Chương VI: Phương trình đẳng cấp

Chia sẻ: Mr. Thành | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

719
lượt xem 109
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu ôn thi đại học môn toán tham khảo về Phương trình đẳng cấp trên báo tuổi trẻ online. Tài liệu hay và bổ ích dành cho học sinh hệ trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và ôn thi đại học - cao đẳng tham khảo ôn tập củng cố kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương VI: Phương trình đẳng cấp

CHÖÔNG VI: PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d Caù c h giaû i : π • Tìm nghieäm u = + kπ ( luùc ñoù cos u = 0 vaø sin u = ±1) 2 • Chia hai veá phöông trình cho cos2 u ≠ 0 ta ñöôïc phöông trình : ( atg 2u + btgu + c = d 1 + tg 2u ) Ñaët t = tgu ta coù phöông trình : ( a − d ) t 2 + bt + c − d = 0 Giaû i phöông trình tìm ñöôï c t = tgu Baø i 127 : Giaû i phöông trình cos2 x − 3 sin 2x = 1 + sin2 x ( *) Vì cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n Chia hai veá cuû a (*) cho cos2 ≠ 0 ta ñöôï c ( ) ( *) ⇔ 1 − 2 3tgx = 1 + tg 2 x + tg 2 x Ñaë t t = tgx ta coù phöông trình : 2t2 + 2 3t = 0 ⇔ t = 0∨ t = − 3 π Vaä y ( * ) ⇔ tgx = 0 hay tgx = − 3 ⇔ x = kπ hay x = − + kπ, k ∈ 3 Baø i 128 : Giaû i phöông trình cos3 x − 4 sin 3 x − 3 cos x sin 2 x + sin x = 0 ( *) π • Khi x = + kπ thì cos x = 0 vaø sin x = ±1 2 thì (*) voâ nghieä m • Do cos x = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuû a (*) cho cos 3x ta coù (*) ⇔ 1 − 4tg 3 x − 3tg 2 x + tgx (1 + tg 2 x ) = 0 ⇔ 3tg 3 x + 3tg 2 x − tgx − 1 = 0 ( ) ⇔ ( tgx + 1) 3tg 2 x − 1 = 0 3 ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 6
Baø i 129 : Giaû i phöông trình 3 cos4 x − 4 sin 2 x cos2 x + sin 4 x = 0 ( * ) Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá cuû a (*) cho cos4 x ≠ 0 Ta coù : (*) ⇔ 3 − 4tg 2 x + tg 4 x = 0 ⇔ tg 2 x = 1 ∨ tg 2 x = 3 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⇔ tgx = ±1 = tg ⎜ ± ⎟ ∨ tgx = tg ⎜ ± ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ π π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 Baø i 130 : Giaû i phöông trình sin 2x + 2tgx = 3 ( * ) Chia hai veá cuû a (*) cho cos2 x ≠ 0 ta ñöôï c 2 sin x cos x 2tgx 3 (*) ⇔ 2 + = cos x cos x cos2 x 2 ( ) ⇔ 2tgx + 2tgx 1 + tg 2 x = 3 1 + tg 2 x ( ) ⎧t = tgx ⇔⎨ 3 ⎩2t − 3t + 4t − 3 = 0 2 ⎧t = tgx ⎪ ⇔⎨ ( ⎪( t − 1) 2t − t + 3 = 0 ⎩ 2 ) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ 4 Baø i 131 : Giaû i phöông trình sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x ( * ) ( *) ⇔ 2 sin2 x cos x + 3sin x − 4 sin3 x = 6 cos3 x • Khi cos x = 0 ( sin x = ± 1 ) thì ( * ) voâ nghieäm • Chia hai veá phöông trình (*) cho cos3 x ≠ 0 ta ñöôï c 2sin2 x 3sin x 1 sin3 x ( *) ⇔ + . −4 =6 cos2 x cos x cos2 x cos3 x ( ) ⇔ 2tg 2 x + 3tgx 1 + tg 2 x − 4tg 3 x = 6 ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x − 3tgx + 6 = 0 ( ⇔ ( tgx − 2 ) tg 2 x − 3 = 0 ) ⇔ tgx = 2 = tgα ∨ tgx = ± 3 π ⇔ x = α + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ ( vôùi tgα = 2) 3
Baø i 132 : (Ñeà thi tuyeå n sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2003) Giaû i phöông trình cos 2x 1 cot gx − 1 = + sin2 x − sin 2x ( *) 1 + tgx 2 Ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 vaø tgx ≠ −1 Ta coù : cos 2x cos2 x − sin2 x cos x cos x − sin x = = 2 ( 2 ) 1 + tgx sin x cos x + sin x 1+ cos x = cos x ( cos x − sin x ) ( do tgx = −1 neân, sin x + cos x ≠ 0 ) cos x 1 Do ñoù : ( *) ⇔ sin x ( ) − 1 = cos2 x − sin x cos x + sin2 x − sin 2x 2 cos x − sin x ⇔ = 1 − sin 2x sin x 2 ⇔ ( cos x − sin x ) = sin x ( cos x − sin x ) ⇔ cos x − sin x = 0 hay 1 = sin x ( cos x − sin x ) (**) ⎡ tgx = 1 ( nhaän so vôùi tgx ≠ −1) ⇔⎢ 1 sin x ⎢ = − tg 2 x ( do cos x ≠ 0 ) ⎢ cos x cos x ⎣ 2 ⎡ π ⇔ ⎢ x = 4 + kπ, k ∈ ⎢ ⎢2tg x − tgx + 1 = 0 ( voâ nghieäm ) 2 ⎣ π ⇔x= + kπ, k ∈ ( nhaän do sin 2x ≠ 0) 4 Löu yù : coù theå laø m caù c h khaùc 1 1 ( * *) ⇔ 1 − sin 2x + (1 − cos 2x ) =0 2 2 ⇔ 3 = sin 2x + cos 2x ⎛ π⎞ ⇔ 3 = 2 sin ⎜ 2x + ⎟ : voâ nghieäm ⎝ 4⎠ Baø i 133 : Giaû i phöông trình sin 3x + cos 3x + 2 cos x = 0 ( * ) ( *) ⇔ ( 3sin x − 4 sin3 x ) + ( 4 cos3 x − 3 cos x ) + 2 cos x = 0 ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 4 cos3 x − cos x = 0 Vì cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos3 x ≠ 0 ta ñöôï c ( *) ⇔ 3tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 4 − (1 + tg 2 x ) = 0
⇔ − tg 3 x − tg 2 x + 3tgx + 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎧ t = tgx ⎪ ⇔⎨ ( ⎪( t + 1) t − 3 = 0 ⎩ 2 ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 π π ⇔ x = − + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 5sin 4x.cos x Baø i 134 : Giaû i phöông trình 6sin x − 2 cos3 x = ( *) 2 cos 2x Ñieà u kieä n : cos 2x ≠ 0 ⇔ cos2 x − sin2 x ≠ 0 ⇔ tgx ≠ ±1 ⎧ 10 sin 2x cos 2x cos x ⎪6 sin x − 2 cos x = 3 Ta coù : (*) ⇔ ⎨ 2 cos 2x ⎪cos 2x ≠ 0 ⎩ ⎧6 sin x − 2 cos3 x = 5 sin 2x cos x ⇔⎨ ⎩ tgx ≠ ±1 ⎧6 sin x − 2 cos3 x = 10 sin x cos2 x ( * *) ⎪ ⇔⎨ ⎪tgx ≠ ±1 ⎩ Do cosx = 0 khoâ n g laø nghieä m cuû a (**), chia hai veá phöông trình (**) cho cos3 x ta ñöôï c ⎧ 6tgx − 2 = 10tgx ( * *) ⇔ ⎪ cos2 x ⎨ ⎪tgx ≠ ±1 ⎩ ⎧t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⎪ ⇔⎨ ( ) ⎪6t 1 + t − 2 = 10t ⎩ 2 ⎧t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⎧t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⇔⎨ 3 ⇔⎨ ⎩3t − 2t − 1 = 0 ⎩(t − 1) (3t + 3t + 1) = 0 2 ⎧ t = tgx vôùi t ≠ ±1 ⇔⎨ : voâ nghieäm ⎩t = 1 Baø i 135 : Giaû i phöông trình sin x − 4 sin 3 x + cos x = 0 ( * ) • Vì cosx = 0 khoâ ng laø nghieä m neâ n chia hai veá phöông trình cho cos 3 x thì ( *) ⇔ tgx (1 + tg 2 x ) − 4tg 3 x + 1 + tg 2 x = 0
⎧t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩−3t + t + t + 1 = 0 ⎧t = tgx ⎪ ⇔⎨ ( ⎪( t − 1) 3t + 2t + 1 = 0 ⎩ 2 ) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ 4 Baø i 136 : Giaû i phöông trình tgx sin 2 x − 2 sin 2 x = 3 ( cos 2x + sin x cos x )( * ) Chia hai veá cuû a phöông trình (*) cho cos 2 x ( *) ⇔ tg x − 2tg x = 3 2 ( 3 cos2 x − sin 2 x + sin x cos x ) cos2 x ( ⇔ tg 3 x − 2tg 2 x = 3 1 − tg 2 x + tgx ) 3 2 ⇔ tg x + tg x − 3tgx − 3 = 0 ⎧ t = tgx ⇔⎨ 3 2 ⎩ t + t − 3t − 3 = 0 ⎧ t = tgx ⎪ ⇔⎨ ( ⎪( t + 1) t − 3 = 0 ⎩ 2 ) ⇔ tgx = −1 ∨ tgx = ± 3 π π ⇔x=− + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 4 3 Baø i 137 : Cho phöông trình ( 4 − 6m ) sin 3 x + 3 ( 2m − 1) sin x + 2 ( m − 2 ) sin 2 x cos x − ( 4m − 3) cos x = 0 ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎡ π⎤ b/ Tìm m ñeå phöông trình (*) coù duy nhaá t moä t nghieä m treâ n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 4⎦ π Khi x = + kπ thì cosx = 0 vaø sin x = ±1 neâ n 2 (*) thaøn h : ± ( 4 − 6m ) ± 3 ( 2m − 1) = 0 ⇔ 1 = 0 voâ nghieäm chia hai veà (*) cho cos3 x ≠ 0 thì ( *) ⇔ ( 4 − 6m ) tg 3 x + 3 ( 2m − 1) tgx (1 + tg 2 x ) + 2 ( m − 2 ) tg 2 x − ( 4m − 3) (1 + tg 2 x ) = 0 ⎧ t = tgx ⎪ ⇔⎨ 3 ⎪ t − ( 2m + 1) t + 3 ( 2m − 1) t − 4m + 3 = 0 ( * *) 2 ⎩
⎧t = tgx ⎪ ⇔⎨ ( ⎪( t − 1) t − 2mt + 4m − 3 = 0 ⎩ 2 ) ⎧t = tgx ⎪ a/ Khi m = 2 thì (*) thaø nh ⎨ ( ⎪( t − 1) t − 4t + 5 = 0 ⎩ 2 ) π ⇔ tgx = 1 ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 ⎡ π⎤ b/ Ta coù : x ∈ ⎢ 0, ⎥ thì tgx = t ∈ [ 0,1] ⎣ 4⎦ Xeù t phöông trình : t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) ⇔ t 2 − 3 = 2m ( t − 2 ) t2 − 3 ⇔ = 2m (do t = 2 khoân g laø nghieä m ) t−2 t2 − 3 Ñaët y = f ( t ) = ( C ) vaø (d) y = 2m t−2 t 2 − 4t + 3 Ta coù : y ' = f ( t ) = 2 ( t − 2) Do (**) luoâ n coù nghieä m t = 1 ∈ [ 0,1] treâ n yeâ u caà u baø i toaù n ⎡( d ) y = 2m khoâng coù ñieåm chung vôùi ( C ) ⇔⎢ ⎢( d ) caét ( C ) taïi 1 ñieåm duy nhaát t = 1 ⎣ 3 ⇔ 2m < ∨ 2m ≥ 2 2 3 ⇔ m< ∨m≥1 4 Caù c h khaù c : Y C B T ⇔ f(t) = t 2 − 2mt + 4m − 3 = 0 ( 2 ) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) . ⎧Δ ≥ 0 ⎪af (0 ) ≥ 0 ⎪ ⎪ Ta coù (2) coù nghieä m ∈ [ 0,1] ⇔ f (0). f (1) ≤ 0 hay ⎨af (1) ≥ 0 ⎪ ⎪0 ≤ S ≤1 ⎪ ⎩ 2
⎧m2 − 4 m + 3 ≥ 0 ⎪ ⎪4 m − 3 > 0 3 ⇔ ( 4 m − 3) (2m − 2) ≤ 0 hay ⎨ ⇔ ≤ m ≤1 ⎪ 2m − 2 > 0 4 ⎪0 ≤ m ≤1 ⎩ 3 Do ñoù (2) voâ nghieä m treâ n [ 0,1 ) ⇔ m < hay m >1 hay f (1) = 0 4 3 ⇔m< ∨m≥1 4 BAØI TAÄP 1. Giaû i caù c phöông trình sau : a/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 b/ sin 2 x ( tgx + 1) = 3sin x ( cos x − sin x ) + 3 c/ 2 cos2 x + cos 2x + sin x = 0 1 − cos3 x d/ tg 2 x = 1 − sin3 x e/ sin3 x − 5sin2 x cos x − 3sin x cos2 x + 3cos3 x = 0 f/ cos3 x + sin x − 3sin2 x cos x = 0 g/ 1 + tgx = 2 2 sin x h/ sin3 x + cos3 x = sin x − cos x k/ 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 3(1 + sin x) π x m/ 3tg 2 x − tgx + − 8 cos 2 ( − ) = 0 cos x2 4 2 sin x + cos x n/ =1 sin 2x 2. Cho phöông trình : sin 2 x + 2 ( m − 1) sin x cos x − ( m + 1) cos2 x = m a/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = -2 ( ÑS : m ∈ [ −2,1]) Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn