Giáo án Đại số lớp 11: Các quy tắc tính đạo hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:71

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Các quy tắc tính đạo hàm" tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề các quy tắc tính đạo hàm, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số 11. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Các quy tắc tính đạo hàm

ĐẠO HÀM BÀI GIẢNG QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được quy tắc và các công thức tính đạo hàm. + Trình bày được cách tìm đạo hàm thích hợp. + Trình bày được cách viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm.  Kĩ năng + Tìm được đạo hàm các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm số hợp. + Viết được phương trình tiếp tuyến và giải quyết các bài toán liên quan. + Vận dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình,; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tính giới hạn. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp  c   0, c là hằng số;  x   1;  1  1  x    x2 ;    x   2 1 x ;  x   n.x n n 1 ( với n là số tự nhiên). 2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương. Cho các hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có: 1.  u  v   u  v; 2.  u  v   u  v; 3.  u.v   uv  vu;  u  uv  vu 4.    v  v  x   0. v v2 Chú ý: a)  k.v   kv ( k: hằng số);  1  v b)    2  v  v  x   0  . v v Mở rộng:   u1  u2  ...  un   u1  u2  ...  un ;   u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w. 3. Đạo hàm của hàm số hợp Cho hàm số y  f  u  x    f  u  với u  u  x  . Khi đó: yx  yu .ux . 4. Bảng công thức đạo hàm của một số hàm số thường gặp Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm các hàm hợp u  u  x  TOANMATH.com Trang 2
 c   0, c là hằng số  1  u  u    u2    x   1  u   2uu  1  1  x    x2    u    .u.u   1  x   2 1 x  x   a. x   1 5. Đạo hàm các hàm số lượng giác sin x a) Giới hạn của . x sin x Định lý: lim 1. x 0 x Chú ý: Nếu hàm số u  u  x  thỏa mãn điều kiện: u  x   0 với mọi x  x0 và lim u  x   0 thì x  x0 sin u  x  lim  1. x  x0 ux b) Đạo hàm của hàm số y  sin x Định lý: Hàm số y  sin x có đạo hàm tại mọi x   và  sin x   cos x Chú ý: Nếu y  sin u và u  u  x  thì  sin u   u.cos u . c) Đạo hàm của hàm số y  cos x Định lý: Hàm số y  cos x có đạo hàm tại mọi x   và  cos x    sin x Chú ý: Nếu y  cos u và u  u  x  thì  cos u   u.sin u d) Đạo hàm của hàm số y  tan x Định lý:   k , k   và  tan x   1 Hàm số y  tan x có đạo hàm tại mọi x  . 2 cos2 x  Chú ý: Nếu y  tan u và u  u  x  có đạo hàm trên K , u  x    k  k    với mọi x  K . 2 u Khi đó trên K ta có:  tan u   . cos2 u TOANMATH.com Trang 3
e) Đạo hàm của hàm số y  cot x Định lý: Hàm số y  cot x có đạo hàm tại mọi x  k , k   và  cot x    1 . sin 2 x Bảng đạo hàm của hàm số lượng giác  sin x   cos x  sin u   u.cos u  cos x    sin x  cos u   u.sin u u  tan x    tan u   1 cos2 x cos2 u u  cot x     cot u    1 sin 2 x sin 2 u Chú ý: Nếu y  cot u và u  u  x  có đạo hàm trên K, u  x   k  k    với mọi x  K . Khi đó trên K ta u có:  cot u    2 . sin u Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f  x  tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M  x0 ; y0  . Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M  x0 ; y0  là: y  y  x0  x  x0   y0 Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0 II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Các quy tắc và công thức tính đạo hàm Bài toán 1. Tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số Phương pháp giải Áp dụng bảng công thức và quy tắc tính đạo Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số hàm 2x 1 y  x 3  3x 2   Công thức đạo hàm x Hướng dẫn giải x n   n. x n 1 (với n là số tự nhiên).    2 x  1   Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương Ta có y   x 3    3 x 2      x  Cho các hàm số u  u  x  ; v  v  x  có đạo 2. x   2 x  1 .1  3x 2  6 x  . hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. x2 Ta có: 1  3x 2  6 x  . x2 a)  u1  u2  ...  un   u1  u2  ...  un . TOANMATH.com Trang 4
b)  u.v.w   u.v.w  u.v.w  u.v.w .  u  uv  vu c)     v  v  x   0 . v v2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm đạo hàm các hàm số 3 2 a) y   x 4  x  2020 x . 2 x 2 b) y  x 1 Hướng dẫn giải  3  a) y    x 4    x 2    2020 x   y  4 x 3  3 x  2020 . 2  b) y     x  2 .  x  1    x  2  x  1  x  1 2 1 .  x  1   x 2  2 x  x  1 2 x 1 2x  4 x  2 x  x  1 2 1 x  4 x  . 2 x  x  1 2 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm các hàm số a) y  x  2 x  1 3x  2  . b) y  x 2  x x  5. Hướng dẫn giải  a) Ta có y  x  2 x  1 3x  2   2 x 2  x  3x  2  . Khi đó    y   2 x 2  x  3 x  2     2 x 2  x  .  3 x  2    3 x  2  .  2 x 2  x     4 x  1 3x  2   3 2 x 2  x   18 x 2  2 x  2 . TOANMATH.com Trang 5
b) Ta có     y  x 2   x x  5   2 x  x . x   x  .x 1  2x  x  .x 2 x 3 x  2x  . 2 Ví dụ 3: Chứng minh các công thức tổng quát sau a b  ax  b  c d a)    ; (a, b, c, d là hằng số)  cx  d   cx  d  2 a b 2 a c b c  x 2 x  ax  bx  c  2 a1 b1 a1 c1 b1 c1 b)    (a, b, c, a1 , b1 , c1 là hằng số)  a1 x  b1 x  c1    2 2 a1 x 2  b1 x  c1 b c  a.a1 x 2  2 a.b1 x   ax  bx  c  2 a1 b1 c)    (a, b, c, a1 , b1 là hằng số)  a1 x  b1   a1 x  b1  2 Hướng dẫn giải a) Ta có    ax  b   ax  b   cx  d    ax  b  cx  d   cx  d      cx  d  2 a  cx  d    ax  b  c   cx  d  2 ad  bc   cx  d  2 a b  ax  b  c d Vậy     cx  d   cx  d  2 b) Ta có  ax 2  bx  c  ax 2  bx  c  a1 x 2  b1 x  c1  ax 2  bx  c a1 x 2  b1 x  c1            a1 x  b1 x  c1    2 2 a1 x 2  b1 x  c1 TOANMATH.com Trang 6
 2ax  b  .  a1 x 2  b1 x  c1    ax 2  bx  c  .  2a1 x  b1   a x  2 1 2  b1 x  c1   a.b1  a1.b  x 2  2  a.c1  a1.c  x   b.c1  b1.c  a x  2 1 2  b1 x  c1 a b 2 a c b c  x 2 x  ax  bx  c  2 a1 b1 a1 c1 b1 c1 Vậy    (điều phải chứng minh).  a1 x  b1 x  c1    2 2 a1 x 2  b1 x  c1   ax 2  bx  c   ax  bx  c  .  a1 x  b1    ax  bx  c  .  a1 x  b1  2 2  c) Ta có     a1 x  b1   ax1  b1  2  2ax  b  .  a1 x  b1    ax 2  bx  c  .a1   a1 x  b1  2 a.a1 x 2  2 a.b1 x   b.b1  a1.c   (điều phải chứng minh).  a1 x  b1  2 b c  a.a1 x 2  2 a.b1 x   ax  bx  c  2 a1 b1 Vậy     a1 x  b1   a1 x  b1  2 Bài toán 2. Tìm đạo hàm của hàm số hợp Phương pháp giải Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là Ví dụ. Tìm đạo hàm của hàm số y   x4  2x   2x2 1 2 ux và hàm số y  f  u  có đạo hàm tại u là yu Hướng dẫn giải thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo hàm tại x là yx  yu .ux .  2  Ta có y   x 4  2 x      2x2 1  Công thức đạo hàm của một số hàm hợp  2x2 1    thường gặp:   y  2 x  2 x . x  2 x  4 4  2 2x2 1  u   n.u n n 1 .u  n  *     y  2 x 4  2 x . 4 x 3  2   4x u 2 2x2 1   u   ;    2 u 2x  y  4 x x 3  2 . 2 x 3  1  . 2x2 1  1  u  u    u2 .   trong đó u  u  x  . Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 7
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:  2x 1  3 a) y    ; b) y  3 x 2  2 x  1 .  x 1  Hướng dẫn giải a) Ta có:  2 x  1   2 x  1  9  2 x  1 2 2 2  2x 1  3  y  3.   .   3.  x  1  .   x 1   x 1     x  1  x  1 2 4  3x 2  2x 1   6x  2 3x  1 b) Ta có: y    . 2 3x  2 x  1 2 2 3x  2 x  1 2 3x 2  2 x  1 Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 2  1 x  2  1  a) y   b) y   x   1  x  ;   . x   Hướng dẫn giải  1  x  1  x  a) Ta có: y  2      1  x  1  x   1 x   2  1  x  2  x    2   1 x 2 1 x    3 x 1 x 2   1    1  1   b) Ta có: y   x     2.  x  . x    x    x x  1  1 1   2.  x      x  2 x 2 x x  1  1  1   2.  x  1   2 x x  x   1  1    1   1    x  x  1  1 . x2 Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số y  x2  1  2x 1 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 8
x 2 x 1 2 x  2 x2  1 Ta có: y   2 x2 1  2x 1 2 x 2 1  x2  1  2x 1  Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Cho hàm số f  x   ax  b , với a, b là hai số thực đã cho. Khẳng định nào sau đây đúng? A. f   x   a. B. f   x   a. C. f   x   b. D. f   x    b. Câu 2: Đạo hàm của hàm số f  x   x 2  5x  1 tại x  4 là A. – 1. B. – 5. C. 2. D. 3. 2x 1 Câu 3: Hàm số y  có đạo hàm là x 1 1 3 1 A. y  2. B. y   . C. y   . D. y  .  x  1  x  1  x  1 2 2 2 Câu 4: Cho các hàm số u  u  x  , v  v  x  có đạo hàm trên khoảng J và v  x   0 với x  J . Khẳng định nào sau đây sai?  1  v   x  A.  u  x   v  x    u  x   v  x  . B.    2 .  v  x   v  x   u  x   u  x  .v  x   v  x  .u  x  C.  u  x  .v  x    u  x  .v  x   v  x  .u  x  . D.    .  v  x   v2  x  x4 2x3 1 Câu 5: Tìm đạo hàm của hàm số y    8 2 3 x 1 1 A. y  2 x 3  2 x 2  1 B. y  2 x 3  2 x 2  . x2 x2 1 C. y  2 x 3  2 x 2  1 D. y  2 x 3  2 x 2  . x2 x2  x Câu 6: Cho hàm số y  . Đạo hàm của hàm số tại x  1 là x 2 A. y 1  4. B. y 1  5. C. y 1  3. D. y 1  2. Câu 7: Đạo hàm của hàm số y  1  x 3  5 là A. y  5 1  x 3  . B. y  15 x 2 1  x 3  . 4 4 C. y  3 1  x 3  . D. y  5 x 2 1  x 3  . 4 4  x  2 2 Câu 8: Hàm số y có đạo hàm là 1 x TOANMATH.com Trang 9
x2  2x x2  2x A. y  . B. y  1  x  1  x  2 2 x2  2x C. y  2  x  2  . D. y  1  x  2 Câu 9: Tìm đạo hàm của hàm số y  x 2  2 x  1 5x  3 . A. y  40 x 2  3x 2  6 x. B. y  40 x 3  3x 2  6 x. C. y  40 x 3  3x 2  6 x. D. y  40 x 3  3x 2  x. 1 6 3 Câu 10: Đạo hàm của hàm số y  x   2 x là 2 x 3 1 3 1 A. y  3 x 5  2  . B. y  6 x 5  2  . x x x 2 x 3 1 3 1 C. y  3 x 5  2  . D. y  6 x 5  2  . x x x 2 x 3  5 Câu 11: Tìm đạo hàm của hàm số y   4 x  2  .  x  2 2  10   5   10   5 A. y  3  4  3   4 x  2  . B. y  3  4  3   4 x  2  .  x  x   x  x  2 2  5  10   5  C. y   4 x  2  . D. y  3  4  3   4 x  2  .  x   x  x  Câu 12: Đạo hàm của hàm số f  x   2  3 x 2 là 3x 1 6 x 2 3x A. . B. . C. . D. . 2  3x 2 2 2  3x 2 2 2  3x 2 2  3x 2 x Câu 13: Cho hàm số y  f  x   . Giá trị y  0  bằng 4  x2 1 1 A. y  0   . B. y  0   . C. y  0   1. D. y  0   2. 2 3 1 ax Câu 14: Đạo hàm của hàm số y  có dạng . x2 1 x  3 2 1 Khi đó a nhận giá trị nào sau đây? A. a  4. B. a  1. C. a  2. D. a  3. Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y  x 2  x x  1 . x x A. y  2 x  x  1  B. y  2 x  x  1  2 x 1 2 x 1 x x C. y  D. y  2 x  x  1  2 x 1 2 x 1 TOANMATH.com Trang 10
Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau y   x  2   x  3 . 3 2 A. y  3  x 2  5 x  6   2  x  3 x  2  . B. y  2  x 2  5 x  6   3  x  3 x  2  3 3 2 3   C. y  3 x 2  5x  6  2  x  3 x  2  . D. y  3  x 2  5 x  6   2  x  3 x  2  2 3 Câu 17: Đạo hàm của hàm số y    x 2  3x  7  là 7 A. y  7  2 x  3   x 2  3 x  7  B. y  7   x 2  3 x  7  6 6 C. y   2 x  3   x 2  3 x  7  D. y  7  2 x  3   x 2  3 x  7  6 6 Câu 18: Cho f  x   1  3 x  3 1  2 x . Giá trị của f   0  bằng 5 5 A. . B.  . C. 0. D. 1. 6 6 Câu 19: Đạo hàm của hàm số y  x 2 x là x x 5 x 5x x 5x x A. . B. . C. .. D. . 2 2 3 2 x2  x 1 ax 2  bx Câu 20: Đạo hàm của hàm số y  có dạng . Khi đó a.b bằng x 1  x  1 2 A. a.b  2. B. a.b  1. C. a.b  3. D. a.b  4. 1 Câu 21: Đạo hàm của hàm số y  bằng  x  1 x  3 1 1 2x  2 4 A. . B. . C.  . D.  x  3  x  1 2x  2 x  2 x  3 x  2 x  3 2 2 2 2 2 2 Câu 22: Cho hàm số f  x    2018  x  2017  2 x  2016  3x  ... 1  2018 x  . Giá trị của f  1 bằng A. 2019.20181009 B. 2018.10092019 C. 1009.20192018 D. 2018.20191009 x Câu 23: Tìm đạo hàm của hàm số y  a2  x 2 a2 a2 2a2 a2 A. y   . B. y  . C. y  . D. y  .  a2  x 2   a2  x 2   a2  x 2   a2  x 2  3 3 3 3 Câu 24: Đạo hàm của hàm số y   x  1 x 2  x  1 là 4 x 2  5x  3 4 x 2  5x  3 4 x 2  5x  3 4 x 2  5x  3 A. . B. . C. . D. . 2 x2  x  1 2 x2  x 1 x2  x 1 2 x2  x  1  3  2 x  ax  b 1 a Câu 25: Cho    , x  . Giá trị của bằng  4 x  1   4 x  1 4 x  1 4 b A. – 16. B. – 4. C. – 1. D. 4. Câu 26: Cho f  x   x  x  1 x  2  x  3 ...  x  n  với n   * . Tính f   0  . TOANMATH.com Trang 11
n  n  1 A. f   0   0. B. f   0   n C. f   0   n ! D. f   0   2 Câu 27: Cho hai hàm số f  x  và g  x  đều có đạo hàm trên  và thỏa mãn f 3  2  x   2 f 2  2  3x   x 2 g  x   36 x  0, x   . Giá trị của A  3 f  2   4 f   2  bằng A. 11. B. 14. C. 13. D. 10. Câu 28: Cho hai hàm số f  x  và g  x  xác định và liên tục trên  thoả mãn: f  x   x 2 , x   và g 1  3; g 1  5 . Tính đạo hàm của hàm số hợp f  g  x   tại x  1 . A. 0. B. 9. C. 15. D. 30. Câu 29: Biết hàm số f  x   f  2 x  có đạo hàm bằng 5 tại x  1 và đạo hàm bằng 7 tại x  2 . Tính đạo hàm của hàm số f  x   f  4 x  tại x  1 . A. 8. B. 12. C. 16. D. 19. Dạng 2: Đạo hàm của hàm số lượng giác Phương pháp giải Áp dụng bảng công thức đạo hàm của hàm Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số số lượng giác x y  sin 2 x  cos  tan 2020 x 2  sin x   cos x  sin u   u.cos u Hướng dẫn giải  cos x    sin x  cos u   u.sin u Ta có: u  x   tan x    tan u   y   sin 2 x    cos    tan 2020 x  1 cos2 x cos2 u  2 u  cot x     cot u    1 1 x 2020  2.cos 2 x  sin  sin 2 x sin 2 u 2 2 cos2 2020 x Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số a) y  sin 2 x  cos 5 x . b) y  sin x. cos 4 x . c) y  cos6 x  2 sin 4 x.cos2 x  3sin 2 x.cos4 x  sin 4 x . Hướng dẫn giải a) Ta có: y   sin 2 x    cos 5 x   2 cos 2 x  5sin 5 x. b) Ta có: y   sin x  .cos 4 x  sin x.  cos 4 x   cos x.cos 4 x  4 sin x.sin 4 x c) Ta có: TOANMATH.com Trang 12
   y  sin 4 x 1  2 cos2 x  cos4 x 3sin 2 x  cos2 x      sin 4 x 1  2 cos2 x  cos4 x 1  2 sin 2 x   sin 4 x  cos4 x  2 sin 4 x cos2 x  2 sin 2 x cos4 x   cos2 x  sin 2 x   2 sin 2 x cos2 x  2 sin 2 x cos2 x  cos2 x  sin 2 x  2  1. Vậy y  1  0. Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số      a) y  sin  x    cos   2 x  tại x  .  3 6  3    2   b) y  cos  3x    sin   2 x  tại x  .  6  3  3 Hướng dẫn giải         a) Ta có y  cos  x    2 sin   2 x   y    cos  0   2 sin     1.  3 6  3  2    2  b) Ta có y  3sin  3 x    2 cos   2x   6  3    5 1  y    3sin  2 cos0  . 3 6 2 Chú ý: Không thay giá trị của biến x trước khi tìm đạo hàm. Ví dụ 3: Tìm đạo hàm của hàm số a) y  tan  2 x  1 ;   b) y  cot 3x 2  5 . Hướng dẫn giải a) Ta có: y   tan 2 x  1  2 . cos  2 x  1 2   b) Ta có: y  cot 3x 2  5    2 6x . sin 3x 2  5    Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số f  x   tan x  cot x tại điểm x  . 4 Hướng dẫn giải Ta có: f   x    tan x  cot x  2 tan x  cot x 1 1 2  2  cos x sin x 2 tan x  cot x TOANMATH.com Trang 13
sin 2 x  cos2 x  2 sin 2 x cos2 x tan x  cot x 2 cos 2 x  . sin 2 x tan x  cot x 2  2 cos   Suy ra f     2 0. 4     sin   tan  cot 2 2 4 4 Ví dụ 5: Tìm đạo hàm của hàm số 1 1 1 1 1 1 y    cos x với x   0;  . 2 2 2 2 2 2 Hướng dẫn giải 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x Ta có y     cos x    cos2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x    cos   cos2   cos 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 x x  cos2  cos . 8 8  x  1 x Do đó y   cos    sin .  8 8 8 sin x  x cos x Ví dụ 6: Cho hàm số y  cos x  x sin x Chứng minh rằng: y  sin x  x cos x   x 2 y 2  0 . 2 Hướng dẫn giải Ta có: y   sin x  x cos x   cos x  x sin x    sin x  x cos x  cos x  x sin x   cos x  x sin x  2 Ta có: +)  sin x  x cos x   cos x  x  cos x  x.  cos x   x sin x ; +)  cos x  x sin x    sin x  x  sin x  x.  sin x   x cos x x sin x.  cos x  x sin x    sin x  x cos x  x cos x x2 Do đó: y    cos x  x sin x   cos x  x sin x  2 2 Ta có: VT  y  sin x  x cos x   x 2 y 2 2 TOANMATH.com Trang 14
2 x2  sin x  x cos x  .  sin x  x cos x  2   x . 2   0  VP.  cos x  x sin x   cos x  x sin x  2 Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm đạo hàm của hàm số y  5sin x  3cos x . A. y  5cos x  3sin x. B. y  cos x  3sin x. C. y  cos x  sin x. D. y  5cos x  3sin x. Câu 2: Tìm đạo hàm hàm số y  3x  2 tan x . 5  2 tan 2 x 5  2 tan 2 x A. y  . B. y  2 3 x  2 tan x 2 3 x  2 tan x 5  2 tan 2 x 5  2 tan 2 x C. y  D. y  2 3 x  2 tan x 2 3 x  2 tan x   Câu 3: Cho hàm số y  cos 3 x.sin 2 x . Giá trị của y   bằng 3 1 1 A. . B.  . C. – 1. D. 1. 2 2 Câu 4: Hàm số y  x 2 cos x có đạo hàm là A. y  2 x cos x  x 2 sin x. B. y  2 x cos x  x 2 sin x. C. y  2 x sin x  x 2 cos x. D. y  2 x sin x  x 2 cos x. Câu 5: Đạo hàm của hàm số y  sin  cos x   cos  sin x  là A. cos x cos  cos x   sin x sin  sin x  . B.  sin x cos  cos x   cos x sin x  sin x   C.  cos x cos  cos x   sin x sin  sin x   . D. sin x cos  cos x   cos x sin x  sin x  Câu 6: Đạo hàm của hàm số y  sin 4 x  cos4 x là A. sin 4 x. B. 2  sin 4 x. C. cos 4 x  sin 4 x. D.  sin 4 x. Câu 7: Biết hàm số y  5sin 2 x  4 cos 5 x có đạo hàm là y  a sin 5 x  b cos 2 x . Giá trị của a  b bằng A. – 30. B. 10. C. – 1. D. – 9. 2 Câu 8: Cho hàm số y  f  x   . Giá trị của f   3 bằng cos  x  8 4 3 A. 2 . B. .. C. . D. 0. 3 3 2  Câu 9: Cho hàm số y  f  x   sin x  cos x . Giá trị f    bằng  16   2 2 A. 0. B. 2. C. . D. . 2  TOANMATH.com Trang 15
Câu 10: Tìm đạo hàm của hàm số y  sin 2 x.cos x .  A. y  sin x 3cos2 x  1 .   B. y  sin x 3cos2 x  1 .  C. y  sin x  cos 2 x 1 .  D. y  sin x  cos 2 x 1 .  Câu 11: Cho hàm số f  x   a cos x  2 sin x  3x  2020 . Tìm a để phương trình f   x   0 có nghiệm A. a  5. B. a  5. C. a  5. D. a  5.   Câu 12: Cho hàm số y  f  x  được xác định bởi biểu thức y  cos x và f    1 . 2 Hàm số y  f  x  là hàm số nào sau đây? A. y  1  sin x . B. y  cos x . C. y  1  cos x . D. y  sin x . Câu 13: Hàm số y  2 sin x  2 cos x có đạo hàm là 1 1 1 1 A. y   . B. y   . sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x C. y   D. y   sin x cos x sin x cos x Câu 14: Cho f  x   sin 3 ax, a  0 . Tính f    . A. f     3sin 2  a  .cos  a  . B. f     0. C. f     3a sin 2  a  . D. f     3a.sin 2  a  .cos  a  . sin x Câu 15: Tìm đạo hàm của hàm số y  . sin x  cos x 1 1 A. y  . B. y  .  sin x  cos x   sin x  cos x  2 2 1 1 C. y  . D. y  .  sin x  cos x   sin x  cos x  2 2 cos 2 x   Câu 16: Cho hàm số y  . Giá trị của y   bằng 1  sin x 6         A. y    1. B. y    1. C. y    3. D. y     3. 6 6 6 6 Câu 17: Đạo hàm của hàm số      2   2  f  x   cos2   x   cos2   x   cos2   x   cos2   x   2 sin 2 x là 3  3   3   3  A. 6. B. 2 sin 2 x. C. 0. D. 2 cos 2 x.   Câu 18: Cho hàm số f  x   sin  sin x  . Giá trị của f    bằng 6   3  A.  . B. . C. 0. D. . 2 2 2 TOANMATH.com Trang 16
  Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y  sin 2 cos tan 4 3x .  A. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3x. 1  tan 3x  .3 . 4 4 3 3 B. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   . tan 3x. 1  tan 3x  4 4 3 3 C. y  sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3 x. 1  tan 3x  4 4 3 3 D. y   sin  2 cos  tan 3x   .  sin  tan 3x   .4 tan 3x. 1  tan 3x  .3 4 4 3 3 Câu 20: Hàm số y  cot 2 x có đạo hàm là 1  cot 2 2 x  1  cot 2 2 x  1  tan 2 2 x  1  tan 2 2 x  A. y  . B. y  . C. y  . D. y  cot 2 x cot 2 x cot 2 x cot 2 x Câu 21: Hàm số y  tan x  cot x có đạo hàm là 1 4 4 1 A. y  . B. y  . C. y  . D. y  . sin 2 2 x cos2 2 x sin 2 2 x cos2 2 x x Câu 22: Hàm số y  tan 2 có đạo hàm là 2 x x x tan 2 sin sin x A. y  2 . B. y  2. C. y  2 . D. y  tan 3 . 2 x 2 x 3 x 2 cos cos 2 cos 2 2 2 sin x  cos x Câu 23: Cho hàm số y  . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? sin x  cos x cos x  sin x cos x  sin x A. y  . B. y  . cos x  sin x cos x  sin x 2 sin x C. y  . D. y  .  sin x  cos x   sin x  cos x  2 2 Câu 24: Tính đạo hàm y  cos6 x . 3sin 6 x 3sin 6 x 3sin 6 x 3sin 6 x A. y  . B. y  . C. y  . D. y  2 cos6 x cos6 x cos6 x cos6 x Câu 25: Đạo hàm của hàm số y  x 2 tan x  x là 1 2 A. y  2 x tan x  . B. . 2 x 3 x2 1 x2 1 C. y  2 x tan x  2  . D. y  2 x tan x  2  . cos x 2 x cos x x   Câu 26: Cho hàm f  x  thỏa mãn f  sin x  1  f  cos x   cos2  x   . Giá trị của f  1 là  4 3 2 A. . B. . C. 2. D. 1. 2 2 TOANMATH.com Trang 17
Câu 27: Tìm đạo hàm của hàm số y  cos tan 2 x .     A. y  2 tan x. tan 2 x  1 .sin tan 2 x .   B. y  2 tan x.sin tan 2  x  C. y  2 tan x. tan 2 x  1 .sin tan 2 x     D. y  2 tan 2 x  1 .sin tan 2   x  1 Câu 28: Đạo hàm của hàm số y  2  tan  x   là  x  1 1  tan 2  x   A. y  1 . B. y   x  1  1 2 2  tan  x   2 2  tan  x    x  x  1  1 1  tan 2  x   1  tan 2  x    x  1   x  1  C. y  . 1  2  D. y  . 1  2   1  x   1  x  2 2  tan  x   2 2  tan  x    x  x Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm. Phương pháp giải Sử dụng công thức và quy tắc tính đạo hàm Ví dụ 1. Cho hàm số y  3x 3  25x  20 . Áp dụng kiến thức phương trình, bất Giải phương trình y  0 . phương trình để giải quyết bài toán. Hướng dẫn giải g x  Để tính A  lim biết g  x0   0 . Ta có: y  9 x 2  25. x  x0 x  x0 5 y  0  9 x 2  25  0  x   . Ta viết g  x   f  x   f  x0  . Khi đó nếu 3 f  x  có đạo hàm tại x0 thì Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x  5 3 f  x   f  x0  A  lim  f   x0  và x   5 x  x0 x  x0 3 Fx 3 1 x 1  Để tính B  lim , biết Ví dụ 2. Tính A  lim . x  x0 G x x 0 x F  x0   G  x0   0. Hướng dẫn giải 1 Ta viết: F  x   f  x   f  x0  và Đặt f  x   3 1  x  f   x   và 3 1  x  2 3 G  x   g  x   g  x0  . f 0  1 . TOANMATH.com Trang 18
Nếu hai hàm số f  x  , g  x  có đạo hàm tại f  x   f 0 1 Suy ra A  lim  f  0   . x 0 x 0 3 x  x0 và g  x0   0 thì: f  x   f  x0  x  x0 f   x0  B  lim  x  x0 g  x   g  x  g   x0  0 x  x0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số f  x   x  1  x 2 . Chứng minh rằng 2 1  x 2 . y  y . Hướng dẫn giải Ta có   y   x  1  x 2   1  2 x  1  x2   . x  1  x2  1  2 x  1 x2  . 1   x   1  x2  1 1 x2  x 1 x2  x y  .    2 1  x 2 . y  y. 2 x  1 x2 1 x 2 2 1 x 2 2 1 x 2 Ví dụ 2: Cho hàm số f  x   x 2  2 x . Giải bất phương trình f   x   f  x  . Hướng dẫn giải x 1 x 1 Ta có f   x   . Khi đó f   x   f  x    x 2  2 x 1 x  2x 2 x  2x 2 Điều kiện xác định: x   ;0    2;   .  3 5 x  1  x  1  x 2  2 x  x 2  3x  1  0   2  3 5 x   2 3 5 Kết hợp với điều kiện trên suy ra x  0 hoặc x  . 2 x3 Ví dụ 3: Cho hàm số f  x    mx 2   m  2  x  7 . Tìm giá trị của tham số m để f   x   0 với mọi 3 x . Hướng dẫn giải Ta có f   x   x 2  2mx  m  2 f   x   0, x    x 2  2mx  m  2  0, x   TOANMATH.com Trang 19
a  1  0   m 2  m  2  0  1  m  2     m 2   m  2   0 Vậy 1  m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 4: Giải phương trình f   x   0 trong các trường hợp sau a) f  x   sin 3x  3sin x  7 ; b) f  x   cos 2 x  2 sin x  1 . Hướng dẫn giải a) f  x   sin 3x  3sin x  7  f   x   3cos3x  3cos x . Khi đó: f   x   0  3cos3x  3cos x  0  cos3x  cos x 3 x  x  k 2  3 x   x  k 2  x  k   x  k  2 k x k   2 b) f  x   cos 2 x  2sin x  1  f   x   2sin 2 x  2 cos x . f   x   0  2 sin 2 x  2 cos x  0  cos x  2 sin x  1  0 cos x  0  sin x  1  2    x  2  k     x   k 2  6   x      k 2  6    x  2  k     x   k 2  k     6   x  5  k 2  6 1  2 x 2  3 1  3x 2 Ví dụ 5: Tính giới hạn sau: A  lim x 0 1  cos x Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20