Chương 3KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG3.1. Hệ các

Chia sẻ: Nguyen Nhi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:0

Thêm vào BST

Báo xấu

87
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 3 KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG 3.1. Hệ các đại lượng ngẫu nhiên Trong nhiều bài toán thực tế, các kết quả thí nghiệm được mô tả bằng hai hoặc nhiều hơn đại lượng ngẫu nhiên. Người ta thường biểu diễn hệ hai đại lượng ngẫu nhiên X , Y bằng một điểm ngẫu nhiên trên mặt phẳng với tọa độ x và y (hình 3.1). y Y y (x,y) x 0 0 x 0 X Hình 3.1. Điểm ngẫu nhiên Hình 3.2. Góc phần tư ứng với xác suất F ( x , y ) Xác suất cùng thực hiện hai bất đẳng...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 3KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG3.1. Hệ các

DO j=1, 13 t(j)= t(j)+(d(j)-t(j))/(n2-n1)*(n-n1) ENDDO ENDIF IF (beta.LT.b(1)) THEN Chương 3 j=1 ELSE IF (beta.GT.b(13)) THEN KHÁI NIỆM VỀ HỆ CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN j=12 VÀ ỨNG DỤNG ELSE j=1 3.1. Hệ các đại lượng ngẫu nhiên 3 IF (beta.GE.b(j).AND.beta.LE.b(j+1)) GOTO 4 Trong nhiều bài toán thực tế, các kết quả thí nghiệm được mô tả j=j+1 bằng hai hoặc nhiều hơn đại lượng ngẫu nhiên. Người ta thường biểu GOTO 3 diễn hệ hai đại lượng ngẫu nhiên X , Y bằng một điểm ngẫu nhiên trên ENDIF mặt phẳng với tọa độ x và y (hình 3.1). 4 TraB24 = t(j)+(t(j+1)-t(j))*(beta-b(j)) * /(b(j+1)-b(j)) y y RETURN (x,y) END Y x 0 0 x 0 X Hình 3.1. Điểm ngẫu nhiên Hình 3.2. Góc phần tư ứng với xác suất F ( x , y ) Xác suất cùng thực hiện hai bất đẳng thức X < x và Y < y được gọi là hàm phân bố hệ hai đại lượng ngẫu nhiên ( X , Y ) : 73 74
(( X , y) ⊂ RΔ ) = F ( x, y ) = P (( X < x ), ( Y < y )) . (3.1) lim Δx Δy Δx → 0 Về ý nghĩa hình học thì hàm phân bố F ( x, y) chính là xác suất Δy → 0 điểm ngẫu nhiên ( X , Y ) rơi vào góc phần tư vô cùng có đỉnh ở điểm F ( x + Δx, y + Δy) − F ( x + Δx, y) − F ( x, y + Δy ) + F ( x, y) = lim ( x, y) , nằm ở bên trái và phía dưới điểm đó (hình 3.2). Δx Δy Δx →0 Δy →0 ∂ 2 F ( x, y ) = Fx'' y ( x, y) = f ( x, y ) . = (3.2) y ∂ x∂ y RΔ Hàm f ( x, y ) gọi là mật độ phân bố của hệ. Mật độ phân bố Δy f ( x, y ) thường được biểu thị bởi một mặt gọi là mặt phân bố. y Khi biết mật độ phân bố, có thể tìm hàm phân bố theo công thức y x ∫∫ F ( x, y ) = f ( x, y) d x d y . (3.3) −∞ −∞ x Δx x 0 Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y gọi là độc lập nếu như quy luật phân bố của từng đại lượng trong chúng không phụ thuộc vào việc đại lượng kia nhận giá trị nào. Trong trường hợp ngược lại X và Y được Hình 3.3. Biểu diễn miền R Δ trong mặt phẳng gọi là phụ thuộc. Mật độ phân bố của hệ các đại lượng ngẫu nhiên độc lập bằng tích Xét xác suất điểm ngẫu nhiên rơi vào hình chữ nhật nhỏ RΔ có kích của các mật độ phân bố của từng đại lượng trong hệ thước Δx và Δy ở lân cận điểm ( x, y) trong mặt phẳng biểu diễn điểm f ( x, y) = f1 ( x ) f 2 ( y ) . (3.4) ngẫu nhiên (hình 3.3). Xác suất rơi vào hình chữ nhật RΔ sẽ tính bằng Khái niệm “phụ thuộc” ở đây phải được hiểu là phụ thuộc “xác P ( ( X , Y ) ⊂ RΔ ) = F ( x + Δx, y + Δy) − F ( x + Δx, y) − suất”, hay phụ thuộc “ngẫu nhiên”. Nếu đại lượng Y liên hệ với đại − F ( x, y + Δy) + F ( x, y) lượng X bằng mối phụ thuộc xác suất, thì nếu biết giá trị của X cũng Chia xác suất này cho diện tích hình chữ nhật, ta sẽ được xác suất không thể chỉ ra chính xác giá trị của Y , mà chỉ có thể chỉ ra quy luật trung bình mà điểm ngẫu nhiên rơi vào một đơn vị diện tích tại điểm phân bố của nó tùy thuộc vào đại lượng X nhận giá trị nào. ( x, y) . Khi Δx → 0 , Δy → 0 , ta có Phụ thuộc xác suất có thể chặt chẽ nhiều hoặc ít. Tùy mức độ tăng độ chặt chẽ của phụ thuộc xác suất mà mối phụ thuộc này càng dần tới phụ thuộc hàm. Phụ thuộc xác suất biểu hiện ở chỗ với sự biến đổi của 75 76
&& K x y = M [ XY ] = M [( X − m x ) ( Y − m y )] . đại lượng X , đại lượng Y có xu thế cũng biến đổi (thí dụ, tăng hoặc (3.7) giảm khi tăng X ). Xu thế này chỉ được bảo tồn “về trung bình”, ở những Công thức tính K x y : nét tổng quát và trong từng trường hợp riêng lẻ có thể có ngoại lệ. − Đối với các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: K x y = ∑ ∑ ( x i − m x ) ( y j − m y ) pi j , 3.2. Các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên. Mô (3.8) men tương quan. Hệ số tương quan i j − Đối với các đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Mô men gốc bậc k, s của hệ ( X , Y ) : ∞ ∞ [ ]. ∫∫ Kx y = ( x − m x ) ( y − m y ) f ( x, y ) d x d y . (3.9) α k, s = M X Y k ý (3.5) −∞ −∞ Mô men tâm bậc k, s : Mô men tương quan là đặc trưng của hệ, ngoài mô tả sự tản mạn của [ ] các đại lượng X , Y , nó còn đặc trưng cho sự liên hệ giữa các đại lượng. && μ k, s = M X kY s , (3.6) Người ta chứng minh được rằng đối với những đại lượng ngẫu nhiên độc & & ở đây X = X − m x , Y − Y − m y . lập mô men tương quan bằng không. Xét theo cấu trúc của công thức (3.7), thấy rằng nếu mức độ tản mạn của một trong hai đại lượng X hay Những mô men gốc bậc một chính là những kỳ vọng toán học của Y mà nhỏ, thì K x y sẽ có giá trị nhỏ. Để đặc trưng đơn thuần về sự liên X, Y : [ ] m x = α 1, 0 = M X 1 Y 0 = M [ X ] , hệ giữa các đại lượng X , Y người ta dùng hệ số tương quan: = M [X Y ] = M [Y ] . Kx y m y = α 0, 1 0 1 rx y = . (3.10) σ xσ y Có hai mô men tâm bậc hai có ý nghĩa quan trọng là phương sai của Những đại lượng ngẫu nhiên mà K x y hay rx y bằng 0 được gọi là các đại lượng X , Y : [ ] [] những đại lượng không tương quan. && & D = μ = M X 2Y 0 = M X 2 = D [ X ] , 2, 0 x = M [X ] = M [Y ] = D [Y ] . Hệ số tương quan đặc trưng không phải cho sự phụ thuộc bất kỳ mà & & & D y = μ 0, 2 0 Y2 2 chỉ cho sự phụ thuộc tuyến tính. Mô men tâm hỗn hợp bậc hai Công thức ước lượng các đặc trưng số của hệ hai đại lượng ngẫu nhiên có dạng sau: && μ1, 1 = M [X Y] n n ∑ xi ∑ yi có vai trò đặc biệt được ký hiệu là K x y và gọi là mô men tương quan ~ ~ i =1 i =1 mx = my = ; ; (mô men liên hệ) của các đại lượng X , Y : n n 77 78
Ước lượng không chệch của các phương sai: n n ∑ ( xi − m x ) 2 ∑ ( yi − m y ) 2 ~ ~ ~ ~ n i =1 i =1 Dx = Dy = ∑ ( xk i − mx ; ; ~ )2 n −1 n −1 k ~ i =1 Dk = . n −1 n ∑ ( x i − m x ) ( yi − m y ) ~ ~ ~ Ước lượng của các mô men tương quan: i =1 Kx y = . (3.11) n −1 n ∑ ( xk i − mx ~ ~ )( x l i − m xl ) Đối với trường hợp xử lý những quan trắc về một hệ m đại lượng k ~ i =1 Kkl = . ngẫu nhiên n −1 ( X 1 , X 2 , ..., X m ) Từ những giá trị của các mô men tương quan, xác định những giá trị của các mô men tương quan chuẩn hóa: người ta cũng thực hiện những tính toán tương tự. Giả sử có n quan trắc, ~ kết quả quan trắc viết dưới dạng bảng số: mỗi dòng chứa m giá trị của ~ = Kkl , rk l ~ ~ các đại lượng ngẫu nhiên X 1 , X 2 , ..., X m trong một lần quan trắc, bảng σ kσ l này sẽ gồm n dòng: ~ ~ trong đó σ k = ~ Dk , σ l = ~ Dl . ... ... x1 x2 xk xm i Các mô men tương quan hay các mô men tương quan chuẩn hóa của 1 ... ... x11 x 21 x k1 x m1 hệ các đại lượng ngẫu nhiên thường được viết thành dạng ma trận tương 2 ... ... x12 x 22 xk 2 xm2 quan: .. ... ... ... ... ... ... ... K 11 K 12 K 1m ... ... x1i x 2i x ki x mi i ... K 22 K 2m ~ Ki j = ; .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... x1n x 2n x kn x mn n K mm hay ma trận tương quan chuẩn hóa: Ước lượng của các kỳ vọng toán học được tìm như là các trung bình số học: ... r11 r12 r1m n ... r22 r2 m ∑ xk i ~= . ri j ... ... i =1 ~ m xk = ( k = 1, 2, ..., m ) . n rmm 79 80
Do tính chất đối xứng, các ma trận chỉ cần điền một nửa. Ở đường Tw Ta Pa H Hr chéo chính của ma trận tương quan là các phương sai của các đại lượng Tw 1,00 0,96 0,88 0,04 -0,75 X 1 , X 2 , ..., X m , tức Ta 1,00 0,93 0,12 -0,80 ~ ~~ ~ ~ ~ K 11 = D1 ; K 22 = D2 ; . . .; K mm = Dm . 1,00 0,42 -0,87 H 1,00 -0,41 Hr Ma trận tương quan thường được dùng để nghiên cứu sự phụ thuộc Pa 1,00 tuyến tính giữa các đại lượng ngẫu nhiên trong hệ các đại lượng được quan trắc. Trong khí tượng thủy văn, bảng này thường được gọi là ma trận Thí dụ 3.1: Tính ma trận tương quan đối với bảng giá trị ngày của tương quan, nó thể hiện sự liên hệ thống kê với nhau của các yếu tố quan nhiệt độ nước biển Tw , nhiệt độ không khí Ta , độ ẩm tuyệt đối H , độ trắc. Mỗi phần tử của ma trận này gọi là hệ số tương quan giữa hai yếu tố ẩm tương đối Hr và khí áp Pa quan trắc trong năm 1980 ở Hòn Dấu. quan trắc cùng hàng và cùng cột. Các hệ số tương quan có giá trị tuyệt Ta ghi bảng số liệu quan trắc dưới dạng: đối lớn thể hiện sự liên hệ chặt chẽ về mặt thống kê, hệ số nhỏ thể hiện sự liên hệ yếu. Tw Ta Pa H Hr TT Từ ma trận tương quan của trạm Hòn Dấu, thấy rằng nhiệt độ nước 1 22,2 22,2 23,9 89 1013,2 biển liên hệ chặt chẽ nhất với nhiệt độ không khí, sau đó với độ ẩm tuyệt 2 22,4 22,1 24,2 91 1013,6 đối và cuối cùng với khí áp, trong đó liên hệ giữa nhiệt độ nước và khí áp 3 22,4 21,5 23,5 92 1014,2 là liên hệ nghịch, thể hiện bởi hệ số tương quan mang dấu âm (-0,75). 4 21,8 20,6 21,3 88 1018,1 5 21,0 16,4 14,3 77 1020,9 Giữa nhiệt độ nước biển với độ ẩm tương đối hầu như không có liên hệ, 6 20,5 17,7 15,6 77 1020,5 biểu hiện ở hệ số tương quan rất nhỏ (0,04). Nhiệt độ không khí và áp 7 19,0 15,3 11,4 66 1023,7 suất khí quyển liên hệ với nhau bằng mối phụ thuộc nghịch khá chặt chẽ. 8 18,8 16,4 12,8 68 1020,4 Nhiệt độ không khí thường cao khi áp thấp quan trắc thấy trên vùng biển. 9 19,1 17,0 15,2 78 1019,5 10 19,4 18,4 17,2 82 1015,3 3.3. Phép là trơn các mối phụ thuộc thực nghiệm bằng ... .... .... .... .. ...... 366 .... .... .... .. ...... phương pháp bình phương nhỏ nhất Kết quả tính các phần tử nửa trên bên phải của ma trận các mô men Giả sử ta có bảng các số liệu thực nghiệm, trong đó ghi các giá trị của đại lượng biến số x i và các giá trị tương ứng của đại lượng phụ tương quan chuẩn hóa được ghi thành bảng như sau: thuộc vào nó yi . Từ những suy luận nào đó về bản chất của hiện tượng hoặc theo hình dạng bề ngoài, chúng ta có thể chọn dạng phụ thuộc tổng 81 82
quát y = ϕ ( x) cho mối phụ thuộc giữa y và x . Hàm y = ϕ ( x ) phụ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ = 1; = 1. ⎜ ⎟ ⎝ ∂b ⎠ ∂b thuộc vào một số tham số a, b, c, ... Chính những tham số này cần được i xác định để sao cho tổng các bình phương độ lệch của yi khỏi ϕ ( x i ) Thế các biểu thức trên đây vào (3.14) ta được hệ hai phương trình để cực tiểu. xác định a và b : Có thể viết hàm y = ϕ ( x ) rõ hơn dưới dạng ⎧ n ∑ [ yi − ( a x i + b)] x i =0 ⎪ y = ϕ ( x; a, b, c, ...) . (3.12) ⎪ i =1 ⎨ Cần chọn a, b, c, ... sao cho thỏa mãn điều kiện sau n ⎪ ∑ [ yi − ( a x i + b)] = 0 ⎪ ⎩ n i =1 ∑ [ y i − ϕ ( x i ; a, b, c, ...)] 2 = min . (3.13) hay i =1 ⎧ Từ (3.13) suy ra hệ phương trình: n n n ∑ xi y i − a ∑ xi2 − b ∑ xi = 0 ⎪ ⎪ ⎛ ∂ϕ ⎞ n i =1 i =1 i =1 ∑ ⇒ [ yi − ϕ ( xi ; a, b, c, ...)] ⎜ ⎟ =0 ⎨ n n ⎝ ∂a⎠ i ⎪ ∑ y i − a ∑ xi − b n = 0 i =1 ⎪ ⎩ ⎛ ∂ϕ ⎞ i =1 i =1 n ∑ [ yi − ϕ ( xi ; a, b, c, ...)] ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂b ⎠ i (3.14) ⎧ n n n i =1 ∑ xi y i ∑ xi2 ∑ xi ⎪ ⎛ ∂ϕ ⎞ n ⎪ i =1 i =1 i =1 ∑ −a −b =0 [ yi − ϕ ( xi ; a, b, c, ...)] ⎜ ⎟ =0 ⎪ n n n ⎝ ∂c ⎠ i ⇒ ⎨ i =1 n n ⎪ ∑ yi ∑ xi .......................................... ⎪ i =1 i =1 −a − b= 0 ⎪ Hệ (3.14) có số phương trình đúng bằng số tham số cần xác định. ⎩ n n Không thể giải hệ (3.14) ở dạng tổng quát, mà phải cho trước dạng cụ thể Các tổng trong những phương trình trên chính là những mô men của hàm ϕ . thống kê khác nhau, do đó ta viết hệ thành: 1. Trường hợp y = ϕ ( x; a, b) = a x + b (tức dạng phụ thuộc ⎧ α 1,1 [ X , Y ] − a α 2 − bm * = 0 * * ⎪ x ⎨* tuyến tính) ta có: * ⎪ m y − a mx − b = 0 ⎩ ∂ϕ ⎛ ∂ϕ ⎞ = x; = xi ; ⎜ ⎟ Tìm b từ phương trình thứ hai và thế vào phương trình thứ nhất: ∂a ⎝ ∂a⎠ i b = m* − a m* , y x 83 84
tự bậc giảm dần; ở vế phải có các mô men của hệ ( X , Y ) , trong đó bậc α 1*,1 [ X , Y ] − a α 2 [ X ] − (m * − a m * ) m * = 0 , * y x x của mô men theo X giảm từ phương trình này tới phương trình khác, α 1,1 [ X , Y ] − m * m * * Kx y xy còn bậc theo Y luôn giữ nguyên là bậc một. a= = . α 2 [ X ] − (m * ) 2 * * Dx x Các hệ số của parabôn bậc bất kỳ cũng được xác định bằng những Vậy phương trình có cấu trúc tương tự. Kx y 3. Trường hợp y = ϕ ( x; a1 , a2 , ..., ak ) là tổng của các hàm cho b = m* − a m* . a= ; (3.15) y x * Dx trước bất kỳ ϕ1 ( x ), ϕ 2 ( x ), ..., ϕ k ( x ) với các hệ số a1 , a2 , ..., a k : hay k ∑ aiϕ i ( x ) . y = a1ϕ1 ( x ) + a2ϕ 2 ( x ) + ... + a kϕ k ( x ) = (3.18) σ * i =1 y * m* a m* a=r b= − , (3.16) y x σx * Thí dụ: ϕ ( x; a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) = a1 cos ω x + a 2 sin ω x + a 3 cos 2ω x + a 4 sin 2ω x Phương trình tuyến tính y = ϕ ( x) = a x + b có dạng hay * * Kxy Kxy y= x + m* − m* ϕ ( x; a1 , a2 , a3 ) = a1 eα x + a2 e β x + a3 e γ x . y x * * Dx Dx hay Hệ phương trình để tính các hệ số a1 , a2 , ..., ak trong trường hợp * Kxy tổng quát (3.18) có dạng y − m* = ( x − m* ) . y x * Dx 2. Trường hợp y = a x 2 + b x + c (dạng phụ thuộc parabôn): Hệ phương trình để xác định các hệ số a, b, c như sau: α 4 [ X ]a + α 3 [ X ]b + α 2 [ X ]c = α 2,1 [ X , Y ]; ⎫ * * * * ⎪ ⎪ α 3 [ X ]a + α 2 [ X ]b + α 1* [ X ]c = α 1*,1 [ X , Y ]; ⎬ * * (3.17) ⎪ α +α +α =α * * * * ⎪ 2 [ X ]a 1 [ X ]b 0 [ X ]c 0,1 [ X , Y ]. ⎭ Lưu ý quy luật tạo thành những hệ số trong các phương trình (3.17) như sau: ở vế trái chỉ có các mô men thống kê của đại lượng X theo thứ 85 86
∑ ( a) cực tiểu (hình 3.4). ⎧ n n n a1 ∑ [ϕ1 ( xi )]2 + a2 ∑ ϕ 2 ( xi ) ϕ1( xi ) + ... + ak ∑ ϕ k ( xi ) ϕ1( xi ) = ⎪ ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎪ ∑ (a) n ∑ yiϕ1( xi ); = ⎪ ⎪ i =1 y = ϕ ( x, a ) ∑ (a) ⎪ n n n a1 ∑ ϕ1( xi ) ϕ 2 ( xi ) + a2 ∑ [ϕ 2 ( xi )] + ... + ak ∑ ϕ k ( xi ) ϕ 2 ( xi ) = 2 ⎪ ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎪ ⎪ n = ∑ yiϕ 2 ( xi ); ⎨ ⎪ x a i =1 a ⎪ 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ⎪ ⎪ n n n a1 ∑ ϕ1( xi ) ϕ k ( xi ) + a2 ∑ ϕ 2 ( xi ) ϕ k ( xi ) + ... + ak ∑ [ϕ k ( xi )]2 = ⎪ i =1 i =1 i =1 ⎪ b1 b4 ⎪ n = ∑ yiϕ k ( xi ). ⎪ b3 b2 i =1 ⎪ ⎪ ⎩ a 0 a (3.19) Hình 3.4. Khảo sát bằng đồ thị để tìm hệ số a tối ưu trong trường hợp phi tuyến 4. Bài toán là trơn sẽ phức tạp hơn nếu trong các biểu thức của hàm y = ϕ ( x; a, b, c, ...) các tham số bằng số a, b, c, ... nằm dưới dạng Trong hải dương học, phương pháp là trơn phụ thuộc thực nghiệm phi tuyến. Trong trường hợp này thường người ta có được cách giải bằng bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất thường được áp dụng khi người một phương pháp khá đơn giản qua thí dụ sau đây. ta cần tìm những biểu thức liên hệ giữa các tham số hải dương học dựa 2 Thí dụ: y = e − ax hay y = sin ax . trên số liệu quan trắc. Thí dụ tìm biểu thức liên hệ giữa hệ số nhớt của Ta viết y = ϕ ( x, a) , trong đó a − hệ số cần tìm theo phương pháp nước với nhiệt độ, độ muối của nước biển; tìm công thức tính tốc độ truyền âm trong biển theo nhiệt độ, độ muối và áp suất khi những liên hệ bình phương nhỏ nhất. này khó rút ra bằng lập luận lý thuyết. Bài toán là trơn cũng hay được sử Ta có thể đưa ra một loạt các giá trị của a và với từng a tìm tổng dụng để lập biểu thức khôi phục các giá trị quan trắc của một yếu tố nào các bình phương của hiệu yi và ϕ ( xi , a ) : đó bị khuyết trong khi biết giá trị quan trắc của một yếu tố khác mà nó có n ∑ ( a) =∑ [ yi − ϕ ( x i , a)] 2 . liên hệ một cách rõ ràng xuất phát từ suy luận lý thuyết, lập mối liên hệ i =1 giữa yếu tố khó quan trắc với yếu tố dễ quan trắc, lập mối phụ thuộc giữa Tổng này là một hàm phụ thuộc vào a . Nếu biểu diễn sự biến thiên của giá trị của cùng một yếu tố ở tầng sâu này với tầng sâu khác... Đặc biệt, ∑ ( a) lên đồ thị, ta sẽ tìm được giá trị thích hợp của a ứng với giá trị người ta hay sử dụng phương pháp là trơn thực nghiệm để thiết lập các 87 88
phương trình dự báo yếu tố hải dương học nào đó theo các yếu tố khí tượng và hải dương khác ảnh hưởng tới nó. Thí dụ 3.2: Tìm phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển Tw và nhiệt độ không khí Ta trên biển theo tập số liệu trung bình tháng của hai yếu tố này tại trạm Hòn Dấu trong ba năm 1979-1981. Các số liệu được sắp xếp trong bảng dưới đây: Năm 1979 Năm 1980 Năm 1981 Tháng Tw Ta Tw Ta Tw Ta 1 19,9 18,2 19,7 18,0 19,6 18,2 2 20,2 19,2 17,0 15,2 19,7 18,2 3 20,6 19,6 21,3 20,7 21,6 20,9 4 23,4 22,6 23,6 22,7 25,7 25,4 5 27,9 26,4 27,9 26,9 27,9 26,2 6 29,6 28,1 30,1 28,3 30,2 28,6 7 31,0 29,8 29,8 28,7 29,8 28,8 Hình 3.5. Đồ thị thể hiện mối liên hệ tuyến tính giữa 8 29,3 28,1 29,9 28,7 30,7 29,5 nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí trạm Hòn Dấu 9 28,9 27,4 28,8 27,3 29,8 28,3 10 27,5 25,8 28,1 25,7 26,9 24,7 11 23,7 21,9 25,7 23,9 23,6 21,5 Ta tuần tự tính các đại lượng trong công thức (3.16) để lập phương 12 21,1 20,4 21,9 19,3 19,4 17,4 trình biểu diễn định lượng của mối liên hệ này: 1 36 Ta có tổng cộng 36 cặp giá trị nhiệt độ nước và nhiệt độ không khí ∑ Ta, j = 23,906 ; m * = Ta = x tương ứng, n = 36 . Trên hình 3.5 biểu diễn các cặp giá trị nhiệt độ không 36 j =1 khí và nhiệt độ nước tương ứng thành các điểm chấm trên mặt phẳng 1 36 ∑ Tw, j = 25,328 ; m * = Tw = Tw − Ta . Các điểm tập trung trên một dải hẹp bên cạnh một đường thẳng y 36 j =1 cho thấy có sự liên hệ tuyến tính, tỷ lệ thuận khá rõ rệt giữa hai yếu tố 1 36 nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không khí. ∑ (Ta , j − Ta ) 2 = 4,285 ; σ x = σ Ta = * 35 j =1 89 90
trong đó biến y là độ cao mực nước, biến x là thời gian (số hiệu năm 1 36 ∑ (Tw, j − Tw ) 2 = 4,253 ; σ * = σ Tw = quan trắc). Các hệ số a và b tính được theo công thức (3.15) hoặc y 35 j =1 (3.16) bằng: 1 36 ∑ (Ta, j − Ta )(Tw, j − Tw ) = 0,993 ; * ry , x = a = 0,176 ; b = −158,981 . 35 j =1 Giá trị của hệ số a chính là tốc độ biến thiên của y − mực nước khi thời σ* 4,253 y gian tăng lên một năm. Vậy tại trạm Hòn Dấu, trung bình mực nước dâng a = ry*, x = 0,993 = 0,985 ; σx * 4,285 lên 0,176 cm hay ≈ 1,8 mm mỗi năm. b = m * − am * = 25,328 − 0,985 × 23,906 = 1,775 . Để trực quan, ta có thể biểu diễn biến thiên của mực nước Hòn Dấu y x theo năm như trên hình 3.6. Đường đậm nét là đường thằng hồi quy Vậy phương trình liên hệ giữa nhiệt độ nước biển và nhiệt độ không y = 0,176 x − 158,981 . khí sẽ là: Tw = 1,775 + 0,985 Ta . Thí dụ 3.3: Xác định xu thế nước biển dâng tại trạm Hòn Dấu. Số liệu độ cao mực nước trung bình năm (cm) tại trạm Hòn Dấu được sắp xếp theo thứ tự năm trong bảng dưới đây: 1957 185 1966 189 1975 188 1984 204 1993 189 2002 193 1958 184 1967 186 1976 188 1985 201 1994 192 2003 197 Hình 3.6. Biến thiên của mực nước Hòn Dấu thời kỳ 1957-2008 1959 185 1968 183 1977 184 1986 189 1995 192 2004 191 1960 186 1969 187 1978 190 1987 186 1996 193 2005 190 1961 186 1970 181 1979 191 1988 186 1997 193 2006 194 5. Trường hợp bài toán hồi quy tuyến tính nhiều biến 1962 183 1971 189 1980 192 1989 190 1998 192 2007 190 1963 180 1972 187 1981 192 1990 187 1999 193 2008 194 Giả sử có n quan trắc đối với đại lượng phụ thuộc y và các đại 1964 188 1973 192 1982 188 1991 191 2000 194 lượng độc lập x1 , x 2 , ..., x m . Phương trình hồi quy được thiết lập như 1965 196 1974 189 1983 191 1992 189 2001 197 sau Giả sử mực nước biển phụ thuộc tuyến tính vào thời gian, tức tăng y = a0 + a1 x1 + a 2 x 2 + ... + a m x m . (3.20) hoặc giảm tuyến tính theo năm. Áp dụng trường hợp 1 đã xét trên đây, ta Các hệ số ai ( i = 1, ..., m) được chọn sao cho thoả mãn thiết lập một mối phụ thuộc tuyến tính y = ax + b , 91 92
[x1 ] [x2 ] [xm ] n ⎛n ⎞ ... δ = ∑ ( y j − a 0 − a1 x1 j − a 2 x 2 j − ... − a m x mj ) 2 = min . ⎜ ⎟ ⎜ [x1 ] [x1 x1 ] [x2 x1 ] [xm x1 ] ⎟ ... j =1 ⎜ [x ] [xm x2 ] ⎟ [x1 x2 ] [x2 x2 ] ... Lần lượt lấy đạo hàm biểu thức trên theo a0 , a1 , a 2 , ..., a m và cho ⎜2 ⎟ ⎜ ... ... ⎟ các đạo hàm bằng không, ta có hệ m + 1 phương trình để xác định các hệ ... ... ... ⎜ [xm xm ]⎟ ⎝ [x m ] [x1 xm ] [x2 xm ] số a ... ⎠ [x1 ]a1 [x 2 ]a2 [x m ]am [ y] + + + ... + = vectơ b - ma trận một chiều các hệ số tự do na0 [x1 ]a0 [x1 x1 ]a1 [x 2 x1 ]a2 [x m x1 ]am [yx1 ] + + + ... + = ⎛ b0 ⎞ [x 2 ]a0 [x1 x 2 ]a1 [x 2 x 2 ]a2 [x m x 2 ]am [yx 2 ] ⎜⎟ + + + ... + = ⎜ b1 ⎟ ... ... ... ... ... ... ⎜b ⎟ [x m ]a0 [x1 x m ]a1 [x 2 x m ]a2 [x m x m ]am [yx m ] ⎜ 2⎟ + + + ... + = ⎜ ... ⎟ Hệ phương trình này gọi là hệ phương trình chính tắc để xác định ⎜⎟ ⎝ bm ⎠ các hệ số hồi quy a . Dưới dạng ma trận ta viết hệ này như sau [x1 ] [x 2 ] [xm ] và vectơ x - ma trận một chiều các ẩn cần xác định a 0 , a1 , ..., a m . Dấu ⎛ ⎞ ⎛ a0 ⎞ ⎛ b0 ⎞ ... n ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ [x1 ] [x1 x1 ] [x2 x1 ] [x m x1 ] ⎟ ⎜ a1 ⎟ ⎜ b1 ⎟ n [ ] ký hiệu phép lấy tổng ∑ . ⎜ ... [x2 ] [x1 x 2 ] [x2 x2 ] [x m x2 ] ⎟ . ⎜ a2 ⎟ = ⎜ b2 ⎟ ⎜ 1 ... ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ Trong hải dương học, phương pháp hồi quy nhiều biến hay được ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ... ... ... ... ⎜ ⎟⎜ ⎟ [x m xm ]⎠ ⎝ am ⎠ ⎜ bm ⎟ [xm ] [x1 xm ] [x 2 xm ] dùng để thiết lập những mối phụ thuộc giữa một tham số quan trắc với ... ⎝ ⎝⎠ các tham số khác khi nhận thấy các tham số này có liên hệ tương quan (3.21) với nhau xét theo ma trận tương quan tính được (xem mục 3.2). hay dưới dạng vectơ Thí dụ 3..4: Lập phương trình hồi quy tuyến tính biểu diễn sự phụ (3.22) A x = b. thuộc của nhiệt độ nước biển vào các yếu tố khí tượng. Số liệu cho trước là bảng giá trị trung bình ngày của nhiệt độ nước biển Tw , nhiệt độ Trong hệ phương trình (3.22), vectơ A ký hiệu cho ma trận vuông hai không khí Ta , độ ẩm tuyệt đối H , độ ẩm tương đối Hr , khí áp Pa , chiều các hệ số của hệ (3.21) lượng bốc hơi Ev , lượng mưa Ra , thành phần gió kinh hướng Vk , thành phần gió vĩ hướng Vv và lượng mây Cd , quan trắc từ năm 1980 đến 1981 ở Côn Đảo. 93 94
731a 0 + 19690a1 + 20926a 2 + 737487a 3 − 245a 4 − 346a 5 = 20698 Kết quả tính ma trận tương quan được ghi thành bảng sau: 19690a 0 + 531852a1 + 565657a 2 + 19863648a 3 − 5517a 4 − 8146a 5 = 558935 20926a 0 + 565657a1 + 603739a 2 + 21109382a 3 − 4985a 4 − 7178a 5 = 595389 Vv Tw Ta Pa Ev Ra Vk Cd H Hr 737487a 0 + 19863648a1 + 21109382a 2 + 744035648a 3 − 248016a 4 − 351971a 5 Tw 1,00 0,74 0,84 0,27 -0,46 -0,36 0,28 0,52 0,40 -0,16 = 20879778 Ta − 245a 0 − 5517 a1 − 4985a 2 − 248016a 3 + 3281a 4 + 1852a 5 = 5462 1,00 0.76 -0.19 -0.43 0.06 0.20 0.49 0.34 -0.02 H − 346a 0 − 8146a1 − 7178a 2 − 351971a 3 + 1852a 4 + 7940a 5 = −8175 1,00 0.48 -0.57 -0.50 0.16 0.52 0.45 0.07 Hr 1,00 -0.26 -0.84 -0.02 0.13 0.19 0.11 Giải hệ phương trình này, ta được các hệ số hồi quy: Pa 1,00 0.32 -0.05 -0.34 -0.54 -0.21 a 0 = −14,82 Ev 1,00 -0.02 -0.25 -0.29 -0.06 a1 = 0,30 Ra 1,00 0.11 0.00 -0.27 a 2 = 0,48 Vk 1,00 0.35 -0.10 a 3 = −0,02 Vv 1,00 0.18 a 4 = 0,07 Cd 1,00 a 5 = 0,01 Phương trình hồi quy cuối cùng là: Từ ma trận tương quan, nếu chú ý tới các hệ số tương quan có giá trị Tw = −14,82 + 0,30 Ta + 0,48 H − 0,02 Pa + 0,07 V k + 0,01V v . tuyệt đối khá lớn, cỡ từ 0,4 trở lên, có thể tạm cho rằng, nhiệt độ nước có sự liên hệ nhất định với nhiệt độ không khí, độ ẩm tuyệt đối, áp suất khí quyển, các thành phần gió kinh hướng và vĩ hướng. Ta sẽ lập phương trình hồi quy tuyến tính biểu diễn sự liên hệ giữa nhiệt độ nước với các yếu tố này, bỏ qua các yếu tố độ ẩm tương đối, lượng bốc hơi, lượng mưa và lượng mây, dưới dạng: Tw = a 0 + a1Ta + a 2 H + a 3 Pa + a 4Vk + a 5Vv . Hệ phương trình chính tắc dạng (3.21) tính được cụ thể như sau: Hình 3.7. Nhiệt độ nước quan trắc và tính theo phương trình hồi quy trạm Côn Đảo năm 1980 95 96
Phụ lục chương 3 Tính kiểm tra lại chuỗi quan trắc theo phương trình này cho thấy phương trình xấp xỉ tốt chuỗi số liệu quan trắc. Hệ số tương quan chung A. Mã Fortran của thủ tục tính các ma trận A và b của phương trình giữa chuỗi quan trắc và chuỗi giá trị tính theo phương trình hồi quy bằng chuẩn tắc (3.21) trong phương pháp hồi quy tuyến tính nhiều biến 0,86. Sai số bình phương trung bình giữa chuỗi quan trắc và chuỗi tính theo phương trình là trơn bằng 1,13o. Hình 3.7 là đồ thị so sánh giữa hai Y là mảng một chiều để lưu n giá trị của biến phụ thuộc C chuỗi giá trị nhiệt độ nước quan trắc và tính theo phương trình hồi quy. X là mảng n dòng m cột để lưu các giá trị m biến độc lập C A là mảng từ 0 đến m dòng và từ 0 đến m + 1 cột C Bài toán thiết lập phương trình hồi quy nhiều biến như thí dụ vừa để lưu các giá trị của ma trận A C xét hay được áp dụng để bổ khuyết số liệu quan trắc. Thí dụ, nếu trên cơ Cột m + 1 của mảng A lưu giá trị của hệ số b C sở lập luận hay kinh nghiệm, ta biết nhiệt độ nước liên hệ với các yếu tố SUBROUTINE LHPTCT (Y, X, A, N, M) khí tượng khác bằng phương trình như trên, có thể dùng phương trình này để khôi phục giá trị của nhiệt độ nước nếu vì lý do nào đó nó không INTEGER N, M, I, J, K được quan trắc. REAL Y (10000), X (10000, 50), A (0 : 50, 0 : 51) A (0, 0) = N Bài toán lập phương trình hồi quy, kể cả đơn biến và nhiều biến, DO J = 1, M cũng thường dùng để lập các phương trình dự báo. Trong trường hợp này, có thể thiết lập phương trình liên hệ giữa yếu tố cần dự báo với các A (0, J) = 0.0 yếu tố mà nó phụ thuộc (gọi là các yếu tố tiên lượng) nhưng với thời gian DO K = 1, N trễ khác nhau, tức các giá trị của yếu tố dự báo (trong thí dụ vừa xét là A (0, J) = A (0, J) + X (K, J) nhiệt độ nước biển) được lấy sau các giá trị của các yếu tố khí tượng một, END DO hai hay một số ngày. Những vấn đề về chọn các yếu tố tiên lượng phải END DO được xem xét kỹ hơn trên cơ sở các suy luận vật lý và kinh nghiệm của A (0, M + 1) = 0.0 người xử lý số liệu. DO K = 1, N Trong phụ lục chương 3 có dẫn mã Fortran của các thủ tục tính các A (0, M + 1) = A (0, M + 1) + Y (K) hệ số hệ phương trình chuẩn tắc và giải hệ này bằng phương pháp Gauss. END DO DO I = 1, M A (I, M + 1) = 0.0 DO K = 1, N A (I, M + 1) = A (I, M + 1) + Y (K) * X(K, I) END DO 97 98
END DO AMAX = ABS (A (K, K)) DO I = 1, M DO J = I + 1, M DO J = I, M R = ABS (A (J, I)) A (I, J) = 0.0 IF (AMAX .LT. R) THEN DO K = 1, N AMAX = R A (I, J) = A (I, J) + X (K, I) * X (K, J) K=J END DO END IF ENDDO END DO ENDDO IF (K .NE. I) THEN DO I = 1, M DO J = I, M + 1 DO J = 0, I - 1 AMAX = A (I, J) A (I, J) = A (J, I) A (I, J) =A (K, J) END DO A (K, J) = AMAX END DO END DO RETURN END IF END DO J = I + 1, M + 1 A (I, J) = A (I, J) / A (I, I) B. Mã Fortran của thủ tục Gauss giải hệ phương trình (3.21) END DO A là mảng từ 0 đến m dòng và từ 0 đến m + 1 cột DO J = I + 1, M C để lưu các giá trị của ma trận A C DO K = I + 1, M + 1 Cột m + 1 của mảng A lưu giá trị của hệ số b C A (J, K) = A (J, K) - A (J, I) * A (I, K) X là mảng một chiều để lưu nghiệm của hệ, tức các hệ số ai C END DO C trong phương trình (3.19) END DO END DO SUBROUTINE GAUSS (M, A, X) X (M) = A (M, M + 1) / A (M, M) INTEGER M DO I = M - 1, 0, -1 REAL A (0 : 50, 0 : 51), X (0 : 50) X (I) = A (I, M + 1) DO I = 0, M - 1 DO J = I + 1, M K=I 99 100
X (I) = X (I) - A (I, J) * X (J) END DO END DO RETURN END Chương 4 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Hàm ngẫu nhiên là hàm mà trong kết quả thí nghiệm có thể nhận dạng cụ thể nào đó không biết trước được. Dạng cụ thể mà hàm ngẫu nhiên nhận trong kết quả thí nghiệm gọi là hiện của hàm ngẫu nhiên. Nếu thực hiện một nhóm thí nghiệm với hàm ngẫu nhiên, thì ta nhận được một nhóm hay một họ hiện của hàm đó. Rõ ràng mỗi hiện là một hàm bình thường (không ngẫu nhiên). Nếu ta cố định một giá trị nào đó của biến t của hàm ngẫu nhiên X ( t ) , thì hàm X ( t ) lúc này trở thành đại lượng ngẫu nhiên, đại lượng ngẫu nhiên này được quy ước gọi là mặt cắt của hàm ngẫu nhiên tương ứng với t đã cho. 4.1. Các đặc trưng của hàm ngẫu nhiên Kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên X ( t ) là một hàm không ngẫu nhiên m x ( t ) mà tại từng giá trị của đối số t bằng kỳ vọng toán học của mặt cắt tương ứng của hàm ngẫu nhiên: m x ( t ) = M [ X ( t )] . (4.1) Về ý nghĩa, kỳ vọng toán học của hàm ngẫu nhiên là một hàm trung bình nào đó mà các hiện cụ thể biến thiên xung quanh nó (hình 4.1). 101 102

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn