Giáo án Đại số lớp 11: Nhị thức Niu-tơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo án "Đại số lớp 11: Nhị thức Niu-tơn" có nội dung tóm tắt lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chủ đề nhị thức Niu-tơn, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số 11. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo giáo án tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo án Đại số lớp 11: Nhị thức Niu-tơn

BÀI GIẢNG NHỊ THỨC NIU-TƠN Mục tiêu  Kiến thức + Biết công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. + Biết tính chất các số hạng.  Kĩ năng + Thành thạo khai triển nhị thức Niu-tơn, tìm số hạng, hệ số chứa x trong khai triển. + Tính tổng dựa vào khai triển nhị thức Niu-tơn. Trang 1
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn Hệ quả: Với mọi số thực a, b và mọi n   ta có Với a  b  1 , ta có 2 n  Cn0  Cn1  ...  Cnn . a  b n n   Cnk a n  k b k Với a  1; b  1 , ta có: k 0 0  Cn0  Cn1  ...   1 Cnk  ...   1 Cnn k n n 1 nk  C a  C a b  ...  C a 0 n n 1 n k n b  ...  C b k n n n Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường Quy ước: a 0  b 0  1 . gặp  x  1 n Tính chất  Cn0 x n  Cn1 x n 1  ...  Cnn 1 x  Cnn . a) Số các số hạng của khai triển bằng n  1 . 1  x  n  Cn0  Cn1 x  ...  Cnn 1 x n 1  Cnn x n . b) Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0,  x  1  Cn0  Cn1 x  ...   1 Cnn x n . n n số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a n và b trong mỗi số hạng bằng n. 2 n  1  1   Cnk  Cn0  Cn1  ...  Cnn 1  Cnn . n c) Số hạng tổng quát thứ k  1 có dạng: k 0 n Tk 1  Cnk a n  k b k với k  0,1, 2,..., n . 0n  1  1   Cnk  1  Cn0  Cn1  ...   1 Cnn n k n k 0 d) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: Cnk  Cnn  k n 1 n 1 e) Cnk đạt giá trị lớn nhất khi k  hay k  2 2 n với n lẻ; k  với n chẵn. 2 f) Cn0  Cnn  1 , Cnk 1  Cnk  Cnk1 . Tam giác Pascal Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật: - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng thứ nhất ghi hai số 1. - Nếu biết hàng thứ n  n  1 thì hàng thứ n  1 tiếp theo được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trị giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối TOANMATH.com Trang 2
hàng. - Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm  n  1 số Cn0 , Cn1 , Cn2 ,..., Cnn 1 , Cnn . II. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định các hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn Bài toán 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x m trong khai triển  ax p  bx q  n Phương pháp giải Xét khai triển: Ví dụ: Cho khai triển  2 x  1 . 10  ax  bx q  n n   Cnk  ax p  .  bx q  p nk k a) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển trên. k 0 Hướng dẫn giải n  C a k nk k .b x np  pk  qk . 10 10 Ta có  2 x  1   C10k .  2 x    2 k C10k .x k . n 10 k k 0 k 0 k 0 Số hạng chứa x m ứng với giá trị k thỏa mãn Số hạng chứa x 5 ứng với k  5 . m  np np  pk  qk  m  k  . Hệ số cần tìm là C105 .25  8064 . q p Vậy hệ số của số hạng chứa x m là Cnk a n  k .b k với m  np giá trị k  . q p Nếu k không nguyên hoặc k  n thì trong khai triển không chứa x m , hệ số phải tìm bằng 0. Lưu ý: Tìm số hạng không chứa x thì ta đi tìm b) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai giá trị k thỏa np  pk  qk  0 . triển trên. Hướng dẫn giải Số hạng không chứa x ứng với k  0 . Hệ số cần tìm là C100 .20  1 . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn Chú ý:  2 x 2  21  x  0 . x  m n  x m.n ;  x  x m .x n  x m  n ; Hướng dẫn giải xm Ta có số hạng tổng quát là n  x mn ; x TOANMATH.com Trang 3
k m  2  .   2    2  C21k x 213k . xm  x n . nk k 21 k k n Tk 1  C a k n b C x k 21  x  Số hạng không chứa x ứng với 21  3k  0  k  7 . Chú ý: Phân biệt giữa hệ Vậy hệ số cần tìm là 2 C . 7 7 21 số và số hạng. Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x 6 trong khai triển x 3 1  x  8 n Với P  x    ax x g  k  ; số k 0 Hướng dẫn giải hạng chứa x tương ứng Số hạng tổng quát của khai triển là x 3 .C8k   x   C8k  1 x k 3 . k k với g k    ; giải Số hạng chứa x 6 khi k  3  6  k  3 . phương trình ta tìm được Vậy hệ số cần tìm là C83  1  56 . 3 k. 10  3  * Nếu k  ; k  n thì hệ Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  2 3 x   ,x  0.  x số phải tìm là ak . số Hướng dẫn giải hạng phải tìm là ak .x k . 10 10  3    1  1 Ta có  2 3 x     2.x  3.x  . 3 2 * Nếu k   hoặc k  n  x   thì trong khai triển không Số hạng tổng quát trong khai triển là có số hạng của x , hệ số 10  k k  1    1 10  k  k 20 5 k phải tìm bằng 0. .  3x 2    1 .210 k .3k .x 3 .x 2   1 C10k .210 k .3k .x 6 . k k k C  2x3  10     Số hạng không chứa x ứng với 20  5k  0  k  4 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là  1 4 C104 .26.34  210.64.81  1088640 . Bài toán 2: Tìm hệ số của số hạng trong khai triển P  x    ax t  bx p  cx q  n Phương pháp giải n Ta có khai triển: P  x    ax t  bx p  cx q    Cnk  ax t   bx  cx q  n nk p k k 0 k k trong đó  bx p  cx q    Cki  bx p   cx q    Cki bk i ci x p k i  qi . k k i i i 0 i 0 n k n k Suy ra P  x    Cnk a n  k x t  n  k Cki b k i c i x p  k i  qi   Cnk Cki a n  k b k i c i x t  n  k  p k i  qi . k 0 i 0 k 0 i 0 Suy ra số hạng tổng quát của khai triển là Cnk Cki a n k b k i ci x  t n  k   p  k i   qi . Từ số hạng tổng quát của khai triển trên, ta tính được hệ số của x m . Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 2 trong khai triển P  x    x 2  x  1 . 10 TOANMATH.com Trang 4
Hướng dẫn giải Với 0  q  p  10 thì số hạng tổng quát của khai triển P  x    x 2  x  1 là 10 Tp  C10p .C pq .  x 2  10  p .x p  q .1q  C10p .C pq .x p  q  20 2 p . Theo đề bài thì p  q  20  2 p  2  p  q  18 . Do 0  q  p  10 nên  p; q    9;9  ; 10;8 . Vậy hệ số của x 2 trong khai triển P  x    x 2  x  1 là C109 .C99  C1010 .C108  55 . 10 Ví dụ 2. Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển 1  2 x  2015 x  2016 x 2017  2017 x 2018  . 2016 60 Hướng dẫn giải Ta có 1  2 x  2015 x 2016  2016 x 2017  2017 x 2018  60  1  2 x   x 2016  2015  2016 x  2017 x 2   60 1  2 x   x 2016  2015  2016 x  2017 x 2   ...  C6060  x 2016  2015  2016 x  2017 x 2  60  C600 1  2 x   C60 60 1 59 Ta thấy chỉ có số hạng C600 1  2 x  chứa x3 nên hệ số của số hạng chứa x 3 là C600 .C603  2   8C603 . 60 3 Bài toán 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Ví dụ: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức P  x    x  1 . 10 Hướng dẫn giải Bước 1: Tính hệ số ak theo k và n. Giả sử sau 10 Ta có  x  1   C10k .x k . 10 k 0 khi khai triển ta được đa thức: Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển P  x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n . nhị thức  x  1 là ak  C10k . 10 Suy ra ak 1  C10k 1 , k  1; 2;3;...;10. Bước 2: Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số ak  ak 1 ak  ak 1 số a0 , a1 ,..., an . Khi đó ta có  a0 , a1 ,..., a10 . Khi đó ta có  ak  ak 1. ak  ak 1 Giải hệ phương trình với ẩn số k. C10k  C10k 1 9 11   k 1   k   k 5. C10  C10 2 2 k Từ đây ta có hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức là a5  C105  252 . TOANMATH.com Trang 5
Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển đa thức P  x    2 x  1  a0 x13  a1 x12  ...  a13 13 Hướng dẫn giải Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức  2 x  1 là 13 ak  C13k .213 k với k  1; 2;3;...;13 Giả sử ak là hệ số lớn nhất trong các hệ số a0 , a1 ,..., a13 .  11 ak  ak 1 C .2  C .2 k 13 13 k k 1 13 12  k  k  3 Khi đó ta có    k 1 14 k   k  4. ak  ak 1 C13 .2  C13k .213 k  k  14  3 Từ đây ta có hệ số có giá trị lớn nhất trong khai triển nhị thức là a4  C134 .29  366080 .   9 Ví dụ 2. Cho khai triển biểu thức 3  3 2 . Tìm số hạng nguyên có giá trị lớn nhất. Hướng dẫn giải  3  2 9 k k Số hạng tổng quát trong khai triển là Tk  C9k 3 . Vì bậc của căn thức là 2 và 3 là hai số nguyên tố nên để Tk là một số nguyên thì k   k  3  T  C 3  3  2  6 3 0  k  9 3  4536   3 9    9  k   2  3  2  0 9  k  9  T9  C9  8. 9 3 k 3  Dễ thấy 4536  8 nên trong khai triển số hạng nguyên có giá trị lớn nhất là T3  4536 . Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Hệ số của x 5 trong khai triển P  x    x  1   x  1  ...   x  1 là 6 7 12 A. 1715. B. 1711. C. 1287. D. 1716. 6  2  Câu 2: Trong khai triển  x   , hệ số của x với x  0 là 3  x  A. 60. B. 80. C. 160. D. 240. Câu 3: Hệ số của x 7 trong khai triển  3  2 x  là 15 A. C157 .38.27 . B. C157 .37.28 . C. C157 .38.27 . D. C157 .37.28 . Câu 4: Hệ số của x 5 trong triển khai thành đa thức  2 x  3 là 8 TOANMATH.com Trang 6
A. C85 .25.33 . B. C83 .25.33 . C. C83 .23.35 . D. C85 .2 2.36 . Câu 5: Trong khai triển biểu thức  x  y  , hệ số của số hạng chứa x12 y 8 là 20 A. 77520. B. -125970. C. 125970. D. -77520. Câu 6: Hệ số của x 5 trong khai triển x 1  2 x   x 2 1  3 x  là 5 10 A. 61204. B. 3160. C. 3320. D. 61268. Câu 7: Hệ số của số hạng chứa x 4 trong khai triển P  x    3 x 2  x  1 10 là A. 1695. B. 1485. C. 405. D. 360.   124 Câu 8: Khai triển 54 7 . Có bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong khai triển trên? A. 30. B. 31. C. 32. D. 33. 1–A 2–A 3–C 4–B 5–C 6–C 7–A 8–C HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Xét khai triển  x  1 thấy ngay số hạng chứa x 5 có hệ số là C61 . 6 Tương tự các khai triển còn lại ta lần lượt có hệ số của x 5 là C72 , C83 ,..., C127 . Do đó hệ số cần tìm là C61  C72  ...  C127  1715 . Câu 2. k 3 6 k  2  6 k Số hạng tổng quát của khai triển: Tk 1  C x k 6    C6 2 x k k 2 .  x 3 Số hạng chứa x 3 ứng với 6  k  3  k  2 . 2 Vậy hệ số của x3 là C62 .22  60 . Câu 3. Công thức số hạng tổng quát của khai triển nhị thức Niu-tơn  3  2x  là 15 Tk 1  C15k .315 k .  2 x    1 C15k 315 k 2k x k k k Để số hạng chứa x 7 thì k  7 . Vậy hệ số của số hạng chứa x 7 là C157 38 27 . Câu 4. 8 Ta có khai triển  2 x  3   C8k .28 k .x8 k .  3 8 k k 0 Số hạng chứa x 5 ứng với 8  k  5  k  3 . Hệ số cần tìm là C83 .283.  3   C83 .25.33 . 3 TOANMATH.com Trang 7
Câu 5. 20 Ta có khai triển  x  y    C20k x 20 k y k .  1 . 20 k k 0 20  k  12 Ứng với số hạng chứa x12 y 8 thì   k  8. k  8 Vậy hệ số của số hạng chứa x12 y 8 là  1 .C20 8 8  125970 . Câu 6. Hệ số của x 5 trong khai triển x 1  2 x  là  2  .C54 . 5 4 Hệ số của x 5 trong khai triển x 2 1  3 x  là 33.C103 . 10 Vậy hệ số của x 5 trong khai triển x 1  2 x   x 2 1  3 x  là  2  .C54  33.C103  3320 . 5 10 4 Câu 7. Với 0  q  p  10 thì số hạng tổng quát của khai triển P  x    3 x 2  x  1 10 là Tp  C10p .C pq .  3 x 2  10  p .x p  q .1q  C10p .C pq .310 p.x p  q  20 2 p . Theo đề bài ta có p  q  20  2 p  4  p  q  16 . Do 0  q  p  10 nên  p; q    8;8  ;  9;7  ; 10;6  . Vậy hệ số của x 4 trong khai triển P  x    3 x 2  x  1 10 là C108 .C88 .310 8  C109 .C97 .310 9  C1010 .C106 .310 10  1695 . Câu 8. 124  k k   124 124   C124 .  1 .5 k Ta có 547 k 2 .7 4 k 0 124  k  2   Số hạng hữu tỉ trong khai triển tương ứng với   k  0; 4;8;12;...;124 . k   4 124  0 Vậy số các giá trị k là  1  32 . 4 Dạng 2: Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp giải - Xác định số hạng tổng quát của khai triển Tk 1  Cnk a n  k b k (số hạng thứ k  1 ). - Kết hợp với yêu cầu bài toán, ta thiết lập một phương trình biến k. - Giải phương trình để tìm kết quả. Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang 8
12  1 Ví dụ 1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức  x 2   ta có hệ số của một số hạng  x chứa x m bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m. Hướng dẫn giải Số hạng thứ k  1 trong khai triển là k 1 C12k  x 2  12  k .    C12k .x 24 2 k .x  k  C12k .x 243k .  x 12! k  4 Hệ số của số hạng x m là 495 nên C12k  495   495   k !12  k !  k  8. Khi đó m  24  3k sẽ có 2 giá trị là m  0 và m  12 . Ví dụ 2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển 1  x  có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là n 7 . 15 Hướng dẫn giải Ta có 1  x   Cn0  Cn1 x  ...  Cnk x k  Cnk 1 x k 1  ...  Cnn x n . n Cnk 7   n! .  k  1! n  k  1!  7  k  1  7 . k 1 Cn 15 k ! n  k  ! n! 15 n  k 15  15  k  1  7  n  k   7 n  15  22k  7 n  7  3k  2   k  1. Vì k ; n   nên ta có k  1 7  kmin  6  nmin  21 . Bài tập tự luyện dạng 2 Câu 1: Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1  ax 1  x  có chứa số hạng 22x 3 . 4 A. a  5 . B. a  3 . C. a  3 . D. a  2 . n  1 Câu 2: Biết rằng hệ số của x n  2 trong khai triển  x   bằng 31. Tìm n.  4 A. n  32 . B. n  30 . C. n  31 . D. n  33 . Câu 3: Xét khai triển 1  3 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n với n  * , n  3 . Giả sử a1  27 , khi đó a2 n bằng A. 1053. B. 243. C. 324. D. 351. n  1 Câu 4: Số hạng không chứa x trong khai triển  x 2   biết An2  Cn2  105 là  x A. -3003. B. -5005. C. 5005. D. 3003. Câu 5: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn A  C  C  4n  6 . Hệ số của số hạng chứa x 9 của khai 2 n 2 n 1 n n  3 triển biểu thức P  x    x 2   , x  0 bằng  x TOANMATH.com Trang 9
A. 18564. B. 64152. C. 192456. D. 194265. Câu 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3 . Số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niu- n  nx 2 1  tơn P     với x  0 là  14 x  35 16 35 5 16 5 A.  . B.  . C.  x . D.  x . 16 35 16 35 n  1  Câu 7: Số hạng không chứa x trong khai triển của  x x  4  với x  0 nếu biết rằng Cn2  Cn1  44 là  x  A. 165. B. 238. C. 485. D. 525. 1–C 2–A 3–C 4–D 5–C 6–C 7–A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có 1  ax 1  x   1  x   ax. 1  x  . 4 4 4 Xét khai triển  x  1  x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1 . 4 Suy ra số hạng chứa x3 là 4x 3 . Xét khai triển ax  x  1  ax  x 4  4 x3  6 x 2  4 x  1  ax5  4ax 4  6ax3  4ax 2  ax . 4 Suy ra số hạng chứa x3 là 6ax 3 . Suy ra số hạng chứa x3 trong cả khai triển là  6a  4  x3 . Theo đề ra, ta có 6a  4  22  a  3 . Câu 2. n k  1 n  1 Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có  x     Cnk x n  k    .  4 k 0  4 Hệ số của x n  2 nên ta có x n  2  x n  k  k  2 . 2  1 Ta có Cn2     31  Cn2  492  n  32 .  4 Vậy n  32 . Câu 3. n Ta có: 1  3 x    Cnk  3 x   a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n . n k k 1 Theo giả thiết: a1  27  Cn1 31  27  Cn1  9  n  9 . Suy ra a2  C92 32  324 . Câu 4. TOANMATH.com Trang 10
n! n! Ta có: An2  Cn2  105    105  n  2 ! 2! n  2 ! 1  n  15  n  n  1  105  n 2  n  210  0    n  15 . 2  n  14 k  1 Suy ra số hạng tổng quát trong khai triển là Tk 1  C .  x  2 15  k .     C15k .  1 .x 30 3k . k k 15  x Số hạng không chứa x ứng với 30  3k  0  k  10 . Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là C1510 .  1  3003 . 10 Câu 5. Với n  2 , ta có: n  n  1 An2  Cn2  Cn1  4n  6  n  n  1   n  4n  6 2  n  1  n 2  11n  12  0    n  12 .  n  12 k 12 3 12 Với n  12 ta có khai triển: P  x    C12k .  x 2  12  k .     C12k .3k .x 243k . k 0  x k 0 Số hạng chứa x 9 ứng với 24  3k  9  k  5 . Vậy hệ số cần tìm là 35 C125  192456 . Câu 6. Điều kiện: n  , n  3 . 5.n ! n! 5 1 Ta có 5Cnn 1  Cn3     1!.  n  1 ! 3!.  n  3 !  n  3! n  2  n  1 6.  n  3! n  7  n 2  3n  28  0    n  7.  n  4 7  x2 1  Với n  7 , ta có P     .  2 x  1 k Số hạng thứ k  1 trong khai triển là Tk 1  7k .C7k .x14 3k . 2 Số hạng chứa x 5 ứng với 14  3k  5  k  3 .  1 3 35 5 5 Vậy số hạng chứa x trong khai triển là 4 C73 x5   x . 2 16 Câu 7. n  n  1  n  11 Với n  2 ta có: Cn2  Cn1  44   n  44    n  11 . 2  n  8 TOANMATH.com Trang 11
11 k 3311k  1     1  11 11 k 11 Với n  11 ta có khai triển:  x x  4    C11k . x x .  4    C11k .x 2 ,  x  k 0 x  k 0 33  11k Số hạng không chứa x ứng với  0  k  3. 2 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C113  165 . Dạng 3: Tính tổng dựa vào nhị thức Niu-tơn Phương pháp giải Các dạng khai triển nhị thức Niu-tơn thường gặp:  x  1 n  Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n  2  ...  Cnk x n  k  ...  Cnn 1 x  Cnn . 1  x  n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnk x k  ...  Cnn 1 x n 1  Cnn x n .  x  1  Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n  2  ...   1 Cnk x n  k  ...  Cnn 1 x  1  Cnn  1 . n k n 1 n n 2n  1  1   Cnk  Cn0  Cn1  ...  Cnn 1  Cnn . n k 0 n 0n  1  1   Cnk  1  Cn0  Cn1  Cn2  ...   1 Cnn n k n k 0 Một số kết quả thường sử dụng: Cnk  Cnn  k ; Cnk  Cnk 1  Cnk11 , n  1 ; kCnk  nCnk11 ; 1 1 Cnk  Cnk11 ; k 1 n 1  k  1 kCnk   n  1 nCnk11 ; k 2Cnk   n  1 nCnk22  nCnk11 ; Cn0  Cn1  ...  Cnn  2 n ; n   1 k Cnk  0 ; k 0 n n 1 n k n  C22nk   C22nk 1   C2 n ; C a k  1  a  ; k n n k 0 k 0 2 k 0 k 0 Ví dụ mẫu Ví dụ 1. Tính tổng S  C2020 0  C2020 2  C2020 4  ...  C2020 2020 . Hướng dẫn giải Xét khai triển 1  x   Cn0  x.Cn1  x 2 .Cn2  ...  x n .Cnn (*) n Thay x  1; n  2020 vào (*), ta được: 2 2020  C2020 0  C2020 1  C2020 2  ...  C2020 2020 (1). Thay x  1; n  2020 vào (*), ta được 0  C2020 0  C2020 1  C2020 2  ...  C2020 2020 (2). Cộng theo vế (1) và (2) ta được: 2 S  2 2020  S  2 2019 . TOANMATH.com Trang 12
Ví dụ 2. Cho khai triển nhị thức Niu-tơn của  2  3 x  , biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn 2n C21n 1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11  1024 . Tìm hệ số của x 7 trong khai triển trên. Hướng dẫn giải Ta có khai triển 1  x  2 n 1  C20n 1  C21n 1 x  C22n 1 x 2  ...  C22nn11 x 2 n 1 . (*) Thay x  1 vào (*) ta được 2 2 n 1  C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11 . (1) Thay x  1 vào (*) ta được 0  C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11 . (2) Trừ vế theo vế (1) cho (2), ta được C21n 1  C23n 1  C25n 1  ...  C22nn11  22 n . Từ giả thiết ta có: 1024  2 2 n  n  5 . n Suy ra  2  3 x    C10k .  3 .210 k .x k . 10 k k 0 Hệ số của x 7 trong khai triển là C107 .  3 .23  8.37.C107 . 7 Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Đặt S  C2017 1  C2017 2  ...  C2017 2017 . Khi đó giá trị S là A. 22018 . B. 22017 . C. 22017  1 . D. 22016 . Câu 2: Tính tổng S  C100  2.C101  2 2.C102  ...  210.C1010 . A. S  210 . B. S  410 . C. S  310 . D. S  311 . Câu 3: Cho S  C158  C159  C1510  ...  C1515 . Tính S. A. S  215 . B. S  214 . C. S  213 . D. S  212 . Câu 4: Cho A  Cn0  5Cn1  52 Cn2  ...  5n Cnn . Khi đó A. A  7n . B. A  5n . C. A  6n . D. A  4n . Câu 5: Cho khai triển 1  x  x 2  1009  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2018 x 2018 . Khi đó a0  a1  a2  ...  a2018 bằng A. 31009 . B. 31008 . C. 32018 . D. 32016 . 1 1 1 2 1 Câu 6: Giá trị của tổng S  C2017 0  C2017  C2017  ...  2017 C2017 bằng 2 3 2018 22017  1 22018  1 22018  1 22017  1 A. . B. . C. . D. . 2017 2018 2017 2018 Câu 7: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  ...   1 Cnn  2048 . Hệ số của x10 n trong khai triển  x  2  là n A. 11264. B. 22. C. 220. D. 24. Câu 8: Cho khai triển  x  2   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a80 x 80 . 80 Tổng S  1.a1  2.a2  3.a3  ...  80.a80 là A. -70. B. 80. C. 70. D. -80. TOANMATH.com Trang 13
n 26  1  Câu 9: Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của  4  x 7  , biết x  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  220  1 là A. 210. B. 213. C. 414. D. 213. Câu 10: Đặt S  C 0 2018 C 1 2018 C 2 2018 C 3 2018  ...  C 2018 2018 . Khi đó: A. S  0 . B. S  22018  1 . C. S  1 . D. S  22018  1 . 1–C 2–C 3–B 4–C 5–A 6–B 7–B 8–D 9–A 10 – A HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Ta có khai triển 1  x  2017  C2017 0  C2017 1 x  C2017 2 x 2  ...  C2017 k x k  ...  C2017 2017 2017 x . Thay x  1 ta được 22017  C2017 0  C2017 1  C2017 2  ...  C2017 k  ...  C2017 2017 . Suy ra 22017  1  S  S  22017  1 . Ghi chú: Trong trắc nghiệm ta khai triển 1  1 2017 thì được 22017  C2017 0  C2017 1  C2017 2  ...  C2017 k  ...  C2017 2017 . Suy ra S  22017  1 . Câu 2. 10 Xét khai triển nhị thức  x  2    C10k x10 k 2k  C100 x10  2C101 x9  22 C102 x8  ...  210 C1010 . 10 k 0 Cho x  1 , ta được 310  1  2   C100  2C101  22 C102 x8  ...  210 C1010 . 10 Câu 3. Sử dụng đẳng thức Cnk  Cnn  k ta được: S  C158  C159  C1510  ...  C1515  C157  C156  C155  ...  C150 . 15  2S   C158  C159  C1510  ...  C1515    C157  C156  C155  ...  C150    C15k  215 k 0  S  214 . Vậy S   C158  C159  C1510  ...  C1515   214 . Câu 4. Xét khai triển  a  b   Cn0 .a 0 .b n  Cn1 .a1.b n 1  ...  Cnn .a n .b 0 . n Với a  5, b  1 ta có:  5  1  Cn0 .50.1n  Cn1 .51.1n 1  ...  Cnn .5n.10  Cn0  5Cn1  ...  5n Cnn  A , hay n A  6n . Câu 5. TOANMATH.com Trang 14
Xét khai triển 1  x  x 2  1009  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a2018 x 2018 . (1) Thay x  1 vào (1) ta được: a0  a1  ...  a2018  1  1  1 1009  31009 . Câu 6. 1 k Xét số hạng tổng quát C2017 , ta có: k 1 1 1 2017! 1 2018! 1 k 1 1 1 k 1 k C2017  .  .  C2018 . Vậy k C2017  C2018 . k 1 1  k k ! 2017  k  ! 2018  k  1 ! 2017  k  ! 2018 k 1 2018 1 C0 1 2018 1 22018  1 S C2018 0  C2018 1  C2018 2  ...  C2018 2018   2018  2   . 2018 2018 2018 2018 2018 Câu 7. Ta có  3  1  3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  ...   1 Cnn n n  2n  2048  2n  211  n  11 . 11 Xét khai triển  x  2    C11k x11 k .2k 11 k 0 Tìm hệ số của x10 tương ứng với tìm k    k  11 thỏa mãn 11  k  10  k  1 . Vậy hệ số của x10 trong khai triển  x  2  là C111 .2  22 . 11 Câu 8. Xét khai triển:  x  2   a0  a1 x  a2 x 2  ...  a80 x80 . (1) 80 Lấy đạo hàm theo biến x hai vế của (1) ta được: 80  x  2   a1  2a2 x  3a3 x 2  ...  80a80 x 79 . (2) 79 Thay x  1 vào (2) ta được: S  80 1  2   80 . 79 Câu 9. Do C2kn 1  C22nn11 k k  0,1, 2,..., 2n  1 nên C20n 1  C21n 1  ...  C2nn 1  C2nn11  C2nn21  ...  C22nn11 . Mặt khác: C21n 1  C22n 1  ...  C22nn11  22 n 1 . Suy ra 2  C20n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1   2 2 n 1  C21n 1  C22n 1  ...  C2nn 1  22 n  C20n 1  22 n  1  22 n  1  220  1  n  10 10  1  10 10 Khi đó:  4  x 7    x 4  x 7    C10k  x 4  .x 7 k   C10k .x11k  40 . 10 10  k x  k 0 k 0 Hệ số chứa x 26 ứng với giá trị k: 11k  40  26  k  6 . TOANMATH.com Trang 15
Vậy hệ số chứa x 26 là C106  210 . Câu 10. Xét khai triển 1  x   Cn0  x.Cn1  x 2 .Cn2  ...  x n .Cnn (*). n Thay x  1; n  2018 vào (*), ta được 0  C2018 0  C2018 1  C2018 2  ...  C2018 2018 . Vậy S  0 . TOANMATH.com Trang 16