intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

Chia sẻ: Nguyễn Hữu Chung Kiên | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:28

Thêm vào BST
Báo xấu
303
lượt xem 67
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đ hoặc S. Một mđề không thể vừa đúng hoặc vừa sai 2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P. Ký hiệu là . Nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P  Q. Mệnh...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

  1. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI CHƯƠNG . MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP CHƯƠNG II.MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP §1. MỆNH ĐỀ 1. Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định Đ hoặc S. Một mđề không thể vừa đúng hoặc vừa sai 2. Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P ” gọi là m ệnh đ ề ph ủ đ ịnh c ủa P. Ký hiệu là P . Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng 3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là m ệnh đề kéo theo. Ký hiệu là P ⇒ Q. Mệnh đề P ⇒ Q chỉ sai khi P đúng Q sai Cho mệnh đề P ⇒ Q. Khi đó mệnh đề Q ⇒ P gọi là mệnh đề đảo của P ⇒ Q 4. Mệnh đề tương đương: Cho 2 mệnh đề P và Q. Mệnh đề “P nếu và chỉ n ếu Q” gọi là m ệnh đ ề tương đương, ký hiệu P ⇔ Q. Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả P và Q cùng đúng 5. Ký hiệu ∀ , ∃ : Phủ định của mệnh đề “ ∀x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∃ x∈X, P(x) ” Phủ định của mệnh đề “ ∃ x∈ X, P(x) ” là mệnh đề “∀x∈X, P(x) ” Bài 1. Câu nào trong các câu sau là một mệnh đề? là một mệnh đề chứa biến? d. π có phải là số vô tỉ không? c. 2 là một số hữu tỉ ; a. 2 + 2 = 5 ; b. 4 – 3x = 5 ; Bài 2. Với mỗi mệnh đề chứa biến sau, hãy tìm hai giá trị thực của x để được một mđề đúng và một mđề sai. 1 c. x > ; d x= x . a. x < x2 ; b. x = 2x ; x Bài 3. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau và phát biểu mệnh đề phủ định của nó. ( ) ( ) 2 2 5 + 20 3+ 2 < 10 . a. 1977 là một số nguyên tố ; là một số hữu tỉ ; b. c. Bài 4. Lập mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó, sau đó phát biểu bằng “đk cần”, “đk đủ”: b. P: “ π < 4”; Q:” π 2 < 16” a. P: “–3 < 2”; Q: “9 < 4” Bài 5. Cho n là một số tự nhiên. Xét các mđ P = “Chữ số tận cùng của n bằng 5” và Q = “n chia hết cho 5” a. Lập mệnh đề P Q và xét tính đúng sai của nó . b. Lập mệnh đề đảo của mệnh đề P Q . Chỉ ra một trường hợp của n mà mệnh đề đảo sai. Bài 6. Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (1). Xét các mệnh đề sau: a. Nếu biệt thức của phương trình (1) dương thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. b. Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1. c c. Nếu phương trình (1) có một nghiệm bằng 1 thì phương trình (1) có một nghiệm bằng . a Lập mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên, xét tính đúng sai của chúng. Vi ết m ệnh đ ề đã cho và m ệnh đ ề đảo của nó dưới dạng cần và đủ. Bài 7. Xét các mđ: A = “ ∀x �ﾡ : x 2 + 1 > 0 ”; B = “ ∀x �ﾡ :2 x > x ”; C = “ ∃x �ﾡ : n = − n ”; D = “ ∃x �� x ﾡ ” ﾡ :2 a. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? b. Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời. c. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho. Bài 8. Xét hai mđ sau: A: “Mọi số thực đều lớn hơn số đối của nó”, B: “Có một số thực bằng nghịch đảo của nó”. a. Mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai? b. Phát biểu các mệnh đề đã cho bằng lời. c. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho. GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 1
  2. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI Bài 9. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng. a. Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật. b. Có một tam giác cân không phải là tam giác đều. Bài 10. Giả sử ABC là một tam giác đã cho. Phát biểu một điều kiện cần và đủ để c. ABC là một ∆ cân . a. ABC là một tam giác vuông ; b. ABC là một tam giác đều ; Bài 11. Pht biểu các mệnh đề sau, sử dụng “ĐK cần”, “ĐK đủ” a. Nếu ABC l một ∆ cn thì nĩ cĩ hai cạnh bn bằng nhau. b. Hình thoi cĩ hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. c. Nếu a < b thì a + c < b + c d. Mọi số tự nhin chẵn đều chia hết cho 2 Bài 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không là mệnh đề đúng a. Với ∀x ∈ R, nếu x > – 2 thì x2 > 4. b. 36 chia hết cho 12 ⇔ 36 chia hết cho 3 và chia hết cho 4. c. Tồn tại số tự nhiên n sao cho n2=n. d. Vì 2007 là số lẻ nên 2007 chia hết cho 3. Bài 13. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau c) Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5 d) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau Bài 14. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau c) Số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6 d) Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau Bài 15. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng a) Nếu a ≠ b ≠ c thì a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7 c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0 d) Nếu a + b < 4 thì một trong hai số a, b nhỏ hơn 2 �
  3. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI 1 1 1 d/ Nếu x ≠ − và y ≠ − thì x + y + 2xy ≠ − e/ Nếu x.y chia hết cho 2 thì x hay y chia hết cho 2. 2 2 2 e) Nếu d1// d2 và d1// d3 thì d2 // d3. §2. TẬP HỢP 1. Tập hợp: Là khái niệm của toán học. Có 2 cách trình bày tập hợp: Liệtkê các phần tử và chỉ rõ tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp * Tập con : A⊂ B ⇔(x, x∈A ⇒ x∈B) 2. Các phép toán trên tập hợp: Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp Phép giao A∩B = {x /x∈A và A∪B = {x /x∈A hoặc x∈B} A\ B = {x /x∈A và x∉B} x∈B} Bài 1. Kí hiệu L là tập hợp các học sinh của lớp 10a, T 1 là tập hợp các học sinh thuộc tổ 1 lớp 10A. Minh là m ột học sinh thuộc tổ 1. Xét tính đúng sai của các câu sau: a. T1 L ; b. T1 L; c. Minh L ; d. Minh L ; e. Minh T1 . Bài 2. Liệt kê các phần tử của tập hợp sau : a. A = { x �N x + 3 � } ; 10 b. B = { x N x là ước của 18}; c. C = { x N x M 3 và 3 < x d. D = Tập các ước chung của 20 và 45 ; 21}; { } e. E = { n � 1 n Z ,1 n 10} ; −Σ2 f. F = x Σ Z x 2 10 . Bài 3. Trong hai tập hợp A, B dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại? a. A là tập hợp các hình bình hành. B là tập hợp các hình chữ nhật. b. A là tập hợp các hình tam giác. B là tập hợp các hình tứ giác. c. A là tập hợp các tam giác cân. B là tập hợp các tam giác đều. Bài 4. Cho hai tập hợp A = { 2n + 1 / n N } và B = { 6n + 5 n N } . Chứng tỏ rằng B A. Bài 5. Cho hai tập hợp A = { x �R / x − 5 x + 6 = 0} và B = { x N / x là ước của 6}. Chứng tỏ rằng A 2 B. Bài 6. Cho hai tập hợp A = { n N | n chia hết cho 4 và 6} và B = { n N | n chia hết cho 12}. Chứng tỏ A = B. Bài 7. Xác định tập hợp sau bằng cách ghi rõ tính chất đặc trưng: a. A = {2; 3; 5; 7} b. B = {– 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3} c. C = {– 5; 0; 5; 10; 15} d. D = {1; 4; 7; 10; 13} e. E = {1; 2; 3; 4; 6; 12} f. F = {0; 2; 5} g. G = {3; 9; 27; 81} h. H = {4; 16; 36; 64; 100} B = {x ∈ N / x < 5} Bài 8. Cho A = {x / x là ước nguyên dương của 12} D = {x ∈ N / (x + 1)(x − 2)(x − 4) = 0} C = {1, 2, 3} a/ Liệt kê tất cả các tập có quan hệ ⊂ b/ Tìm tất cả các tập X sao cho D ⊂ X ⊂ A c/ Tìm tất cả các tập Y sao cho C ⊂ Y ⊂ B §3. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Bài 1. Kí hiệu là tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 50 và là b ội c ủa 4, B là t ập h ợp các s ố t ự nhiên không vượt quá 50 và là bội của 6. GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 3
  4. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI b. Xác định các tập hợp A �B, A �B, A \ B, B \ A . a. Hãy liệt kê các ptử của A và B. Bài 2. Cho A là một tập con của tập B. Hãy xác định các tập hợp sau : a. A B ; b. A B ; c. A \ B Bài 3. Cho các tập hợp U = {a, b, c, d, e}, V = {a, b, e}, T = {b, c, d}. Hãy xác định các tập hợp sau : a. V T ; b. V T ; c. U \ V ; d. U \ {a}. Bài 4. Xác định các tập hợp A �B, A �B, A \ B, B \ A trong các trường hợp sau: a. A = { m �Z −3 �� 7} ; B = { m �Z −7 < m � } . m 3 b. A = { n Σ N n 50 ; n M3} ; B = { n Σ N n 50 ; n M 5}. Bài 5. Cho các tập hợp: { } 2 � � A = n �Z / −3 � < 10 B = � Σ� / n nN n 15� 3 � C = { x �R / ( x } − 3x − 4 ) ( x 2 − 4 ) = 0 D = { n �Z / n − 1 � } 2 4 A ∩ B; B ∪ C; C ∩ D; A ∪ D; B \ C; B ∩ C; (A ∩ B) ∪ D; A ∪ C; (A ∪ B) \ D §4. CÁC TẬP HỢP SỐ Bài 1. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số: �1 � a. (2;5) ( 3;7 ] b. � ; 2 � [ −1;1) − c. (−4;13) �(4; +� � ) d. (–3 ; 1] \ (2; 4). �2 � Bài 2. Xác định các tập hợp A �B, A �B, A \ B, B \ A với a. A = (–3 ; 3), B = (2 ; 5) ; b. A = [–3 ; 3), B = (2 ; 5] ; c. A = [–3 ; 3], B = (2 ; 5) ; d. A = [–3 ; 3], B = [2 ; 5]. Bài 3. Xác định các tập hợp A �B, A �B, A \ B, B \ A với a. A = (– ; 7), B = (0 ; 10) b. A = (–5 ; 3], B = [1 ; + ) c. A = (– ; 4], B = (2 ; + ). Bài 4. Xác định các tập hợp A �B, A �B với a. A = { x γ R / x 2} , B = { x Σ R / x 7} ; b. A = { x �/ x 2} , B {x 7} ; Σ= R � R/ R/x R/x e. A = { x −
  5. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI Bài 3. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ để lập nên các mệnh đề từ các mệnh đề chứa bi ến sau và xét tính đúng sai c ủa các mệnh đề đó. a. n là một số nguyên tố ( n N ) ; b. x2 – 3x – 1 = 0 ( x R ) Bài 4. Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số: a. (−�� (2; +� ;5) ) b. R \ [2 ; 3) c. R \ (– ; –2] Bài 5. Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4}. Hãy tìm các tập con X và Y c ủa tập E sao cho v ới m ọi t ập con A c ủa t ập E ta đều có A U Y = A I X Bài 6. Cho hai tập A và B. Các mệnh đề sau đúng hay sai? • x A U B khi chỉ khi x A hoặc x B • x A I B khi và chỉ khi x A hoặc x B • x A\B khi và chỉ khi x A hoặc x B Bài 7. Cho A, B, C là các tập hợp thỏa A U C �B U C ; A IC �B IC . CM: A B. Điều đảo lại có đúng không? CHƯƠNG II HÀM SỐ CHƯƠNG II..HÀM SỐ §1. HÀM SỐ f ( x1 ) − f ( x2 ) Vấn đề 1. Tập xác định của hàm số:  Tính k = A x1 − x2 1. f ( x ) = ⇒ ĐK: B ≠ 0 B o Nếu k > 0: Hàm số tăng (đồng biến) trên (a; b). 2. f ( x ) = A ⇒ ĐK: A ≥ 0 o Nếu k < 0: Hsố giảm (nghịch biến) trên (a; b). Vấn đề 3. Tính chẵn lẻ của hàm số: A 3. f ( x) = ⇒ ĐK: B > 0 Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. B  Xét xem D có phải là tập đối xứng không, nếu Vấn đề 2. Sự biến thiên của hàm số: không thì KL hs không chẵn không lẻ. Chú y: Tập D đối Giả sử cần xét sự biến thiên của hàm số y = xứng khi ∀x ∈ D ⇒ – x ∈ D f(x) trên (a; b)  Nếu f(– x) = f(x): Hàm số chẵn  Lấy x1 ≠ x2 ∈ (a; b).  Nếu f(– x) = – f(x): Hàm số lẻ §2. HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a ≠ 0) Cho hai đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’  Tập xác định D = R.  d // d’ ⇔ a = a’ và b ≠ b’  Khi a > 0: hàm số đồng biến trên R  d cắt d’ ⇔ a ≠ a’  Khi a < 0: hàm số nghịch biến trên R Đồ thị hàm số y = ax + b là đường thẳng có hệ số góc  d ≡ d’ ⇔ a = a’ và b = b’ bằng a.  d ⊥ d’ ⇔ a.a’ = – 1 §3. HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) * Đồ thị:  Dạng 1: Khảo sát sự BT và vẽ ĐT hs: y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)  Dạng 2: Tìm các hệ số a, b, c * TXĐ: D = R ∆� của (P): y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) b � b * Đỉnh S � ; − �trục đối xứng: x = − − , * (P) đi qua điểm nào thì tọa độ điểm � 2a 4a � 2a đó thỏa pt (P). * BBT: b b b − = xS − − X –∞ +∞ x –∞ + ∞ * (P) có đỉnh S(xS; yS) 2a 2a 2a S ( P) ∆ +∞ +∞ − * (P) có đỉnh trục đối xứng x = m, đi 4a Y y ∆ − –∞ –∞ 4a GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 5
  6. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI a0 b − =m b qua điểm A 2a * ĐĐB: Ta lấy mỗi bên của − hai điểm ĐB có hoành độ nguyên 2a A ( P) Bài 1. Tìm tập xc định của các hàm số sau: x−3 2x 1/ y = 1 − 4 x + 2 2 / y = 2x − 5 + 1 − 7 x 3/ y = − −2 x − 3 2 x + 11x − 21 x +1 1 − 4 x + x2 1 2 x 2 − 3 x − 17 x 4/ y = +2 5 / y = −x − 3 + 6/ y = ( 3x − 1) 2 x + 3 x+4 1− 4x x 3x − 2 3x − 2 + x 4x − 3 + 5x − x2 7/ y = 8/ y = 9/ y = −3 x − 13 x + 10 −2 x 2 + 9 x − 7 2 2− x 2x − 2x − 3 x −1 10 / y = 11/ y = 5 x + 2 − 2 x 2 2 − 3 x 12 / y = − x 1− 2x x−3 2 x 2 + 5 x + 21 2 x 2 − 5 x − 18 − 1 − x x2 + 3 − 2 x 1 x 13 / y = −4 14 / y = − x − 3 + 15 / y = x−2 4 − 3x 3x 2 − 1 3 x − 1 x Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau: 2x − 3 2x −1 4 − 3x x2 1/ y = 2 2/ y = 3/ y = 2 4/ y = 2 3x − 5x − 8 1 − 5x 2 x + 11x − 21 3 x + 11x − 20 x2 − x + 5 5 / y = 2 x − 5 + 3x 6 / y = 1 − −2 x − 3 7/ y = 8 / y = x −1 + 2 x + 3 x+4 2 x 2 − 3 x − 17 3x − 2 x 1 9 / y = −x − 3 + 10 / y = 11/ y = 12 / y = − 2x − 3 ( 3x − 1) 2 x + 3 −3 x − 13 x + 10 x +1 2 1 − 4x 1 Bài 3. Tìm m để hàm số sau xác định trên D = ( 1;3] : a/ y= b / y = 3 + 2 m x − m2 x 2 x − 2m m2 Bài 4. Tìm m để hàm số y = x − (m + 2) x + 1 − có tập xác định là R. 2 4 Bài 5. Khảo st tính chẵn lẻ của cc hm số sau: 1/ y = x6 – 4x2 + 5 2/ y = 6x3 – x + 4 3/ y = 2|x| + x2 4/ y = |x + 3| + 2x2 5/ y = x − 4 + x + 4 6/ y = |x + 1| – |x – 1| 7/ y = x 2 + 1 8/ y = |1 – 3x| + |3x + 1| 9/ y = 1 − 4 x + 4 x + 1 10/ y = – 3x5 +2x – 1 11/y = – 2x8 – 4x4 12/ y = 2x4 – 3x + 1 13 / y = x 4 + 1 16/ y = x3 + x 14/ y = 1 + x − 1 − x 15/ y = 1 + x Bài 6. Xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm số sau trên khoảng đ chỉ ra: 2/ y = 2x2 trn (0 , + ) 1/ y = – 3x + 1 3/ y = 3(x – 1) – x + 2 2 2 4/ y = x – 2x + 3 trn (2 , + ). 5/ y = – x – 4x + 5 trn (– ∞; – 2) 3� 1 2x � � � 7/ y = x2 + 3x – 2 trn � ; − � − trn � ; + � 8/ y = 6/ y = 3x2 + 6x – 1 trn (– 1; + ∞) 2x −1 2� 2 � � � x −1 3 1 � � trn ( −2; + ) trn ( − ;3) 9/ y = – 2x2 + 3x + 5 trn � ; + � 10/ y = 11/ y = x+2 x −3 4 � � x +1 15/ y = 14/ y = 7 − 5 x + 3x 2 − x 3 13/ y = 2 x + x x −1 Bài 7. Tìm m để tập xác định hàm số sau là (0, + ∞ ) GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 6
  7. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI x−m 2 x − 3m + 4 + x − m + 2x − m − 1 a) y = b) y = x + m −1 Bài 8. Định m để hàm số xác định với mọi x dương x−m b/ y = x + m − 2 + a/ y = x − m − 1 + 4 x − m x+m Bài 9. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 2/ y = x2 – 4x + 3 3/ y = – x2 – 3x 4/y = – 2x2 + x – 1 1/ y = |2x – 1| 5/ y = 3x2 + 1 6/ y = x2 – 4x + 1 7/ y = x2 + 3x + 2 8/y = – 2x2 + 4x + 1 2 2 2 12/ y = 3x2 9/ y = x + 5x +4 10/ y = 2x – 3x – 5 11/ y = – x + 4x Bài 10. Tìm tập xc định, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 3 x + 1 ne�− 2 x 0 u 2 x − 1 ne�x 0 u a / y = f ( x) = � b / y = f ( x) = � 2 x − ne� < x 1 u0 1 − x ne� > 0 ux 2 x + 1 ne� < x 2 u1 Bài 11. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: 1/ y = x2 – 4x + 3 2/ y = – x2 – 3x 3/y = – 2x2 + x – 1 4/y = x2 + x 2 2 2 8/y = – 2x2 + 4x + 1 5/ y = 3x + 1 6/ y = x – 4x + 1 7/ y = x + 3x + 2 Bài 12. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x2 – 2x + 3 b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = x – 1 c/ Tìm giao điểm của hai đường trên. Bài 13. a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = – x2 – 2x + 2 b/ Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ với parabol trên đường thẳng d: y = – x + 4 c/ Tìm giao điểm của hai đường trên. Bài 14. Tìm parabol (P): y = ax2 + bx + 2 biết rằng: a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8). b/ Đỉnh S(– 1; 0) c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3) Bài 15. Tìm parabol (P): y = ax – 2x + c biết rằng 2 � 2� 1 b/ Đỉnh S � ; � a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3) , N(2; 8). � 3� 3 � 1 16 � − d/ Đỉnh của (P) là S � ; � c/ Trục đối xứng x = 2, đi qua điểm A(2; 3) �5 5 � Bài 16. Tìm parabol (P): y = 2x2 + bx + c biết rằng �1 � � 11 � 3 − a/ (P) đi qua 2 điểm A � ; 2 �B(3; 0). b/ Đỉnh S � ; � ; �3 � � 8� 4 � 1 9� 1 d/ Đỉnh của (P) là S � ; − � − c/ Trục đối xứng x = , đi qua điểm M(– 3; 27) � 4 8� 2 Bài 17. Tìm phương trình của parabol: y = ax2 + bx + c biết rằng: a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1). b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và có đỉnh S(–2 , 5). Bài 18. Tìm parabol (P): y = ax + bx + 2 biết rằng 2 a/ Parabol đi qua 2 điểm A(1; 5) , B(–2; 8). b/ Đỉnh S(– 1; 0) c/ Trục đối xứng x = 2, parabol đi qua điểm M(2; 1) d/ Đỉnh của (P) là I(1; 3) Bài 19. Tìm parabol (P): y = ax – 2x + c biết rằng 2 � 2� 1 b/ Đỉnh S � ; � a/ (P) đi qua 2 điểm M(– 1; 3) , N(2; 8). � 3� 3 � 1 16 � − d/ Đỉnh của (P) là S � ; � c/ Trục đối xứng x = 2, đi qua điểm A(2; 3) �5 5 � Bài 20. Tìm parabol (P): y = 2x2 + bx + c biết rằng GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 7
  8. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI �1 � � 11 � 3 − a/ (P) đi qua 2 điểm A � ; 2 �B(3; 0). b/ Đỉnh S � ; � ; �3 � � 8� 4 � 1 9� 1 d/ Đỉnh của (P) là S � ; − � − c/ Trục đối xứng x = , đi qua điểm M(– 3; 27) � 4 8� 2 Bài 21. Tìm phương trình của parabol: y = ax2 + bx + c biết rằng: a/ Parabol đi qua 3 điểm A(0; –1), B(1; –1), C(–1; 1). b/ Parabol đi qua M(0 , 1) và đỉnh S(–2 , 5). Bài 22. Cho parabol (P): y = ax2 + bx + c. Xác định a, b, c biết: 1 � 2� � 1� 5 a. (P) đi qua A(1; 2); B(– 1; 6), C � ; �KS và vẽ (P). . b. (P) đi qua M(2; – 1), Đỉnh S � ; � . 3 � 3� � 8� 4 Bài 23. Tìm m để đồ thị hàm số y = mx + (m − 1) x 2 + 2 x 2 − 1 có trục đối xứng là Oy. Bài 24. Cho hàm số y = 2 x − m + x − m − 2 . Tìm m để y xác định với mọi x > 1. Bài 25. Tìm hàm số y = f(x) vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ. Bài 26. Cho hai hàm số cùng phụ thuộc tham số m: y = f(x) = (m + 2 )(x + 2) có đồ thị là đường thẳng d m ; hàm số y = g(x) = (m – 2 )x + m2 – 1 có đồ thị là đường thẳng ∆ m. a. Có hay không giá trị m để dm//∆ m? b. Cmr các đường thẳng dm (khi m thay đổi) luôn đồng quy tại một điểm cố định trong khi đ ường thẳng ∆ m không đi qua điểm cố định nào cả. Bài 27. Cho parabol (P) có phương trình y = ax2 + bx + c luôn tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 2x + 1 tại A(1 ;3). a. Tính b, c theo a. b. Tìm quỹ tích đỉnh của (P) khi a thay đổi. c. Tìm các điểm trong (Oxy) mà (P) không thể đi qua . � 1� Bài 28. Cho hàm số y = f(x) = x2 – 2 � + �+ m trong đó m là tham số khác 0. Giả sử y1 = xmin ] f ( x ) và m [ �−1;1 � m� y2 = max f ( x ) . Hãy tìm các giá trị của m sao cho y2 – y1=8. x�−1;1] [ 3 1 −x + − ;x 2 2 Bài 29. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 1 −2 x 2 + x + 3 ; x > − 2 Bài 30. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x 2 − 2 x + 4 x 2 − 12 x + 9 Bài 31. Viết phương trình parabol biết a. Parabol đi qua A(0; 2),B( – 1; 7),C(1; 1) b. Parabol có đỉnh toạ độ I(2; 5) và đi qua A(1; 4) c. Parabol đi qua A(2;0) B( – 2; – 8) và đạt cực trị bằng 1. d. Parabol có đỉnh A(1; – 2) và chắn đường thẳng (d): y = x + 1 một dây cung MN = 34 Bài 32. Tìm các điểm cố định của họ đường cong y = m2x2 + 2(m – 1)x + m2 – 1 theo 2 cách. Bài 33. Cmr tất cả các đường thẳng thuộc họ (d m) cho bởi phương trình y = 2mx – m 2 + 2m đều tiếp xúc với một parabol cố định có trục đối xứng // với trục tung. 2 x2 + ( m − 2) x Bài 34. Cho hàm số y= với m là tham số . Trên mặt phẳng toạ độ hãy tìm tất cả các điểm mà đ ồ th ị x −1 hàm số không thể đi qua. Bài 35. Cho đường thẳng d: y = x + m . Tìm m để d hợp với Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 6 Bài 36. Tìm m để đường thẳng d: y = 3 ( m – 1 )x + 2 hợp với Ox một góc bằng 600 Bài 36. Tìm m để hàm số y = mx + 2m + 8 nhận giá trị dương trên đoạn [ 2 ; 4] Bài 37. Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số y = mx + 2m –1 luôn đi qua GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 8
  9. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI Bài 38. Cho hàm số y = x 2 − 4 x + m . Định m để hàm số xác định trên toàn trục số. Bài 39. Cho (P): y = x2 − 3x − 4 và (d): y = −2x + m. Định m để (P) và (d) có 2 điểm chung phân biệt, tiếp xúc và không cắt nhau. CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHƯƠNG III..PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vấn đề 1: PT QUY VỀ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI * b ≠ 0: (1) ⇔ 0x = b: VN 1. Giải và biện luận pt bậc nhất:ax + b = 0 (1) * b = 0: (1) ⇔ 0x = 0: VSN Đưa pt về dạng: ax = b. 2. Phương trình vô tỉ: b * Dạng 1: A = B (1) * Nếu a ≠ 0: (1) ⇔ x = a ĐK: B ≥ 0 * Nếu a = 0: (1) ⇔ 0x = b (1) ⇔ A = B2 * Dạng 4: Nếu gặp pt chứa nhiều căn thức thì đặt * Dạng 2: A = B (1) đk cho các biểu thức dưới dấu căn rồi dùng pp bình ĐK: B ≥ 0 phương hai vế để khử căn, lưu ý phải chuyển vế A= B sao cho 2 vế đều dương rồi mới bình phương. (1) ⇔ A = −B A= B * Dạng 3: A = B A = −B Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: 1/ (m2 – 5)x + m2 – 4 = 0 3/ 2m2x – (x + 2)m – 3(2x + 1) = 0 2/ (3x + 1)m – 2x + 5 = 0 4/ 6m x + m(7x – 3) – 3x + 1 = 0 5/ 3m x – m(7x – 3) – 2(3x – 1) = 0 6/ (9 – m2)x + m – 3 = 0 2 2 7/ (m2 – 4)x + m + 2 = 0 8/ (m2 – 3m + 2)x – m + 2 = 0 9/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0 2mx + m − 1 m − 3mx + 2 4 − 3m + x = m+3 = 2m − 1 = 1 − 3m 10/ 11/ 12/ x−2 1− x x−2 13/ (3m – 1)x – 3m2 – 5m + 2 = 0. 14/ 6m2x – (3 – 7x)m – 3x + 1 = 0 ( m − 1) ( m + 2 ) x + 2 = m + 2 15/ 2m2x + (x + 1)m – 2(3x – 1) = 0 16/ 2x + 1 Bài 2. Tìm m để các phương trình sau: 1/ (3m – 2)x + 2x – 3 = 0 có nghiệm duy nhất. 2/ m(mx + 1) – 2mx = 0 vô số nghiệm 3/ (2x – 1)m + 3x = 2 có một nghiệm. 4/ 2m2x + m(7x + 2) – 3(5x + 1) = 0 có VSN 5/ 2(m2 – 1)x + m = 2(m + 1) – m2x – 5mx = 0 vô nghiệm. 6/ m(mx + 1) = x – 1 có vô số nghiệm. ( m + 1) x − 3m + 2 = 2m − 1 có nghiệm. 2 − 3mx + 3m = 4m − 1 vô nghiệm 7/ 8/ 1− x x+3 Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có một nghiệm duy nhất: 3mx − 2m + 3 = 2m + 5 1/ 2(mx – 1) – 3(x – m) = 0 2/ x−2 Bài 4. Tìm m để phương trình m (m − 3) x 2 + 2( m − 3) x + 2 m = 0 có nghiệm (có nghiệm trái dấu). Bài 5. Tìm m để – 2 xen giữa các nghiệm của phương trình (m + 3)x2 – 3(m – 1) + 4m = 0 Bài 6. Cho phương trình x3 + (m – 1)x2 – 3mx + 2m – 4 = 0 a. Chứng minh phương trình có 1 nghiệm không phụ thuộc m. b. Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm . Bài 7. Khi m ≥ – 2 tìm nghiệm bé nhất (có thể) của phương trình 3x2 – (m + 23)x + 2m + 22 = 0 Bài 8. Tìm m để x2 + x + m + 1 = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn x1 x2 + 3( x1 + x2 ) + 5 = 0 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 9
  10. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI b. x1.x2 = 2 Bài 9. Tìm m để phương trình x2 – 2(m + 2)x + 4m + 5 = 0có 2 nghiệm thỏa mãn: a. Đều dương. 111 + = ( x1 + x2 ) Bài 10. Tìm m để phương trình 3x2 + 4(m – 1)x + m2 – 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm x1,x2 thỏa mãn x2 x1 2 Bài 12. Tìm m để phương trình x2 – (m + 2) + m2 + 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 3 x1.x2 2 2 Bài 13. Tìm hệ thức độc lập với m liên hệ với các nghiệm của mỗi phương trình sau: a. x2 + mx + 2m – 3 = 0 b. (m + 2)x2 – (m + 4)x + 2 – m = 0 Bài 14. Cho phương trình (m – 5)t – 2mt + m + 4 = 0. Gọi S và P là tổng và tích c ủa 2 nghi ệm. Trong m ặt ph ẳng 2 toạ độ Oxy gọi M(S;P) với x = S, y = P. Chứng minh khi m thay đ ổi thì các đi ểm M luôn ch ạy trên m ột đ ường ( )( ) 5 5 thẳng cố định. Tính T= 1 − 5 + 1 + 5 Bài 15. Giải các phương trình sau: 1/ 3 x − 5 = x − 1 2 / x 2 + 5x − 2 − 3x + 1 = 0 3 / x − 1 − 2 x 2 − 3x − 5 = 0 4 / x2 − x − 8 − x − 5 = 0 5 / x 2 + 2 x + 9 = x 2 + 2 x + 3 6 / x + 2x 2 − x + 8 = 2( x 2 + 1) 7 / 2 x + 3 + 7 − x = 5 8 / 5x −1 + x + 2 = 5 9 / 8 − x − 3x + 7 = 1 10 / 3 x − 2 + 2 x = 3 11/ 2 x 2 + x − 6 = 2 x + 1 12 / x 2 + x − 5 − 2 x − 5 = 0 3x + 1 1− x 13 / 4 − 2 1 − 2 x = x 2 + 3 x 14 / x 2 + x 1 − x = x + 12 = 3x − 1 = 3 x + 11 15 / 16 / x−3 x +1 2 x 2 − 3x + 7 =1 18 / x 2 + x − x x − 3 − 12 = 0 19 / x 2 + 2 x − 6 = 4 x − 1 20 / 2 x − 1 − 9 − x = 1 17 / 2x −1 2 x 2 + x − 27 21/ 3 x − 2 x + 3 = 3x − 1 22 / 2 x − 1 − 2 x + 3 x + 4 = 0 23 / =2 24 / 3 x + 10 + x + 3 = 3 2 2 2x − 3 25 / 2 x 2 + x + 1 = 3x − 1 26 / x + 1 + 2 x + 3 = 5 27 / 3 x 2 + 4 x − 7 + x = 1 28 / x 2 − 6 = 3 x − 4 29 / 2 x 2 − 5 x 2 − 3 x + 5 = 6 x − 7 30 / x 2 − 2 x + 6 = x 2 − 2 x 31/ 2 x 2 + 3 x − 5 + 25 = 2 ( 2 x 2 + 3 x ) 32 / ( 2 x 2 + 5 x − 3 ) 14 + 5 x − x 2 = 0 33 / x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 1 12 34 / x + + x− 2 = 35 / ( x − 3)(8 − x) − 11x + 26 = − x 2 36 / x 2 − 6 x + 9 = 4 x 2 − 6 x + 6 2 x x x Bài 16. Giải và biện luận các phương trình sau: mx − 1 m m( x 2 + 1) 1/ 3mx − 1 = 5 2 / 3 x + m = 2 x − 2m 3 / 2 x + m = 2 x + 2m − 1 + 4/ x −1 x + 1 x2 −1 2mx − m + 4 4a − 2 mx − 1 m( x 2 + 1) m 7/ mx + 1 = 2 x − m − 3 =2 = a+3 + = 5/ 6/ 8/ x +1 x−5 x −1 x +1 x2 − 1 12 10/ m 2 ( x − 1) + m = x(3m − 2) 11/ x − 4 x + 3 = m 12/ x + 2 x − 6 = m − 1 2 9/ (m − 1) x 2 + 7 x − 12 = 0 2 Bài 17. Giải các phương trình sau: 2 x 2 + x − 27 1 / 3x 2 − 2 x + 3 = 3x − 1 2 / 3 x + 10 + x + 3 = 3 =2 4 / 2 x − 1 − 2 x 2 + 3x + 4 = 0 3/ 2x − 3 5 / 7 − 3x = 3x − 7 6 / − x + 3x + 14 − 3 x = 8 7 / 4x + 1 − 3 − 2x = 2 8 / x 2 − 3x − 6 − 3x = 5 2 6 10 / ( x − 1) 16 x + 17 = ( x − 1) ( 8 x − 23) 9 / 9 − 5x = 3 − x + 3− x GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 10
  11. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI 11 / 1 − 3 x + 2 = 5 x 12 / 3 x − 3 x 2 + 2 x − 1 = 1 13 / x + 8 − 3 x + 1 = 1 14 / 3 x − 5 = 3 x − 7 x − 14 2 x − 5 − 1 = 1 − 2 x − 5 16 / x − 5 − = 3 17 / x + 3 + 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 5 15 / 5+ x−5 Bài 18. Giải các phương trình sau: 1/ ( 2 x 2 + 5 x − 3) 14 + 5 x − x 2 = 0 x + 1 − x − 2 = 2x −1 2/ 3/ 2 x 2 − 5 x 2 − 3 x + 5 = 6 x − 7 4/ 2 x 2 + 2 x + 1 = ( 4 x − 1) 1 + x 2 5/ 3 x 2 − 5 x + 6 = 2 x x 2 + x − 3 6/ x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 = 2 x+3 1 12 x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = x+ + x− 2 = 7/ 8/ 2 2 x x x x 35 x+3 (1− x ) = x 2 ( 1 − x2 ) 11/ x + = 23 4 x + 1 − 3x − 2 = 10/ x 3 + 9/ 12 x2 −1 5 12/ 13/ 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1 15/ 2 x 2 + 5 x − 1 = 7 x 3 − 1 x − 2 − x + 2 = 2 x2 − 4 − 2 x + 2 1 1 1− x 8 2 + x 18/ + =2 + =2 16/ 4 1 + x − 1 = 3 x + 2 1 + x + 1 − x 2 17/ 8 x 2 − x2 2+ x 1− x ( x + 1) ( 4 − x ) x +1 + 4 − x + =m Bài 19. Cho phương trình a. Giải phương trình khi m = 5 b. Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. ( 1 + x ) ( 8 − x ) = m có nghiệm thuộc đoạn [ 0; 4] Bài 20. Tìm m để phương trình 1 + x + 8 − x + Bài 21. Cho phương trình x 2 − 3 x + 1 = m x 4 + x 2 + 1 tìm tập hợp các gía trị của m để phương trình có lẻ số nghiệm . Bài 22. Giải và biện luận phương trình với tham số a 3 ( x + a ) 2 + m 3 ( x − a ) 2 = ( m + 1) 3 x 2 − a 2 x 2 − 4 x + m nghiệm đúng ∀x � −3;7 ] [ ( 3 + x) ( 7 − x) Bài 23. Tìm m bpt Bài 24. Tìm m để bpt x + 2 x − m + m + m 1 có nghiệm . 2 2 x + m −1 x − 2 + =2 Bài 25. Định m để phương trình sau vô nghiệm: x +1 x 2x − m x + 2m + x −1 = Bài 26. Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: . x −1 x −1 m −1 m2 1 +2 =2 Bài 27. Giải và biện luận phương trình: x−2 x −4 x −4 1 x Bài 28. Cho phương trình : m x − 1 + = ( * ). Định m để (*) vô nghiệm. x −1 m x −1 Bài 29. Giải các phương trình sau: x +1 x −2 =3 2/ 3/ 3x 2 − 2 x + 15 − 3 x 2 − 2 x + 8 = 7 1/ ( x + 1).( x + 4) − 3 x 2 + 5 x + 2 = 6 x +1 x 4/ 3x 2 + 5 x + 8 − 3 x 2 + 5 x + 1 = 1 5/ 3x 2 + 6 x + 16 + x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 4 6/ x 2 + x + 4 + x 2 + + x + 1 = 2 x 2 + 2 x + 9 7/ x 2 + x − 5 − x 2 + 8 x − 4 = 5 8/ x + x − 1 − x = 1 9/ 8 + x + 2 x + 7 − x + 1 − x + 7 = 4 10/ 11/ x + 5 − 4 x + 1 + x + 2 − 2 x + 1 = 1 x − 2 + 2x − 5 − x + 2 + 3 2x − 5 = 7 2 x+3 13/ x + 2 x + 1 + x − 2 x − 1 = 12/ x + 2 + x − 1 + x − 2 x − 1 = 2 2 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 11
  12. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI x + 3 + 6 − x − ( x + 3).(6 − x ) = 3 14/ x 2 + 3x + 2 + x 2 − 4 x + 3 = 2 x 2 − 5 x + 4 15/ 17/ (4 x − 1) x 2 + 1 = 2 x 2 + 2 x + 1 16/ 2 x + 3 + x + 1 = 3 x + 2 2 x 2 + 5 x + 3 − 16 19/ x − 2 + 4 − x = x 2 + 6 x − 11 18/ x 2 + x 2 + 5 = 5 21/ x 2 + 3x + 1 = ( x + 3) x + 1 20/ 2 + x + 17 − 2 x = x 2 − 8 x + 22 22/ 4 x − 1 + 4 x 2 − 1 = 1 23/ 2 x 2 +8 x + 6 + x 2 − 1 = 2 x + 2 24/ x + 1 + 4 − x − ( x + 1).(4 − x) = 5 25/ x + 4 − x 2 = 2 + 3x 4 − x 2 x+3 26/ 4 x + 1 − 3 x − 2 = 27/ 3(2 x + 2) = 2 x + x + 6 5 2 29/ 1 + x − x2 = x + 1 − x 28/ x − 2 − x + 2 = 2 x 2 − 4 − 2 x + 2 3 x( x − 1) + x( x + 2) = 2 x 2 30/ 31/ ( x + 5).(2 − x) = 3 x 2 + 3 x 32/ x 6 − x 2 + x. 6 − x 2 = 1 33/ 2 x 2 + 5 x + 2 − 2. 2 x 2 + 5 x − 6 = 1 34/ ( x + 3) 10 − x 2 = x 2 − x − 12 35/ 2(1 − x) x 2 + 2 x − 1 = x 2 − 2 x 36/ 3x − 2 + x − 1 = 4 x − 9 + 2 3 x 2 − 5 x + 2 37/ 3 − x + x 2 − 2 + x − x 2 = 1 4x + 9 39/ 7 x 2 + 7 x = 38/ 2 x − 3 − 5 − 2 x − x 2 + 4 x − 6 = 0 28 Vấn đề 2: PTRÌNH BẬC HAI: ax + bx + c = 0(1) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: 2 1. Công thức nghiệm: ∆ = b2 – 4ac (hoặc ∆ ’ = b’2 * Dạng 1: Tìm m để pt có 1 nghiệm x = x 0. Tìm nghiệm còn lại. – ac) Cách giải: Thế x = x0 vào (1), giải tìm m. Sau đó sử dụng * ∆ < 0: (1) vô nghiệm. b b CT: x1 + x2 = − * ∆ = 0: (1) có nghiệm kép x1 = x2 = − a 2a * Dạng 2: Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa đẳng thức cho −b ∆ * ∆ > 0: (1) có 2 n pbiệt: x1,2 = 0 trước. 2a b c 2. Định lý Viet: Cho ax2 + bx + c = 0(1). Giả sử pt Cách giải: Đưa đẳng thức về pt chứa S = − ; P = a a có hai nghiệm x1; x2. Ta có: x1 x2 x1 + x2 2 2 b c Chú ý: * x1 + x2 = S − 2 P += 2 2 2 * x1 + x2 = S = − ; x1.x2 = P = x2 x1 x1. x2 a a Bài 1. Cho phương trình: 2x2 + 2(2m – 3)x + 2m2 – m = 0 (1). a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3. Tính nghiệm còn lại. b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: 1 1 1 10 2 / 2 ( x1 + x2 ) = 3 x1 x2 − 1/ x12 + x2 = 39 3/ + = 2 2 x1 x2 3 Bài 2. Cho phương trình: (m – 1)x – 4x + 3 = 0 2 a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm còn lại. b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: 17 xx 22 1 1/ x12 + x2 − x1.x2 = 2/ 1 + 2 = − 3 / 2 x1 x2 − x1 − x2 = − 2 2 x2 x1 3 2 c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm đó. Bài 3. Cho phương trình: (m + 3)x2 – 2(1 – m)x + m + 7 = 0 a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = 3. Tính nghiệm còn lại. b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 12
  13. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI 3 / ( 4 x1 + 1) ( 4 x2 + 1) = −19 1/ x1.x2 − x12 − x2 = −109 2 / x1 + x2 − 3 x1 x2 = −3 2 c/ Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 5 lần nghiệm kia. Tính các nghiệm đó. Bài 4. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa: a/ Với giá trị nào của m thì phương trình có một nghiệm x = – 2. Tính nghiệm còn lại. 2/ x1 + x2 = 20 2 2 b/ Tìm m để (1) có hai n0 x1; x2 thỏa: 1/ x1 + x2 = 2x1.x2 . Bài 5. Tìm m để: (m + 1)x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa: a/ x1 + x2 = 3 2 2 b. x1 + x2 – 3x1.x2 = 6 Bài 6. Cho phương trình : x – ( k – 1)x – k + k – 2 = 0 (1) (k là tham số) 2 2 a. Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b. Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu c. Gọi x1 , x2 là nghệm của phương trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0 Bài 7. Cho phương trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số) a/ Giải phương trình (1) với m = – 5 b/ Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m c/ Tìm m để x1 − x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1)) Bài 8. Cho hai phương trình x2 + p1x + q1=0 và x2 + p2x + q2=0 với p1.p2 2(q1 + q2). Chứng minh rằng khi đó có ít nhất một trong 2 phương trình có nghiệm . Bài 9. CMR có ít nhất 1 trong 3 ptrình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c = 0; bx2 + 2cx + a = 0 và cx2 + 2ax + b = 0. Bài 10. Tìm a để phương trình x + 4 x − 2 x − a + 2 − a = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt . 2 Bài 12. Tìm a để phương trình x x + 2a + 1 − a = 0 có một nghiệm duy nhất. Bài 13. Tìm a để phương trình (a + 1)x2 – (8a + 1)x + 6a=0 có đúng 1 nghiệm thuộc khoảng (0;1) Bài 14. Cho m −1 . Tìm nghiệm lớn của phương trình x2 + (2m – 6)x + m – 11 = 0. Bài 15. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = x2 + 2x + 3 trên D = [ −3;0] ; E = [ 0;3] x + y = a −1 Bài 16. Giả sử x, y là nghiệm của hpt tìm a để U = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất . xy = a 2 − 7a + 14 Bài 17. Tìm m để x2 – 2mx + 2 x − m + 2 > 0 nghiệm đúng ∀x R Bài 18. Cho f(x) = x2 + (m + 1)x + 2 x + m − 1 + (m + 1) tìm m để min f ( x) 3 . 2 R x2 + 4 2 x + 3 Bài 19. Tính giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x2 + 1 ax + b Bài 20. Tìm a, b để Q = đạt giá trị lớn nhất = 4, giá trị nhỏ nhất = – 1 x2 + 1 Bài 21. Chứng minh rằng ∀x, y R luôn có Q 0 với: a. Q =x2 + 2xy + 3y2 + 2x + 6y + 3 b. Q =4x2 + 13y2 – 12xy – 4y + 1 Bài 22. Tìm m để Q = x2 + 4y2 + my + 3 0, ∀x, y R Bài 23. Tìm giá trị lớn nhất của Q = (x – 2y + 1)2 + (2x + ay + 5)2 trong đó a là một số thực cho trước. Bài 24. Giả sử x, y liên hệ với nhau bởi biểu thức Q = 36x 2 + 16y2 – 9 = 0 hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của U = y – 2x + 5 Bài 25. Cho x, y là các số thực liên hệ với nhau bởi Q = (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0. Chứng minh rằng: 3− 5 3+ 5 x2 + y 2 2 2 x2 + y2 + z 2 = 8 8 8 chứng minh − x, y , z Bài 26. Cho x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 4 3 3 Bài 27. Cho a + b + c = 6, chứng minh rằng a2 + b2 + c2 12 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 13
  14. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI x +1 Bài 28. Tìm m để phương trình : (x – 3)(x + 1) + 4(x – 3) = m có nghiệm x−3 1 1 x+ y S Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH *x 2 + y 2 = S 2 − 2 P *+= = 1. Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất v 1 phương xy x. y P trình bậc hai: x y x +y 2 2 Cách giải: Chủ yếu dùng phương pháp thế. *+= *x 3 + y 3 = S 3 − 3PS yx x. y 2. Ứng dụng của ĐL Viet: Giải hệ ptrình đối xứng loại 1: Là hệ phương trình có chứa biểu thức đối xứng đưa về hệ chứa S = x + y; P = x.y. Gi ải hệ tìm S, P. giữa x và y. Khi đó x, y là hai nghiệm của phương trình: t2 – St + P Cách giải: Dùng các công thức sau: =0 Bài 1. Giải các hệ phương trình sau: 2 x. y − 3 x − 3 y = −3 � + y =1 �. y = −10 � + y + x. y = 7 x x x 1/ � 2 2 / �2 3 / �2 4/� 1 5 1 += � + x. y + y = 7 � + y = 29 � + y = 10 2 2 2 x x x xy6 �+ y =3 x � y 10 x �+ = �+ y =3 � 2 + y 2 − x. y = 3 x x � 8/ � x 3 y 5/ � y 6 / �3 7/� x 17 + =− � + y = 117 � + y − x. y = 1 3 x x �x �+ y = 4 x y 4 � � x. y = 6 �. y − 2 x − 2 y = −7 �. y = 4 � 2 + y 2 = 13 x x x 9 / �2 10 / � y 11/ � 12 / � 2 x 1 + − x. y = � + y + 3 x. y = 1 � + y = −1 � − 3x. y + y = 5 2 2 x x x yx 6 x + y − x. y = 1 �+ y = 7 � 2 + y 2 − x. y = 29 x x 13 / � y 10 14 / �3 15 / � x += � + y = 217 � + y + x. y = 23 3 x x yx3 Bài 2. Giải các hệ phương trình sau: 2( x + y) 2 5 �6 2 � � + x+ y =2 � − 2y + x + 2y = 3 =5 x− y=3 � x− y x x � � 1/ � 2/� 3 / �2 4/� x − 3 xy + y 2 + x + y = 0 �x + y = 2 � + 1 = 17 3 � 3 + 4 = −1 3 � x + y 10 � − 2y x + 2y �x − y 3 x x � � �x + y − 1 = 3 �x + 2) + ( y − 1) = 2 ( x + 1)( y + 1) = 8 2 2 2 x 2 − 3xy + y 2 = 3 2 ( 5/� 6/� 7 / �2 8/ � x( x + 1) + y ( y + 1) + xy = 17 x + 2 xy − 2 y 2 = 6 2( x + 2) − 3( y − 1) = −1 2 2 2y + x −1 = 3 � ( x + 1)( y + 1) = 72 � − y = xy x2 − 2 y 2 = 2x + y 2( x + y ) = 3 xy xy x 9/� 10 / � 2 11 / � 12 / � �( x − 1)( y − 1) = −3 � + y = 5 xy y − 2x2 = 2 y + x x+ y=5 x x 2 + y 2 = 2 ( a + 1) Bài 3. Cho hệ phương trình: ( x + y) 2 =4 a. Giải hệ với a = 2 b. Tìm các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất. mx + y = m + 1 Bài 4. Cho phương trình: . Tìm hệ thức giữa x và y độc lập đối với m x + my = 2 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 14
  15. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI mx − y = 2 Bài 5. Cho hệ phương trình : x + my = 1 a) Giải hệ phương trình theo tham số m. b) Gọi nghiệm của hệ phương trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = – 1. c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. x + ay = 1 Bài 6. Cho hệ phương trình: . Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. ax + y = 2 � − y − 2x = 3 x Bài 7. Giải hệ phương trình : 3x + y = 1 mx + 2 y = m + 1 Bài 8. Cho hệ phương trình với tham số m: xác định những giá trị nguyên của tham số m để hệ 2 x + my = 2m − 1 phương trình có nghiệm nguyên? 6mx + (2 − m) y = 9 Bài 9. Cho (x; y) là nghiệm của hệ: . Lập hệ thức độc lập giữa x và y với m. (m − 1) x − my = 4 x + 2y = 4 − m Bài 10. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x2 + y2 nhỏ nhất. 2 x − y = 3m + 3 2x + y = 5 Bài 11. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) sao cho xy lớn nhất. 2 y − x = 10m = 5 x + y + xy = 2m + 1 Bài 12. Cho hệ phương trình xy ( x + y ) = m 2 + m a. Chứng minh với mọi m thì hệ phương trình có nghiệm . b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. y 2 − ( x + y ) = 2m Bài 13. Cho hệ phương trình x 2 − ( x + y ) = 2m a. Giải hệ phương trình khi m = 0 b. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. x 2 y + xy 2 = 2(m + 1) Bài 14. Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất 2 xy + x + y = 2(m + 2) x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9 Bài 15. Giải hệ phương trình 2 x 2 − 13 yx + 15 y 2 = 0 ( x + y) 2 =4 Bài 16. Cho hệ phương trình . Tìm m để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm . x 2 + y 2 = 2(1 + m) 1 1 x− = y− y + xy 2 = 6 x 2 x y Bài 17. Giải hệ phương trình: a. b. 1 + x2 y 2 = 5x2 2 y = x +1 3 Bài 18. Giải hệ phương trình sau:  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2  3 x− y = x− y  x y + y x = 30    1)  2)  3)  x + y = x + y + 2  x x + y y = 35 x+ y =4     GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 15
  16. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI     x+5 + y−2 = 7 x +1 + 7 − y = 4  1− x + 1− y = 2  4)  5)  6)   x−2 + y+5 = 7 7 − x + y +1 = 4  1+ x + 1+ y = 6     x − y + xy = 3  2( x + y ) = 3.(3 x 2 y + 3 xy 2 )  x + y −1 = 1    2x 2y 7)  8)  9)  + =3  x − y + 2 = 2y − 2 x +3 y =6  3    y x   x+ y + x− y =4  x + y + x + y = 20  x + y + 2x + y + 2 = 7 10)  11)  12)  x 2 + y 2 = 28  x + y = 136 3x + 2 y = 23 2 2    x+ y + y+2 =a Bài 19. Xác định a để hệ phương trình:  có nghiệm. x + y = 3a    x+ y + y+2 = m Bài 20. Cho hệ PT:   x − 2 + y +1 = m  a) Giải hệ phương trình khi m=9. b)Xác định m để hệ có nghiệm.  x +1 + y +1 = 3  Bài 21. Cho hệ PT:  x y + 1 + y x + 1 + y + 1 + x + 1 = m  a)Giải hệ phương trình khi m=6. b)Xác định m để hệ có nghiệm.  x + y − 1 − m( x + y − 1) = 1  2 2 Bài 22. Cho hệ phương trình:   x + y = xy + 1  a) Giải hệ phương trình khi m=0. b) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất.   x + 1− y = m +1 Bài 23. Xác định m để hệ phương trình:  có nghiệm duy nhất.  y + 1− x = m +1   x2 + 2 + y = m  Bài 24. Xác định m để hệ phương trình:  2 có nghiệm duy nhất.  y +2+ x =m    x +1 + y = m Bài 25. Tìm m để hệ phương trình:  có nghiệm.  y +1 + x = m   x2 + 3 + y = a  Bài 26. Xác định a để hệ phương trình:  2 có đúng một nghiệm.  y +5 + x = x +5 + 3−a 2  Vấn đề 4: BẤT ĐẲNG THỨC * Nếu tổng a + b không đổi thì tích đạt giá trị lớn nhất 1. Bất đẳng thức Cô – si (Cauchy): khi và chỉ khi a = b. a+b * Nếu tích a.b không đổi thì tổng đạt giá trị nhỏ 2 ab Với hai số không âm a, b. Ta luôn có: nhất khi và chỉ khi a = b. 2 1. Tính chất bất đẳng thức: Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b a>b Mở rộng: �a >c 1/ Với n số không âm a1; a2; a3; … ; an. Ta luôn có: b>c a1 + a2 + a3 + ... + an n 2 / a > ۱> � a c b c a1.a2 .a3 ...an b n ac > bc neu c > 0 � Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = … = an 3/ a >b ac < bc neu c < 0 � 2. Ứng dụng của bất đẳng thức Cô – si (Cauchy) : Cho hai số không âm a, b: GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 16
  17. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI a>b 7 / a b+d 4/ c>d 8/a >b� 3 a > 3 b ab 0 2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: 5/ ac bd a + b ; ( ∀a, b R) a−b a+b cd 0 b>0 a an bn 6/ n N CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BĐT THƯỜNG DÙNG: 1. Sử dụng trực tiếp BĐT Cô si và BĐT Cô si mở rộng: Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: � 1� 1 � 1 1� 1 1/ ( a + b ) � + � 4 (a, b > 0) 2/ ( a + b + c ) � + + � 9 . (a, b, c > 0) � b� a � b c� a � a� b� c� � � 4/ �+ �1 + �1 + � 8 (a, b, c ≥ 0) 1 3/ (a2 + b2) (b2 + c2) (c2 + a2) ≥ 8a2.b2.c2 (∀a, b, c) � � � b� c� a� � � 2 a 2 b2 c2 � 1� 1 abc 5/ ( a + b ) + � + � 8 (a, b ≥ 0) 2 6/ 2 + 2 + 2 + + (a, b, c ≥ 0) � b� a b c a bca 3a b + 1 (a, b ≥ 0) 8/ 3a2 + 7b2 ≥ 9ab2 (a, b ≥ 0) 7/ 2b 6a a+b+c 3 ( ) 2 10/ a + b + c 3 3 abc + a− b abc 9/ Với a,b,c 0, CMR (a, b, c 0) 3 a2 + 2 a2 + a + 2 �∀γ ∀� ( a R ) 2( a R) 11 / 2 12 / a2 + 1 a2 + a + 1 14 / a 2 ( 1 + b 2 ) + b 2 ( 1 + c 2 ) + c 2 ( 1 + a 2 ) 13 / ( 2a + 1) ( b + 3) ( ab + 6 ) 48ab ( a, b 0 ) 6abc ( a, b, c R) ab + bc + ca ( a, b 0) 15 / a + b + c 1− a 1− b 1− c 3( 1− a ) ( 1− b) ( 1 − c ) + + Bài 2. Với 0 < a, b, c < 1. Chứng minh rằng: 1+ b + c 1+ c + a 1+ a + b abc b c a Bài 3. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện + + = 1. Chứng minh rằng + + 1 bca a b c � 1� 1� 1� 1 � 4 � � � Bài 4. Với a, b, c, d > 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = 1. Cminh rằng �+ �1 + �1 + �1 + � 5 1 � � � � a� b� c� d � � � � 2 � b c� a � 1 1� 1 Bài 5. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng � + + � ( a + b + c ) � + + � � c a� b � b c� a 2 2 2 4a 5b 3c + + Bài 6. Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng 48 a −1 b −1 c −1 � 3 b3 c 3 � ( a + b + c ) 3 a Bài 7. Cho a, b, c, x, y, z > 0. Chứng minh rằng � + + � y z � 3( x + y + z ) �x b3 c3 a3 1�1 1 1� + + �2 + 2 + 2 � Bài 8. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng 2 3 a ( a + 2b3 ) b 2 ( b3 + 2c3 ) c 2 ( c 3 + 2a3 ) 3�a b c� a3 b3 c3 1 ( a + b + c) 2 + + Bài 9. Với a, b, c > 0. Chứng minh rằng b + 2c c + 2a a + 2b 9 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 17
  18. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI Bài 10. Với a, b, c > 0 thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca=3. Chứng minh rằng: a 6 + b6 + 1 + b6 + c6 + 1 + c 6 + a6 + 1 3 3 2. Phương pháp biến đổi tương đương để đưa về tổng các bình phương: Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ x3 + y3 ≥ x2y + xy2 (∀x ≥ 0; y ≥ 0) 2/ 4a2 + 9b2 + 5 ≥ 4(a + 3b) (∀a, b ∈ R) 3/ 3a2 + b2 + 4c2 + 9d2 ≥ 2a(b + 2c + 3d) (∀a, b, c, d ∈ R) 4/ 4a4 – 4a3 + 2a2 – 2a + 1 > 0 (∀a ∈ R) 5/ a4 – 2a3b + 2a2b2– 2a b3 + b4 ≥ 0 (∀a, b ∈ R) 6/ a4 + a3b + a b3 + b4 ≥ 0 (∀a, b ∈ R) 7/ 8 + a3 ≥ 4a + 2a2 (∀a ∈ R) 8/ a2 + b2+ 25 ≥ 5a + 5b + ab (∀a, b ∈ R) 9/ a2 + b2+ 9 ≥ ab – 3a – 3b (∀a, b ∈ R) 10/ (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab (a, b ≥ 0) 11/ (2a + 1)(b + 3)(ab + 6) ≥ 48ab (a, b ≥ 0) 3. Sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo: Là KT tách phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. Bài 3*. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 4 1/ a + 2/ a + 3 (a, b > 0) 3 (a > b ≥ 0) b( a − b) (a − b)(b + 1)2 4. Sử dụng kỹ thuật đánh giá từ TB nhân sang TB cộng: Là KT sử dụng BĐT Cô si theo chiều ngược lại. Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1/ ab + cd ( a + c)(b + d ) (a, b, c, d > 0) a>c>0 2/ c(a − c) + c(b − c) ab ∀ b>c>0 3/ 30 (a + 1)(b − 1) + 4 (b + 1)(c − 1) + 1994 (c + 1)( a − 1) < 1012a + 17b + 999c (a, b, c > 1) Bài 5. Chứng minh các BĐT sau: a2 + b 2 + c 2 > ab + bc + ca với abc = 1 và a 3 > 36 1/ 3 2/ a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 3 (1 + a)(1 + b)(1 + c) với a, b, c > 0. a 8 b8 c 8 Bài 6. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 4 + 4 + 4 ab3 + bc 3 + ca 3 bca Bài 7. Với a, b, c, d không âm, chứng minh rằng a 8 + b8 + 2c 4 + 4d 2 8abcd a 4 b 4 2ca 2 Bài 8. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 2 + 2 + + 4b 2 c 2 8abc b c b 6 6 c6 a b Bài 9. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 2 2 + 2 2 + 2 2 ab + bc + ca bc ac ab a2 b2 + a+ b Bài 10. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng b a Bài 11. Với a, b, c > 0, chứng minh rằng 3 ab + 3 cb + 3 ac 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 +3 +3 Bài 12. Với a, b, c > 0 và a.b.c = 1, chứng minh rằng 3 a ( b + c) b ( a + c) c ( b + a) 2 GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 18
  19. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI c2 b Bài 13. Với a, b, c > 0, chứng minh a b c + 2 + 2 ac + ab + 1 32 b ac 4(a 2 + b 2 )3 a b 11 + ≥+ b/ a 2b 4 ≤ Bài 14. Cho a, b > 0, chứng minh bất đẳng thức: a/ b2 a 2 a b 27 �1 1� 1 < 2� − Bài 15. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k ta đều có: � ( k + 1) k +1 � k �k 1 1 1 1 Ap dụng: CMR: 2 + + + ... +
  20. TT GDTX Chu Vaên An Taøi lieäu Toaùn 10 – HKI CHƯƠNG . VÉC – TƠ CHƯƠNG II.VÉC – TƠ Vấn đề 1: VÉC TƠ – PHÉP CỘNG TRỪ VÉC TƠ. a) Tổng của hai vectơ uuu uuu uuu r r r • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB + BC = AC . uuu uuu uuu r r r • Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB + AD = AC . rrrr rr rr rr rrr ( a +b) + c = a +(b + c) ; • Tính chất: a +b =b +a ; a+0=a b) Hiệu của hai vectơ r rrr r r r • Vectơ đối của a là vectơ b sao cho a + b = 0 . Kí hiệu vectơ đối của a là −a . r r • Vectơ đối của 0 là 0 . rrr r • a − b = a + ( −b ) . uuu uuu uuu r r r • Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB − OA = AB . Bàiuuu Cho rứ giác ABCD, chứnguuu uuu ng: r uuu minh rằ uuu 1. uuut uuu uuu r r r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r uuu uuu uuu uuu r r r r a / AB + CD − AD = CB b / AB + CD = CB − DA c / BC − AD = BA + DC d / BC = BA − CD − DA Bài 2. Cho uuu ểuuuA, uuuC, uuuE, uuuứng minh rằng: 5 r m r B, r D,r ch uuu đi r r uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r a / AC + DE − DC − CE + CB = AB b / AB − CB + EA = DC − DE Bài 3. Cho uuuc giác ABCDEF, chứr minh rằng: lụ uuu uur uuu uuu uuu ng r r r r uuu uuu uuu uuu uuu uur r r r r r a / AB + CD + EF = CB + ED + AF b / BC − ED + FA = BA − CD − EF Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là một điểm bất kỳ trên đường chéo AC. Qua O k ẻ các đ ường th ẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này c ắt AB và DC l ần l ượt t ại M và N, c ắt AD và BC l ần lượt tại E vàrF. uuuứng minh rr ng: uuu Ch uuu uuuằ r r uuu uuur uuu r r a / OA + OC = OB + OD b / BD = ME + FN uuu uuu r r Bài 5. Cho 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. Với điều kiện nào thì vectơ OA + OB nằm trên đường phân giác của góc AOB. Bài 6. Cho tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm O r uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuuu r rr r rr r r a/ Hãy xác định các điểm M ,N ,P sao cho: OM = OA + OB; ON = OB + OC ; OP = OC + OA uuu uuu uuu r r r r b/ Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0 Bài 7. Cho tam giác ABC. Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A; B’ là điuuu đuuuxứng v ớiuuur uuuu C’ là đi ểm đ ối uuu ểm ốir uuur Cuqua B; r r r xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có : OA + OB + OC = OA ' + OB ' + OC ' Vấn đề 2: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VÉC TƠ. r r • Cho vectơ a và số k ∈ R. ka là một vectơ được xác định như sau: r r r r + ka cùng hướng với a nếu k ≥ 0, ka ngược hướng với a nếu k < 0. r r + ka = k . a . rr rr r rr r r k ( a + b ) = ka + kb ; (k + l )a = ka + la ; k ( la ) = (kl )a • Tính chất: rr rr ka = 0 ⇔ k = 0 hoặc a = 0 . r rr r r r • Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b ( a 0 ) cùng phương � ∃k �R : b = ka uuur uuu r • Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng ⇔ ∃ k ≠ 0: AB = k AC . rr r • Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương a , b và x tuỳ GV: Nguyeãn Höõu Chung Kieân totoanhd.hnsv.com Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2