x trong ñoaïn [1, 2]. Ta coù ∀x1, x2 ∈ [1, 2], √ √ 1 1 | x1 − x2 | = √ √ |x1 − x2| 6 |x1 − x2| x1 + x2 2 √ Do ñoù haøm g(x) = x laø haøm co trong ñoaïn [1, 2] vôùi heä soá co laø q = 0.5. Ta coù caùc ñònh lí sau ñaây. Ñònh lí 2.3. Neáu g(x) laø haøm co treân [a, b], thì noù lieân tuïc treân ñoù. Ñònh lí 2.4. Neáu haøm g(x) lieân tuïc treân [a, b], khaû vi trong (a, b) vaø ∃q : 0 6 q < 1 sao cho ∀x ∈ (a, b), |g0 (x)| 6 q, thì g(x) laø haøm co treân [a, b] vôùi heä soá co laø q. √ 10 − x treân ñoaïn [0, 1]. Ta coù |g0 (x)| = Ví duï
2.8. Xeùt haøm
g(x) = 3
−1
1
p
6 √ ≈ 0.078 = q < 1. Do ñoù noù laø haøm co treân
3 (10 − x)