CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chia sẻ: Le Van Truyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

516
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

TÀI LIỆU THAM KHẢO - TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Chương 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. Tính gần đúng các giá trị đạo hàm. 1. Áp dụng đa thức nội suy. -Hàm f(x) được cho dưới -Thay f(x) bằng đa thức nội dạng bảng; suy Pn(x). -Biểu thức giải tích của hàm -Coi P’n(x)là giá trị gần đúng quá phức tạp; của f’(x). d d Pn ( x); ( 1 ) f ( x) ≅ dx dx a/ Đa thức xấp xỉ trực tiếp: f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + . . . (2) f’(x) = P’n(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + . . . (3) f”(x) = P”n(x) = 2a2 + 6a3x + . . . (4)
b. Đa thức nội suy Niutơn. x − x0 dt 1 Pn(x) = Pn(t) với t = =; ; dx h h d d dt 1 d f ' ( x) = Pn' ( x) = Pn (t ) = Pn (t ) = ⋅ Pn (t ); dx dt dx h dt Với công thức nội suy tiến: t (t − 1) 2 t (t − 1)...(t − n + 1) n Pn ( x) = Pn (t ) = yo + t∆yo + ∆ yo + ⋅ ⋅ ⋅ + ∆ yo ; 2! 3 n! 2 t (t − 1) 2 t − 3t + 2t 3 Pn (t ) = yo + t∆yo + ∆ yo + ∆ yo + 2! 3! t 4 − 6t 3 + 11t 2 − 6t 4 + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ 4! 3t 2 − 6t + 2 3 2t − 1 2 1d 1 f ' ( x) = ⋅ Pn (t ) = ∆y0 + ∆ y0 + ∆ y0 + h dt h 2 6  2t 3 − 9t 2 + 11t − 3 4 + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ 12   1 dP ' (t ) 1  2  6t 2 − 18t + 11 4 3 f " ( x) = ⋅ = 2 ∆ y0 + (t − 1)∆ y0 + ∆ y0 + ⋅ ⋅ ⋅ h dt 12 h   
Với công thức nội suy lùi, có kết quả tương tự:   3t 2 + 6t + 2 3 2t + 1 2 1 f ' ( x) =∆yn−1 + ∆ yn − 2 + ∆ yn−3 + ⋅ ⋅ ⋅ h 2 6     df ( x) Nếu sai số của hàm là dPn ( x) dx r(x) = f(x) – Pn(x) dx sai số của đạo hàm ε(x) = f’(x) – P’n(x) = r’(x). Pn(x) Chú ý: Tính đạo hàm theo đa f(x) thức nội suy thường chứa sai số lớn. (xem hình vẽ).
2. Áp dụng định nghĩa của đạo hàm. ∆f ( x) ( 7a ) f ' ( x) = lim ; h h →0 ∆f ( x) f ( x + h) − f ( x) ( 7b ) = ; h h ∆f ( x) ≈ f ' ( x) khi h đủ nhỏ độ chính xác t ới d s ố - Coi h sau dấu phẩy; ∆f ( x) -Để tìm h thích hợp theo m ột chu ỗi các giá tính h trị giảm dần của h. ∆f ( x) -Việc tính dừng lại khi sai số tiệm cận E (h) = f ' ( x) − h có giá trị đủ nhỏ. -Thực tế không biết giá trị của f’(x) E(h) ~ sai lệch gi ữa hai lần ước lượng liên tiếp ΔD(h) = D(h) – D(htrước); (8) ∆f ( x) D ( h) = ; trong đó: h
- Việc tính sẽ dừng lại khi ∆D < 10 − d Các bước tính: + Cho trước giá trị ban đầu h, tỷ lệ rút nhỏ r, độ chính xác c ần có (số con số đáng tin sau dấu phẩy). ∆f ( x ) + Tính D (h) = ; h + Tính ΔD(h). −d + Lặp lại cho đến khi ∆D < 10 . Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = sinx tại x = 0. - Đã biết: d f ' ( x) = = cos(0) = 1; (sin x) dx x =0 - Tính theo ph/pháp gần đúng: + Chọn tuỳ ý h ban đầu, ví dụ h = 1; tỷ lệ rút g ọn r = 4. + Độ chính xác tới 4 con số sau dấu phẩy. ∆f ( x) f ( x + h) − f ( x) sin(0 + h) − sin(0) D (h) = = = + Tính ; h h h + Tính ΔD(h) và E(h).
Kết quả tính toán cho trong bảng sau: h D(h) ΔD(h) E(h)=f’(x)-D(h) 1 0,841471 0,158529 0,148145 1/4=0,25 0,989616 0,01384 0,009733 1/16=0,0625 0,999349 0,000651 0,000610 1/64=0,015625 0,999959 0,000041 0,000038 1/256=0,003906 0,999997 0,000003 0,000003 1/1024=0,00097656 1,000000 0,000000 1 1 1 Nhận xét  − D  64  = 0,000038 ≈ E  64  D  256    Có thể dùng để đánh giá xấp xỉ sai lệch ở bước tính h trước. Quá trình tính có thể dừng khi ΔD(h) < 10-d. Ở ví dụ này, q/trình tính dừng lại ở bước h = 1/256; khi đó ΔD(h) = 0,000038 < 0,5.10-4.
II. Tính gần đúng các tích phân xác định. b I = ∫ f ( x)dx; - Xét tích phân xác định: a - Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) b I = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a ); a + thường khó khăn khi tìm nguyên hàm - Thực tế: + Hàm f(x) được cho dưới dạng bảng số. -Tính gần đúng giá trị của tích phân thay hàm d ưới d ấu tích phân bằng một đa thức xấp xỉ. b b I = ∫ f ( x)dx ≅ ∫ Pn ( x)dx; a a
1. Đa thức xấp xỉ trực tiếp: Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ⋅ ⋅ ⋅ a1 2 a2 3 b I = (a0 x + x + x + ⋅ ⋅ ⋅) a 2 3 2. Đa thức Niutơn thứ nhất: t (b ) b b I = ∫ f ( x)dx ≈ ∫ Pn ( x)dx = h ∫ Pn (t )dt; a a t (a) (với dx = hdt) - Chọn điểm cơ sở là điểm a (x0 = a) thì tại đó t(a) = 0 và t x = b ứng với t = k; ∫ I = h Pn ( x0 + ht )dt ; x = x0 + h t 0 - Chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các nút x i: a = x0 < x1 < ⋅ ⋅ ⋅ xi ⋅ ⋅ ⋅< xn−1 < xn = b; b−a h= ; xi = a + ih ; n
Bậc của đa thức được chọn công thức tính t ương ứng. công thức hình chữ nh ật; n=0 công thức hình thang; n=1 công thức Simsơn 1/3; n=2 công thức Simsơn 3/8; n=3 a/ Công thức hình thang. b = xn x1 x2 b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; a = x0 a x1 xn−1 - Thay f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x). t P ( x) = y0 + ∆y0 ; - Công thức hình thang n = 1 1 1! - Đổi biến: x = x0 + ht dx = hdt Tích phân thứ 1: x = x0 t = 0; x = x 1 t=1 x1 1 t2 t=1 ∫ P1 ( x)dx = h∫ ( y0 + t∆y0 )dt = h( y0t + 2 ∆y0 ) t=0 x0 0 x1 y +y 1 ∫ f ( x)dx ≅ h( y0 + ∆yo ) = h 0 1 ; 2 2 x 0
- Ý nghĩa hình học của công thức: M1 Thay diện tích hình thang cong bằng M0 diện tích của hình thang thường. - Tích phân thứ i+1: xi +1 1 yi + yi +1 ∫ f ( x)dx ≅ h∫ ( yi + t∆yi )dt = h 2 ; x1 x0 xi 0 h I = [ ( y0 + y1 ) + ( y1 + y2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( yn−1 + yn )]; 2 h I = ( y0 + 2 y1 + 2 y2 + ⋅ ⋅ ⋅2 yn−1 + yn ); 2 - Đã chứng minh được sai số của công thức là M2 R= h (b − a ); 12 M = max f " ( x) ; a ≤ x ≤ b;
b/ Công thức Simsơn 1/3. - Chia [a, b] thành 2n đoạn con bởi các nút xi. a = x0 < x1 < x2 ⋅ ⋅ ⋅< xi ⋅ ⋅ ⋅< x2n = b; b−a xi = a + ih; h = ; i = 0,1,2,...,2n 2n - Cho hàm f(x): b = x2 n x2 x4 b ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ⋅ ⋅ ⋅ + ∫ f ( x)dx; a = x0 a x2 x2 n −2 đa thức nội suy Niutơn bậc 2: - f(x) t (t − 1) 2 t P2 ( x) = y0 + ∆y0 + ∆ y0 ; 1!x 2! x 2 2 ∫ f ( x)dx ≅ ∫ P2 ( x)dx; x0 x0 - Đổi biến: x = x0 + ht; dx = hdt; x = x0 t = 0; x = x 2 t = 2;
∆2 y0 = y2 − 2 y1 + y0 ; ∆y0 = y1 − y0 ; x2 2 t (t − 1) 2 ∫ P2 ( x)dx = h ∫ ( y0 + t∆y0 + 2! ∆ y0 )dt; x 0 0  1  t3 t2  2  2 t2 = h  y0t + ∆y0 +  − ∆ y0  2 3 2  2     0  18 4 2  = h 2 y0 + 2∆y0 +  − ∆ y0  2 3 2     h = ( y0 + 4 y1 + y2 ); 3 - Các tích phân sau cũng tính tương tự x2 i + 2 h ∫ f ( x)dx = ( y2i + 4 y2i +1 + y2i + 2 ); 3 x2 i
Cộng tất cả: b h f ( x)dx = [ ( y0 + 4 y1 + y2 ) + ( y2 + 4 y3 + y4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + ( y2n− 2 + 4 y2n−1 + y2n ) ]; ∫ 3 a b h f ( x)dx = [ ( y0 + y2 n ) + 2( y2 + y4 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n− 2 ) + 4( y1 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + y2 n −1 ) ]; ∫ 3 a b− a h= với 2n - Sai số: M2 R= h (b − a ); 12 M = max f ( 4) ( x) ; a ≤ x ≤ b; với