Toán cao cấp C2 - ĐH Công nghiệp

Chia sẻ: Le Vien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

3.235
lượt xem 476
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ĐH Công nghi p Tp.HCM dvntailieu.wordpress.com Friday, November 26, 2010 TOÁN CAO C P C2 Đ I H C (Đ I S TUY N TÍNH) TÍ PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH S ti t: 45 Chương 1. Ma trận – Định thức Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chương 3. Không gian vector Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chương 5. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương Tài liệu tham khảo 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM. 2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM. 3. Nguyễn...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán cao cấp C2 - ĐH Công nghiệp

ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com 3. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 TOÁN CAO C P C2 Đ I H C C2 – NXB Giáo dục. (Đ I S TUY N TÍNH) TUY 4. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH CH – NXB Giáo dục. 5. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính S ti t: 45 ti – ĐHKHTN TP. HCM. Chương 1. Ma trận – Định thức 6. Alpha C. Chang, Kevin Wainwright Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính – Fundamental methods of Mathematical Economics – Chương 3. Không gian vector Third. Edi. Mc.Graw-hill, Int. Edi. 1984. Chương 4. Ánh xạ tuyến tính Chương 5. Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương 7. Khoa Toán Thống kê – Giáo trình Đại số tuyến tính Tài liệu tham khảo – ĐH Kinh tế TP.HCM. 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐH Công nghiệp TP. HCM. Download Slide bài gi ng Toán C2 ĐH t i Download ng 2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 dvntailieu.wordpress.com – NXB ĐHQG TP. HCM. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh a ... a1n   11 a12  §1. Ma trận   ... a2n  a   a22 §2. Định thức .   A =  21 ... ...  …………………………………………………  ... ...    §1. MA TRẬN    a   m 1 am 2 ... amn  (Matrix)  1.1. Các định nghĩa • Các số aij được gọi là các phần tử của A ở dòng thứ i a) Định nghĩa ma trận và cột thứ j . • Ma trận A cấp m × n trên ℝ là 1 hệ thống gồm • Cặp số (m, n ) được gọi là kích thước của A. m × n số aij ∈ ℝ (i = 1, m; j = 1, n ) và được sắp • Khi m = 1, ta gọi: thành bảng gồm m dòng và n cột: A = (a11 a12 ... a1n ) là ma trận dòng. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh a  • Ma trận vuông  11    • Khi n = 1, ta gọi A =  ...  là ma trận cột. Khi m = n , ta gọi A là ma trận vuông cấp n .   a  Ký hiệu là A = (aij )n .  m1    • Khi m = n = 1, ta gọi: Đường chéo chứa các phần A = (a11 ) là ma trận gồm 1 phần tử. 1  2 3 4  tử a11, a22 ,..., ann được gọi   6 7 8 5  là đường chéo chính của  • Ma trận O = (0ij )m×n có tất cả các phần tử đều bằng 0    A = (aij )n , 7 6 5 4   được gọi là ma trận không.     đường chéo còn lại được gọi 2 1 0 3   • Tập hợp các ma trận A trên ℝ được ký hiệu là   là đường chéo phụ. M m ,n (ℝ ) , để cho gọn ta viết là A = ( aij ) m×n . Toán cao c p C2 Đ i h c 1
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh • Các ma trận vuông đặc biệt Ma trận ma trận vuông cấp n có tất cả các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều bằng Ma trận vuông có tất cả các −1 0 0 0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).   phần tử nằm ngoài đường    0 5 0  3 0 0 1 0 −2   chéo chính đều bằng 0 được               gọi là ma trận chéo (diagonal  0 0 0 B =  4 1 0  A = 0 −1 1              matrix).      0 0   −1 5 2 0    Ký hiệu: diag(a11, a 22 ,..., ann ).   1   3 4 −1 Ma trận vuông cấp n có tất cả Ma trận chéo cấp n gồm tất cả 0 0       các cặp phần tử đối xứng  các phần tử trên đường chéo  4 1 0  1 0  chính đều bằng 1 được gọi là I 3 = 0   nhau qua đường chéo chính         −1 0 2  bằng nhau (aij = a ji ) được 0 0 1 ma trận đơn vị cấp n (Identity          matrix). Ký hiệu là: I n . gọi là ma trận đối xứng. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1.2. Các phép toán trên ma trận b) Ma trận bằng nhau a) Phép cộng và trừ hai ma trận Hai ma trận A = (aij ) và B = (bij ) được gọi là bằng Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bij )m×n , ta có: nhau, ký hiệu A = B , khi và chỉ khi chúng cùng A ± B = (aij ± bij )m×n . kích thước và aij = bij , ∀i, j . −1    0 2  2 0 2 1 0 4  VD 2.  1 x y  1 0 −1 + =  7 0 −3;     5 −3  VD 1. Cho A =   và B =  2  3 −4  1       2 u 3 .     z 2 t         −1 0 2  2 0 2 −3 0 0      − =  −3 6 −5 .  Ta có:   2 3 −4 5 −3      1    A = B ⇔ x = 0; y = −1; z = 2; u = 2; t = 3 . Nhận xét Phép cộng ma trận có tính giao hoán và kết hợp. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh b) Phép nhân vô hướng c) Phép nhân hai ma trận Cho ma trận A = (aij )m×n và λ ∈ ℝ , ta có: Cho hai ma trận A = (aij )m×n và B = (bjk )n×p , ta có: λA = (λaij )m×n . AB = (cik )m×p . −1 1 0  3   (i = 1, m; k = 1, p). n −3 0  Trong đó, cik = ∑ aijbjk −3  = ;   6  VD 3. −2  0 −4  0 12     j =1 −1  2  1   6 4 3 2   = 2  ( ) VD 4. Thực hiện phép nhân 1 2 3  2 . .     0 4 −4 −2  0 8         −5   Chú ý • Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép  1 −1 0  ( ) VD 5. Thực hiện phép nhân 1 2    cộng ma trận. −1 0 3.  • Ma trận −1.A = −A được gọi là ma trận đối của A.   Toán cao c p C2 Đ i h c 2
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1 0 −1 −1 −2 1       0  1 1 −1  2              VD 7. Cho A = 2 −2 0  và B =  0 −3 1.  VD 6. Tính −2 0 3   1 −1.         −1 3      2 −1 0     3 0 −3               Tính chất Thực hiện phép tính: a) AB ; b) BA. Cho các ma trận A, B,C ∈ M m ,n (ℝ) và số λ ∈ ℝ . VD 8. Thực hiện phép nhân: Giả thiết các phép nhân đều thực hiện được, ta có:  1 −1 2 0    3  2 −1 2 −1  1       1) (AB )C = A(BC );      A =  2 −3 0−1 −2 1  1 0 −2 1 .      2) A(B + C ) = AB + AC ;      −1 1 4 2 −1 −3 3 1     0 −2      3) (A + B )C = AC + BC ;      4) λ(AB ) = (λA)B = A(λB ) ; Chú ý 5) AI n = A = I m A . • Phép nhân ma trận không có tính giao hoán. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh Lũy thừa ma trận Tính chất Cho ma trận vuông A ∈ M n (ℝ). 1) (0n )k = 0n ; (I n )k = I n , ∀k ∈ ℕ • Lũy thừa ma trận A được định nghĩa theo quy nạp: 2) Ak +m = Ak .Am , ∀A ∈ M n ( ℝ), ∀k , m ∈ ℕ A0 = I n ; A0 = A ; Ak +1 = Ak .A, ∀k ∈ ℕ . 3) Akm = (Ak )m , ∀A ∈ M n (ℝ), ∀k, m ∈ ℕ . • Nếu ∃k ∈ ℕ \ {0; 1} sao cho Ak = (0ij )n thì A được Chú ý gọi là ma trận lũy linh. 1) Nếu A = diag(a11, a22 ,..., ann ) ∈ M n (ℝ) thì: Số k ∈ ℕ, k ≥ 2 bé nhất sao cho Ak = (0ij )n được Ak = diag (a11, a 22 ,..., ann ) . k k k gọi là cấp của ma trận lũy linh A. 2) Nếu A, B ∈ M n (ℝ) thỏa AB = BA (giao hoán) thì  0 1 0 VD 9. Ma trận A =  0 0 1  là lũy linh cấp 3. các hằng đẳng thức quen thuộc cũng đúng với A, B .   Khi AB ≠ BA thì các hằng đẳng thức đó không còn  0 0 0   đúng nữa. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1 −1 cos α − sin α  VD 10. Cho f (x ) = 2x − 4x và A =   VD 13. Cho ma trận A(α) =     3 2  0 1 .  sin α cos α .         Tính f (A) + I 2 . Hãy tìm ma trận A(α) , ∀n ∈ ℕ ? n 2 0  VD 11. Cho A =    1 0, giá trị của (I 2 − A) là: 2011     VD 14. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 40 có các −1 −1 −1 1  0 −1 −1 0     phần tử aij = (−1)i + j . Phần tử a25 của A2 là: A.  ; B.  ; C.  ; D.       1 −1 0 −1 1  −1 1. 0                 A. a25 = 0 ; B. a25 = −40 ; C. a25 = 40 ; D. a25 = −1. VD 12. Tìm ma trận D = (ABC ) , trong đó: 5 VD 15. Cho A = (aij ) là ma trận vuông cấp 100 có −2 1 3 0  0 1    A= , B =  , C =       1 0 8 −1 1 2. các phần tử aij = (−1)i .3 j . Phần tử a 34 của A2 là:             Toán cao c p C2 Đ i h c 3
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 35 35 Tính chất A. a 34 = (1 − 3100 ); B. a 34 = (3100 − 1); 1) (A + B )T = AT + BT ; 2) (λA)T = λ.AT ; 4 4 35 100 35 3) (AT )T = A ; C. a 34 = (3 − 1); D. a 34 = (1 − 3100 ). 4) (AB )T = BT AT ; 2 2 5) AT = A ⇔ A là ma trận đối xứng. d) Phép chuyển vị (Transposed matrix) Cho ma trận A = (aij )m×n .    1 −1  0 1 −2  Khi đó, AT = (a ji )n×m được gọi là ma trận chuyển vị    2 , B =      VD 17. A =  0 −1 0 −3.    của A (nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).      −3 −2 1 4        1 2 3    ⇒ AT = 2 5 .  VD 16. Cho A =     a) Tính (AB )T .  4 5 6           b) Tính BT AT và so sánh kết quả với (AB )T .  3 6   Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh VD 18. Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận 1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận 2 1 −1 1 −2  (Gauss – Jordan)  3         A = 1 −2 3  về B = 0 1 −7 / 5. Cho ma trận A = (aij )m×n (m ≥ 2). Các phép biến đổi            3 −1 2   sơ cấp (PBĐSC) dòng e trên A là: 0 0  0         di ↔dk 1) (e1 ) : Hoán vị hai dòng cho nhau A   → A′ . Giải. Ta có:  1 −2 3  1 −2 3    d →λd  2) (e2 ) : Nhân 1 dòng với số λ ≠ 0 , A    A′′ .  →   d →d −2d  i i    A  → 2 1 −1   3d1 → 0 5 −7 d1 ↔d2      d3 →d3 − 1 2 2    3) (e3 ) : Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần    0 5 − 7  3 −1 2          di →di +λdk dòng khác, A     A′′′ .   →  1 −2  Chú ý 3    di →µdi +λdk 0 1 −7 / 5 = B. 1) Trong thực hành ta thường làm A     B . →  d3 →d3 −d2    →     1   2) Tương tự, ta cũng có các phép biến đổi sơ cấp trên d2 → d2 0 0    5 0  cột của ma trận. Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh VD 19. Các ma trận bậc thang: 1.4. Ma trận bậc thang  1 0 ... 0    0 1 2 3  1 0 2  • Một dòng của ma trận có tất cả các phần tử đều bằng     0 1 ... 0          0 0 4 5 , I =  0 0 3, . 0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).      n  ... ... ... ...         0 0 0   • Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1 dòng 0 0 0 1           0 0 ... 1      trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.   • Ma trận bậc thang là ma trận khác không cấp m × n Các ma trận không phải là bậc thang: (m, n ≥ 2) thỏa hai điều kiện: 0 0 0 0 2 7  1 3 5           3 1 4, 0 3 4, 0 0 4.   1) Các dòng bằng 0 (nếu có) ở phía dưới các dòng                khác 0;            2 1 3  0 0 5  0 0 5      2) Phần tử cơ sở của 1 dòng bất kỳ nằm bên phải phần tử cơ sở của dòng ở phía trên dòng đó. Toán cao c p C2 Đ i h c 4
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1.5. Ma trận khả nghịch Ma trận bậc thang rút gọn a) Định nghĩa Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc thang có • Ma trận A ∈ M n (ℝ) được gọi là khả nghịch nếu tồn phần tử cơ sở của một dòng bất kỳ đều bằng 1 và là tại ma trận B ∈ M n (ℝ) sao cho: phần tử khác 0 duy nhất của cột chứa phần tử đó. 1 3 0 0 0 1 0 3 AB = BA = I n .         0 0 1 0, B = 0 0 1 2    VD 20. I n , A =      • Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A.      0 0 0 0 0 0 0 1  Ký hiệu B = A−1 . Khi đó:         A−1A = AA−1 = I n ; (A−1 )−1 = A. là các ma trận bậc thang rút gọn. 1 2 3 Chú ý  Ma trận C =    0 0 1 không là bậc thang rút gọn. Nếu B là ma trận nghịch đảo của A thì B là duy nhất     và A cũng là ma trận nghịch đảo của B . Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 2 5  3 −5   Chú ý VD 21. A =   và B =      −1 2  là hai ma trận 1 3 1) Nếu ma trận A có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì        không khả nghịch. nghịch đảo của nhau vì AB = BA = I 2 . 2) I −1 = I ; (AB )−1 = B −1A−1 .  0 0 1       3) Nếu ac − bd ≠ 0 thì: VD 22. Cho biết ma trận A = 0 1 0 thỏa:     1 0 0 −1 a b    c −b        . 1  .   = d c   ac − bd −d d   A − A − A + I 3 = O3 . Tìm A−1 ? 3 2       Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi 2 5 2 1   VD 23. Cho A =   và B =  sơ cấp trên dòng (tham khảo)    1 3 3 2.     Cho A ∈ M n (ℝ) khả nghịch, ta tìm A−1 như sau:     ( ) b) B −1A−1 . −1 Bước 1. Lập ma trận A I n (ma trận chia khối) bằng Thực hiện phép tính: a) (AB ) ; cách ghép ma trận I n vào bên phải của A. Bước 2. Dùng phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ( ) ( ) A I n về dạng I n B . 1 −1 0 1   5 −3 −4 1     Khi đó: A−1 = B . VD 24. Cho hai ma trận A =  , B =  0 −1 1 0       −2 3.  3 −2  VD 25. Tìm nghịch đảo của A = 0 0 1 1.            0 0 0 1 Tìm ma trận X thỏa AX = B .       Toán cao c p C2 Đ i h c 5
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1 −1 0 §2. ĐỊNH THỨC  0 11 0 0      0 2.1. Định nghĩa 0 −1 1 00 1 0  ( )   = Giải. Ta có: A I 4  a) Ma trận con cấp k 0 0 0 1 10 0 1     Cho A = (aij ) ∈ M n (ℝ).  0 0    0 10 0 0 1  n 1 0 0 0 1 −1 1 −2 • Ma trận vuông cấp k được lập từ các phần tử nằm     trên giao của k dòng và k cột của A được gọi là ma  0 1 0 0 0 −1 1 −1   trận con cấp k của A.  → . d3 →d3 −d4   d    0 0 1 0 0 0 1 −1 d2 →d3 − 2   • Ma trận M ij có cấp n − 1 thu được từ A bằng cách d1 →d1 +d2 −d 4    0    0 0 10 0 0 1  bỏ đi dòng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử aij . A−1 I4 Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 1 2 3 b) Định thức (Determinant)     Định thức của ma trận vuông A ∈ M n (ℝ), ký hiệu 4 5 6 có các ma trận con ứng  VD 1. Ma trận A =      7 8 9 với các phần tử a là: det A hay A , là 1 số thực được định nghĩa:      Nếu A = (a11 ) thì det A = a11 . ij 5 6 4 6  4 5 a     M 11 =       a  8 9, M 12 = 7 9, M 13 = 7 8, Nếu A =  11 12  thì det A = a11a 22 − a12a21 .           a        21 a 22    2 3 1 3 1 2  Nếu A = (aij )n (cấp n ≥ 3 ) thì:    M 21 =        8 9, M 22 = 7 9, M 23 = 7 8,         det A = a11A11 + a12A12 + ... + a1n A1n       trong đó, Aij = (−1)i + j det M ij và số thực Aij được 2 3  1 3  1 2    M 31 =        5 6, M 32 = 4 6 , M 33 = 4 5.   gọi là phần bù đại số của phần tử aij .             Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh Chú ý VD 2. Tính định thức của các ma trận sau: 1) det I n = 1, detOn = 0 . 1 2 −1   3 −2    , B =  3 −2 1  .      A= a11 a12 a13      1 4     2 1    2) Tính a 21 a 22 a23 . 1  a 31 a 32 a 33 VD 3. Tính định thức của ma trận: a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12 0 0 3 −1     a 21 a22 a23 ho c a21 a22 a23 a 21 a 22 4 1 2 −1    A= 3 1 0 2 . a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32      2 3 3 5    (Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ     đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt). Toán cao c p C2 Đ i h c 6
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh b) Tính chất 2 2.2. Các tính chất cơ bản của định thức Nếu hoán vị hai dòng (hoặc hai cột) cho nhau thì Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có các định thức đổi dấu. n 1 −1 1 −1 1 1 1 32 tính chất cơ bản sau: − 2 1 = −2 2 −2 1 = − 2 2 1. VD 5. a) Tính chất 1 ( ) = det A. −1 1 1 3 1 2 1 32 T det A Hệ quả. Nếu định thức có ít nhất 2 dòng (hoặc 2 cột) 1 2 −1 1 32 giống nhau thì bằng 0. x x2 x3 331 VD 4. 2 −2 1 = 3 −2 1 = −12 . 2 2 1 = 0; y5 = 0. 1 y2 −1 1 1 VD 6. 21 1 1 y2 y5 117 Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh c) Tính chất 3 Hệ quả Nếu nhân 1 dòng (hoặc 1 cột) với số thực λ thì 1) Nếu định thức có ít nhất 1 dòng (hoặc 1 cột) định thức tăng lên λ lần. bằng 0 thì bằng 0. 3.1 0 3.(−1) 1 0 −1 2) Nếu định thức có 2 dòng (hoặc 2 cột) tỉ lệ với nhau thì bằng 0. −2 = 3 2 1 −2 ; 2 1 VD 7. 3 1 7 31 7 −6 −9 0 1 x 6 x +1 x x3 x3 2 −3 = 0 . y = 0; 2 1x 2 0 x VD 8. x + 1 y y 3 = (x + 1) 1 y y 3 . −8 −3 12 3 2 0y x x +1 z 3 3 1z z z Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh d) Tính chất 4 e) Tính chất 5 Định thức sẽ không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng Nếu định thức có 1 dòng (hoặc 1 cột) mà mỗi phần (hoặc 1 cột) với λ lần dòng (hoặc cột) khác. tử là tổng của 2 số hạng thì ta có thể tách thành tổng 2 định thức. VD 10. Sử dụng tính chất 5 để đưa định thức sau về VD 9. x + 1 x − 1 1 −1 0 x x x x 123 y3 = x y3 + x y y3 ; x y y dạng bậc thang: ∆ = −1 2 −1 . z3 z3 z3 1 1 1z z z 234 cos2 x sin2 x 23 23 123 22 x 5 6 + cos x 5 6 = 1 5 6. 2 2 VD 11. Sử dụng tính chất 5 để tính ∆ = 2 x 2 . sin x sin2 x cos2 x 189 89 89 22x Toán cao c p C2 Đ i h c 7
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 2.3. Định lý (khai triển Laplace) 1002 Cho ma trận vuông A = (aij ) ∈ M n (ℝ), ta có các 2012 VD 12. Tính định thức bằng hai cách n 1323 khai triển Laplace của định thức A: 3021 a) Khai triển theo dòng thứ i n det A = ai 1Ai 1 + ai 2Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij . khai triển theo dòng 1 và khai triển theo cột 2. j =1 VD 13. Áp dụng tính chất và định lý Laplace, hãy tính Trong đó, Aij = (−1)i + j det(M ij ). 11 12 2 −1 1 3 b) Khai triển theo cột thứ j định thức . 1 2 −1 2 n det A = a1 j A1 j + a 2 j A2 j + ... + anj Anj = ∑ aij Aij . 33 21 i =1 Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh Các kết quả đặc biệt cần nhớ VD 14. Tính định thức: VD 15. Tính định thức: 1) Dạng tam giác a11 a12 ... a1n 0 ... 0 a11 1234 0034 0 −2 7 19 3 −2 7 19 0 a22 ... a2n a22 ... 0 a = 21 = a11a22 ...ann . det A = . det B = . ... ... ... ... ... ... ... ... 0030 1237 0 0 ... ann an 1 an 2 ... ann 0 0 0 −1 0 0 8 −1 2) Dạng tích: det(AB ) = det A.det B. 1 1 −12 1 4 3) Dạng chia khối       2 0 3 2 1 3 .  A⋮B  VD 16. Tính detC =         1 2 −31 2 1  … … … = det A.detC , với A, B, C ∈ M n (ℝ) .        ⋮ On C Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 2.4. Ứng dụng định thức tìm ma trận nghịch đảo 1 1 −12 1 4−3 1 4 T         VD 17. Tính det D = 2 0 3 2 1 3  0 1 2 . a) Định lý            Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi:      1 2 −31 2 1 1 2 1        det A ≠ 0. VD 19. Giá trị của tham số m để ma trận 1 00 x 0  m − 1 0      T m 1 m  1 00 x    A=   0 m  1 m − 1  1 = 0 có nghiệm m2 VD 18. Phương trình      x −2    2 x khả nghịch là: 3 8 2x m = 0 m ≠ 0 x = ± 1  B.  A.  là: A. x = ±1; B. x = 1; C. x = −1; D.  C. m ≠ 0 ; D. m ≠ 1.  ; ; . m ≠ 1 m = 1 x = ±2   Toán cao c p C2 Đ i h c 8
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh b) Thuật toán tìm A–1 VD 20. Tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của: 1 2 1   • Bước 1. Tính det A. Nếu det A = 0 thì kết luận A     A = 1 1 2.  không khả nghịch. Ngược lại, ta làm tiếp bước 2.       • Bước 2. Lập ma trận (Aij ) , Aij = (−1)i + j det M ij . 3 5 4   n Suy ra ma trận phụ hợp (adjunct matrix) của A là: adjA = (Aij )  . T 1 2 1     n    VD 21. Cho ma trận A = 0 1 1. Tìm A−1 .     1 2 3 • Bước 3. Ma trận nghịch đảo của A là:      1 A−1 = .adjA. Giải. Ta có: det A = 2 ≠ 0 ⇒ A khả nghịch. det A Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh 2.5. Hạng của ma trận 11 01 01 A11 = = 1, A12 = − = 1, A13 = = −1, 23 13 12 a) Định thức con cấp k Cho ma trận A = (aij ) . Định thức của ma trận con 21 11 12 m×n A21 = − = −4, A22 = = 2, A23 = − = 0, cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. 23 13 12 Định lý 21 11 12 Nếu ma trận A có tất cả các định thức con cấp k đều A31 = = 1, A32 = − = −1, A33 = = 1. bằng 0 thì các định thức con cấp k + 1 cũng bằng 0. 11 01 01 b) Hạng của ma trận (rank of matrix)  1 −4 1   1 −4 1         1 Cấp cao nhất của định thức con khác 0 của ma trận A   ⇒ adjA =  1 2 −1 ⇒ A−1 =  1 2 −1 .     được gọi là hạng của ma trận A .      2   −1 0  1 1 −1 0 Ký hiệu là r (A).        Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Ch 1. tr nh Ch 1. tr nh Chú ý VD 22. Điều kiện của tham số m để ma trận • Nếu A = (aij ) khác 0 thì 1 ≤ r (A) ≤ min{m, n}. m −1 −2    m×n   0 3 2  có hạng bằng 3 là: A=  • Nếu A là ma trận không thì ta quy ước r (A) = 0 .     0 1    1  c) Thuật toán tìm hạng của ma trận A. m ≠ 1; B. m ≠ −1; C. m ≠ ±1; D. m ≠ 0 . • Bước 1. Đưa ma trận cần tìm hạng về bậc thang. VD 24. Tìm r (A). Biết: VD 23. Cho ma trận: • Bước 2. Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang chính 1 − 3 4 2   2 1 −1 3     là hạng của ma trận đã cho.      0   0 −1 0 A = 2 −5 1 4.    • Đặc biệt .     A=   0   0 1 Nếu A là ma vuông cấp n thì:   3 −8 5 6 2      0 −1 1 −4   r (A) = n ⇔ det A ≠ 0.      Tìm r (A). Toán cao c p C2 Đ i h c 9
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Ma tr n – Đ nh th c Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 1. tr nh Ch 2. ph Chú ý §1. Hệ phương trình tổng quát §2. Hệ phương trình thuần nhất Ta có thể hoán vị cột của ma trận rồi đưa về bậc thang. ……………………………………………………………  VD 25. Giá trị của tham số m để ma trận A. m = −2 ; §1. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT m = 1 1.1. Định nghĩa m + 1   3 1    Hệ gồm n ẩn x i (i = 1,2,..., n ) và m phương trình:  B. m = 1; 2 m + 2 0 có r (A) = 2 là: A=  a x + a x + ... + a x = b  C. m = −2 ;   11 1     2m 3  12 2 1n n 1   m = −1 1   a x + a x + ... + a x = b D.   21 1 . 22 2 2n n 2  (I ) m=0  ..........................................  −1 2 1 −1 1  VD 26. Tùy theo     a x + a x + ... + a x = b   m −1 1 −1 −1 giá trị m , tìm    m1 1    m2 2 mn n m   hạng của ma trận:A =   trong đó, hệ số aij , bj ∈ ℝ (i = 1,..., n; j = 1,..., m ), 1 m 0 1 1      1 2 2 −1 1    được gọi là hệ phương trình tuyến tính tổng quát.  Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph   VD 1. Cho hệ phương trình:  a11 ... a1n    x − x + 2x + 4x = 4  1 Đặt: A =  ... ... ...  = (aij ) ,      2 3 4  2x + x + 4x = −3   m×n 1 a    m 1 ... amn    2 3 2x − 7x = 5. 2  ( ) ( )  T T 3 B = b1 ... bm và X = x 1 ... x n Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận:  1 − 1 2 4   x 1   4  lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và     x     ma trận cột ẩn.     4 0 2  = −3 2 1 x     Khi đó, hệ (I ) trở thành AX = B .  3         0 2 −7 0   5      x     ( ) ( ) T   4 • Bộ số α = α1 ... αn hoặc α = α1 ; ...; αn được gọi là nghiệm của (I ) nếu Aα = B . và α = (1; −1; −1; 1) là 1 nghiệm của hệ. Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph 1.2. Định lý Crocneker – Capelli VD 2. Tùy theo điều kiện tham số m , hãy biện luận số Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B . Gọi ma trận nghiệm của hệ phương trình: x + my − 3z = 0 a    11 a12 ... a1n b1       mở rộng là A = A B =  ... ... ... ... ... . ( )  (1 − m 2 )z = m − 1.         a  m 1 am 2 ... amn bm   VD 3. Điều kiện của tham số m để hệ phương trình:   mx Định lý  + 8z − 7t = m − 1   Hệ AX = B có nghiệm khi và chỉ khi r (A) = r (A). 3x + my + 2z + 4t = m    Trong trường hợp hệ AX = B có nghiệm thì:  mz + 5t = m 2 − 1   Nếu r (A) = n : kết luận hệ có nghiệm duy nhất;  5z − mt = 2m + 2    Nếu r (A) < n : kết luận hệ có vô số nghiệm có nghiệm duy nhất là: phụ thuộc vào n − r tham số. A. m ≠ 0 ; B. m ≠ 1; C. m ≠ ±1; D. m ≠ ±5 . Toán cao c p C2 Đ i h c 10
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph 2 1 −1   −1 −1 2    1.3. Phương pháp giải hệ phương trình tổng quát       1 Giải. A = 0 1 3  ⇒ A−1 =  3 2 −3.     a) Phương pháp ma trận (tham khảo)      2   Cho hệ phương trình tuyến tính AX = B , với A là  −1 0 2 1 1      1    ma trận vuông cấp n khả nghịch. −1 Hệ phương trình ⇔ X = A B Ta có: x  −1 −1 2  1  x  −3          1 AX = B ⇔ X = A−1B.             ⇔ y  =  3 2 −3 3  ⇔ y  =  6 .                 2 VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng         z   1 −1 z  −1        −1 0         phương pháp ma trận:  x = −3,   2x + y − z = 1     y + 3z = 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm y = 6,     2x + y + z = −1. z = −1.       Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph • Bước 2. Kết luận: b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n . ∆ • Bước 1. Tính các định thức: x j = j , ∀j = 1, n. ∆ a11 ... a1 j ... a1n Nếu ∆ = 0 thì chưa có kết luận. Khi đó, ta giải tìm ∆ = det A = ... ... ... ... ... , tham số và thay vào hệ để giải trực tiếp. an 1 ... anj ... ann   Chú ý (m − 7)x + 12y − 6z = m a11 ... b1 ... a1n  −10x + (m + 19)y − 10z = 2m Khi m = 1 thì hệ  ∆ j = ... ... , j = 1, n ... ... ...  −12x + 24y + (m − 13)z = 0    an 1 ... bn ... ann có ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 nhưng hệ vô nghiệm. (thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do). Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph −1 2 1 21 1 VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức:  ∆2 = 0 3 3 = 24 , ∆3 = 0 1 3 = −4 .  2x + y − z = 1   2 −1 2 1 −1 1 y + 3z = 3   2x + y + z = −1. ∆1 ∆2 ∆3    Vậy x = = −3, y = = 6, z = = −1. ∆ ∆ ∆ Giải. Ta có: (m + 1)x + y = m + 2  VD 6. Hệ phương trình  2 1 −1 1 −1  1 x + (m + 1)y = 0   ∆= 0 1 3 = 4, ∆1 = 3 1 3 = −12 , có nghiệm khi và chỉ khi: −1 1 21 1 1 A. m = −2 ; B. m ≠ −2 ∧ m ≠ 0 ; C. m ≠ 0 ; D. m ≠ −2 . Toán cao c p C2 Đ i h c 11
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph c) Phương pháp ma trận bậc thang VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss:   (phương pháp Gauss) 2x + y − z = 1  Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B .  y + 3z = 3   ( ) 2x + y + z = −1. • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc  Giải. Ta có:   2 1 −1 1  2 1 −1 1   thang bởi PBĐSC trên dòng.      d →d − 0 1 3 3    d1 → 0 1 3 3  .   ( )    AB = • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên.   3 3       0 0 2 −2   2 1 1 −1       Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu:   2x + y − z = 1 x = −3   có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng;     y + 3z = 3 ⇔ y = 6 .  Hệ ⇔  có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó;    ( )  z = −1 có 1 dòng dạng 0...0 b , b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm. 2z = −2       Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph 3x − y + 2z = 3  VD 10. Tìm nghiệm của hệ  VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính:  .   2x + y − 2z = 7 5x 1 − 2x 2 + 5x 3 − 3x 4 = 3    x = 2  x = 2 4x + x + 3x − 2x = 1   1    2 3 4 y = 7 − 2α ; B. y = 3 + 2α 2x + 7x − x A.   = − 1. 1     2 3 z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ   VD 9. Tìm nghiệm của hệ  x + 4y + 5z = −1         C. Hệ có vô số nghiệm; D. Hệ vô nghiệm. A. x = 15, y = −4, z = 0 ; 2x + 7y − 11z = 2  VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình 3x + 11y − 6z = 1.  B. Hệ có vô số nghiệm; x + 2y + (7 − m )z = 2    A. m = ±1;  x = 15 − 79α x = 15 + 79α    2x + 4y − 5z = 1   B. m = 1;    C. y = −4 − 21α ; D. y = −4 − 21α .     3x + 6y + mz = 3 C. m = −7 ;      z = α ∈ ℝ z = α ∈ ℝ D. m = 7 .       có vô số nghiệm là: Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph Chú ý §2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT • Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm, ta 2.1. Định nghĩa gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là trường hợp Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể ta được đặc biệt của hệ phương trình tổng quát, có dạng: nghiệm riêng hay còn gọi là nghiệm cơ bản. a x + a x + ... + a x = 0  11 1  • Muốn tìm điều kiện tham số để 2 hệ phương trình có  12 2 1n n a x + a x + ... + a x = 0 nghiệm chung, ta ghép chúng thành 1 hệ rồi tìm điều  21 1 22 2 2n n  (II ). kiện tham số để hệ chung đó có nghiệm. .........................................   VD 12. Tìm điều kiện của tham số m để 2 hệ phương a x + a x + ... + a x = 0  m1 1   trình sau có nghiệm chung: m2 2 mn n x + y − z + t = 2m +1 2x +5y − 2z +2t = 2m +1    , Hệ (II ) tương đương với AX = (0ij )m×1 .   . x +7y − 5z − t = − m 3x +7y − 3z +3t = 1     Toán cao c p C2 Đ i h c 12
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. H phương trình tuy n tính Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph Ch 2. ph Chú ý 2.3. Định lý 2 • Do r (A) = r (A) nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm. Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B (I) và hệ phương trình thuần nhất AX = O (II). • Nghiệm (0; 0;…; 0) được gọi là nghiệm tầm thường. Khi đó: 2.2. Định lý 1 • Hiệu 2 nghiệm bất kỳ của (I) là 1 nghiệm của (II); Hệ (II ) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi: • Tổng 1 nghiệm bất kỳ của (I) và 1 nghiệm bất kỳ của det A ≠ 0. (II) là 1 nghiệm của (I). VD 1. Tìm điều kiện tham số m để hệ phương trình VD 2. Cho 2 hệ phương trình tuyến tính: tuyến tính thuần nhất sau chỉ có nghiệm tầm thường: x + 4y + 5z = −1    3x + m 2y + (m − 5)z = 0 x + 4y + 5z = 0     2x + 7y − 11z = 2 (I) và 2x + 7y − 11z = 0 (II).    (m + 2)y + z   =0     3x + 11y − 6z = 1 3x + 11y − 6z = 0    4y + (m + 2)z = 0.        Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Chương 2. H phương trình tuy n tính Ch 2. ph §1. Khái niệm không gian vector Xét 2 nghiệm của (I) và 1 nghiệm của (II) lần lượt là: §2. Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính α1 = (15; −4; 0), α2 = (−64; 17; −1) §3. Cơ sở, số chiều của kgvt – Tọa độ của vector §4. Không gian sinh bởi hệ vector và β = (−158; 42; −2), ta có: §5. Không gian Euclide ……………………………………………………………… §1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTOR • α1 − α2 = (79; −21; 1) là 1 nghiệm của (II); (Vector space) 1.1. Định nghĩa • α1 + β = (−143; 38; −2) là 1 nghiệm của (I). • Cho tập V khác rỗng, mỗi phần tử thuộc V được gọi ………………………………………………………………… là một vector. Xét hai phép toán sau: V ×V → V ℝ ×V → V (x , y ) ֏ x + y; (λ, x ) ֏ λx . Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không VD 1. • Ta nói V cùng với hai phép toán trên là một không { } • Tập ℝ n = (x 1, x 2 ,..., x n ) x i ∈ ℝ, i = 1, n các bộ số gian vector (viết tắt là kgvt) trên ℝ , hay ℝ – không gian vector, nếu thỏa 8 tính chất sau: thực là một không gian vector. 1) (x + y ) + z = x + (y + z ), ∀ x , y , z ∈ V ; • Tập nghiệm V của hệ phương trình tuyến tính thuần 2) ∃ θ ∈ V : x + θ = θ + x = x , ∀ x ∈ V ; nhất là một không gian vector. 3) ∀ x ∈ V , ∃(− x ) ∈ V : (− x ) + x = x + (− x ) = θ ; • Tập V = M m ,n (ℝ) với hai phép toán cộng ma trận và 4) x + y = y + x , ∀ x , y ∈ V ; 5) λ (x + y ) = λ x + λ y , ∀ x , y ∈ V , ∀ λ ∈ ℝ ; nhân vô hướng là một không gian vector. 6) (λ + µ )x = λ x + µ x , ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; • Tập Pn [x ] các đa thức có bậc n : 7) (λµ )x = λ ( µ x ), ∀ x ∈ V , ∀ λ , µ ∈ ℝ ; {p(x ) = an x n + ... + a1x + a 0 , ai ∈ ℝ, i = 0,..., n } 8) 1 .x = x , ∀ x ∈ V . với phép cộng đa thức và nhân số thực với đa thức là Trong đó, θ ∈ V được gọi là vector không. một không gian vector. Toán cao c p C2 Đ i h c 13
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không §2. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH 1.2. Không gian vector con (Vectorial subspace) PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH Định nghĩa 2.1. Định nghĩa Cho kgvt V , tập W ⊂ V được gọi là không gian Trong kgvt V , xét n vector ui (i = 1,..., n ). Khi đó: n • Tổng λ1u1 + λ2u2 + ... + λn un = ∑ λi ui , λi ∈ ℝ , vector con của V nếu W cũng là một kgvt. i =1 Định lý được gọi là một tổ hợp tuyến tính của n vector ui . Cho kgvt V , tập W ⊂ V là kgvt con của V nếu: • Hệ gồm n vector {u1, u2 ,..., un } được gọi là độc lập ∀x , y ∈ W , ∀λ ∈ ℝ thì (x + λy ) ∈ W . tuyến tính (viết tắt là đltt) nếu: VD 2. n ∑λu • Tập W = {θ} là kgvt con của mọi kgvt V . = θ thì λi = 0, ∀i = 1,..., n . ii { } i =1 • Tập W = (α, 0,..., 0) α ∈ ℝ là kgvt con của ℝ . n • Hệ {u1, u2 ,..., un } không là độc lập tuyến tính thì …………………………………………………… được gọi là phụ thuộc tuyến tính (viết tắt là pttt). Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không VD 1. Trong ℝ 2 , xét sự đltt hay pttt của hệ 2 vector: 2.2. Định lý A = {u1 = (1; −1), u2 = (2; 3)} . Hệ gồm n vector là pttt khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của n − 1 vector còn lại. VD 2. Trong ℝ 3 , xét sự đltt hay pttt của hệ 3 vector: Nghĩa là: B = {u1 = (−1; 3; 2), u2 = (2; 0; 1), u 3 = (0; 6; 5)} . u j = λ1u1 + ... + λj −1u j −1 + λj +1u j +1 + ... + λn un . VD 3. Trong M 2,3 (ℝ), xét sự đltt hay pttt của hệ: Hệ quả         A = 1 2 0, B = 2 3 0,C = 0 1 0.  • Hệ có vector không thì phụ thuộc tuyến tính.       2 0 1  3 0 1  4 0 1               • Nếu có một bộ phận của hệ pttt thì hệ pttt.     VD 5. Hệ {v1 = x 2 , v2 = −3x 2 , v3 = (x − 1)3 , v4 = x 4 } VD 4. Trong Pn [x ], xét sự đltt hay pttt của hệ: {u1 = 1, u2 = x , u 3 = x 2 ,..., un = x n −1, un +1 = x n }. là pttt vì bộ phận {v1 = x 2 , v2 = −3x 2 } pttt. Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không n 2.3. Hệ vector trong ℝ Hệ quả Xét m vector ui = (ai 1, ai 2 ,..., ain ) , i = 1, m trong ℝ n . • Trong ℝ n , hệ có nhiều hơn n vector thì pttt. Ma trận A = (aij ) được gọi là ma trận dòng của hệ • Trong ℝ n , hệ n vector đltt ⇔ det A ≠ 0 . m×n m vector {u1, u2 ,..., um }. VD 6. Hệ {u1 = (1; −1; −2), u2 = (4; 2; −3)} VD 7. Xét sự đltt hay pttt của các hệ vector: có ma trận dòng là A = 1 −1 −2 . a) B1 = {(−1; 2; 0), (2; 1; 1)} ;     4 2 −3  b) B2 = {(−1; 2; 0), (1; 5; 3), (2; 3; 3)}.   Định lý Trong ℝ n , cho hệ gồm m vector {u1, u2 ,..., um } có VD 8. Trong ℝ 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là pttt: ma trận dòng là A. Khi đó: • Hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi r (A) = m . {(−m; 1; 1), (1 − 4m; 3; m + 2)} . • Hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi r (A) < m . Toán cao c p C2 Đ i h c 14
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không §3. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KGVT VD 9. Trong ℝ 3 , tìm điều kiện m để hệ sau là đltt: TỌA ĐỘ CỦA VECTOR {(m; 1; 1), (1; m; 1), (1; 1; m )} . 3.1. Cơ sở của không gian vector Định nghĩa Trong kgvt V , hệ n vector F = {u1, u2 ,…, un } được VD 10. Trong ℝ 4 , cho 4 vector: gọi là một cơ sở (basic) của V nếu hệ F là đltt và mọi u1 = (1; −1; 0; 1), u2 = (m; m; −1; 2), vector của V đều được biểu diễn tuyến tính qua F . VD 1. Trong ℝ 2 , xét hệ F = {u1 =(1; −1), u2 =(0; 1)} . u 3 = (0; 2; 0; m ), u 4 = (2; 2; −m; 4). Ta có: hệ F là độc lập tuyến tính. Điều kiện m để u1 là tổ hợp tuyến tính của u2 , u 3 , u 4 ? Mặt khác, xét vector tùy ý x = (a; b ) ∈ ℝ 2 ta có: x = au1 + (a + b )u2 . ……………………………………………………………… Vậy hệ F là 1 cơ sở của ℝ 2 . Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không VD 2. Trong ℝ 3 , xét hệ 2 vector: Chú ý Một không gian vector có thể có nhiều cơ sở và số B = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 0)} . vector (hữu hạn) trong các cơ sở là không đổi. Ta có: αu1 + βu2 ≠ (1; 1; 1), ∀α, β ∈ ℝ . 3.2. Số chiều của không gian vector Vậy hệ B không phải là cơ sở của ℝ 3 . Định nghĩa VD 3. Số vector có trong 1 cơ sở bất kỳ của không gian • Trong ℝn , hệ n vector: vector V được gọi là số chiều (dimension) của V . E = {ei = (ai 1; ai 2 ;...; ain ), i = 1, 2,..., n} Ký hiệu là: dimV . VD 4. Ta có: dim ℝ n = n , dim P4 [x ] = 5 . trong đó: aij = 1 nếu i = j , aij = 0 nếu i ≠ j Chú ý được gọi là cơ sở chính tắc. • Trong ℝ n , mọi hệ gồm n vector đltt đều là cơ sở. • Không gian vector P4 [x ] có 1 cơ sở là: • Số chiều của kgvt có thể vô hạn. Trong chương trình, {1; x − 1; (x − 1)2 ; (x − 1)3 ; (x − 1)4 }. ta chỉ xét những kgvt hữu hạn chiều. Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không Quy ước 3.3. Tọa độ của vector Ta viết tọa độ của vector x đối với cơ sở chính tắc E a) Định nghĩa trong ℝ n là [x ] hoặc viết dưới dạng x = (α1;...; αn ). Trong kgvt V , cho cơ sở F = {u1, u2 ,…, un } . Vector x ∈ V tùy ý có biểu diễn tuyến tính một cách VD 5. Trong ℝ 2 , cho x = (3; −5) và 1 cơ sở: n B = {u1 = (2; −1), u2 = (1; 1)} . Tìm [x ]B ? duy nhất qua cơ sở F là x = ∑ αi ui , αi ∈ ℝ . i =1 VD 6. Trong P4 [x ], cho vector p(x ) = x 4 + x 3 và một Ta nói x có tọa độ đối với cơ sở F là (α1; α2 ;…; αn ). α  cơ sở: {  1 A = u1 = 1; u2 = x − 1; u 3 = (x − 1)2 ;  α   Ký hiệu là: [x ]F =  2  = (α1 α2 ... αn )T . }  u 4 = (x − 1)3 ; u5 = (x − 1)4 . ⋮     Hãy tìm [ p(x )]A ? αn   Toán cao c p C2 Đ i h c 15
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không Đặc biệt. Trong ℝ n , ta có: VD 7. Trong ℝ 2 , cho 2 cơ sở: ( ) PE →B = [u1 ] [u2 ]...[un ] B1 = {u1 = (1; 0), u2 = (0; −1)} , 1 B2 = {v1 = (2; −1), v2 = (1; 1)} . (ma trận cột của các vector trong B1 ). Công thức đổi tọa độ Cho biết [x ]B là (1; 2). Hãy tìm [x ]B ? [x ]B = PB →B .[x ]B . 2 1 b) Tọa độ của vector trong các cơ sở khác nhau 1 1 2 2 Ma trận chuyển cơ sở 3 VD 8. Trong ℝ , cho hai cơ sở B1 và B2 . Trong kgvt V , cho 2 cơ sở: 1 −1 2   1    B1 = {ui }, B2 = {vi }, i = 1,2,..., n .      0 1 3  và v  = 2 . Cho biết PB →B =    ( ) được gọi là ma trận       0 0 − 2 Ma trận [v1 ]B [v2 ]B ... [vn ]B B1 2 1  3        1 1 1 chuyển cơ sở từ B1 sang B2 . Ký hiệu là: PB →B . Tìm tọa độ của vector v trong cơ sở B2 ? 1 2 Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không VD 9. Tìm ma trận chuyển cơ sở PB →B trong VD 7. §4. KHÔNG GIAN SINH BỞI HỆ VECTOR 1 2 4.1. Định nghĩa Định lý Trong kgvt V cho hệ gồm m vector S = {u1,…, um }. Trong kgvt V , cho 3 cơ sở B1 , B2 và B3 . Khi đó: Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S được gọi • PB →B = I n (i = 1,2, 3 ); là không gian con sinh bởi S . i i • PB →B = PB →B .PB →B ; Ký hiệu là: < S > hoặc spanS . 1 3 1 2 2 3 ( ) −1 4.2. Hệ vector trong ℝ n • PB →B = PB →B . Trong kgvt ℝ n , xét hệ S = {u1, …, um } ta có: 1 2 2 1     Hệ quả. Trong ℝ n , ta có: m < S > = x ∈ ℝ n x = ∑ λi ui , λi ∈ ℝ  .   ( )   −1     PB →B = PB →E PE →B = PE →B i =1 PE →B . Gọi A là ma trận dòng m vector của S . Khi đó: 1 2 1 2 1 2 • dim < S > = r (A) và dim < S > ≤ n . VD 10. Dựa vào hệ quả, giải lại VD 7. Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không • Nếu dim < S >= k thì mọi hệ con gồm k vector §5. KHÔNG GIAN EUCLIDE 5.1. Định nghĩa đltt của S đều là cơ sở của < S >. • Cho không gian vector V trên ℝ . Một quy luật cho VD 1. Trong ℝ 3 , cho hệ vector: tương ứng cặp vector x , y bất kỳ thuộc V với số S = {u1 = (1; 0; −1), u2 = (0; 1; −1)}. thực duy nhất, ký hiệu x y (hay (x , y )), thỏa mãn: Hãy tìm dạng tọa độ của vector v ∈ < S > ? 1) x x ≥ 0 và x x = 0 ⇔ x = θ ; VD 2. Trong ℝ 4 , cho hệ vector: 2) x y = y x ; S = {(1;2; 3; 4), (2; 4;9; 6), (1;2;5; 3), (1;2;6; 3)}. Tìm số chiều của không gian sinh < S > ? 3) (x + y ) z = x z + y z , ∀z ∈ V ; VD 3. Trong ℝ 4 , cho hệ vector S : 4) λx y = λ x y , ∀λ ∈ ℝ {u1 =(−2; 4; −2; −4), u2 =(2; −5; −3;1), u3 =(−1; 3; 4;1)} . Hãy ………………………………………………………………… > ? tìm dim < S > và 1 cơ sở của < S được gọi là tích vô hướng của x và y . Toán cao c p C2 Đ i h c 16
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không 5.2. Chuẩn của vector • Không gian vector V hữu hạn chiều trên ℝ có tích a) Định nghĩa vô hướng như trên được gọi là không gian Euclide. uu • Trong không gian Euclide V , số thực VD 1. Kgvt ℝ n có tích vô hướng thông thường: x y = (x 1,..., x n ) (y1,..., yn ) = x 1y1 + ... + x n yn được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vector u . Ký hiệu là u . Vậy, u = uu . là một không gian Euclide. • Vector u được gọi là vector đơn vị nếu u = 1. VD 2. Trong C [a; b ] – không gian các hàm số thực • d (u, v ) = u − v được gọi là khoảng cách giữa u , v . liên tục trên [a; b ], ta xác định được tích vô hướng: b VD 3. Trong ℝ n cho vector u = (u1, u2 ,..., un ), ta có: ∫ fg = f (x )g(x )dx . n ∑u u= u u = u1 + u2 + ... + un = a 2 2 2 2 . Vậy C [a; b ] có tích vô hướng như trên là kg Euclide. i i =1 Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không VD 5. Trong ℝ n , bất đẳng thức Cauchy – Schwarz là: VD 4. Trong không gian Euclide C [a; b ], ta có: n n n b ∑x y ∑x . ∑y ≤ 2 2 ∫ f= ff = . f 2 (x )dx . ii i i i =1 i =1 i =1 a b) Định lý VD 6. Trong C [a; b ], bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: b b b Trong kg Euclide V cho 2 vector u, v bất kỳ. Ta có: ∫ ∫ ∫ g (x )dx . f (x )g(x )dx ≤ f 2 (x )dx . 2 • Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz a a a uv ≤ u.v; 5.3. Cơ sở trực chuẩn a) Định nghĩa • Bất đẳng thức tam giác Trong không gian Euclide n chiều V , ta định nghĩa: u − v ≤ u +v ≤ u + v . • Hai vector u, v được gọi là trực giao nếu u v = 0 ; Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không • Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực giao nếu Thuật toán trực chuẩn hóa Gram – Schmidt • Bước 1. Trong không gian Euclide n chiều V , chọn các vector của cơ sở là trực giao từng đôi một; cơ sở {u1, u2 ,..., un } bất kỳ. • Cơ sở {u1, u2 ,..., un } được gọi là cơ sở trực chuẩn • Bước 2. Xây dựng cơ sở trực giao {v1, v2 ,..., vn } : nếu cơ sở là trực giao và ui = 1, (i = 1,..., n ). Đặt v1 = u1 ; VD 7. Trong ℝ 2 , ta có: u2 v1 • Hệ {(2; −1), (−3; −6)} là cơ sở trực giao; v 2 = u2 − v1 ; 2    2 2   2  v1    2 • Hệ  ; − , − ; −  là cơ sở trực chuẩn.    2 2 2 2     u 3 v1 u 3 v2       v3 = u3 − v1 − v2 ; 2 2 b) Định lý v1 v2 Mọi kg Euclide n chiều đều tồn tại cơ sở trực chuẩn. … … … … … … … … … … … … … Toán cao c p C2 Đ i h c 17
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Không gian vector Chương 3. Không gian vector Ch 3. Không Ch 3. Không Định lý u n vi n −1 vn = u n − ∑ Nếu {u1,..., un } là một cơ sở trực chuẩn của kg Euclide vi . 2 n i =1 vi n chiều V và u ∈ V thì: u = ∑ u ui ui . i =1 • Bước 3. Xây dựng cơ sở trực chuẩn {w1, w 2 ,..., wn } 3 VD 9. Trong ℝ , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: bằng việc chuẩn hóa các vector ở bước 2: {u1 = (1; −1; 0), u2 = (0; 1; −1), u 3 = (1; 1; −1)} . v v v v w1 = 1 ; w 2 = 2 ; w 3 = 3 ;...; wn = n . Tìm tọa độ của u = (1; 2; 3) trong cơ sở trực chuẩn đó. v1 v2 v3 vn VD 10. Trong ℝ 4 , cho hệ S gồm 3 vector: {u1 =(1; 1; 0; 0), u2 =(1; 0; 1; 0), u 3 =(−1; 0; 0; 1)}. VD 8. Trong ℝ 3 , hãy trực chuẩn hóa cơ sở: F = {u1 = (1; 0; 0), u2 = (0; 1; 1), u 3 = (0; 1; −1)}. Hãy tìm một cơ sở trực chuẩn của không gian < S >. ……………………………………………………………………. Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy §1. Ánh xạ tuyến tính Chú ý §2. Trị riêng – Vector riêng • Đối với ánh xạ tuyến tính (viết tắt là AXTT), §3. Chéo hóa ma trận vuông ký hiệu T (x ) còn được viết là Tx . ………………………………………………………… §1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH • Hai điều kiện của định nghĩa tương đương với: 1.1. Khái niệm ánh xạ tuyến tính tổng quát T (x + αy ) = Tx + αTy, ∀x , y ∈ X , ∀α ∈ ℝ . a) Định nghĩa • T (θX ) = θY . Trong đó θX , θY lần lượt là vector không Cho X , Y là 2 kgvt trên ℝ . Ánh xạ T : X → Y được của X và Y . gọi là ánh xạ tuyến tính (hay toán tử tuyến tính) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau: VD 1. Cho ánh xạ T : ℝ 3 → ℝ 2 được định nghĩa: T (x 1; x 2 ; x 3 ) = (x 1 − x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 ). 1) T (αx ) = αT (x ), ∀x ∈ X , ∀α ∈ ℝ ; 2) T (x + y ) = T (x ) + T (y ), ∀x , y ∈ X . Trong ℝ 3 , xét x = (x 1; x 2 ; x 3 ), y = (y1; y2 ; y 3 ). Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy  f (u + v ) = f (1; 1) = (1 − 1; 2 + 3.1) = (0; 5)  Với α ∈ ℝ tùy ý, ta có:   T (x + αy ) = T (x 1 + αy1; x 2 + αy2 ; x 3 + αy 3 )  f (u ) + f (v ) = (−1; 8) + (1; −1) = (0; 7)   = (x 1 + αy1 − x 2 − αy2 + x 3 + αy 3 ; ⇒ f (u + v ) ≠ f (u ) + f (v ). 2x 1 + 2αy1 + 3x 2 + 3αy2 ) Vậy ánh xạ f không phải là AXTT từ ℝ 2 vào ℝ 2 . = (x 1 − x 2 + x 3 ; 2x 1 + 3x 2 ) VD 3. Các AXTT thường gặp trong mặt phẳng: + α(y1 − y2 + y 3 ; 2y1 + 3y2 ) = Tx + αTy. • Phép chiếu vuông góc xuống trục Ox , Oy : T (x ; y ) = (x ; 0), T (x ; y ) = (0; y ). Vậy ánh xạ T là ánh xạ tuyến tính từ ℝ 3 vào ℝ 2 . • Phép đối xứng qua trục Ox , Oy : VD 2. Cho ánh xạ f : ℝ 2 → ℝ 2 xác định như sau: T (x ; y ) = (x ; −y ) , T (x ; y ) = (−x ; y ). f (x ; y ) = (x − y; 2 + 3y ). • Phép quay 1 góc ϕ quanh gốc tọa độ O : T (x ; y ) = (x cos ϕ − y sin ϕ; x sin ϕ + y cos ϕ). Xét u = (1; 2), v = (0; −1) ta có: Toán cao c p C2 Đ i h c 18
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy y x ∫ f (t )dt, x ∈ [a; b ]. ′ S : C [a; b ] → C [a; b ], Sf = a sin ϕ + b cos ϕ M• •M b a VD 5. Cho A ∈ M m,n ( ℝ), ta có: ϕ a cos ϕ − b sin ϕ O x a TA : ℝ n → ℝ m , TAx = Ax là ánh xạ tuyến tính. VD 4. Gọi C [a; b ] là tập hợp các hàm một biến số liên b) Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính Định nghĩa tục trên [a; b ]. Trên C [a; b ], xác định phép toán cộng Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y . hai hàm số và nhân vô hướng thì C [a; b ] là 1 kgvt. • Tập {x ∈ X : Tx = θY } được gọi là nhân của T . Các phép lấy tích phân sau là ánh xạ tuyến tính: Ký hiệu là KerT . Vậy KerT = {x ∈ X : Tx = θY }. a • Tập T (X ) = {Tx : x ∈ X } được gọi là ảnh của T . ∫ f (x )dx ; T : C [a; b ] → C [a; b ], Tf = Ký hiệu là RangeT hoặc Im T . a Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy Tính chất 1.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y , khi đó: a) Định nghĩa • KerT là không gian con của X ; Cho ánh xạ tuyến tính f : ℝ n → ℝ m và hai cơ sở của • ImT là không gian con của Y ; ℝ n , ℝ m lần lượt là: • Nếu S là tập sinh của X thì T (S ) là tập sinh của Im T ; • T là đơn ánh khi và chỉ khi KerT = {θX }. B1 = {u1, u2 ,…, un } và B2 = {v1, v2 ,…, vm } . ( ) Định lý Ma trận A ∈ M m,n ( ℝ):  f (u1 )  f (u2 ) ...  f (un ) Cho ánh xạ tuyến tính T : X → Y , khi đó: B2 B2 B2 dim(KerT ) + dim(Im T ) = dim X . được gọi là ma trận của AXTT f trong cặp cơ sở B1, B2 . Chú ý • Từ đây về sau, ta chỉ xét loại AXTT f : ℝ n → ℝ m . B Ký hiệu là: [ f ]B2 hoặc viết đơn giản là A. • Khi n = m , ta gọi f : ℝ n → ℝ n là phép biến đổi 1 tuyến tính (viết tắt là PBĐTT). Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy Trường hợp đặc biệt Cụ thể là, nếu: Cho PBĐTT f : ℝ n → ℝ n và cơ sở B = {u1,…, un } .  f (u ) = a v + a v + a v + ... + a v 1   11 1 21 2 31 3 m1 m ( ) Ma trận vuông A cấp n :  f (u1 )  f (u2 ) ...  f (un )  f (u ) = a v + a v + a v + ... + a v 2 12 1 22 2 32 3 m2 m  B B B ........................................................... được gọi là ma trận của PBĐTT f trong cơ sở B .    f (u ) = a v + a v + a v + ... + a v Ký hiệu là: [ f ]B hoặc [ f ] hoặc viết đơn giản là A . n   1n 1 2n 2 3n 3 mn m Chú ý a   11 a12 ... a1n   Nếu A là ma trận của AXTT f : ℝ n → ℝ m trong cặp   a   21 a22 ... a2n  cơ sở chính tắc En , E m thì f (x ) = Ax , x ∈ ℝ n .   a  31 a 32 ... a 3n .  thì [ f ]B =  B2  VD 6. Cho AXTT f : ℝ 4 → ℝ 3 xác định như sau:   ⋮ ⋮ 1   ⋮ ⋮ f (x ; y; z ; t ) = (3x + y − z ; x − 2y + t ; y + 3z − 2t ).    a   m 1 am 2 ... amn   Tìm ma trận A = [ f ]E3 ? Kiểm tra f (v ) = Av, v ∈ ℝ 4 ? E  4 Toán cao c p C2 Đ i h c 19
ĐH Công nghi p Tp.HCM Friday, November 26, 2010 dvntailieu.wordpress.com Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy VD 8. Cho PBĐTT f : ℝ 3 → ℝ 3 xác định như sau: VD 7. Cho AXTT f : ℝ → ℝ xác định như sau: 2 3 f (x ; y; z ) = (3x + y − z ; x − 2y; y + 3z ). f (x ; y ) = (3x ; x − 2y; −5y ) . Tìm ma trận [ f ]E ? E Tìm ma trận [ f ]E3 ? 3 2 3 1 −1 3  1 −1      3 0  3 0    1 − 2 0 ;    B.  1 −2 1 ;      A.           A. 1 −2; B. 1 −2;       1 − 1 3     −1 0  3               0 −5 1 −5           3 1 −1 3   1 0     3 1  3 1    1 −2 0 ;  0 1 D.  1 −2 1. C.  D.   ; . C.       0 −2 −5 0 −2 −5            −1 0 3     0 1 3          Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy 1 −3 VD 9. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có biểu thức:     0 2 . f (x ; y ) = (2x − y; 3y ). VD 12. Cho AXTT f : ℝ → ℝ có  f  E3  =  2 3    4 3  E2  Hãy tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc E và Tìm ma trận  f  , biết hai cơ sở: B2     cơ sở B = {u1 = (1; 2), u2 = (−1; 3)} ? B1 B1 = {u1 = (1; 1), u2 = (1; 2)} và VD 10. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 có ma trận của f B2 = {v1 = (1; 0; 1), v2 = (1; 1; 1), v3 = (1; 0; 0)}. đối với cơ sở F = {u1 = (1; 0), u2 = (1; 1)} là 1 2   A= b) Định lý   3 4. Hãy tìm biểu thức của f ? B′ B′ Nếu AXTT f : ℝ n → ℝ m có  f  = A1 ,  f  = A2     1 2 B1 B2 VD 11. Cho PBĐTT f : ℝ 2 → ℝ 2 . Biết rằng: , P ′ = P ′ ′ thì: A2 = (P ′) .A1.P . −1 và P = P B1 →B2 B1 →B2 f (1; 2) = (−4; 3) và f (3; 4) = (−6; 7). Hãy tìm [ f ]E ? Chương 4. Ánh x tuy n tính Chương 4. Ánh x tuy n tính Ch 4. tuy Ch 4. tuy VD 13. Cho PBĐTT f (x ; y ) = (x + y; x − 2y ). Đặc biệt Nếu PBĐTT f : ℝ n → ℝ n có [ f ]B = A , [ f ]B = B Tìm [ f ]B , với cơ sở B = {(2; 1), (1; −1)} ? 1 2 và P = PB →B thì: B = P .A.P . –1 VD 14. Cho PBĐTT f : ℝ 3 → ℝ 3 có biểu thức: 1 2 f (x ; y; z ) = (x + y + z ; x − y + z ; x + y − z ). P′ Tìm [ f ]F , với F = {(2; 1; 0), (1; 0; 1), (−1; 0; 1)} ? ′ ′ A2 =  f  B2 f  = A B1   B1 VD 15. Cho AXTT f : ℝ 3 → ℝ 2 có biểu thức: 1 B2 f (x ; y; z ) = (x + y − z ; x − y + z ). P Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở: B = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 0; 1)} A2 = (P ′)− 1 A1P và B ′ = {(2; 1), (1; 1)} ? Toán cao c p C2 Đ i h c 20