Giáo án Đại số lớp 11: Vi phân và đạo hàm cấp cao

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Vi phân và đạo hàm cấp cao" tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề vi phân và đạo hàm cấp cao, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số 11. Mời các bạn cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Vi phân và đạo hàm cấp cao

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CẤP CAO Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày được định nghĩa vi phân. + Trình bày được phương pháp tính gần đúng nhờ vi phân. + Trình bày được phương pháp tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…, cấp n.  Kĩ năng + Tính được vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước. + Tìm vi phân của hàm số f  x  . + Biết cách tính gần đúng một số dựa vào vi phân. + Biết tính đạo hàm cấp 2, cấp 3,…., cấp n. + Biết chứng minh được đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình liên quan đến đạo hàm cấp 2,3. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vi phân Cho hàm số y  f  x  xác định trên  a; b  và có đạo hàm tại Nếu chọn hàm số y  x thì ta x   a; b  . Gọi x là số gia của x . có dy  dx  1.x  x . Do vậy ta thường kí hiệu Ta gọi tích f   x  .x là vi phân của hàm số y  f  x  tại x ứng với số x  dx và dy  f   x  dx . gia x . Kí hiệu df  x  hoặc dy , tức là dy  df  x   f   x  .x . Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là f  x0  x   f  x0   f   x0  .x. Đạo hàm cấp cao + Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f  . Nếu f  cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và được kí hiệu là f  , tức là f    f   . + Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1  n 1  n 1 ( với n  , n  2 ) là f . Nếu f cũng có đạo hàm thì đạo hàm f   , tức là n của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là    f  n   f  n 1 . + Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai Đạo hàm cấp hai s  t  là gia tốc tức thời của chuyển động s  s  t  tại thời điểm t . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính vi phân Bài toán 1. Tìm vi phân của hàm số Phương pháp giải TOANMATH.com Trang 2
Ví dụ. Cho hàm số y  x3  3x 2  2x  7 a)Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với số gia x  0, 02 . b) Tìm vi phân của hàm số. Hướng dẫn giải a) Tính vi phân của hàm số f  x  tại x0 cho trước: a) Ta có y  f   x   3 x 2  6 x  2 . - Tính đạo hàm của hàm số tại x0 . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với - Vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x là số gia x  0, 02 là df  x0   f   x0  .x . df 1  f  1 .x   3.12  6.1  2  .0, 02  0,14 . b) Tìm vi phân của hàm số f  x  . b) dy  f   x  .x   3 x 2  6 x  2  dx . - Tính đạo hàm của hàm số. - Vi phân của hàm số dy  df  x   f   x  .x . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y  x3  4 x 2  5 . Tính vi phân của hàm số tại điểm x0  1 , ứng với số gia x  0, 02 . Hướng dẫn giải Ta có y  f   x   3 x 2  4 x . Do đó vi phân của hàm số tại điểm x0  1 ,ứng với số gia x  0, 02 là df 1  f  1 .x   3.12  4.1 .0, 02  0, 02 . x Ví dụ 2. Tìm vi phân của hàm số y  x 1 2 Hướng dẫn giải  x  x  1  2 x  x2  1  x2  1 2 2 Ta có y   2     dy  y dx  dx .  x 1   x 2  1  x2  1  x 2  1 2 2 2 Bài toán 2. Tính gần đúng giá trị của hàm số Phương pháp giải Để tính gần đúng giá trị của hàm số f  x  Ví dụ. Tính gần đúng giá trị của 49, 25 (lấy 5 tại điểm x   x0  x  cho trước, ta áp dụng chữ số thập phân trong kết quả). Hướng dẫn giải công thức f  x0  x   f  x0   f   x0  .x . Ta có 49, 25  49  0, 25 . 1 Xét hàm số f  x   x  f   x   . 2 x TOANMATH.com Trang 3
Chọn x0  49 và x  0, 25 , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x 1  49  0, 25  49  .0, 25  7  0, 01786 2 49  7, 01786 Vậy 49  0, 25  7, 01786 . Ví dụ mẫu 1 Ví dụ 1. Tính gần đúng . 0,9995 Hướng dẫn giải 1 1 a) Ta có  . 0,9995 1  0, 0005 1 1 Xét hàm số f  x    f  x   2 . x x Chọn x0  1 và x  0, 0005 , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x 1   1  1.  0, 0005   1, 0005 1  0, 0005 Ví dụ 2. Tính gần đúng sin 46 . Hướng dẫn giải    Ta có sin 46  sin  45  1   sin   .  4 180  Xét hàm số f  x   sin x  f   x   cos x .   Chọn x0  và x  , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x 4 180       2 2  sin     sin  cos .   .  4 180  4 4 180 2 360 Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Vi phân của hàm số f  x   3 x 2  x tại điểm x  2 , ứng với x  0,1 là A. -0,07. B. 10. C. 1,1. D. -0,4. Câu 2: Vi phân của hàm số y  x 2  5 x bằng biểu thức nào sau đây? 1 2x  5 A. dy  dx . B. dy  dx . 2 x  5x 2 x2  5x 2x  5 2x  5 C. dy   dx . D. dy  dx . 2 x2  5x 2 x2  5x Câu 3: Vi phân của hàm số y  x sin x  cos x là TOANMATH.com Trang 4
A. dy   2sin x  x cos x  dx . B. dy  x cos xdx C. dy  x cos x D. dy   sin x  cos x  dx   3  Câu 4: Dùng công thức vi phân làm tròn đến số thập phân thứ tư của tan    được kết quả  3 80  A. 1,2608. B. 1,2611. C. 1,3391 D. 1,3392. Câu 5: Khẳng định nào sau đây đúng? d  sin x  d  sin x  A.   cot x . B.   tan x . d  cos x  d  cos x  d  sin x  d  sin x  C.  cot x . D.  tan x . d  cos x  d  cos x  Câu 6: Cho hàm số y  f  x    x  1 . Biểu thức nào sau đây là vi phân của hàm số f  x  ? 2 A. dy  2  x  1 dx . B. dy   x  1 dx . C. dy  2  x  1 . D. dy   x  1 dx . 2 Câu 7: Vi phân của hàm số y  x3  9 x 2  12 x  5 là A. dy   3 x 2  18 x  12  dx . B. dy   3 x 2  18 x  12  dx . C. dy    3x 2  18 x  12  dx . D. dy   3x 2  18 x  12  dx Câu 8: Vi phân của hàm số là y  1  x 2 là 1 x A. dy  dx . B. dy  dx . 1 x 2 1  x2 2x 1  x2 C. dy  dx . D. dy  dx . 1  x2 1  x2 Câu 9: Vi phân của hàm số là y  3 x  2 là 3 1 A. dy  dx . B. dy  dx . 3x  2 2 3x  2 1 3 C. dy  dx . D. dy  dx . 3x  2 2 3x  2 2x  3 Câu 10: Vi phân của hàm số y  là 2x 1 8 4 A. dy   dx . B. dy  dx .  2 x  1  2 x  1 2 2 4 7 C. dy   dx . D. dy   dx .  2 x  1  2 x  1 2 2 Câu 11: Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là A. dy   x cos x  sin x  dx . B. dy   x cos x  dx . C. dy   cos x  sin x  dx . D. dy   x sin x  dx . TOANMATH.com Trang 5
Câu 12: Xét hàm số y  f  x   1  cos 2 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng?  sin 4 x  sin 4 x A. df  x   dx . B. df  x   dx . 2 1  cos 2 x 2 1  cos 2 2 x cos 2 x  sin 2 x C. df  x   dx . D. df  x   dx . 1  cos 2 x2 1  cos 2 2 x tan x Câu 13: Vi phân của hàm số y  là x A. dy  2 x dx . B. dy   sin 2 x  dx . 4 x x cos 2 x 4 x x cos 2 x C. dy  2 x  sin 2 x  dx . D. dy   2 x  sin 2 x  dx . 4 x x cos 2 x 4 x x cos 2 x 1 Câu 14: Cho hàm số y  . Vi phân của hàm số là 3x3 1 1 1 A. dy  dx . B. dy  dx . C. dy   dx . D. dy  x 4 dx . 4 x4 x4 Dạng 2: Đạo hàm cấp cao Bài toán 1. Tính đạo hàm đến cấp n của hàm số Phương pháp giải + Áp dụng trực tiếp công thức để tính đạo hàm cấp Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp 3 của hàm số y  cos 2 x . hai y   y  . Tính y  x0  . Hướng dẫn giải + Cấp 3,4… ta tính tương tự. 1 Ta có y  cos 2 x  1  cos 2 x   y   sin 2 x 2  y  2 cos 2 x  y  4sin 2 x . Ví dụ mẫu 3x  1 Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp 4 của hàm số y  . x2 Hướng dẫn giải 2  7  x  2   Ta có y  7  y     14  x  2  x  2  x  2 2 4 3 3  4  14  x  2   42  x  2    y     42  4 y     168 .  x  2  x  2  x  2  x  2 6 4 8 5 Ví dụ 2. Tìm đạo hàm cấp 5 của hàm số y  sin 2 2 x . Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 6
1 Ta có y  sin 2 2 x  1  cos 4 x  2  y  2sin 4 x  y  8cos 4 x  y  32sin 4 x  y  4  128cos 4 x  y 5  512sin 4 x Bài toán 2. Tính đạo hàm cấp cao của hàm số Phương pháp giải Ví dụ. Tìm đạo hàm cấp của hàm số y  sin x  n  *  . Hướng dẫn giải   Bước 1: Tính y, y, y . Dựa vào các đạo hàm Ta có: y  cos x  sin  x  1. 2  ;   vừa tính, dự đoán công thức tính y  n  .   y   sin x  sin  x  2.  ;  2   Dự đoán: y  n   sin  x  n  , n  * . 1  2 Bước 2: Chứng minh công thức vừa dự đoán là Chứng minh 1 bằng quy nạp: đúng bằng phương pháp quy nạp.  n  1 : 1 Hiển nhiên đúng.  Giả sử 1 đúng với n  k  1 nghĩa là   y k  sin  x  k   2 Ta phải chứng minh 1 đúng với n  k  1 nghĩa là ta phải chứng minh   y  k 1  sin  x   k  1  .  2   2 Thật vậy, xét  2  ta có '        VT  y k 1   y k   sin  x  k    cos  x  k    2   2    sin  x   k  1   VP .  2 Suy ra  2  đúng,nghĩa là 1 đúng với n  k  1 . Theo nguyên lí quy nạp ta có công thức   y n  sin  x  n  , n  *  2 TOANMATH.com Trang 7
Chú ý: Cần phân tích kĩ các kết quả của đạo hàm y, y, y , tìm ra quy luật để dự đoán công thức y  n  chính xác Ví dụ mẫu 3x  1 Ví dụ 1. Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y  . x2 Hướng dẫn giải 7 7.2 7.2.3 Ta có: y  , y  , y  .  x  2  x  2  x  2 2 3 4  1 .7.n ! . 2 n Bằng quy nạp ta chứng minh y  n     x  2 n 1  Với n  1 ta thấy  2  đúng.  1 .7.k ! . k  Giả sử  2  đúng với n  k , tức là y  k    x  2 k 1   1k .7.k   1 .7.k !.  k  1   1 .7.  k  1! . k k 1 Ta có: y  k 1        x  2 k 1   x  2 k 2  x  2 k 2   Do đó  2  đúng với mọi số tự nhiên n . Vậy theo nguyên lí quy nạp ta có công thức đạo hàm cấp cao của hàm số  1 .7.n ! . n 3x  1 là y    n y  x  2 n 1 x2 Bài toán 3. Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình Phương pháp giải Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để Ví dụ. Cho hàm số y  x sin x chứng minh bất đẳng thức, giải Chứng minh x. y  2  y  sin x   xy  0 . phương trình, bất phương trình. Hướng dẫn giải Ta có y   x sin x   y '  x.sin x  x.  sin x   y  sin x  x cos x y   sin x  x cos x  '   sin x    x cos x   cos x  x '.cos x  x.  cos x   2 cos x  x sin x . Ta có x. y  2  y  sin x   xy  0 TOANMATH.com Trang 8
 x  2 cos x  x sin x   2  sin x  x cos x  sin x   x 2 sin x  0  2 x cos x  x 2 sin x  2 x cos x  x 2 sin x  0 00 (điều phải chứng minh). Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng minh y 3 . y  1  0 . Hướng dẫn giải Ta có: y   2 x  x2   y '  2 1 2x  x 2 .  2 x  x 2   1 x 2x  x2 . y  1  x  . 2 x  x2     2 x  x 2 . 1  x    2 2 x  x2 1 x  2x  x2  . 1  x   2x  x2   2 2 x  x2   2 x  x 2   1  x  2 1   .     2 3 2x  x2 . 2 x  x2 2x  x2 Ta có y . y  1  0   2 x  x  . 1 3 3 2  1  0  1  1  0  2x  x  3 2 (điều phải chứng minh). sin 3 x  cos3 x Ví dụ 2. Cho hàm số y  . Chứng minh y  y  0 . 1  sin x.cos x Hướng dẫn giải  sin x  cos x   sin 2 x  cos 2 x  sin x cos x  Ta có: y  1  sin x cos x   sin x cos x 1  sin x cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x  y  cos x  sin x  y   sin x  cos x . TOANMATH.com Trang 9
Ta có y  y  0   sin x  cos x  sin x  cos x  0  0  0 (điều phải chứng minh). 2x  4 Ví dụ 3. Cho hàm số y  . Giải phương trình y  0 . x  4x  3 2 Hướng dẫn giải 2x  4 2  x  2 Ta có y   x  4 x  3  x  2 2  1 2  2  x  2   2  x  2 2  2  2  x  2  .2  x  2  2  x  2 2  2  y          x  2  1  2 2 2  x  2 2  1  x  2 2  1          2 2 x  2  2   y   2    x  2   1  2    2 4  x  2   x  2   1   2  x  2   2  .2  x  2   1 2  x  2  2 2 2        4  x  2   1 2   4  x  2   x  2   1    x  2   1  2  x  2   2  2 2 2      4  x  2   1 2   4  x  2   x  2   1  x  2   3 2 2     . 4  x  2   1 2   4  x  2   x  2   1  x  2   3 2 2 Ta có y  0      0. 4  x  2   1 2   Điều kiện:  x  2   1  0 . 2 Khi đó y  0  x  2  0  x  2 . Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số f  x   x3  x 2  4 tại điểm x  1 là A. 1. B. 10. C. 4. D. 16. TOANMATH.com Trang 10
3x  1 Câu 2: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  là x2 10 5 5 10 A. y  . B. y   . C. y   . D. y   .  x  2  x  2  x  2  x  2 2 4 3 3   Câu 3: Cho f  x   sin 3x . Giá trị của f     bằng  2 A. -9. B. 0. C. 9. D. -3. Câu 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  cos x là 2 A. y  2 cos 2 x . B. y  2sin 2 x . C. y  2 cos 2 x . D. y  2sin 2 x . Câu 5: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x   x sin x  3 là A. f   x    x sin x . B. f   x   2 cos x  x sin x . C. f   x   sin x  x cos x . D. f   x   1  cos x . Câu 6: Cho hàm số y  f  x   sin x . Khẳng định nào sau đây sai?   A. y  sin  x   . B. y  sin  x    .  2  3  C. y  sin  x  . D. y  4  sin  2  x   2  Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 5 x cos 2 x là A. y  49sin 7 x  9sin 3x . B. y  49sin 7 x  9sin 3x . 49 9 49 9 C. y  sin 7 x  sin 3x . D. y   sin 7 x  sin 3 x . 2 2 2 2 Câu 8: Cho hàm số y  sin 2 x . Khẳng định nào sau đây đúng? D. y 2   y   4 . 2 A. 4 y  y  0 . B. 4 y  y  0 . C. y  y tan 2 x . 2 x 2  3 x Câu 9: Cho hàm số y  . Đạo hàm cấp hai của f là 1 x 1 2 A. y  2  . B. y  . 1  x  1  x  2 3 2 2 C. y  . D. y  . 1  x  1  x  3 4 Câu 10: Cho hàm số y  x3  3 x 2  x  1 . Phương trình y  0 có nghiệm là A. x  2 . B. x  4 . C. x  1 . D. x  3 . Câu 11: Cho f  x   x 4  cos 2 x . Tìm f 4  x  . A. f 4  x   24 x  16 cos 2 x . B. f 4  x   16 cos 2 x . C. f 4  x   24 x  8sin 2 x . D. f 4  x   24  16 cos 2 x . TOANMATH.com Trang 11
Câu 12: Cho hàm số y  x 2  1 khẳng định nào đúng?  I  y. y  2 x ;  II  y 2 . y  y . A. Chỉ  I  . B. Chỉ  II  . C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. Câu 13: Cho hàm số y  1  3 x  x 2 . Khẳng định nào dưới đây đúng? A.  y   y. y  1 . B.  y   2 y. y  1 2 2 C. y. y   y   1 D.  y   y. y  1 2 2 Câu 14: Cho hàm số f  x   2 x  1 .Giá trị của f  1 bằng 3 A. 3. B. -3. C. . D. 0. 2 Câu 15: Cho hàm số f  x   cos 2 x . Tính P  f    . A. P  4 . B. P  0 . C. P  4 . D. P  1 .     Câu 16: Xét hàm số y  cos  2 x   . Nghiệm x   0;  của phương trình f  4  x   8 là  3  2     A. x  . B. x  0, x  . C. x  0, x  . D. x  0, x  . 2 6 3 2 1 Câu 17: Cho hàm số y  . Khẳng định nào dưới đây đúng? x C. yy  2  y   0 . D. yy  2  y  2 2 A. yy 3  2  0 . B. yy 3  2 . Câu 18: Cho hàm số y  sin 2 2 x . Giá trị của biểu thức y 3  y  16 y  16 y  8 là A. -8. B. 0. C. 8. D. 16sin 4x . Câu 19: Đạo hàm cấp n của hàm số y  cos 2 x là     A. y     1 cos  2 x  n  . B. y    2n cos  2 x   . n n n  2  2     C. y  n   2n 1 cos  2 x  n  . D. y  n   2n cos  2 x  n  .  2  2 Câu 20: Đạo hàm cấp n của hàm số y  2 x  1 là  1 .3.5...  3n  1  1 .3.5...  2n  1 n 1 n 1 A. y n  . B. y n  .  2 x  1  2 x  1 2 n 1 2 n 1  1 .3.5...  2n  1  1 .3.5...  2n  3 n 1 n 1 C. y n  . D. y n  .  2 x  1  2 x  1 2 n 1 2 n 1 2x 1 Câu 21: Đạo hàm cấp n của hàm số y  là x  3x  2 2 5.  1 .n ! 3.  1 .n ! 5.  1 .n ! 3.  1 .n ! n n n n A. y  n    . B. y  n    .  x  2  x  1  x  2  x  1 n 1 n 1 n 1 n 1 TOANMATH.com Trang 12
5.  1 .n ! 3.  1 .n ! 5.  1 .n ! 3.  1 .n ! n n n n  n  n C. y  : . D. y   .  x  2  x  1  x  2  x  1 n 1 n 1 n 1 n 1 x Câu 22: Đạo hàm cấp n của hàm số y  là x  5x  6 2  1 .3.n !   1 .2.n ! .  1 .3.n !   1 .2.n ! . n n n n  n  n A. y  B. y   x  3  x  2  x  3  x  2 n 1 n 1 n n  1 .3.n !   1 .2.n ! .  1 .3.n !   1 .2.n ! . n n n n  n  n C. y  D. y   x  3  x  2  x  3  x  2 n 1 n 1 n 1 n 1 Câu 23: Đạo hàm cấp 2021 của hàm số f  x   cos  x  a  là     A. f  2021  x    cos  x  a   . B. f  2021  x    sin  x  a   .  2  2     C. f  2021  x   cos  x  a   . D. f  2021  x   sin  x  a   .  2  2 Câu 24: Đạo hàm cấp n của hàm số y  sin 2 x là     A. y  n   2n 1 sin  2 x  n  . B. y  n   2n 1 sin  2 x  n  .  2  2     C. y  n   2n sin  2 x   . D. y  n   2n sin  2 x  n  .  2  2   Câu 25: Cho hàm số y  sin 3x.cos x  sin 2 x . Giá trị của y 10   gần nhất với số nào dưới đây? 3 A. 454492. B. 2454493. C. 454491. D. 454490. x Câu 26: Cho hàm số y  sin . Đạo hàm y   là n 2 1 x  x  A. n sin   n  . B. sin   n  . 2 2 2 2 2 x  1 x  C. 2n sin   n  . D. n sin   n  . 2 2 2  2  Câu 27: Cho hàm số f  x    3 x 2  2 x  1 . Tính đạo hàm cấp 6 của hàm số tại điểm x  0 . 9 A. f  6  0   60480 B. f  6  0   34560 C. f  6  0   60480 D. f  6  0   34560 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT SỐ 9 VÀ SỐ 10 THAM KHẢO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ SỐ 2 VÀ SỐ 3 VÀ SỐ 4 TOANMATH.com Trang 13
ĐÁP ÁN BÀI 3. ĐẠO HÀM CẤP CAO – VI PHÂN Dạng 1. Tính vi phân 1-C 2-D 3-B 4-A 5-A 6-A 7-A 8-B 9-D 10 - A 11 - B 12 - B 13 - C 14 - C HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1. Ta có: f   x   6 x  1  f   2   11  df  2   f   2  x  11.0,1  1,1 . Câu 2. 2x  5 Ta có dy  ydx  dx . 2 x2  5x Câu 3. dy   x sin x  cos x  dx  1.sin x  x.cos x  sin x  dx  x cos xdx . Câu 4. Xét hàm số f  x   tan x  f   x   1  tan 2 x .  3 Chọn x0  và x   , ta có f  x0  x   f  x0   f   x0  .x 3 80   3    2    3   tan     tan  1  tan  .     1, 2608 .  3 80  3  3   80  Câu 5. d  sin x   sin x  dx cos x Ta có     cot x . d  cos x   cos x  dx sin x Câu 6. 2  Ta có dy   x  1  dx  2  x  1 dx .   Câu 7. Ta có dy   x3  9 x 2  12 x  5  dx   3 x 2  18 x  12  dx . Câu 8. 1  x 2   x dx . Ta có dy     1  x 2 dx  2 1  x2 1  x2 Câu 9. Ta có dy     3x  2 dx  3 2 3x  2 dx . TOANMATH.com Trang 14
Câu 10.  2 x  3  8 Ta có dy    dx  dx .  2x 1   2 x  1 2 Câu 11. Ta có dy   x sin x  cos x  dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx . Câu 12. 1  cos 2 2 x  2.2.cos 2 x.sin 2 x  sin 4 x  sin 4 x Ta có y     df  x   dx . 2 1  cos 2 2 x 2 1  cos 2 2 x 1  cos 2 2 x 1  cos 2 2 x Câu 13. 1 1 1 . x  tan x .  tan x  . 2 Ta có dy   2 x cos x 2 x dx  dx   x  x 1 1 sin x 1  1   .  .  dx  2 cos 2 x cos x 2 x x x  sin x cos x  .dx 2 x x .cos 2 x  2 x  sin 2 x   .dx 4 x .cos 2 x Câu 14.  1  1 3x 2 1 Ta có dy   3  dx  .   4 dx .  3x  3  x3  2 x Dạng 2. Đạo hàm cấp cao 1-C 2-D 3–A 4-A 5–B 6-D 7-D 8–B 9-B 10 – C 11 – D 12 - D 13 – A 14 – A 15 – C 16 – A 17 – D 18 - B 19 – D 20 - D 21 - D 22 – D 23 - C 24 – D 25 - D 26 – A 27 – A HƯỚNG DẪN CHI TIẾT Câu 1. Ta có f   x   3 x 2  2 x . Suy ra: f   x   6 x  2 . Suy ra f  1  4 . Câu 2. 5 5 10 Ta có y  3   y   y   . x2  x  2  x  2 2 3 TOANMATH.com Trang 15
Câu 3. Ta có f   x   3sin 3 x , suy ra f   x   9sin 3 x .    3  Do đó f      9sin     9 .  2  2  Câu 4. y  2 cos x.   sin x    sin 2 x  y  2 cos 2 x . Câu 5. Ta có y  f   x    x sin x  3  sin x  x cos x Vậy y  f   x    sin x  x cos x   2 cos x  x sin x . Câu 6. Ta có         3  y  cos x  sin  x    y  sin  x     sin  x     y  sin  x      sin  x    2  2 2  2  2   3    y  4  sin  x     sin  x  2   sin x .  2 2 Ta có sin  2  x    sin x  y  4 . Câu 7. 1 Ta có: y  sin 5 x cos 2 x   sin 7 x  sin 3x  . 2 1 1 Do đó y   7 cos 7 x  3cos 3x   y   49sin 7 x  9sin 3x  . 2 2 Câu 8. Ta có: y  2 cos 2 x  y  4sin 2 x . Xét đáp án A, 4 y  y  4sin 2 x  4sin 2 x . Xét đáp án B, 4 y  y  4sin 2 x  4sin 2 x  0 . sin 2 x Xét đáp án C, y tan 2 x  2 cos 2 x.  2sin 2 x  y . cos 2 x Xét đáp án D, y 2   y   sin 2 2 x  4 cos 2 2 x  4 . 2 Câu 9. 2 x 2  3x 1 1 2 y  f  x   2x 1  y  f   x   2   y  f   . 1 x 1 x 1  x  1  x  2 3 TOANMATH.com Trang 16
Câu 10. Tập xác định: D   . Ta có y  3x 2  6 x  1  y  6 x  6  y  0  x  1 . Câu 11. Ta có: f   x   4 x3  2sin 2 x , suy ra f   x   12 x 2  4 cos 2 x  f   x   24 x  8sin 2 x . Do đó: f  4   x    f   x    24  16 cos 2 x . Câu 12. x 1 Ta có: y   y  . x 1 2  x  1 x2  1 2 x Xét y. y  x 2  1.  x , do đó khẳng định (I) sai. x2  1 1 1 Xét y 2 . y   x 2  1 .   y , do đó khẳng định (II) sai. x 2  1 x  1 2 x2  1 Câu 13. Ta có y  1  3 x  x 2  y 2  1  3 x  x 2  2 y. y  3  2 x  2.  y   2 y. y  2   y   y. y  1 . 2 2 Câu 14. Ta có: f  x  2x 1  f   x   2 x  1  1  f   x    2x 1   1    1 2 2x 1 2x 1 2x 1  2 x  1 2 x  1  2 x  1 3 .  f   x     2 x  1 3   3  2 x  1 2  3 .  2 x  1 3  2 x  1  2 x  1  2 x  1 3 3 5 Vậy f  1  3 . Câu 15. Ta có: f   x   2sin 2 x  f   x   4 cos 2 x . Do đó: f     4 . Câu 16.   Ta có: f   x   2sin  2 x    3    f   x   4 cos  2 x    3 TOANMATH.com Trang 17
   f   x   8sin  2 x    3    f  4  x   16 cos  2 x   .  3 Xét phương trình   2     2x    k 2   x   k   1 3 3 2 f  4   x   8  cos  2 x        .  3  2  2 x    2     k 2 x    k  3 3   6    Mà x  0;  nên chỉ có giá trị x  thỏa mãn.  2 2 Câu 17. 1 2 Ta có y   2  y  3 . x x 3 2 1 2 Xét đáp án A, yy 3  2  0  .   2  0  6  2  0 (vô lí). 3  x  x x 2 2 1  1  4 Xét đáp án B, yy  2  y  2  0  3 .  2   2   0  4  0 (vô lí). x x  x  x 3 2 1 2 Xét đáp án C, yy 3  2  .   2  6  2 (vô lí). 3  x  x x 2 2 1  1  2 2 Xét đáp án D, yy  2  y   2 3 .  2   2   4  4 (đúng). x x  x  x x Câu 18. 1  cos 4 x  y  2sin 4 x  y  8cos 4 x  y    32sin 4 x . 3 Ta có: y  sin 2 2 x  y  2 Khi đó y 3  y  16 y  16 y  8  32sin 4 x  8cos 4 x  32sin 4 x  8 1  cos 4 x   8  0 . Câu 19.       Ta có y  2 cos  2 x   ; y  22 cos  2 x  2  ; y  23 cos  2 x  3  .  2  2  2   Bằng quy nạp ta chứng minh được y  n   2n cos  2 x  n  .  2 Câu 20. 1 1 3 Ta có y  , y   , y  . 2x  1  2 x  1 3  2 x  1 5 TOANMATH.com Trang 18
 1 .3.5...  2n  3 n 1  n Bằng quy nạp ta chứng minh được y  .  2 x  1 2 n 1 Câu 21. 5 3 Ta có: y   . x  2 x 1 5.  1 .n ! 3.  1 .n ! n n  n Bằng quy nạp ta chứng minh được y   .  x  2  x  1 n 1 n 1 Câu 22. Ta có: x  3  x  2   2  x  3 ; x 2  5 x  6   x  2  x  3 . 3 2 Suy ra y   . x3 x2 n  1 .1n.n !  1 .n !  1    1 .n ! n n n n  1  Mà     , n 1     x  2  x  2   x  3   x  3 n 1 n 1  x2  1 .3.n !   1 .2.n ! . n n nên ta có y  n    x  3  x  2 n 1 n 1 Câu 23.   Ta có f   x    sin  x  a   cos  x  a   ;  2    2  f   x    sin  x  a    cos  x  a  ;  2  2  …  2021    f  2021  x   cos  x  a    cos  x  a   .  2   2 Câu 24.       Ta có: y  2sin  2 x   , y  22 sin  2 x  2  , y  23 sin  2 x  3  ;...  2  2  2   Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được y n   2n sin  2 x  n  .  2 Câu 25. 1 1 Ta có y  sin 3 x.cos x  sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x   sin 2 x   sin 4 x  sin 2 x  . 2 2  n  n  Mặt khác theo quy nạp ta chứng minh được  sin ax    1 n 1 a n sin   ax  .  2  Do đó y 10  x   1 2  9 9 1 2   1 410.sin  5  4 x    1 .210.sin  5  2 x    410.sin 4 x  210 sin 2 x  TOANMATH.com Trang 19
   y 10    454490,13 3 Câu 26. 1  x n  Chứng minh bằng quy nạp y  n   n sin    . 1 2 2 2  1 x 1 x  Với n  1 ta có y  cos  sin    . 2 2 2 2 2 1  x k  Giả sử 1 đúng với n  k , k  * tức là ta có y  k   k sin   . 2 2 2  1  x  k  1   Chứng minh 1 đúng với n  k  1 tức là cần chứng minh y  k 1  k 1 sin   . 2 2 2  Thật vậy,ta có   x  k  1    y  k     1k sin  x  k    1k 1 cos  x  k  1   k 1 sin   .   2  2 2  2 2 2  2 2 2  Câu 27. Giả sử f  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a18 x18 . Khi đó f  6  x   6!.a6  b7 x  b8 x 2  ...  b18 x12  f  6   0   720a6 . 9 Ta có  3x 2  2 x  1   1  2 x  3 x 2    C9k  2 x  3 x 2  9 9 k k 0 9 k 9 k   C9k  Cki  2 x  k i  3x 2 i   C9k Cki 2k i  3 x k i i k 0 i 0 k 0 i 0 0  i  k  9 Số hạng chứa x 6 ứng với k , i thỏa mãn     k ; i    6;0  ,  5;1 ,  4; 2  ,  3;3 k  i  6  a6   C96C60 26  3  C95C51 24  3  C94C42 22  3  C93C33 20  3   84 0 2 3    f  6  0   720.  64   60480. TOANMATH.com Trang 20