http://www.facebook.com/DethiNEU
Ch ng I : Bi n c ng u nhiên và xác su t ươ ế ố ẫ ấ
1.1.Phép th và các lo i bi n c ử ạ ế ố
1.1.1.Phép th ử
a) Các thí dụ
+) Mu n bi t s n ph m trong h p là s n ph m t t hay x u thì ta l y raố ế ả ẩ ộ ả ẩ ố ấ ấ
t h p m t s n ph m và quan sát xem nó là s n ph m t t hay x u.ừ ộ ộ ả ẩ ả ẩ ố ấ
v.v.
b) Khái ni m phép thệ ử
Vi c th c hi n m t nhóm các đi u ki n c b n đ quan sát m t hi nệ ự ệ ộ ề ệ ơ ả ể ộ ệ
t ng nào đó x y ra hay không x y ra đ c g i là ượ ả ả ượ ọ th c hi n m t phépự ệ ộ
thử.
Chú ý : ng v i m i phép th bao gi cũng g n v i m t hành đ ng vàỨ ớ ỗ ử ờ ắ ớ ộ ộ
m t m c đích quan sát.ộ ụ
1.1.2.Bi n cế ố
Khái ni mệ : Hi n t ng có th x y ra hay không x y ra trong k t quệ ượ ể ả ả ế ả
c a m t phép th đ c g i làủ ộ ử ượ ọ bi n cế ố
Thí dụ : M t h p đ ng 10 s n ph m trong đó có 7 s n ph m t t, 3 s nộ ộ ự ả ẩ ả ẩ ố ả
ph m x u. L y ra m t s n ph m (t c là ta th c hi n m t phép th ),ẩ ấ ấ ộ ả ẩ ứ ự ệ ộ ử
g i A = (L y đ c s n ph m t t) thì A là m t bi n c .ọ ấ ượ ả ẩ ố ộ ế ố
1.1.3.Phân lo i bi n cạ ế ố
+) Bi n c ch c ch n ế ố ắ ắ (ký hi u b ng ch U): Là bi n c nh t đ nh x yệ ằ ữ ế ố ấ ị ả
ra khi th c hi n m t phép th .ự ệ ộ ử
+) Bi n c không th cóế ố ể (ký hi u b ng ch V): Là bi n c nh t đ nhệ ằ ữ ế ố ấ ị
không x y ra khi th c hi n m t phép th .ả ự ệ ộ ử
+) Bi n c ng u nhiênế ố ẫ (ký hi u b ng các ch cái nh A, B, C,... ): Làệ ằ ữ ư
bi n c có th x y ra khi th c hi n m t phép th .ế ố ể ả ự ệ ộ ử
Thí d 1ụ: Tung m t đ ng xu có 2 m t S p(S) và Ng a(N). G i A =ộ ồ ặ ấ ử ọ
(Đ ng xu xu t hi n m t s p), ta có A là bi n c ng u nhiên.ồ ấ ệ ặ ấ ế ố ẫ
Thí d 2ụ: Gieo m t con xúc x c (gi i thích con xúc x c)ộ ắ ả ắ
G i U = (Con xúc x c xu t hi n m t có s ch m ọ ắ ấ ệ ặ ố ấ
6), ta có U là bi nế
c ch c ch n.ố ắ ắ
V = (Con xúc x c xu t hi n m t 7 ch m), ta có V là bi n c khôngắ ấ ệ ặ ấ ế ố
th có.ể
A1 = (Con xúc x c xu t hi n m t 1 ch m), ta có Aắ ấ ệ ặ ấ 1 là bi n c ng uế ố ẫ
nhiên.
C = (Con xúc x c xu t hi n m t có s ch m ch n), ta có C là bi nắ ấ ệ ặ ố ấ ẵ ế
c ng u nhiên.ố ẫ
Chú ý : Vi c đ a bi n c U, V vào ch đ hoàn thi n v m t lýệ ư ế ố ỉ ể ệ ề ặ
thuy t , th c t ta ch quan tâm t i bi n c ng u nhiên, t đây khi nóiế ự ế ỉ ớ ế ố ẫ ừ
bi n c ta hi u đó là bi n c ng u nhiên.ế ố ể ế ố ẫ
http://www.facebook.com/DethiNEU
1.2.Xác su t c a bi n c , đ nh nghĩa c đi n v xác su tấ ủ ế ố ị ổ ể ề ấ
1.2.1.Khái ni m xác su t c a bi n cệ ấ ủ ế ố
Cho A là m t bi n c ,ộ ế ố xác su tấ c a bi n c A, ký hi u P(A)ủ ế ố ệ
(Probability of event A) là m t con s đ c tr ng cho kh năng kháchộ ố ặ ư ả
quan xu t hi n bi n c A khi th c hi n m t phép th .ấ ệ ế ố ự ệ ộ ử
1.2.2.Đ nh nghĩa c đi n v xác su t c a m t bi n cị ổ ể ề ấ ủ ộ ế ố
a) K t c c duy nh t đ ng kh năng có th x y raế ụ ấ ồ ả ể ả
Thí d 1ụ: Tung m t đ ng xu cân đ i và đ ng ch t, gi s kh năngộ ồ ố ồ ấ ả ử ả
đ ng xu xu t hi n m t s p hay m t ng a là nh nhau. Khi đó ta có haiồ ấ ệ ặ ấ ặ ử ư
k t c c duy nh t đ ng kh năng có th x y ra, đó là: {S; N}.ế ụ ấ ồ ả ể ả
Thí d 2ụ: Gieo m t con xúc x c cân đ i và đ ng ch t. G i Aộ ắ ố ồ ấ ọ i = (Con
xúc x c xu t hi n m t ắ ấ ệ ặ
i
ch m); ấ
1 6i
. Khi đó ta có 6 k t c c duyế ụ
nh t đ ng kh năng có th x y ra, đó là {Aấ ồ ả ể ả 1; A2;.....;A6}.
Thí d 3ụ: M t h p đ ng 10 s n ph m cùng lo i, trong đó có 7 chínhộ ộ ự ả ẩ ạ
ph m và 3 ph ph m, l y 1 s n ph m t h p. Khi đó ta có 10 k t c cẩ ế ẩ ấ ả ẩ ừ ộ ế ụ
duy nh t đ ng kh năng có th x y ra.ấ ồ ả ể ả
b) K t c c thu n l i cho m t bi n cế ụ ộ ợ ộ ế ố
Thí d 1ụ: Tr l i thí d 2 g i C = (Con xúc x c xu t hi n m t có sở ạ ụ ọ ắ ấ ệ ặ ố
ch m ch n), khi đó C x y khi Aấ ẵ ả 2 x y ra ho c Aả ặ 4 x y ra, ho c Aả ặ 6 x yả
ra. Do v y các k t c c {Aậ ế ụ 2; A4; A6} g i là các k t c c thu n l i choọ ế ụ ộ ợ
bi n c C x y ra, và ta nói có 3 k t c c thu n l i cho C.ế ố ả ế ụ ộ ợ
Thí d 2ụ: M t h p đ ng 10 s n ph m cùng lo i, trong đó có 7 chínhộ ộ ự ả ẩ ạ
ph m và 3 ph ph m, l y 1 s n ph m t h p, g i A = (L y đ cẩ ế ẩ ấ ả ẩ ừ ộ ọ ấ ượ
chính ph m) khi đó ta có 7 k t c c thu n l i cho A. ẩ ế ụ ộ ợ
V y nh ng k t c c x y ra làm cho bi n c A x y ra khi th c hi nậ ữ ế ụ ả ế ố ả ự ệ
m t phép th đ c g i là các k t c c thu n l i cho bi n c A.ộ ử ượ ọ ế ụ ộ ợ ế ố
c) Đ nh nghĩa c đi n v xác su tị ổ ể ề ấ
Đ nh nghĩaị: Xét m t phép th , g i ộ ử ọ n là s k t c c duy nh t đ ng khố ế ụ ấ ồ ả
năng có th x y ra, g i ể ả ọ m là s k t c c thu n l i cho bi n c A x y ra,ố ế ụ ộ ợ ế ố ả
khi đó
( ) m
P A n
=
( P(A) là xác su t x y ra bi n c A)ấ ả ế ố
Thí d 1ụ: Gieo m t con xúc x c cân đ i và đ ng ch t, tính xác su t độ ắ ố ồ ấ ấ ể
con xúc x c xu t hi n măt có s ch m ch n.ắ ấ ệ ố ấ ẵ
L i gi iờ ả : G i C = (Con xúc x c xu t hi n m t có s ch m ch n), ta cóọ ắ ấ ệ ặ ố ấ ẵ
n = 6, mC = 3 do đó:
3
( ) 0,5
6
P C = =
.
http://www.facebook.com/DethiNEU
Thí d 2ụ: M t h p đ ng 10 qu c u gi ng h t nhau v m t hình th c,ộ ộ ự ả ầ ố ệ ề ặ ứ
trong đó có 8 qu màu đ , 2 qu màu xanh. L y ng u nhiên 1 qu c uả ỏ ả ấ ẫ ả ầ
t h p, tính xác su t l y đ c qu c u màu đ .ừ ộ ấ ấ ượ ả ầ ỏ
L i gi iờ ả : G i A = (L y đ c qu c u màu đ ), ta cóọ ấ ượ ả ầ ỏ n = 10, mA = 8 do
đó
8
( ) 0,8
10
P A = =
.
d) Các tính ch t c a xác su tấ ủ ấ
+) N u A là bi n c ng u nhiên thì 0 < P(A) < 1.ế ế ố ẫ
+) N u B là bi n c b t kỳ thì 0 ế ế ố ấ
P(B)
1.
+) N u U là bi n c ch c ch n thì P(U) = 1.ế ế ố ắ ắ
+) N u V là bi n c không th có thì P(V) = 0.ế ế ố ể
Chú ý : P(A) = 1 nh ng ch a ch c A là bi n c ch c ch nư ư ắ ế ố ắ ắ
P(B) = 0 nh ng ch a ch c B là bi n c không th cóư ư ắ ế ố ể
Thí dụ :
1.3.Các ph ng pháp tính xác su t b ng đ nh nghĩa c đi nươ ấ ằ ị ổ ể
1.3.1.Ph ng pháp suy lu n tr c ti pươ ậ ự ế
Thí d 1ụ: Tính xác su t b ng cách v hình (bi u đ Ven, hình cây).ấ ằ ẽ ể ồ
Tính xác su t b ng cách li t kê t t c các giá tr có th có khi th c hi nấ ằ ệ ấ ả ị ể ự ệ
m t phép th , và đ m các k t c c thu n l i cho m t bi n c , sau đó ápộ ử ế ế ụ ộ ợ ộ ế ố
d ng công th c tính xác su t b ng đ nh nghĩa c đi n (xem thí d trongụ ứ ấ ằ ị ổ ể ụ
giáo trình).
Thí d 2ụ: Tung 3 đ ng xu gi ng nhau và m i đ ng xu cân đ i và đ ngồ ố ỗ ồ ố ồ
ch t, tính xác su t đ có 2 đ ng xu xu t hi n m t ng a.ấ ấ ể ồ ấ ệ ặ ử
L i gi iờ ả : G i A = (Có 2 đ ng xu xu t hi n m t ng a).ọ ồ ấ ệ ặ ử
Nh ng kh năng có th x y ra khi tung đ ng th i 3đ ng xu làữ ả ể ả ồ ờ ồ
{NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SSN, SNS, SSS}
ta th y ấn = 8, mA = 3 do v y ậ
3
( ) 8
P A =
1.3.2.Ph ng pháp dùng các công th c c a gi i tích t h pươ ứ ủ ả ổ ợ
(Nh c l i ý nghĩa và ph ng pháp tính các công th c ắ ạ ươ ứ n!,
, ,
k k k
nnn
C A A
)
Thí d 1ụ: M t h p đ ng 10 qu c u có kích th c gi ng nhau trong đóộ ộ ự ả ầ ướ ố
có 6 qu màu xanh, 4 qu màu đ . L y ng u nhiên t h p 3 qu c u,ả ả ỏ ấ ẫ ừ ộ ả ầ
tính xác su t đấ ể
a) L y đ c c 3 qu màu xanh.ấ ượ ả ả
b) L y đ c đúng 2 qu màu đ .ấ ượ ả ỏ
L i gi i ờ ả :
Ta có s k t c c duy nh t đ ng kh năng có th x y ra là ố ế ụ ấ ồ ả ể ả
a) G i A = (L y đ c 3 qu màu xanh), ta có ọ ấ ượ ả
3
6A
m C=
http://www.facebook.com/DethiNEU
do v y ậ
3
6
3
10
20 1
( ) 120 6
C
P A C
= = =
b) G i B = (L y đ c đúng 2 qu màu đ ), ta có ọ ấ ượ ả ỏ
1 2
6 4
.
B
m C C=
do v y ậ
1 2
6 4
3
10
.36
( ) 0,3
120
C C
P B C
= = =
Thí d 2ụ: M t công ty c n tuy n 5 ng i. Có 20 ng i n p đ n trongộ ầ ể ườ ườ ộ ơ
đó có 8 nam và 12 n . Gi s kh năng trúng tuy n c a 20 ng i làữ ả ử ả ể ủ ườ
nh nhau, tính xác su t đ ư ấ ể
a) Có 2 nam trúng tuy nể
b) Có ít nh t 3 n trúng tuy nấ ữ ể
L i gi iờ ả : S kh năng có th x y ra là ố ả ể ả
5
20
15504n C= =
.
a) G i A = (có 2 nam trúng tuy n); có ọ ể
2 3
8 12
. 6160
A
m C C= =
do v y ta có ậ
2 3
8 12
5
20
.6160
( ) 0,3973
15504
C C
P A C
= = =
b) G i B = (có ít nh t 3 n trúng tuy n); cóọ ấ ữ ể
3 2 4 1 5
12 8 12 8 12
. . 10912
B
m C C C C C= + + =
do v y ta có ậ
10912
( ) 0,70382
15504
P B = =
.
1.3.3. u đi m và h n ch c a ph ng pháp c đi nƯ ể ạ ế ủ ươ ổ ể
*) u đi mƯ ể :
+) Không c n th c hi n phép th , phép th ch ti n hành m t cáchầ ự ệ ử ử ỉ ế ộ
gi đ nhả ị
+) Cho phép tìm đ c m t cách chính xác giá tr c a xác su tượ ộ ị ủ ấ
*) H n chạ ế :
+) S k t c c duy nh t đ ng kh năng ph i h u h n nh ng trongố ế ụ ấ ồ ả ả ữ ạ ư
th c t có nhi u phép th mà s k t c c có th là vô h n.ự ế ề ử ố ế ụ ể ạ
+) Tính đ i x ng hay tính đ ng kh năng th c s hi m g p trongố ứ ồ ả ự ự ế ặ
th c t .ự ế
1.4.Đ nh nghĩa xác su t b ng t n su tị ấ ằ ầ ấ
1.4.1.T n su t xu t hi n bi n cầ ấ ấ ệ ế ố
Ta bi t r ng v i m i phép th thì ta có ho c bi n c A (mà ta quanế ằ ớ ỗ ử ặ ế ố
tâm) xu t hi n ho c không xu t hi n. Gi s ta th c hi n ấ ệ ặ ấ ệ ả ử ự ệ n phép thử
đ c l p, trong ộ ậ n phép th đó bi n c A xu t hi nử ế ố ấ ệ k l n khi đó ầt n su tầ ấ
xu t hi n bi n c Aấ ệ ế ố ký hi u là ệ
( )f A
đ c xác đ nh:ượ ị
( ) k
f A n
=
Thí dụ : Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m do m t máy s n xu tể ẫ ả ẩ ộ ả ấ
ng i ta phát hi n ra 3 ph ph m. G i A là bi n c (l y đ c m t phườ ệ ế ẩ ọ ế ố ấ ượ ộ ế
http://www.facebook.com/DethiNEU
ph m) trong 100 s n ph m khi đóẩ ả ẩ
3
( ) 0,03
100
f A = =
.
1.4.2.Đ nh nghĩa xác su t b ng t n su tị ấ ằ ầ ấ
Khi s phép th ố ử n tăng lên khá l n (tùy thu c tình hu ng th c t ) thì taớ ộ ố ự ế
đ nh nghĩa xác su t đ bi n c A x y ra là ị ấ ể ế ố ả
( ) ( )P A f A=
.
1.4.3. u đi m và h n ch c a ph ng pháp t n su tƯ ể ạ ế ủ ươ ầ ấ
*) u đi mƯ ể : Không đòi h i các đi u ki n áp d ng nh đ i v i đ nhỏ ề ệ ụ ư ố ớ ị
nghĩa c đi nổ ể
*) H n chạ ế : Ph i th c hi n phép th v i s l n khá l n d n đ n t nả ự ệ ử ớ ố ầ ớ ẫ ế ố
kém m t nhi u th i gian.ấ ề ờ
1.5.Nguyên lý xác su t l n nguyên lý xác su t nhấ ớ ấ ỏ
*) Nguyên lý xác su t l nấ ớ : Bi n c A đ c coi là x y ra trong m tế ố ượ ả ộ
phép th thì th c t ử ự ế
( ) 1P A
α
−
, v i ớ
α
là xác su t nh tùy thu c vàoấ ỏ ộ
tình hu ng th c t .ố ự ế
Thí dụ :
*) Nguyên lý xác su t nhấ ỏ : Bi n c B đ c coi là không x y ra trongế ố ượ ả
m t phép th thì th c t ộ ử ự ế
( )P B
α
, v i ớ
α
là xác su t nh tùy thu c vàoấ ỏ ộ
tình hu ng th c t .ố ự ế
Thí d ụ:
1.6.M i quan h gi a các bi n c ố ệ ữ ế ố
1.6.1 T ng các bi n cổ ế ố
a) T ng hai bi n cổ ế ố : Bi n c C đ c g i là t ng c a hai bi n c A vàế ố ượ ọ ổ ủ ế ố
B, ký hi u là C = A + B, khi đó bi n c C x y ra n u có ít nh t m tệ ế ố ả ế ấ ộ
trong hai bi n c A và B x y ra. ế ố ả
Thí dụ : Hai ng i cùng b n vào bia m t viên đ n, g i A = (Ng i thườ ắ ộ ạ ọ ườ ứ
nh t b n trúng bia), g i B = (Ng i th hai b n trúng bia), C = (Bia bấ ắ ọ ườ ứ ắ ị
trúng đ n). Khi đó ạ
C = A + B
+) M r ngở ộ : Cho
1 2
, ,..., n
A A A
là các bi n c , đ t bi n c ế ố ặ ế ố
1
n
i
i
A A
=
=
, khi
đó bi n c A x y ra n u có ít nh t m t trong các bi n c ế ố ả ế ấ ộ ế ố
1 2
, ,..., n
A A A
x y ra.ả
b) Hai bi n c xung kh cế ố ắ : Hai bi n c A và B đ c g i là ế ố ượ ọ xung kh cắ
v i nhau n u chúng không cùng x y ra trong m t phép th . Trongớ ế ả ộ ử
tr ng h p chúng có th cùng x y ra trong m t phép th thì g i là haiườ ợ ể ả ộ ử ọ
bi n c không xung kh c.ế ố ắ
Thí d 1ụ : Gieo m t con xúc x c, g i Aộ ắ ọ 1 = (Con xúc x c xu t hi n m tắ ấ ệ ặ
m t ch m); Aộ ấ 2 = (Con xúc x c xu t hi n m t hai ch m), khi đó Aắ ấ ệ ặ ấ 1, A2
là hai bi n c xung kh c.ế ố ắ
Thí d 2ụ : Hai ng i cùng b n m t viên đ n vào bia, g i Bườ ắ ộ ạ ọ 1 = (Ng iườ
th nh t b n trúng bia); Bứ ấ ắ 2 = (Ng i th hai b n trúng bia), khi đó Bườ ứ ắ 1,
B2 là hai bi n c không xung kh c.ế ố ắ