intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương trình toán cao cấp A2 cao đẳng

Chia sẻ: Nguyen Doan Minh Tri | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST
Báo xấu
600
lượt xem 139
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo Chương trình toán cao cấp A2 cao đẳng

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương trình toán cao cấp A2 cao đẳng

  1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com TOÁN CAO C P A2 CAO Đ NG 2. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp Tập 2 (dùng cho A2 SV Cao đẳng) – NXB Giáo dục. PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH PHÂN CH 3. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A3 S ti t: 45 ti – NXB ĐHQG TP. HCM. ----- 4. Phan Quốc Khánh – Phép tính Vi tích phân (tập 2) Chương 1. Hàm số nhiều biến số – NXB Giáo dục. Chương 2. Tích phân bội hai Chương 3. Tích phân đường Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên Chương 4. Phương trình vi phân Download Slide bài gi ng Toán A2 CĐ t i Tài liệu tham khảo Download ng dvntailieu.wordpress.com 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp – ĐH Công nghiệp TP. HCM. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi §1. Khái niệm cơ bản • Miền phẳng D kể cả biên ∂D được gọi là miền đóng, §2. Đạo hàm riêng – Vi phân miền phẳng D không kể biên ∂D là miền mở. §3. Cực trị của hàm hai biến số ………………………. • Miền phẳng D được gọi là miền liên thông nếu có 1 §1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN đường cong nằm trong D nối 2 điểm bất kỳ thuộc D . 1.1. Các định nghĩa Miền liên thông có biên là 1 đường cong kín được gọi a) Miền phẳng là miền đơn liên (hình a); có biên là nhiều đường cong kín rời nhau là miền đa liên (hình b). • Trong mặt phẳng Oxy , hình phẳng D giới hạn bởi các đường cong kín được gọi là miền phẳng. Tập hợp các đường cong kín giới hạn D được gọi là biên của D , ký hiệu ∂D hay Γ . Đặc biệt, mặt phẳng Oxy được xem là miền phẳng với biên ở vô cùng. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi b) Lân cận của một điểm c) Hàm số hai biến số • Trong mặt phẳng Oxy cho tập D ⊂ ℝ2 . • Khoảng cách giữa 2 điểm M1 (x1, y1 ), M 2 (x 2 , y2 ) là: Tương ứng f : D → ℝ cho tương ứng mỗi (x , y ) ∈ D ( ) (x1 − x 2 ) + (y1 − y2 ) . 2 2 d M 1 , M 2 = M 1M 2 = với một giá trị z = f (x , y ) ∈ ℝ duy nhất được gọi là hàm số hai biến số x , y . • Tập D ⊂ ℝ2 được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm • Hình tròn S (M , ε) mở có tâm ε số, ký hiệu Df . Miền giá trị của hàm số là: M (x , y ), bán kính ε > 0 được • M { } G = z = f (x , y ) ∈ ℝ (x , y ) ∈ Df . gọi là một lân cận của điểm M . Nghĩa là: VD M 0 (x 0 , y 0 ) ∈ S (M , ε) ⇔ (x − x 0 )2 + (y − y0 )2 < ε . • Hàm số f (x , y ) = 3x 2y − cos xy có Df = ℝ2 . Toán cao c p A2 Cao đ ng 1
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi §2. ĐẠO HÀM RIÊNG – VI PHÂN 2 2 • Hàm số z = 4 − x − y có MXĐ là hình tròn đóng 2.1. Đạo hàm riêng tâm O(0; 0), bán kính R = 2 . a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Hàm số z = ln(4 − x 2 − y 2 ) có MXĐ là hình tròn mở • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền mở D ⊂ ℝ 2 tâm O(0; 0), bán kính R = 2 . chứa điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cố định y0 , nếu hàm số f (x , y0 ) Chú ý • Trong trường hợp xét hàm số f (x , y ) mà không nói gì có đạo hàm tại x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng thêm thì ta hiểu MXĐ của hàm số là tập tất cả các điểm theo biến x của hàm số f (x , y ) tại (x 0 , y0 ). M (x , y ) ∈ ℝ2 sao cho f (x , y ) có nghĩa. ∂f Ký hiệu: fx (x 0 , y 0 ) hay fx/ (x 0 , y 0 ) hay (x , y ). ∂x 0 0 • Hàm có nhiều hơn hai biến được định nghĩa tương tự. f (x , y0 ) − f (x 0 , y0 ) 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến số (xem giáo trình) / Vậy fx (x 0 , y0 ) = lim . x − x0 x →x 0 1.3. Hàm số liên tục (xem giáo trình) Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi x2 + 1 • Tương tự, đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là: VD 2. Tính các đạo hàm riêng của z = ln . x 2 + y2 + 1 f (x 0 , y ) − f (x 0 , y 0 ) fy/ (x 0 , y 0 ) = lim . y − y0 y →y0 x VD 3. Tính các đạo hàm riêng của z = cos tại (π; 4). Chú ý y ∂f df • Nếu f (x ) là hàm số một biến x thì fx/ = = . ∂x 2 dx VD 4. Tính các đạo hàm riêng của f (x , y, z ) = e x y sin z . • Hàm số nhiều hơn hai biến có định nghĩa tương tự. VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm số: b) Đạo hàm riêng cấp cao f (x , y ) = x 4 − 3x 3y 2 + 2y 3 − 3xy tại (−1; 2). • Đạo hàm riêng (nếu có) của hàm số fx/ (x , y ), fy/ (x , y ) được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f (x , y ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi Ký hiệu: VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số:  ∂  ∂f  ∂ 2 f f (x , y ) = x 3e y + x 2y 3 − y 4 tại (−1; 1). f // = fxx = ( fx ) =  = , ∂x  ∂x  ∂ x 2  2  x x VD 6. Cho hàm số f (x , y ) = x 5 + y 4 − x 4y 5 .  ∂  ∂f  ∂ 2 f () f // = fyy = fy =  = 2, Giá trị của đạo hàm riêng cấp năm f (5)2 (1; −1) là:  ∂ y  ∂y ∂y   y2  y 3 xy ∂  ∂f   f (5)2 (1; −1) = (5) f 3 2 (1; −1) = −480 ; ∂2 f 480 ; A. B.  fxy = fxy = ( fx ) = //  = x 3y , xy  ∂y  ∂ x  ∂y ∂x  y (5) (5) (1; −1) = 120 ; (1; −1) = −120 . C. f D. f x 3y 2 x 3y 2  ∂2 f ∂  ∂f  ( )x // = fyx = fy = =  fyx . ∂x  ∂ y  ∂x ∂y • Định lý Schwarz  Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng fxy/ , fyx liên / // • Hàm số nhiều hơn 2 biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn tục trong miền mở D ⊂ ℝ 2 thì fxy/ = fyx . / // 2 có định nghĩa tương tự. Toán cao c p A2 Cao đ ng 2
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi +) 2x −y b) Định nghĩa Đạo hàm riêng z (m−2n n 2 (m ≥ 2) của z = e VD 7. là: xm y x • Nếu trong lân cận S (M 0 , ε) với số gia ∆x , ∆y mà số n m +n 2x −y m m +n 2x −y A. (−1) 2 B. (−1) 2 e e ; ; gia ∆f tương ứng có thể viết được dưới dạng C. (−1)m 2m e 2x −y ; D. (−1)n 2m e 2x −y . ∆f = A.∆x + B.∆y + O (r ) , r = (∆x )2 + (∆y )2 2.2. Vi phân trong đó A, B là những số chỉ phụ thuộc vào điểm 2.2.1. Vi phân cấp 1 M 0 (x 0 , y 0 ) và hàm f (x , y ), không phụ thuộc ∆x , ∆y a) Số gia của hàm số thì đại lượng A.∆x + B .∆y được gọi là vi phân của hàm • Cho hàm số f (x , y ) xác định trong lân cận S (M 0 , ε) số f (x , y ) tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). Khi đó, f (x , y ) được của điểm M 0 (x 0 , y0 ). Cho x một số gia ∆x và y một gọi là khả vi tại điểm M 0 (x 0 , y 0 ). số gia ∆y , khi đó hàm f (x , y ) có tương ứng số gia: Ký hiệu df = A.∆x + B .∆y. ∆f = f (x 0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f (x 0 , y0 ). Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi Nhận xét c) Định lý • Xét những điểm M (x 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) dịch chuyển • Nếu hàm số f (x , y ) có các đạo hàm riêng trong lân cận trên đường đi qua M 0 song song O x . Khi đó ∆ y = 0 : nào đó của (x 0 , y 0 ) và các đạo hàm riêng này liên tục ∆ f = f (x 0 + ∆ x , y 0 ) − f (x 0 , y 0 ) = A.∆ x + O (∆ x ) tại (x 0 , y 0 ) thì f (x , y ) khả vi tại (x 0 , y 0 ). ∆f = A ⇒ A = fx/ (x 0 , y 0 ) . ⇒ lim ∆x → 0 ∆ x ∆f = B ⇒ B = fy/ (x 0 , y 0 ) . Tương tự, lim ∆y → 0 ∆ y VD 8. Cho hàm f (x , y ) = x 2e x −y − y 5 . Tính df (1; −1). Suy ra df (x , y ) = fx/ (x , y ).∆ x + fy/ (x , y ).∆ y . • Xét f (x , y ) = x ⇒ df (x , y ) = ∆x ⇒ dx = ∆x . 2 −y sin(xy 2 ). VD 9. Tính vi phân cấp 1 của hàm z = e x Tương tự, dy = ∆y . Vậy: df (x , y ) = fx/ (x , y )dx + fy/ (x , y )dy. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi 2.2.2. Vi phân cấp 2 VD 10. Cho hàm số f (x , y ) = x 2y 3 + xy 2 − 3x 3y 5 . • Giả sử f (x , y ) là hàm khả vi với x , y là các biến độc Tính vi phân cấp hai df 2 (2; −1). lập. Các số gia dx = ∆x , dy = ∆y tùy ý độc lập với x , y nên được xem là hằng số đối với x, y . Vi phân của VD 11. Tính vi phân cấp 2 của hàm f (x , y ) = ln(xy 2 ). df (x , y ) được gọi là vi phân cấp 2 của f (x , y ). Ký hiệu và công thức: d 2 f = d (df ) = f //dx 2 + 2 fxy dxdy + f //dy 2 . // 2 2 x y 2.3. Đạo hàm của hàm số ẩn (hai biến) • Hàm z (x , y ) xác định trên Dz ⊂ ℝ 2 thỏa phương trình Chú ý • Nếu x , y là các biến không độc lập (biến trung gian) F (x , y, z(x , y )) = 0, ∀(x , y ) ∈ D ⊂ Dz (*) được gọi là x = x (ϕ, ψ), y = y(ϕ, ψ) thì công thức trên không còn hàm số ẩn hai biến xác định bởi (*). đúng nữa. Sau đây ta chỉ xét trường hợp x , y độc lập. Toán cao c p A2 Cao đ ng 3
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ Giả sử các hàm trên đều khả vi, đạo hàm 2 vế (*) ta được: 3.1. Định nghĩa Fx/ + Fz/ .z x = 0, Fy/ + Fz/ .zy = 0 . / / • Hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị thực sự tại M 0 (x 0 , y 0 ) Fy/ Fx/ (F ) nếu với mọi điểm M (x , y ) khá gần nhưng khác M 0 thì / / / Vậy z x = − , zy = − ≠0 . z Fz/ Fz/ hiệu ∆f = f (x , y ) − f (x 0 , y 0 ) có dấu không đổi. • Nếu ∆f > 0 thì f (x 0 , y 0 ) là giá trị cực tiểu và M 0 là VD 12. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình: điểm cực tiểu của z = f (x , y ). / / xyz = cos(x + y + z ). Tính z x , zy . • Nếu ∆f < 0 thì f (x 0 , y0 ) là giá trị cực đại và M 0 là điểm cực đại của z = f (x , y ). 2  y VD 13. Cho hàm ẩn z(x , y ) thỏa phương trình mặt cầu: 3y 2 VD 1. Hàm số f ( x , y ) = x 2 + y 2 − xy =  x −  +   2     4 x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y − 6z − 2 = 0 . Tính zy . / ⇒ f ( x , y ) ≥ 0, ∀ ( x , y ) ∈ ℝ 2 nên đạt cực tiểu tại O ( 0; 0) . Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi 3.2. Định lý Khi đó: AC − B 2 > 0 a) Điều kiện cần  • Nếu  ⇒ f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 . • Nếu hàm số z = f (x , y ) đạt cực trị tại M 0 (x 0 , y0 ) và   A>0   tại đó hàm số có đạo hàm riêng thì: AC − B 2 > 0  • Nếu  fx/ (x 0 , y0 ) = fy/ (x 0 , y0 ) = 0. ⇒ f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 .   A
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi VD 3. Tìm cực trị của hàm z = x 2 + y 2 + 4x − 2y + 8 . 3.5. Cực trị có điều kiện • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên lân cận của điểm VD 4. Tìm cực trị của hàm số z = x 3 + y 3 − 3xy − 2 . M 0 (x 0 , y 0 ) thuộc đường cong (γ) : ϕ(x , y ) = 0 . VD 5. Tìm cực trị của z = 3x 2y + y 3 − 3x 2 − 3y 2 + 2 . Nếu tại M 0 hàm f (x , y ) đạt cực trị thì ta nói M 0 là điểm cực trị có điều kiện của f (x , y ) với điều kiện 50 20 VD 6. Cho hàm số z = xy + + (x > 0, y > 0). ϕ(x , y ) = 0 . x y Khẳng định đúng là: • Để tìm cực trị có điều kiện của hàm số f (x , y ) ta dùng A. z đạt cực tiểu tại M (2; 5) và giá trị cực tiểu z = 39 . phương pháp khử hoặc nhân tử Lagrange. B. z đạt cực tiểu tại M (5; 2) và giá trị cực tiểu z = 30 . a) Phương pháp khử C. z đạt cực đại tại M (2; 5) và giá trị cực đại z = 39 . • Từ phương trình ϕ(x , y ) = 0 ta rút x hoặc y thế vào D. z đạt cực đại tại M (5; 2) và giá trị cực đại z = 30 . f (x , y ), sau đó tìm cực trị của hàm một biến. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Ch 1. nhi Ch 1. nhi 2 • Bước 3. Tính vi phân cấp 2 tại M 0 (x 0 , y0 ) ứng với λ 0 : VD 7. Tìm điểm cực trị của hàm z = x y thỏa điều kiện: x − y + 3 = 0. d 2L(M 0 ) = L// dx 2 + 2L//dxdy + L//dy 2 . xy 2 2 x y b) Phương pháp nhân tử Lagrange Các vi phân dx , dy phụ thuộc vào điều kiện ràng buộc: fy/ fx/ Tại điểm cực trị (x , y ) của f , gọi λ = − = − là  d ϕ(x , y ) = ϕ/ (x , y )dx + ϕ/ (x , y )dy = 0 (1) ϕ/ / ϕy  00 x00 y00  x  (dx )2 + (dy )2 > 0 (2). nhân tử Lagrange. Để tìm cực trị ta thực hiện các bước:    • Bước 1. Lập hàm phụ (hàm Lagrange): • Bước 4. Từ điều kiện ràng buộc (1) và (2), ta có: L(x , y, λ) = f (x , y ) + λϕ(x , y ). Nếu d 2L(M 0 ) > 0 thì f (x , y ) đạt cực tiểu tại M 0 . • Bước 2. Giải hệ: L/ = 0, L/ = 0, L/ = 0 Nếu d 2L(M 0 ) < 0 thì f (x , y ) đạt cực đại tại M 0 . λ x y ⇒ điểm dừng M 0 (x 0 , y 0 ) ứng với λ 0 . Nếu d 2L(M 0 ) = 0 thì M 0 không là điểm cực trị. Chương 1. Hàm s nhi u bi n s Chương 2. Tích phân b i Ch 1. nhi Ch 2. §1. Tích phân bội hai (tích phân kép) VD 8. Tìm điểm cực trị của hàm số f (x , y ) = 2x + y §2. Ứng dụng của tích phân bội hai với điều kiện x 2 + y 2 = 5 . ………………………….. §1. TÍCH PHÂN BỘI HAI 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) VD 9. Tìm điểm cực trị của hàm z = xy thỏa điều kiện • Xét hàm số z = f (x , y ) x 2 y2 + = 1. liên tục, không âm và 8 2 một mặt trụ có các đường sinh song song ………………………………………. với Oz , đáy là miền phẳng đóng D trong mpOxy . Toán cao c p A2 Cao đ ng 5
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. • Để tính thể tích khối trụ, ta chia miền D thành n phần 1.2. Tích phân bội hai không dẫm lên nhau ∆Si , i = 1; n . Diện tích mỗi phần a) Định nghĩa cũng ký hiệu là ∆Si . Khi đó, khối trụ cong được chia • Cho hàm số f (x , y ) xác định trên miền D đóng và bị thành n khối trụ nhỏ. Trong mỗi phần ∆Si ta lấy điểm chặn trong mpOxy . Chia miền D một cách tùy ý thành n phần không dẫm lên nhau, diện tích mỗi phần là ∆Si , M i (xi ; yi ) tùy ý và thể tích V của khối trụ là: i = 1; n . Lấy n điểm tùy ý M i (x i ; yi ) ∈ ∆Si . Khi đó, n V ≈ ∑ f (xi ; yi )∆Si . n ∑ f (xi ; yi )∆Si i =1 In = được gọi là tổng tích phân của { } • Gọi di = max d (A, B ) A, B ∈ ∆Si là đường kính của i =1 f (x , y ) trên D (ứng với phân hoạch ∆Si và các điểm n ∑ f (xi ; yi )∆Si . ∆Si . Ta có: V = lim chọn M i ). max di →0 i =1 Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i Ch 2. Ch 2. n ∫∫ f (x, y )dxdy , ta nói f (x, y ) khả tích trên ∑ f (xi , yi )∆Si • Nếu tồn tại • Nếu giới hạn I = lim tồn tại hữu max di →0 i =1 D hạn, không phụ thuộc vào phân hoạch ∆Si và cách chọn miền D ; f (x , y ) là hàm dưới dấu tích phân; x , y là các điểm M i thì số thực I được gọi là tích phân bội hai của biến tích phân. ∫∫ f (x , y )dS . hàm số f (x , y ) trên miền D . Ký hiệu I = Nhận xét D ∫∫ dxdy = S (D ) (diện tích của miền D ). • Chia miền D bởi các đường thẳng song song với Ox , D Oy ta được ∆Si = ∆xi .∆yi hay dS = dxdy . b) Định lý ∫∫ ∫∫ f (x, y )dxdy. Vậy I = f (x , y )dS = • Hàm f (x , y ) liên tục trong miền D đóng và bị chặn thì D D khả tích trong D . Chương 2. Tích phân b i Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. 1.3. Tính chất của tích phân bội hai 1.4. Phương pháp tính tích phân bội hai Giả sử các tích phân dưới đây đều tồn tại. 1.4.1. Đưa về tích phân lặp • Tính chất 1. ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ f (u , v )dudv . a) Công thức tính tích phân lặp D D • Tính chất 2 ∫∫ [ f (x , y ) ± g (x , y )]dxdy = ∫∫ ∫∫ gdxdy ; fdxdy ± Nếu miền lấy tích phân D là: D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} D D D ∫∫ kf (x , y )dxdy = k ∫∫ f (x , y )dxdy , k ∈ ℝ . thì ta có: D D y2 (x ) b • Tính chất 3 ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dx ∫ f (x , y )dy. Nếu chia miền D thành D1 , D 2 bởi đường cong có diện y1 (x ) D a tích bằng 0 thì: ∫∫ f (x , y )dxdy = ∫∫ ∫∫ f (x , y )dxdy + f (x , y )dxdy . D D1 D2 Toán cao c p A2 Cao đ ng 6
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. 2) Nếu D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, y1(x ) ≤ y ≤ y2 (x )} Nếu miền lấy tích phân D là: và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: D = {(x , y ) : x 1(y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } y2 (x ) thì ta có: b ∫∫ ∫ ∫ f (x , y )dxdy = u(x )dx v(y )dy. x 2 (y ) d ∫∫ ∫ dy ∫ f (x , y )dxdy = f (x , y )dx . y1 (x ) D a 3) Nếu D = {(x , y ) : x1 (y ) ≤ x ≤ x 2 (y ), c ≤ y ≤ d } x1 (y ) D c và f (x , y ) = u(x ).v(y ) thì: Chú ý x 2 (y ) 1) Nếu miền D là hình chữ nhật, d ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ v(y)dy ∫ D = {(x , y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } = [a ; b ] × [c; d ] thì: u(x )dx . x1 (y ) D c b d d b ∫∫ f (x, y )dxdy = ∫ dx ∫ f (x, y )dy =∫ dy ∫ f (x , y )dx . 4) Nếu D là miền phức tạp thì ta chia D ra thành những miền đơn giản. D a c c a Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. ∫∫ f (x , y )dxdy . Xác định cận tích phân VD 1. Cho I = ∫∫ 6xy dxdy . 2 VD 2. Tính tích phân I = D D lặp với miền D giới hạn bởi y = 0, y = 2x , x = a > 0 . Trong đó, D = [0; 2]× [−1; 1]. ∫∫ (2x + y )dxdy . VD 3. Tính tích phân I = D Trong đó, D = {y ≤ x ≤ 1 − y, − 2 ≤ y ≤ 0}. ∫∫ ydxdy , trong đó miền D VD 4. Tính tích phân I = D giới hạn bởi các đường y = x + 2, y = x 2 . Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. b) Đổi thứ tự lấy tích phân y 2 (x ) x 2 (y ) b d ∫ dy ∫ ∫ ∫ I= I= f (x , y )dx f (x , y )dy dx x1 (y ) c y1 (x ) a Toán cao c p A2 Cao đ ng 7
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. VD 5. Đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân sau: 1.4.2. Phương pháp đổi biến 1 3 1 x a) Công thức đổi biến tổng quát ∫ dx ∫ f (x , y )dy + ∫ dx ∫ f (x , y )dy . I= • Đặt x = x (u, v ), y = y(u, v ). x2 x2 0 1 9 9 Khi đó miền Dxy trở thành: Dxy = {(x , y ) : x = x (u, v ), y = y(u, v ), (u, v ) ∈ Duv }. ′ ′ ∂(x , y ) x u xv • Nếu Jacobien J = = ≠ 0 thì ta có: ′ ′ ∂(u, v ) yu yv ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x (u, v), y(u, v )). J dudv. Dxy Duv Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. u +v u −v VD 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 parapol: VD 6. Bằng cách đổi biến x = ,y= ta có y = x 2 , 2y = x 2 , x = y 2 , 3x = y 2 . 2 2 miền D ≡ Dxy trở thành Duv = {1 ≤ u ≤ 3, 2 ≤ v ≤ 5} . ∫∫ (x 2 − y 2 )dxdy . Hãy tính tích phân I = D ′ ′ ∂(x , y ) x u xv 1 1 Chú ý. J = = = = . ′ ′ ′ ′ ∂(u, v ) yu ∂(u, v ) yv ux uy ∂(x , y ) ′ ′ vx vy Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. x = r cos ϕ  ( ) b) Đổi biến trong tọa độ cực Đặt  với r = OM , ϕ = Ox , OM .  y = r sin ϕ   Trong mpOxy , xét miền D . Khi đó, miền D trở thành: Vẽ 2 tia OA, OB tiếp xúc với Dr ϕ = {(r , ϕ) : r1(ϕ) ≤ r ≤ r2 (ϕ), α ≤ ϕ ≤ β}. miền D và (Ox,OA) = α, (Ox,OB ) = β . / / cos ϕ −r sin ϕ ∂(x , y ) x r xϕ Ta có J = =/ = = r. sin ϕ r cos ϕ ∂(r , ϕ) yr / yϕ Khi đó: Vậy: OM ≤ OM ≤ OM   M ∈D ⇔ r2 (ϕ ) 1 2 β ( )  ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ d ϕ ∫ α ≤ Ox , OM ≤ β. f (r cos ϕ, r sin ϕ).rdr .    α r1 (ϕ ) Dxy Toán cao c p A2 Cao đ ng 8
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. Chú ý 4) Nếu cực O nằm trên biên của D thì: 1) Đổi biến trong tọa độ cực thường dùng khi biên của D r (ϕ) β ∫ dϕ ∫ I= f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . là đường tròn hoặc elip. x = r cos ϕ α  0 2) Để tìm r1(ϕ), r2 (ϕ) ta thay   vào phương y = r sin ϕ x = ra cos ϕ    5) Nếu biên của D là elip thì ta đặt:   trình của biên D . y = rb sin ϕ   ⇒ Dr ϕ = {(r , ϕ) : 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1}, 3) Nếu cực O nằm trong D và mỗi tia từ O chỉ cắt biên r (ϕ ) 2π 2π 1 ∫ ∫ D tại 1 điểm thì: I = dϕ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr . J = abr ⇒ I = ab ∫ d ϕ ∫ f (ra cos ϕ, rb sin ϕ)rdr . 0 0 0 0 Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. ∫∫ f (x, y )dxdy ∫∫ f (x , y )dxdy VD 8. Hãy biểu diễn tích phân I = VD 9. Hãy biểu diễn tích phân I = D D trong tọa độ cực. Biết miền D giới hạn bởi hình tròn có trong tọa độ cực. Biết miền D nằm ngoài đường tròn biên là (C ) : x 2 + y 2 − 2y = 0 và nằm trong góc phần tư (C 1 ) : x 2 + y 2 = 2x và nằm trong (C 2 ) : x 2 + y 2 = 4x . thứ hai. Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. §2. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI HAI 2 2 x  y  4 −   −   dxdy , với VD 10. Tích phân I = ∫∫     2.1. Tính diện tích hình phẳng   2  3 D Diện tích S của hình phẳng D là:  x 2  y 2 miền D giới hạn bởi (E ) :   +   = 1 và nằm ∫∫ dxdy.   S=     2 3 D trong góc phần tư thứ nhất có giá trị là: ( ) ( ) A. 8 − 3 3 π ; B. 3 3 − 8 π ; VD 1. Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi: C. (3 − 2 2 ) π ; D. (3 − 2 2 ) π . y = x 2 − 2x , y = 2 − x 3 và y = x + 2 . 2 Toán cao c p A2 Cao đ ng 9
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. 2.2. Tính thể tích khối trụ VD 3. Tính thể tích khối V giới hạn bởi các mặt Cho hình trụ V có các đường sinh song song với Oz , x 2 + y 2 = 4 − z , x 2 + y 2 ≤ 2 và z = 0 . hai đáy giới hạn bởi các mặt z = 0 , z = f (x , y ) với f (x , y ) > 0 và liên tục ∀(x , y ) ∈ D . Khi đó, thể tích của khối trụ là: V = ∫∫ f (x , y )dxdy. D VD 2. Tính thể tích V giới hạn bởi phần hình trụ x 2 + y2 = 1 và hai mặt phẳng x + y + z − 2 = 0, z = 0. Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. 2.3. Khối lượng của bản phẳng (tham khảo) b) Công thức tính Momen tĩnh của bản phẳng chiếm diện tích D trong Xét một bản phẳng chiếm miền D ⊂ ℝ2 (đóng và bị mpOxy có khối lượng riêng tại điểm M (x , y ) ∈ D là chặn) có khối lượng riêng (mật độ khối lượng) tại điểm hàm ρ(x , y ) liên tục trên D là: M (x , y ) ∈ D là hàm ρ(x , y ) liên tục trên D . ∫∫ y ρ(x, y )dxdy, M x =0 = ∫∫ x ρ(x, y )dxdy. Khi đó, khối lượng của bản phẳng là: M y =0 = m = ∫∫ ρ(x , y )dxdy. D D D 2.5. Trọng tâm của bản phẳng (tham khảo) 2.4. Momen tĩnh (tham khảo) Xét một bản phẳng chiếm miền D ⊂ ℝ2 (đóng và bị a) Định nghĩa chặn) có khối lượng riêng tại điểm M (x , y ) ∈ D là hàm Momen tĩnh của một chất điểm có khối lượng m đặt tại ρ(x, y ) liên tục trên D . điểm M (x , y ) trong Oxy đối với các trục Ox , Oy theo Khi đó, tọa độ trọng tâm G của bản phẳng là: M y =0 = my, M x =0 = mx . thứ tự là: Chương 2. Tích phân b i hai Chương 2. Tích phân b i hai Ch 2. Ch 2. 2.6. Momen quán tính (tham khảo) ∫∫ x ρ(x, y )dxdy a) Định nghĩa 1 ∫∫ x ρ(x, y )dxdy, xG = = D Momen quán tính của một chất điểm có khối lượng m ∫∫ ρ(x, y )dxdy m đặt tại điểm M (x , y ) trong Oxy đối với các trục Ox , Oy D D và gốc tọa độ O theo thứ tự là: ∫∫ y ρ(x, y )dxdy I x = my 2 , I y = mx 2 , IO = I x + I y = m(x 2 + y 2 ). 1 ∫∫ y ρ(x, y )dxdy. yG = = D ∫∫ ρ(x, y )dxdy m b) Công thức tính D D I x = ∫∫ y 2ρ(x , y )dxdy, I y = ∫∫ x 2 ρ(x , y )dxdy, Nhận xét Khi bản phẳng đồng chất thì ρ(x , y ) là hằng số nên: D D ∫∫ (x ) 2 + y 2 ρ(x , y )dxdy. IO = 1 1 S (D ) ∫∫ S (D ) ∫∫ xG = xdxdy, yG = ydxdy. D ………………………………………………………………………… D D Toán cao c p A2 Cao đ ng 10
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng • Gọi độ dài cung thứ i là ∆si . Trên cung thứ i lấy điểm §1. Tích phân đường loại 1 §2. Tích phân đường loại 2 n ∑ f (M i )∆si tùy ý M i (x (ti ), y(ti )). Tổng I n = được ………………………….. i =1 gọi là tổng tích phân đường loại 1 của hàm f (x , y ) trên §1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I đường cong L . n 1.1. Định nghĩa ∑ f (Mi )∆si lim • Giới hạn tồn tại hữu hạn được • Giả sử đường cong L trong mặt phẳng Oxy có phương max ∆s →0 i =1 i trình tham số x = x (t ), y = y(t ) với t ∈ [a ; b ] và f (x , y ) gọi là tích phân đường loại 1 của hàm f (x , y ) trên là hàm số xác định trên L . Chia L thành n cung không đường cong L . dẫm lên nhau bởi các điểm chia ứng với: Ký hiệu là ∫ f (x , y )ds hay ∫ f (x, y )dl . a = t0 < t1 < ... < tn = b . L L Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng 1.2. Phương pháp tính tích phân đường loại 1 Chú ý a) Đường cong L có phương trình tham số 1) Tích phân đường loại 1 có tất cả các tính chất của tích phân xác định. Nếu đường cong L có phương trình tham số: x = x (t ), y = y(t ), với a ≤ t ≤ b thì: 2) Tích phân đường loại 1 không phụ thuộc vào chiều b của đường cong L , nghĩa là: ∫ f (x (t ), y(t )) (xt′ ) + (yt′ ) dt. 2 2 ∫ f (x , y )ds = ∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, y )ds. L a BA AB ∫ xds . Trong đó, L VD 1. Tính tích phân I = là cung 3) Nếu đường cong L trơn từng khúc và hàm số f (x , y ) L ∫ f (x, y )ds tồn tại. π π liên tục trên L thì tròn có phương trình: x = cos t , y = sin t , ≤t ≤ . 6 3 L Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng ∫ VD 2. Tính tích phân I = (x − y )dl . Trong đó, L là b) Đường cong L có phương trình tổng quát L • Nếu L có phương trình y = y(x ) với a ≤ x ≤ b thì: đoạn thẳng nối điểm A(0; 2) và điểm B(−2; −3). b 1 + (yx ) dx . 2 ∫ ∫ f (x, y(x )). ′ f (x , y )ds = ∫ (1 − 2x 2 VD 3. Tính tích phân I = )2ydl . Trong đó, L L a L là đoạn thẳng nối điểm A(1; −3) và điểm B(1; −7). • Nếu L có phương trình x = x (y ) với a ≤ y ≤ b thì: b ∫ f (x (y ), y). (x y′ ) 2 ∫ Chú ý f (x , y )ds = + 1 dy. Phương trình tham số của đường thẳng AB là không duy L a nhất, nhưng kết quả tính tích phân vẫn không thay đổi. Toán cao c p A2 Cao đ ng 11
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng ∫ (x + y )ds với L là ∆OAB VD 4. Tính tích phân I = Đặc biệt • Nếu L có phương trình y = α ∈ ℝ với a ≤ x ≤ b thì: L có các đỉnh O(0; 0), A(1; 0), B(1; 2). b ∫ f (x, y )ds = ∫ f (x, α)dx . L a • Nếu L có phương trình x = α ∈ ℝ với a ≤ y ≤ b thì: b ∫ ∫ f (α, y )dy. f (x , y )ds = L a Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng ∫ c) Đường cong L trong tọa độ cực x 2 + y 2 ds với L là VD 5. Tính tích phân I = L Nếu phương trình của đường cong L được cho trong tọa đường tròn có phương trình (C ) : x 2 + y 2 − 4y = 0 . độ cực r = r (ϕ) với α ≤ ϕ ≤ β thì ta xem ϕ là tham số. Khi đó, phương trình của L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, α ≤ ϕ ≤ β. Đặt f ≡ f (r (ϕ)cos ϕ, r (ϕ)sin ϕ), ta có công thức: β () 2 ∫ ∫ f. ′ r 2 + rϕ f (x , y )ds = d ϕ. α L Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng b) Tính khối lượng và trọng tâm của dây cung L 1.3. Ứng dụng của tích phân đường loại 1 • Nếu một dây cung L có hàm mật độ khối lượng ρ(x , y ) a) Tính độ dài cung L phụ thuộc vào điểm M ∈ L thì khối lượng của dây là: Độ dài của cung L là l = ∫ ds. ∫ ρ(x, y )ds. m= L L • Trọng tâm G của dây cung L ứng với ρ(x , y ) là: VD 6. Tính độ dài cung tròn 1 1 xG = ∫ x ρ(x , y )ds, yG = ∫ y ρ(x , y )ds. x 2 + y 2 − 2x = 0 từ điểm mL mL 3    3 đến B  1 ; − 3    A ;  VD 7. Cho một dây thép có dạng nửa đường tròn với   2 2  2 2         phương trình x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0 . Biết hàm mật độ khối và không đi qua gốc O . lượng là ρ(x, y ) = 2y . Tìm khối lượng và trọng tâm của dây thép. Toán cao c p A2 Cao đ ng 12
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng §2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II F (M i ) = P (M i ).i + Q(M i ).j 2.1. Bài toán mở đầu và Ai −1Ai = ∆xi .i + ∆yi .j . Tính công sinh ra do lực F = F (M ) tác dụng lên chất điểm M (x , y ) di chuyển dọc theo đường cong L . Khi đó, công W sinh ra là: • Nếu L là đoạn thẳng AB thì công sinh ra là: ( ) n n W ≈ ∑Wi = ∑ F (M i )Ai−1Ai W = F .AB = F AB cos F , AB . i =1 i =1 • Nếu L là cung AB thì ta chia L thành n cung nhỏ bởi n =∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi . các điểm chia A = A0 , A1 ,..., An = B . Trên mỗi cung i =1 Ai −1Ai ta lấy điểm M i (x i , yi ) tùy ý. n ∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  . Vậy W = lim A →0 Chiếu F (M i ), Ai −1Ai lần lượt lên trục Ox , Oy ta được: i =1 max Ai −1 i Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng Nhận xét 2.2. Định nghĩa (tích phân đường theo tọa độ) • Tích phân đường loại 2 có tất cả các tính chất như tích • Cho hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) xác định trên đường phân xác định. cong L . Chia L như bài toán mở đầu. Khi đó: • Tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào chiều của L vì n I n = ∑ P(M i )∆xi + Q(M i )∆yi  được gọi là tổng tích ( ) khi thay đổi chiều thì Ai −1Ai = ∆x i , ∆yi đổi dấu, do i =1 phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L . đó khi viết tích phân ta cần ghi rõ điểm đầu và cuối: ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = − ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy. lim I n tồn tại hữu hạn được gọi là • Giới hạn max Ai −1Ai →0 BA AB tích phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) trên L . • Từ định nghĩa tổng tích phân, ta có thể viết: ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = ∫ P(x, y )dx + ∫ Q(x, y )dy. ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy. Ký hiệu là: L AB AB AB Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng 2.3. Phương pháp tính tích phân đường loại 2 Định lý a) Đường cong L có phương trình tham số Nếu hai hàm số P (x , y ), Q(x , y ) liên tục trong miền mở Nếu đường cong L có phương trình tham số x = x (t ), y = y(t ) thì: chứa đường cong L trơn từng khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x , y ), Q(x , y ) dọc theo L . tB ∫ Pdx +Qdy = ∫ P(x (t ), y(t ))xt′ +Q(x (t ), y(t ))yt′  dt. Chú ý tA AB Nếu L là đường cong phẳng và kín lấy theo chiều dương ∫ dx + xdy . VD 1. Tính tích phân I = (ngược chiều kim đồng hồ) thì ta dùng ký hiệu: L ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy. Trong đó L là cung có phương trình tham số: x = 2t 2, y = 2 − 3t L nối từ điểm A(0; 2) đến điểm B(2; 5). Toán cao c p A2 Cao đ ng 13
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng • Nếu đường cong L có phương trình x = x (y ) thì: ∫ 2xdx − dy VD 2. Tính tích phân I = với L là elip L yB x2 y2 ∫ Pdx + Qdy = ∫ P(x (y ), y).xy′ + Q(x (y ), y ) dy. + = 1 lấy theo chiều dương. a2 b2 yA AB Đặc biệt b) Đường cong L có phương trình tổng quát • Nếu đường cong L có phương trình y = α ∈ ℝ thì: • Nếu đường cong L có phương trình y = y(x ) thì: xB xB ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫ P(x, α)dx . P (x , y(x )) + Q(x , y(x )).y ′  dx . ∫ Pdx + Qdy = ∫  x  xA xA AB AB Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng • Nếu đường cong L có phương trình x = α ∈ ℝ thì: 2.4. Công thức Green (liên hệ với tích phân kép) yB a) Xác định chiều trên biên ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∫ Q(α, y )dy. của miền đa liên yA Đường cong L được gọi là AB Jordan nếu nó không tự cắt. ∫ (x − y )dx + (x + y )dy . VD 3. Tính tích phân I = Cho miền D là miền đa liên, L Trong đó L là đường nối 2 điểm O(0; 0) và A(1; 1) với: liên thông, bị chặn có biên ∂D Jordan kín trơn từng 1) L là đường thẳng y = x ; 2) L là đường cong y = x 2 . khúc. Chiều dương của ∂D là chiều mà khi di chuyển dọc ∫ dx + 4xydy VD 4. Tính tích phân I = với BA có theo biên ta thấy miền D BA nằm về phía bên tay trái. phương trình y = x và điểm A(1; 1), B(4; 2). Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng b) Công thức Green ∫ xdy − ydx . VD 5. Tính tích phân I = Cho miền D (xác định như mục a). Nếu P(x , y ), Q(x , y ) L và các đạo hàm riêng liên tục trên miền mở chứa D thì: x2 y2 + = 1 lấy theo chiều dương. Trong đó, L là (E ) : ∫∫ (Qx′ − Py′)dxdy. ∫ a2 b2 P (x , y )dx + Q(x , y )dy = ∂D D H ệ quả VD 6. Tính tích phân I = ∫ (x arctan x + y 2 )dx + (x + 2xy + y 2e−y )dy Diện tích của miền D được tính theo công thức: C 1 ∫ xdy − ydx . S (D ) = với C là đường tròn x 2 + y 2 − 2y = 0 . 2 ∂D Toán cao c p A2 Cao đ ng 14
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng −y xdy − ydx x 2) Hàm P = ,Q= ∫ VD 7*. Tính I = không liên tục tại trong các trường hợp: x2 + y2 x 2 + y2 2 2 L x +y O(0; 0) nên ta không áp dụng công thức Green được. 1) L là đường cong kín không bao quanh gốc tọa độ O ; Giả sử L có phương trình trong tọa độ cực là r = r (ϕ). 2) L là đường cong kín bao quanh gốc tọa độ O . Khi đó, phương trình tham số của L là: x = r (ϕ)cos ϕ, y = r (ϕ)sin ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π . −y x ,Q = Giải. 1) Các hàm P = và các đạo dx = x /dr + x /d ϕ = cos ϕdr − r sin ϕd ϕ  x + y2 2 2 2 x +y  ϕ r Do  nên dy = y /dr + y /d ϕ = sin ϕdr + r cos ϕd ϕ hàm riêng liên tục trên ℝ2 \ {(0; 0)} nên áp dụng Green:    ϕ r xdy − ydx ( ) xdy − ydx = r 2 cos2 ϕd ϕ + r 2 sin 2 ϕd ϕ = r 2d ϕ I =∫ = ∫∫ Qx − Py/ dxdy = 0. / 2π 2 2 x +y r 2d ϕ xdy − ydx ∫ ∫ ⇒I = = = 2π . L D x 2 + y2 r2 0 L Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng Cách khác 2.5. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc Xét miền D giới hạn bởi L và vào đường lấy tích phân (C ) : x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) a) Định lý Giả sử các hàm số P , Q và các đạo hàm riêng cấp của (nằm trong L ). Khi đó, chiều của L và C ngược nhau. chúng liên tục trong miền mở đơn liên D . Khi đó, bốn mệnh đề sau tương đương: ……………………………………………. ……………………………………………. 1) Py/ = Qx , ∀(x , y ) ∈ D . / ……………………………………………. ∫ P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 dọc theo mọi đường 2) L cong kín L nằm trong D . Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng ∫ P (x , y )dx + Q(x , y )dy , trong đó nằm trong D , 3) VD 9. Tích phân đường nào sau đây không phụ thuộc vào AB các đường trơn từng khúc nối hai điểm A, B ? AB chỉ phụ thuộc vào hai đầu mút A, B mà không phụ ∫ (4xy 3 + 2x )dx + (y 4 + 2y − x )dy . A. I = thuộc vào đường nối giữa A với B . AB ∫ (4xy 3 + 2x − 1)dx + (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy . B. I = 4) Biểu thức P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần của hàm u(x , y ) nào đó trong miền D . AB ∫ (4xy 3 + 2x )dx − (y 4 + 2y − x )dy . C. I = x −y x +y ∫ x 2 + y 2 dx + x 2 + y 2 dy . Biết VD 8. Tính I = L là AB ∫ (4xy 3 + 2x − 1)dx − (y 4 + 6x 2y 2 − 1)dy . D. I = L đường trơn từng khúc nối điểm A(−1; −1) và B(−2; −2) AB nằm trong miền D không chứa gốc tọa độ O . Toán cao c p A2 Cao đ ng 15
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Tích phân đư ng Chương 3. Tích phân đư ng Ch 3. ng Ch 3. ng b) H ệ qu ả (3,2) (x + 2y )dx + ydy ∫ VD 11. Tính tích phân I = theo Nếu P(x , y )dx + Q(x , y )dy là vi phân toàn phần của hàm (x + y )2 (1,1) u(x , y ) nào đó trong miền mở đơn liên D thì: một đường trơn từng khúc không cắt (d ) : x + y = 0 . ∫ P(x, y )dx + Q(x, y )dy = u(B ) − u(A). AB VD 10. Cho biết u(x, y) = xey − yex + 2x + 1 có vi phân toàn phần là du = (ey − yex + 2)dx + (xey − ex )dy . (1,0) ∫ Hãy tính I = (ey − ye x + 2)dx + (xey − ex )dy . (1,1) A. I = −1; B. I = −2; C. I = 1; D. I = 2 . ……………………………………….. Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân VD 1. Cho phương trình vi phân y ′ − x = 0 (*). §1. Phương trình vi phân cấp 1 §2. Phương trình vi phân cấp 2 x2 …………………………… Xét hàm số y = + C , ta có: 2 §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I y ′ − x = 0 thỏa phương trình (*). 1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 x2 Suy ra y = + C là nghiệm tổng quát của (*). • Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát F (x , y, y ′) = 0 (*). Nếu từ (*) ta giải được 2 x2 theo y ′ thì (*) trở thành y ′ = f (x , y ). Thế x = 2, y = 1 vào y = + C , ta được: • Nghiệm của (*) có dạng y = y(x ) chứa hằng số C được 2 gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y0 = y(x 0 ) x2 C = −1 ⇒ y = − 1 là nghiệm riêng của (*) ứng với cho trước (thường gọi là điều kiện đầu) vào nghiệm 2 tổng quát ta được giá trị C 0 cụ thể và nghiệm lúc này điều kiện đầu y(2) = 1. được gọi là nghiệm riêng của (*). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản VD 3. Giải phương trình vi phân y ′ = xy(y + 2). 1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng: f (x )dx + g(y )dy = 0 (1). VD 4. Giải ptvp x 2 (y + 1)dx + (x 3 − 1)(y − 1)dy = 0 . Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát: ∫ f (x )dx + ∫ g(y )dy = C . 1 VD 5. Giải ptvp xy ′ + y = y 2 thỏa điều kiện y(1) = . xdx ydy + = 0. VD 2. Giải phương trình vi phân 2 1 + x2 1 + y2 Toán cao c p A2 Cao đ ng 16
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân b) Phương trình vi phân đẳng cấp 1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 • Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 có dạng: a) Hàm đẳng cấp hai biến số y ′ = f (x , y ) (2). • Hàm hai biến f (x , y ) được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k > 0 thì f (kx , ky ) = k n f (x , y ). Trong đó, f (x , y ) là hàm số đẳng cấp bậc 0. Phương pháp giải Chẳng hạn, hàm số: y  x −y Bước 1. Biến đổi (2) ⇔ y ′ = ϕ  . f (x , y ) =  là đẳng cấp bậc 0, x   2x + 3y  y Bước 2. Đặt u = ⇒ y ′ = u + xu ′ . 4x 2 + 3xy f (x , y ) = là đẳng cấp bậc 1, x 5x − y du dx Bước 3. (2) ⇒ u + xu ′ = ϕ(u ) ⇒ = ϕ(u ) − u f (x , y ) = 3x 2 − 2xy là đẳng cấp bậc 2. x ( ϕ(u ) − u ≠ 0 ≠ x ) (đây là ptvp có biến phân ly). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần x 2 − xy + y 2 VD 6. Giải phương trình vi phân y ′ = • Cho hai hàm số P(x , y ), Q(x , y ) và các đạo hàm riêng . xy của chúng liên tục trong miền mở D , thỏa điều kiện Qx = Py/ , ∀(x , y ) ∈ D . Nếu tồn tại hàm u(x , y ) sao cho / du(x , y ) = P (x , y )dx + Q(x , y )dy thì phương trình vi phân có dạng: x +y P(x , y )dx + Q(x , y )dy = 0 (3) VD 7. Giải phương trình vi phân y ′ = x −y được gọi là phương trình vi phân toàn phần. với điều kiện đầu y(1) = 0 . • Nghiệm tổng quát của (3) là u(x , y ) = C . Nhận xét / / ux (x , y ) = P(x , y ), uy (x , y ) = Q(x , y ). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân Phương pháp giải VD 8. Cho phương trình vi phân: / / Bước 1. Từ (3) ta có ux = P (3a) và uy = Q (3b). (3y 2 + 2xy + 2x )dx + (x 2 + 6xy + 3)dy = 0 (*). 1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần. Bước 2. Lấy tích phân (3a) theo biến x ta được: 2) Giải phương trình (*). u(x , y ) = ∫ P (x , y )dx = ϕ(x , y ) + C (y ) (3c). Trong đó, C (y ) là hàm theo biến y . Bước 3. Đạo hàm (3c) theo biến y ta được: uy = ϕy + C ′(y ) (3d). / / VD 9. Giải ptvp (x + y − 1)dx + (ey + x )dy = 0 . Bước 4. So sánh (3b) và (3d) ta tìm được C (y ). Thay C (y ) vào (3c) ta được u(x , y ). Toán cao c p A2 Cao đ ng 17
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân ∫ p(x )dx dx = q(x ) ∫ q(x ).e ∫ 1.2.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Nhận xét. B(x ) = dx . A(x ) • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng: Chú ý y ′ + p(x )y = q (x ) (4). • Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0. • Khi q(x ) = 0 thì (4) được gọi là phương trình vi phân • Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm −∫ p(x )dx tuyến tính cấp 1 thuần nhất. tổng quát của (4) dưới dạng: y = C (x )e . Phương pháp giải VD 10. Trong phương pháp biến thiên hằng số, ta đi tìm (phương pháp biến thiên hằng số Lagrange) y nghiệm tổng quát của y ′ + 2 = 4x ln x dưới dạng: Bước 1. Tìm biểu thức A(x ) = e ∫ − p(x )dx . x C (x ) C (x ) ∫ p(x )dxdx . A. y = B. y = ∫ q(x ).e Bước 2. Tìm biểu thức B(x ) = ; ; x2 x3 Bước 3. Nghiệm tổng quát là y = A(x ) B(x ) + C  . C (x ) C (x ) C. y = D. y = − ; . x x Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli VD 11. Giải phương trình vi phân y ′ − x 2y = 0 • Phương trình vi phân Bernoulli có dạng: = −e 9 . y ′ + p(x )y = q(x )y α (5). thỏa điều kiện y x =3 • Khi α = 0 hoặc α = 1 thì (5) là tuyến tính cấp 1. • Khi p(x ) = q(x ) = 1 thì (5) là pt có biến phân ly. Phương pháp giải (với α khác 0 và 1) Bước 1. Với y ≠ 0 , ta chia hai vế cho y α : VD 12. Giải phương trình y ′ + y cos x = e − sin x . y′ y (5) ⇒ + p(x ) = q(x ) yα yα ⇒ y ′y −α + p(x )y 1−α = q(x ). Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân Bước 2. Đặt z = y 1−α ⇒ z ′ = (1 − α )y ′y −α , ta được: §2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II (5) ⇒ z ′ + (1 − α)p(x )z = (1 − α)q(x ) 2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 khuyết (đây là phương trình tuyến tính cấp 1). 2.1.1. Phương trình khuyết y và y’ • Phương trình vi phân khuyết y và y ′ có dạng: y VD 13. Giải phương trình vi phân y ′ + y ′′ = f (x ) (1). = xy 2 x với điều kiện đầu x = 1, y = 1. Phương pháp giải • Lấy tích phân hai vế (1) hai lần: y ′′ = f (x ) ⇒ y ′ = ∫ f (x )dx = ϕ(x ) + C 1 VD 14. Giải phương trình vi phân y ′ − 2xy = x 3y 4 . ∫ ϕ(x )dx + C1x = ψ(x ) + C1x + C 2 . ⇒y = Toán cao c p A2 Cao đ ng 18
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 2.1.2. Phương trình khuyết y VD 1. Giải phương trình vi phân y ′′ = x 2 . • Phương trình vi phân khuyết y có dạng: y ′′ = f (x , y ′) (2). Phương pháp giải • Đặt z = y ′ đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1. 7 3 y′ VD 2. Giải ptvp y ′′ = e 2x với y(0) = − , y ′(0) = . VD 3. Giải phương trình vi phân y ′′ = x − . 4 2 x y′ VD 4. Giải pt vi phân y ′′ − − x (x − 1) = 0 x −1 với điều kiện y(2) = 1, y ′(2) = −1. Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 2.1.3. Phương trình khuyết x 2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính với hệ số hằng • Phương trình vi phân khuyết x có dạng: y ′′ = f (y, y ′) (3). 2.2.1. Phương trình thuần nhất • Phương trình thuần nhất có dạng: Phương pháp giải y ′′ + a1y ′ + a2y = 0, (a1 , a 2 ∈ ℝ ) (4). • Đặt z = y ′ ta có: dz dz dy dz y ′′ = z ′ = = =z . Phương pháp giải. Xét phương trình đặc trưng của (4): . dx dy dx dy k 2 + a1k + a 2 = 0 (5). Khi đó, (3) trở thành ptvp với biến số phân ly. Trường hợp 1 VD 5. Giải phương trình vi phân (1 − y )y ′′ + 2(y ′)2 = 0 . Phương trình (5) có hai nghiệm thực phân biệt k1 , k2 . VD 6. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′(1 − 2y ) = 0 k1x k2x Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e , y2 = e 1 k1x k 2x với điều kiện y(0) = 0, y ′(0) = . và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2e . 2 Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân VD 7. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ − 3y = 0 . Trường hợp 2 Phương trình (5) có nghiệm kép thực k . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng y1 = e kx , y2 = xe kx VD 8. Giải phương trình vi phân y ′′ − 6y ′ + 9y = 0 . và nghiệm tổng quát là y = C 1e + C 2xe . kx kx Trường hợp 3 VD 9. Giải phương trình vi phân y ′′ + 16y = 0 . Phương trình (5) có hai nghiệm phức liên hợp k = α ± iβ. VD 10. Giải phương trình vi phân y ′′ + 2y ′ + 7y = 0 . Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng: y1 = e αx cos βx , y2 = e αx sin βx và nghiệm tổng quát là: VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y = e αx (C 1 cos βx + C 2 sin βx ) . y ′′ − y ′ + y = 0 . Toán cao c p A2 Cao đ ng 19
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, December 07, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân 1 2.2.2. Phương trình không thuần nhất VD 12. Giải phương trình vi phân y ′′ + y = (a). cos x • Phương trình không thuần nhất có dạng: y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ), (a1 , a2 ∈ ℝ ) (6). Giải. Xét phương trình thuần nhất y ′′ + y = 0 (b) ta có: k 2 + 1 = 0 ⇒ k = ±i ⇒ α = 0, β = 1 a) Phương pháp giải tổng quát ⇒ y1 = cos x , y2 = sin x là 2 nghiệm riêng của (b). • Nếu (4) có hai nghiệm riêng y1(x ), y2 (x ) thì (6) có Nghiệm tổng quát của (a) có dạng: nghiệm tổng quát là y = C 1(x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ). y = C 1(x ).cos x + C 2 (x ).sin x . • Để tìm C 1 (x ) và C 2 (x ), ta giải hệ Wronsky: Ta có hệ Wronsky:  cos x .C ′(x ) + sin x .C ′ (x ) = 0  ′ ′ C 1 (x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ) = 0   1 2  ′  ′ ′ ′ C 1 (x )y1(x ) + C 2 (x )y2 (x ) = f (x ). − sin x .C ′(x ) + cos x .C ′ (x ) = 1     1 2  cos x Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân  sin x cos x .C ′(x ) + sin2 x .C ′ (x ) = 0 b) CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI ĐẶC BIỆT   1 2 ⇒ Phương pháp cộng nghiệm − sin x cos x .C ′(x ) + cos2 x .C ′ (x ) = 1  • Định lý   1 2 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất   C ′(x ) = − sin x (6) bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần ⇒ 1  nhất (4) với 1 nghiệm riêng của (6). cos x C ′ (x ) = 1 2  VD 13. Cho phương trình vi phân:  y ′′ − 2y ′ + 2y = (2 + x 2 )e x (*). C (x ) = ln cos x + C  ⇒ 1 1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là y = x 2e x . 1  C 2 (x ) = x + C 2 .   2) Tìm nghiệm tổng quát của (*). VD 14. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân: Vậy phương trình (a) có nghiệm tổng quát là: y ′′ + y ′ = 2 sin 2x + 4 cos 2x , ( ) y = ln cos x + C 1 cos x + (x + C 2 ) sin x . biết 1 nghiệm riêng là y = − cos 2x . Chương 4. Phương trình vi phân Chương 4. Phương trình vi phân Ch 4. Ph vi phân Ch 4. Ph vi phân Phương pháp chồng chất nghiệm Phương pháp tìm nghiệm riêng của phương trình • Định lý vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Cho phương trình vi phân: Xét phương trình y ′′ + a1y ′ + a2y = f (x ) (6) y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ) + f2 (x ) (7). và y ′′ + a1y ′ + a2y = 0 (4). Nếu y1(x ) và y2 (x ) lần lượt là nghiệm riêng của y ′′ + a1y ′ + a2y = f1(x ), y ′′ + a1y ′ + a2y = f2 (x ) • Trường hợp 1: f(x) có dạng eαxPn(x) thì nghiệm riêng của (7) là: ( Pn (x ) là đa thức bậc n ). y = y1(x ) + y2 (x ). Bước 1. Nghiệm riêng của (6) có dạng: VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của y ′′ − y ′ = 2 cos2 x (*). y = x me αxQn (x ) Cho biết y ′′ − y ′ = 1 và y ′′ − y ′ = cos 2x lần lượt có 2 1 (Qn (x ) là đa thức đầy đủ bậc n ). nghiệm riêng y1 = −x , y2 = − cos 2x − sin 2x . 10 10 Toán cao c p A2 Cao đ ng 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2