Chuyên đề Bất đẳng thức (Nguyễn Tất Thu)

Chia sẻ: Tai Viet | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:18

Thêm vào BST

Báo xấu

643
lượt xem 196
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'chuyên đề bất đẳng thức (nguyễn tất thu)', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Bất đẳng thức (Nguyễn Tất Thu)

Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net B T ð NG TH C I. LÝ THUY T 1. ð nh nghĩa : Cho a ; b ∈R. M nh ñ “ a > b” ; “a ≥ b” ; “a < b” ; “ a ≤ b” g i là b t ñ ng th c 2.Tính ch t : * a > b và b > c ⇒ a > c * a>b⇔a+c>b+c * a > b và c > d ⇒ a + c > b + d ac > bc khi c > 0 * a>b⇒ ac < bc khi c < 0 * a >b≥0⇒ a > b * a ≥ b ≥ 0 ⇔ a 2 ≥ b2 * a > b ≥ 0 ⇒ an > bn 3. B t ñ ng th c v giá tr tuy t ñ i * | x |< a ⇔ −a < x < a ( V i a > 0 ) x > a * | x |> a ⇔  ( V i a > 0)  x < −a 4. B t ñ ng th c gi a trung bình c ng và trung bình nhân ( Bñt Cauchy) a+b a) Cho a, b ≥ 0 , ta có ≥ ab . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b 2 H qu :*. Hai s dương có t ng không ñ i thì tích l n nh t khi 2 s ñó b ng nhau *. Hai s dương có tích không ñ i thì t ng nh nh t khi 2 s ñó b ng nhau a+b+c 3 b) Cho a, b, c ≥ 0 , ta có ≥ abc . D u ‘=’ x y ra khi và ch khi a = b = c 3 5. Phương pháp ch ng minh b t ñ ng th c I. Phương pháp bi n ñ i tương ñương ð ch ng minh BðT d ng A ≥ B ta thư ng dùng các cách sau : Cách 1 : Ta ch ng minh A − B ≥ 0 . ð là ñi u này ta thư ng s d ng các h ng ñ ng th c ñ phân tích A − B thành t ng ho c tích c a nh ng bi u th c không âm. Chú ý : M t s k t qu ta thư ng hay s d ng * x 2 ≥ 0 ∀x và x 2 = 0 ⇔ x = 0 ; | x |≥ 0 ∀x và | x |= 0 ⇔ x = 0 * a 2 + b 2 + c 2 ≥ 0 . ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 0 . Ví d 1 : Cho hai s th c a, b . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 ≥ 2ab . Gi i : Ta có a 2 + b 2 − 2ab = (a − b)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2ab . ð ng th c có ⇔ a = b . Ví d 2 : Cho ba s th c a, b, c . Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca (I). Gi i : Ta có : a 2 + b 2 + c 2 − (ab + bc + ca ) = 1 1 1 = ( a 2 − 2ab + b 2 ) + (b 2 − 2bc + c 2 ) + (c 2 − 2ca + a 2 ) 2 2 2 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Ví d 3 : Cho 5 s th c a, b, c, d , e . Cmr : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d + e) . Gi i : Ta có : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 − a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 =( − ab + b 2 ) + ( − ac + c 2 ) + ( − ad + d 2 ) + ( − ae + e2 ) 4 4 4 4 a a a a = ( − b) 2 + ( − c) 2 + ( − d ) 2 + ( − e) 2 ≥ 0 ⇒ ñpcm. 2 2 2 2 a ð ng th c x y ra ⇔ b = c = d = e = . 2 Nh n xét : 1) BðT Ví d 3 cũng ñúng v i n s th c 1 ≤ n ≤ 5 , còn n ≥ 6 thì không còn ñúng n a, t c là BðT a1 + a2 + ... + an ≥ ai (a1 + ... + ai −1 + ai +1 + ... + an ) ñúng v i n s 2 2 2 th c ⇔ n ≤ 5 . 2) S d ng hàng ñ ng th c ( a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca thì ta có th vi t BðT (1) dư i các d ng sau : ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca ) (II) . 3( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 (III) Các BðT (I), (II), (III) có nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT, ta xét các bài toán sau : Bài toán 1.2 : Cho ba s th c dương a, b, c . Ch ng minh BðT sau a 3 b3 c 3 + + ≥ a + b + c (1) (Vô d ch Toán Canaña 2002) bc ca ab Gi i : BðT (1) ⇔ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc( a + b + c) (2) Áp d ng (I) hai l n ta có : a 4 + b 4 + c 4 = (a 2 )2 + (b 2 )2 + (c 2 )2 ≥ a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ≥ ≥ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) ⇒ ñpcm. Nh n xét : * N u ta cho abc = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ a + b + c ñây là bài toán 3 ñ thi HSG t nh ð ng Nai l p 11 năm 2005. * N u ta cho a + b + c = 1 thì (2) tr thành : a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc Bài toán 2.2 : Cho các s th c dương x, y, z > 0 có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng 4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1 ≤ 21 . Gi i : Áp d ng BðT (III) v i a = 4 x + 1, b = 4 y = 1, c = 4 z + 1 ta có VT = a + b + c ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) = 3(4 x + 1 + 4 y + 1 + 4 z + 1) = 21 1 ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = . 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Bài toán 3.2: G i p là chu vi tam giác ABC. Cmr : p − a + p − b + p − c ≤ 3p . Gi i : Áp d ng BðT (III) ta có : VT ≤ 3( p − a + p − b + p − c) = 3 p ñpcm. ð ng th c có khi ∆ABC ñ u. Ví d 4 : Cho a, b ≥ 0 . Ch ng minh r ng : a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a . Gi i : Ta có : a3 + b3 − a 2b − b2 a = a 2 ( a − b) + b 2 (b − a) = ( a − b)( a 2 − b 2 ) = (a − b) 2 ( a + b) ≥ 0 ⇒ a3 + b3 ≥ a 2 b + b 2 a . ð ng th c x y ra khi a = b . Nh n xét : * Qua ch ng minh trên ta th y ch c n ñi u ki n a + b ≥ 0 thì BðT luôn ñúng và ta còn có k t qu t ng quát như sau : a m + n + b m + n ≥ a m b n + a n b m . * S d ng k t qu bài toán trên ta có th gi i quy t ñư c m t s bài toán sau : Bài toán 1.4 : Cho a, b, c ≥ 0 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 1 + 3 + 3 ≤ . a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc 3 3 3 3 Gi i : Theo bài toán trên ta có : a3 + b3 ≥ a 2b + b 2 a = ab( a + b) 1 1 c ⇒ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) ⇒ 3 ≤ = a + b + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) 3 1 a 1 b Tương t : 3 ≤ ; 3 ≤ b + c + abc abc( a + b + c) c + a + abc abc(a + b + c) 3 3 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. Sau ñây ta xét bài toán ñư c gi i thi u trong kì thi IMO năm 1995. Bài toán 2.4 : Cho a, b, c ≥ 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : ab bc ca + 5 + 5 ≤ 1. a5 + b5 + ab b + c5 + bc c + a5 + ac a+b+c Gi i : Ta có : a5 + b5 ≥ a3b 2 + b3 a 2 = a 2b 2 ( a + b) ⇒ a5 + b5 + ab ≥ ab c ab ab c ⇒ 5 ≤ = . a + b5 + ab ab a + b + c a + b + c c bc a ca b Tương t : 5 ≤ ; 5 ≤ b + c + bc a + b + c c + a + ac a + b + c 5 5 C ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm. am + n + bm + n a m + bm a n + bn Bài toán 3.4 : Cho a + b ≥ 0 . Ch ng minh : ≥ 2 2 2 Gi i : Ta có BðT ⇔ 2(a m + n + bm + n ) ≥ (a m + b m )(a n + b n ) ⇔ a m + n + b m + n ≥ a mb n + a n bm ðây chính là BðT trong nh n xét trên. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Bài toán 4.4 : Cho các s th c a,b. Ch ng minh r ng : ( a 2 + b 2 )( a8 + b8 )(a10 + b10 ) ≤ 4(a 20 + b 20 ) . Gi i : ð t x = a 2 , y = b 2 ⇒ x, y ≥ 0 và BðT tr thành : ( x + y )( x 4 + y 4 )( x5 + y 5 ) ≤ 4( x10 + y10 ) Áp d ng bài toán 3 ta có : x + y x 4 + y 4 x5 + y 5 x5 + y 5 x5 + y 5 x10 + y10 ≤ ≤ ⇒ ñpcm. 2 2 2 2 2 2 an + bn a+b n Bài toán 5.4 : Cho a + b ≥ 0 .Ch ng minh r ng : ≥( ) . 2 2 Gi i : Áp d ng k t qu bài toán 3 ta có : a + b a + b a + b a2 + b2 a + b a + b a n −1 + b n −1 a + b a n + b n . ... ≤ . ... ≤ ... ≤ ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n laàn n −1 laàn a+b n a +b n n ⇒( ) ≤ ñpcm. 2 2 1 2 1 Ví d 5 : Cho ab ≥ 1 . Ch ng minh r ng : + . ≥ a + 1 b + 1 1 + ab 2 2 1 1 2 1 1 1 2 Gi i : Ta có 2 + 2 − =( 2 − )+( 2 − ) a + 1 b + 1 1 + ab a + 1 1 + ab b + 1 1 + ab ab − a 2 ab − b 2 a−b b a a − b b − a + a 2b − b 2 a = 2 + = ( − )= . ( a + 1)(1 + ab) (b2 + 1)(1 + ab) 1 + ab 1 + b 2 1 + a 2 1 + ab (1 + b 2 )(1 + a 2 ) a − b ( a − b)( ab − 1) (a − b) 2 ( ab − 1) = = ≥ 0 (Do ab ≥ 1) . 1 + ab (1 + b2 )(1 + a 2 ) (1 + ab)(1 + b2 )(1 + a 2 ) 1 1 2 Nh n xét : N u −1 < ab≤ 1 thì BðT có chi u ngư c l i : 2 + 2 ≤ . a + 1 b + 1 1 + ab Ví d 6 : Cho hai s th c x,y. Ch ng minh : 3( x + y + 1)2 + 1 ≥ 3xy . 1 3 Gi i : Vì ta có : xy ≤ ( x + y ) 2 nên ta ch ng minh : 3( x + y + 1) 2 + 1 ≥ ( x + y ) 2 4 4 Th t v y : (*) ⇔ 12( x + y ) + 24( x + y ) + 16 ≥ 3( x + y ) 2 2 ⇔ 9( x + y ) 2 + 24( x + y ) + 16 ≥ 0 ⇔ (3x + 3 y + 4) 2 ≥ 0 ñpcm 2 ð ng th c xay ra khi : x = y = − . 3 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Cách 2 : Xu t phát t m t BðT ñúng ta bi n ñ i ñ n BðT c n ch ng minh ð i v i cách này thư ng cho l i gi i không ñư c t nhiên và ta thư ng s d ng khi các bi n có nh ng ràng bu c ñ c bi t Ví d 1 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) . Gi i : Vì a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác nên ta có : a + b > c ⇒ ac + bc > c 2 . Tương t bc + ba > b 2 ; ca + cb > c 2 c ng ba BðT này l i v i nhau ta có ñpcm Nh n xét : * trong bài toán trên ta ñã xu t phát t BðT ñúng ñó là tính ch t v ñ dài ba c nh c a tam giác. Sau ñó vì c n xu t hi n bình phương nên ta nhân hai v c a BðT v i c. Tương t thì xu t phát t BðT | a − b |< c r i bình phương hai v ta cũng có ñư c k t qu . * N u gi thi t các bi n a ∈ ( −1;1) thì ta có : (1 − a), (1 + a ) > 0 … Ví d 2 : Cho a, b, c ∈[0;1] . Ch ng minh : a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2b + b2 c + c 2 a Gi i : Vì a, b, c ∈ [0;1] ⇒ (1 − a 2 )(1 − b2 )(1 − c 2 ) ≥ 0 ⇔ 1 + a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 − a 2b 2 c 2 ≥ a 2 + b2 + c 2 (*) Ta có : a 2b 2 c 2 ≥ 0; a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ a 2b + b 2 c + c 2 a nên t (*) ta suy ra a 2 + b 2 + c 2 ≤ 1 + a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≤ 1 + a 2b + b 2 c + c 2 a ñpcm. Ví d 3 : Cho các s th c a,b,c th a mãn : a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Ch ng minh : 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca) + abc ≥ 0 . Gi i : Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ a, b, c ∈ [ −1;1] nên ta có : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥ 0 (*) (1 + a + b + c) 2 M t khác : ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + bc + ca ≥ 0 (**) 2 C ng (*) và (**) ta có ñpcm. Bài t p : Ch ng minh các bñt sau: 1) ( ax + by )(bx + ay ) ≥ ( a + b) 2 xy ( v i a, b > 0; x, y ∈ R ) 2) ( a + b)( a 2 + b 2 )( a 7 + b7 ) ≤ 4( a10 + b10 ) v i a + b ≥ 0 3) a n + bn ≤ a n +1 + b n +1 v i a+b ≥ 2 1 1 1 1 1 8) y ( + ) + ( x + z ) ≤ ( x + z )( − ) v i z ≥ y ≥ x ≥ 0 x z y x z c+a c+b 9) ≥ v i a > b > 0; c > ab c +a 2 2 c +b 2 2 a+b c+b 1 1 2 10) + ≥ 4 v i a, b, c > 0 và + = 2a − b 2c − b a c b Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 11) a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 v i a, b, c ∈ [ 0;2]; a + b + c = 3 12) a3 (b 2 − c 2 ) + b3 (c 2 − a 2 ) + c3 (a 2 − b 2 ) < 0 13) a(b − c ) 2 + b(c − a) 2 + c( a − b) 2 > a3 + b3 + c3 14) a 2 + b 2 + c 2 ≥ 4 3S + (a − b) 2 + (b − c) 2 + (c − a) 2 trong ñó a,b,c là ñ dài 3 c nh tam giác,S là di n tích. x2 y y 2 z z 2 x 15*) Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 . Ch ng minh: + + ≥ x2 + y 2 + z 2 . z x y Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Phương pháp s d ng các B t ñ ng th c c ñi n I. B t ñ ng th c Côsi Trư c h t ta nh c l i BðT Côsi cho hai s : ð nh lí 1: V i hai s th c không âm x,y ta có: x+ y ≥ xy (1) .ð ng th c x y ra ⇔ x=y. 2 Vi c ch ng minh (1) r t ñơn gi n nên tôi không ch ng minh. (1) còn có nhi u cách bi u di n khác nhau như: x 2 + y 2 ≥ 2 xy ( x + y)2 x2 + y 2 ≥ 2 x+ y 2 xy ≤ ( ) 2 BðT Côsi cho 3 s không âm. ð nh lí 2: V i 3 s th c không âm x, y, z ta có: x+ y+z 3 ≥ xyz (2) . ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z . 3 Ch ng minh: C1: ð t 3 x = a, 3 y = b, 3 z = c . Khi ñó (2) tr thành: a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ( ∗ ). Ta có:   a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)  a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca  ≥ 0 ∀a, b, c ≥ 0 C2: Vì (2) là BðT thu n nh t nên ta ch c n ch ng minh (2) v i x + y + z = 1. Khi ñó 1 (2) ⇔ xyz ≤ (**) 27 x + y 2 (1 − z )2 Áp d ng BðT Côsi cho hai s ta có: xy ≤ ( ) = 2 4 z ( z − 2 z + 1) z − 2 z + z f ( z ) 2 3 2 ⇒ xyz ≤ = = 4 4 4 27 z − 54 z + 27 z (3z − 1) 2 (3z − 4) + 4 4 3 2 Ta có: f ( z ) = = ≤ (vì z ∈ (0;1)) 27 27 27 1 ⇒ xyz ≤ ⇒ (∗∗) ñúng ⇒ ñpcm. 27 a + a2 + ...an n ð nh lí 3: Cho n s th c không âm x1 , x2 ,...xn .Ta có: 1 ≥ a1...an (3). n ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an . M t s chú ý khi s d ng b t ñ ng th c côsi: *Khi áp d ng bñt côsi thì các s ph i là nh ng s không âm *BðT côsi thư ng ñư c áp d ng khi trong bñt c n ch ng minh có t ng và tích *ði u ki n x y ra d u ‘=’ là các s b ng nhau Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 1: Cho hai s th c không âm a,b. Ch ng minh: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab . Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a + b ≥ 2 ab   ⇒ (1 + b)(1 + ab) ≥ 2 ab .2 ab = 4ab ñpcm. 1 + ab ≥ 2 ab   ð ng th c x y ra ⇔ a = b = 1. 1 1 Ví d 2: Cho a, b > 0 . Ch ng minh: (a + b)( + ) ≥ 4 . a b Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a + b ≥ 2 ab   1 1 1 1 1 1  ⇒ (a + b)( a + b ) ≥ 2 ab .2 ab = 4 ñpcm. + ≥2  a b ab  ð ng th c x y ra ⇔ a = b . 1 1 4 Nh n xét: BðT trên còn ñư c vi t l i như sau: + ≥ (I) . BðT này có a b a+b nhi u ng d ng trong ch ng minh BðT. Ta xét m t s bài toán sau: Bài toán 2.1: Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác, p là chu vi. Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ 2( + + ) . p−a p−b p−c a b c Gi i: áp d ng Bñt (I) ta có: 1 1 4 4 + ≥ = . Tương t ta cũng có : p−a p−b p−a+ p−b c 1 1 4 1 1 4 + ≥ ; + ≥ . C ng ba BðT này ta có ñpcm. p−b p−c a p−c p−a b a2 b2 1 Bài toán 2.2: Cho a, b > 0 và a + b = 1 . Ch ng minh: + ≥ . a +1 b +1 3 a −1 2 1 b −1 2 1 1 1 Gi i: Ta có: VT = + + + = −1 + + a +1 a +1 b +1 b +1 a +1 b +1 1 1 4 4 M t khác áp d ng BðT (I) ta có: + ≥ = a +1 b +1 a + b + 2 3 4 1 1 Do ñó: VT ≥ −1 + = ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = . 3 3 2 Bài toán 2.3: Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh BðT sau: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ). 2x + y + z 2x + 2 y + z x + y + 2z 4 x y z Gi i: Áp d ng BðT (I’) ta có: Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = ≤ ( + )≤ ( + + ) 2 x + y + z ( x + y ) + ( x + z ) 4 x + y x + z 16 x y z 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương t : ≤ ( + + ); ≤ ( + + ) x + 2 y + z 16 x y z x + y + 2 z 16 x y z C ng ba BðT trên ta có ñư c ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z . Bài toán 2.4: Cho các s th c dương a, b, c . Ch ng minh r ng: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + . a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Gi i: Áp d ng BðT (I) ta có: 1 1 4 2 + ≥ = . Tương t a + 3b a + b + 2c 2a + 4b + 2c a + 2b + c 1 1 2 1 1 2 + ≥ ; + ≥ b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2a + b + c C ng ba BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . a b Ví d 3: Cho a, b > 0 . Ch ng minh: (1 + )n + (1 + )n ≥ 2n +1 v i n ∈ ℕ * . b a Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c không âm ta có: a a a a  1+ ≥ 2 ⇒ (1 + ) n ≥ 2n ( ) n    b  n n b b b b  a n b n n  a   ⇒ (1 + ) + (1 + ) ≥ 2   +   b a  b   a   ⇒ (1 + ) n ≥ 2n ( ) n  b b b b   1+ ≥ 2  a a a a  n n  a  b a n b n n +1 mà   +  ≥ 2 nên suy ra (1 + ) + (1 + ) ≥ 2 pcm  b  a b a ð ng th c x y ra ⇔ a = b . 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Ví d 4: Cho x, y, z > 0 . Cmr: 3 + 3 + 3 ≤ 2 + 2 + 2. x +y 2 y +z 2 z +x 2 x y z Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có: 2 x 2 x 1 x3 + y 2 ≥ 2 xy x ⇒ 3 ≤ = . x +y 2 2 xy x xy 2 y 1 2 z 1 1 1 1 Tương t : ≤ ; 3 ≤ ⇒ VT ≤ + + . y 3 + z 2 yz z + x 2 zx xy yz zx 1 1 1 1 1 1 M t khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ⇒ + + ≤ 2+ 2+ 2 xy yz zx x y z 1 1 1 V y : VT ≤ 2 + 2 + 2 ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = 1 . x y z Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 Ví d 5 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh : ( a + b + c)( + + ) ≥ 9 (II). a b c Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc   1 1 1 1 1  ⇒ (a + b + c)( + + ) ≥ 3 abc .3 3 = 9 ñpcm. 3 1 1 1 + + ≥33  a b c abc a b c abc  ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . 1 1 1 9 Nh n xét : * BðT trên còn ñư c vi t l i như sau : + + ≥ (II) a b c a+b+c * Tương t ta có BðT t ng quát c a (I) và (II) như sau : 1 1 1 n2 Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an khi ñó : + + ... + ≥ (III). a1 a2 an a1 + a2 + ... + an ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an . Các BðT (I), (II), (III) ñư c s d ng nhi u trong các bài toán BðT. Ta xét các bài toán sau a b c 3 Bài toán 5.1 : Cho ba s th c dương a, b, c . Cmr : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 Gi i : C ng hai v c a BðT v i 3 thì BðT c n ch ng minh tr thành a b c 9 1 1 1 9 ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) ≥ ⇔ (a + b + c)( + + )≥ b+c c+a a+b 2 a+b b+c c+a 2 1 1 1 9 9 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ = a + b b + c c + a a + b + b + c + c + a 2( a + b + c) 1 1 1 9 9 ⇒ (a + b + c)( + + ) ≥ (a + b + c). = ñpcm. a+b b+c c+a 2(a + b + c) 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Nh n xét : BðT trên có tên là BðT Nesbit cho ba s . Có nhi u cách ñ ch ng minh BðT trên sau ñây ta xét m t cách ch ng minh cho BðT trên a b c b c a c a b ð t A= + + ;B = + + ;C = + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b A + B ≥ 3 3 Khi ñó : B + C = 3 và  ⇒ 2A + B + C ≥ 6 ⇒ A ≥ . A + C ≥ 3 2 ðây là l i gi i có l là hay nh t cho bài toán này. Tuy nhiên vi c tìm ñư c l i gi i như v y không ph i là vi c ñơn gi n. a b c 3 Bài toán 5.2 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Cmr : + + ≤ . 1+ a 1+ b 1+ c 4 a +1−1 b +1−1 c +1−1 3 Gi i : Ta có BðT ⇔ + + ≤ a +1 b +1 c +1 4 Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 1 1 3 1 1 1 9 ⇔3−( + + )≤ ⇔ + + ≥ . a +1 b +1 c +1 4 a +1 b +1 c +1 4 1 1 1 9 9 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ = ñpcm. a +1 b +1 c +1 a + b + c + 3 4 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Bài toán 5.3 : Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 3 . Ch ng minh r ng 1 1 1 3 + + ≥ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 Gi i : Ta có ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 = 3 . 1 1 1 9 3 Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ ≥ ñpcm. 1 + ab 1 + bc 1 + ca ab + bc + ca + 3 2 1 ð ng th c có ⇔ a = b = c = 3 Bài toán 5.4 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 1 1 1 1 + + + ≥ 30 . a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca 1 1 1 9 Gi i : Áp d ng BðT (II) ta có : + + ≥ ab bc ca ab + bc + ca 1 1 1 1 1 9 ⇒ 2 + + + ≥ 2 + a + b 2 + c 2 ab bc ca a + b 2 + c 2 ab + bc + ca 1 1 1 7 = 2 + + + a +b +c 2 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 1 7 M t khác : ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2 = ⇒ ≥ 21 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ≥ 2 =9 a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ab + bc + ca a + b 2 + c 2 + 2( ab + bc + ca) 1 1 1 1 Suy ra : 2 + + + ≥ 9 + 21 = 30 ñpcm. a +b +c 2 2 ab bc ca 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Bài toán 5.4 : Cho x, y, z > 0 . CMR: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ). 2x + y + z 2x + 2 y + z x + y + 2z 4 x y z HD: Áp d ng (III) v i n=4 ta có: 1 1 1 1 42 16 2 1 1 16 + + + ≥ = ⇒ + + ≥ . x x y z 2x + y + z 2x + y + z x y z 2z + y + z Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 2 1 1 16 2 1 1 16 Tương t : + + ≥ và + + ≥ y z x x + 2y + z z x y x + y + 2z C ng 3 BðT trên ta có ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x= y = z. Bài toán 5.5 : Cho n s th c dương a1 , a2 ,..., an có t ng b ng 1. Ch ng minh r ng : a1 a2 an n a) + + ... + ≥ 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 a1 a a n b) + 2 + ... + n ≤ a1 + 1 a2 + 1 an + 1 n + 1 Gi i : a a a n a) BðT ⇔ ( 1 + 1) + ( 2 + 1) + ... + ( n + 1) ≥ +n 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 1 1 1 n2 ⇔ + + ... + ≥ (*) 2 − a1 2 − a2 2 − an 2n − 1 n2 n2 Áp d ng BðT (III) ta có : VT(*) ≥ = ñpcm. 2n − (a1 + a2 + ... + an ) 2n − 1 1 ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = . n a a a n b) BðT ⇔ ( 1 − 1) + ( 2 − 1) + ... + ( n − 1) ≤ −n 1 + a1 1 + a2 1 + an n +1 1 1 1 n2 ⇔ + + ... + ≥ (**) 1 + a1 1 + a2 1 + an n + 1 n2 n2 Áp d ng BðT (III) ta có : VT(**) ≥ = ñpcm. n + (a1 + a2 + ... + an ) n + 1 1 ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = an = . n a 2 b2 c2 a+b+c Ví d 6 : Cho a, b, c > 0 . Cmr : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho hai s th c dương ta có : a2 b+c a2 b + c b2 c+a c2 a+b + ≥2 . = a . Tương t : + ≥ b; + ≥c. b+c 4 b+c 4 c+a 4 a+b 4 C ng ba BðT này l i v i nhau ta ñươc : a2 b2 c2 a+b+c a2 b2 c2 a+b+c + + + ≥a+b+c⇒ + + ≥ b+c c+a a+b 2 b+c c+a a+b 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Nh n xét :* Phương pháp mà chúng ta làm trong bài toán trên ngư i ta thương g i là phương pháp tách gép c p trong BðT Côsi. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net a2 b+c Vì sao chúng ta l i gép + ? M c ñích c a vi c làm này là làm m t các b+c 4 bi n m u do v ph i c a BðT là m t bi u th c không có bi n m u. Vì sao ta l i b+c b+c gép mà không ph i là b + c hay … ñi u này xu t phát t ñi u ki n ñ 4 2 ñ ng th c x y ra. Vì BðT ñã cho là m t BðT ñ i x ng (T c là khi ñ i v trí hai bi n b t kì cho nhau thì BðT không thay ñ i) nên ñ ng th c thư ng x y ra khi các bi n a2 a b+c b ng nhau và khi ñó = nên ta ph i gép v i . b+c 2 4 a2 b2 c2 3 * N u abc = 1 thì ta có : a + b + c ≥ 3 nên : + + ≥ . b+c c+a a+b 2 * Phương pháp trên ñư c s d ng nhi u trong ch ng minh BðT Ví d 7 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : 3 3 3 a b c 3 + + ≥ . ( a + 1)(b + 1) (c + 1)(b + 1) (a + 1)(c + 1) 4 Gi i: Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c dương ta có: a3 a +1 b +1 3 a3 a +1b +1 3 + + ≥3 = a. (a + 1)(b + 1) 8 8 ( a + 1)(b + 1) 8 8 4 b3 c +1 b +1 3 c3 c +1 a +1 3 Tương t : + + ≥ b; + + ≥ c (c + 1)(b + 1) 8 8 4 (c + 1)( a + 1) 8 8 4 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c: a+b+c+3 3 2(a + b + c) − 3 2.3 3 abc − 3 3 VT + ≥ (a + b + c) ⇒ VT ≥ ≥ = . 4 4 4 4 4 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 . Ví d 8 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : a4 b4 a+b+c c4 + + . ≥ b (c + a ) c (a + b) a (b + c) 2 2 2 2 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho b n s th c dương ta có : a4 b b c+a a4 b b c+a + + + ≥ 4. 4 . . . = 2a b 2 (c + a ) 2 2 4 b 2 (c + a ) 2 2 4 a4 c+a ⇒ +b+ ≥ 2a . Tương t cũng có : b (c + a ) 2 4 b4 a+b c4 b+c +c+ ≥ 2b ; 2 +a+ ≥ 2c c (a + b) 2 4 a (b + c) 4 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có ⇔ a = b = c . Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 9 : Cho a, b, c > 0 và n là m t s t nhiên dương. Ch ng minh an bn cn a n −1 + b n −1 + c n −1 + + ≥ . b+c c+a a+b 2 an (b + c) n −1 Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho n-1 s và 1 s ta có : b+c 2n an (b + c) n −1 1 n ( n − 1) + ≥ n n a n ( n −1) . n = a n −1 . Tương t : b+c 2 n 2 2 bn (c + a ) n −1 n n −1 cn ( a + b) n −1 n n −1 ( n − 1) + ≥ b ; (n − 1) + ≥ c c+a 2n 2 a+b 2n 2 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 1 a + b n −1 b + c n −1 c + a n −1 n n −1 ( n − 1).VT + [( ) +( ) +( ) ] ≥ ( a + bn −1 + c n −1 ) 2 2 2 2 2 M t khác ta l i có : a n −1 + b n −1 a + b n −1 b n −1 + c n −1 b + c n −1 c n −1 + a n −1 c + a n −1 ≥( ) ; ≥( ) ; ≥( ) 2 2 2 2 2 2 a n −1 + b n −1 + c n −1 1 a + b n −1 b + c n −1 c + a n −1 ⇒ ≥ [( ) +( ) +( ) ] 2 2 2 2 2 a n −1 + b n −1 + c n −1 a n −1 + b n −1 + c n −1 Do ñó : (n − 1)VT ≥ (n − 1) ⇒ VT ≥ ñpcm 2 2 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Ví d 10 : Cho x, y, z ≥ 0 và xyz = 1 . Ch ng minh r ng : x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z . Gi i : Áp d ng BðT Côsi cho ba s th c không âm ta có : x3 + 1 + 1 ≥ 3 3 x3 .1.1 = 3x ⇔ x3 + 2 ≥ 3x .Tương t : y 3 + 2 ≥ 3 y; z 3 + 2 ≥ 3 y C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z ) M t khác : x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 ⇒ 2( x + y + z ) ≥ 6 . ⇒ x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ ( x + y + z ) + 2( x + y + z ) ⇒ x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ x = y = z = 1 . Nh n xét : * Xu t phát t x = 3 x3 nên ta áp d ng BðT Côsi cho ba s có d ng x3 + a + a . Do ñ ng th c x y ra khi x = y = z = 1 ⇒ a = 1 . * Tương t ta có bài toán t ng quát như sau : Ví d 11 : Cho s th c không âm có tích b ng 1 a1 , a2 , a3 ,..., ak . Ch ng minh a1 + a2 + ... + ak ≥ a1 + a2 + ... + ak v i ∀m ≥ n . m m m n n n Gi i :Áp d ng BðT Côsi cho m s , g m n s aim và ( m − n) s 1 ta có : Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net naim + (m − n) ≥ mm aimn = main Cho i=1,2,…,k r i l y t ng hai v ta ñư c: n(a1 + a2 + ... + ak ) + k (m − n) ≥ n( a1 + a2 + ... + ak ) + ( m − n)( a1 + a2 + ... + ak ) m m m n n n n n n Mà: a1 + a2 + ... + ak ≥ k k a1 a2 ...ak = k ⇒ (m − n)(a1 + a2 + ... + ak ) ≥ (m − n)k n n n n n n n n n ⇒ n(a1 + a2 + ... + ak ) ≥ n( a1 + a2 + ... + ak ) m m m n n n ⇔ a1 + a2 + ... + ak ≥ a1 + a2 + ... + ak ñpcm. m m m n n n ð ng th c x y ra ⇔ a1 = a2 = ... = ak = 1 . Ví d 11 : Cho x, y, z > 0 & x + y + z = 1 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 (1 + ) 4 + (1 + ) 4 + (1 + ) 4 ≥ 768 . x y z 1 1 1 Gi i : ð t a = 1 + ; b = 1 + ; c = 1 + ⇒ a + b + c ≥ 12 x y z Ta có : a 4 + 44 + 44 + 44 ≥ 4 4 412 a 4 = 44 a ⇔ a 4 + 3.44 ≥ 44 a. Tương t b4 + 3.44 ≥ 44 b; c 4 + 3.44 ≥ 44 c c ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c a 4 + b 4 + c 4 + 9.44 ≥ 44 (a + b + c) ≥ 12.44 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ 3.44 = 768 ñpcm 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 4 ⇔ x = y = z = . 3 n Chú ý : Ta có bài toán t ng quát sau : Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1,..n; ∑ xi = 1 . Cmr: i =1 m m m  b  b   b   a +  +  a +  + ... +  a +  ≥ n ( a + nb ) v i m > 0. m  x1   x2   xn  Ví d 12 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 .Ch ng minh r ng: 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 . Gi i: Áp d ng BðT Côsi ta có: 1 2 1 2 1 2 a4 + ≥ a 2 ; b4 + ≥ b2 ; c 4 + ≥ b2 c ng ba BðT l i v i nhau 81 9 81 9 81 9 1 a +b +c 2 2 2 a + b2 + c2 2 ⇒ a4 + b4 + c4 + ≥ + . 27 9 9 1 1 M t khác: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ( a + b + c) 2 = ⇒ 9(a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 ñpcm. 3 3 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Nh n xét : 1) Tương t ta có BðT t ng quát c a bài toán trên như sau: " Cho k s th c không âm a1 ,..., ak th a mãn a1 + a2 + ... + ak = 1 . Ch ng minh a1 + a2 + ... + ak n n n a1 + ... + ak m m ≥ ∀n ≥ m " . km kn Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 2) T BðT t ng quát trên ta có các h qu sau Hq1 : Cho k s th c không âm a1 ,..., ak th a mãn a1 + a2 + ... + ak = 1 . Ch ng minh 1 a1 + a2 + ... + ak ≥ n −1 . n n n k Ch ng minh : Áp d ng BðT t ng quá trên v i m = 1 ta có ñpcm Hq2: Cho k s th c a1 , a2 ,..., ak > 0 .Ch ng minh r ng: a1 + ... + ak n n a + ... + ak n ≥ ( 1 ) v i n∈ N* k k ai Ch ng minh: ð t bi = v i i=1,2,3,…,k ⇒ b1 + b2 + ... + bk = 1 và a1 + a2 + ... + ak 1 BðT tr thành: b1n + b2 + ... + bk ≥ n −1 ñây chính là h qu 1. n n k Ví d 13 : Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng : ( a + b − c )(b + c − a )(c + a − b) ≤ abc . Gi i : Không m t tính t ng quát ta gi s a ≥ b ≥ c ⇒ a + b − c > 0 và c + a − b > 0 * N u b + c − a < 0 ⇒ BðT c n ch ng minh luôn ñúng. * N u b + c − a > 0 áp d ng BðT Côsi ta có : a+b−c+b+c−a 2 ( a + b − c)(b + c − a) ≤ ( ) = b 2 . Tương t ta cũng có : 2 (b + c − a )(c + a − b) ≤ c ; (c + a − b)(a + b − c) ≤ a 2 . 2 Nhân ba BðT trên l i v i nhau ta có ñpcm. ð ng th c có ⇔ a = b = c . Nh n xét : S d ng bài toán trên ta có th gi i ñư c các bài toán sau ñây Bài toán 13.1 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng : 1 1 1 ( a + − 1)(b + − 1)(c + − 1) ≤ 1. b c a x y z Gi i : Vì abc = 1 ⇒ t n t i các s th c x, y, z > 0 sao cho : a = ; b = ; c = y z x Khi ñó BðT c n chúng minh tr thành : ( x + y − z )( y + z − x)( z + x − y ) ≤ xyz ðây chính là k t qu bài toán trên. Bài toán 13.2 : Cho a,b,c là ñ dài ba c nh tam giác. Ch ng minh r ng : a b c + + ≥ 3. a+b−c b+c−a c+a−b abc Gi i : Theo k t qu bài toán trên ta có : ≥1. (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) Áp d ng BðT Côsi cho ba s ta có : a b c abc + + ≥ 33 ≥ 3 ñpcm. a+b−c b+c−a c+a−b (a + b − c)(b + c − a )(c + a − b) ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c . Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net Ví d 14 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng : (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ 8(1 − a )(1 − b)(1 − c) . Gi i : Áp d ng BðT Côsi ta có : 2 − (a + b) 2 2 − (1 − c) 2 (1 + c) 2 (1 − a)(1 − b) ≤ ( ) =( ) = . Tương t 2 2 4 (1 + a)2 (1 + b)2 (1 − b)(1 − c) ≤ ; (1 − c)(1 − a ) ≤ Nhân ba BðT l i v i nhau ta có 4 4 1 ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 15 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc . Ch ng minh r ng : a b c + 3 + 3 ≥ 1. b3 c a Gi i : BðT c n ch ng minh tương ñương v i: a 2 c b 2 a c 2b + 2 + 2 ≥ a + b + c (*) b2 c a a2c b2 a a2c b2 a Áp d ng BðT Côsi ta có : + + c ≥ 3.3 . .c = 3a b2 c2 b2 c 2 b 2 a c 2b c 2b a 2 c Tương t : 2 + 2 + a ≥ 3b ; 2 + 2 + b ≥ 3c . C ng ba BðT trên ta có ñư c c a a b 1 BðT (*) ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = . 3 Ví d 16 : Cho các s th c dương x, y, z . Ch ng minh r ng : x y z + + ≥1 . x 2 + 8 yz y 2 + 8 zx z 2 + 8 xy x y z Gi i : ð t a = ;b = ;c = ⇒ a + b + c = 1 và BðT ñã cho x+ y+z x+ y+z x+ y+z a b c tr thành : P = + + ≥1 a + 8bc 2 b + 8ca 2 c + 8ab 2 Áp d ng BðT Côsi ta có : a a 2a + + a (a 2 + 8bc) ≥ 3a ⇔ + a (a 2 + 8bc) ≥ 3a . a 2 + 8bc a 2 + 8bc a 2 + 8bc 2b 2c Tương t : + b(b 2 + 8ca) ≥ 3b ; + c(c 2 + 8ab) ≥ 3c b + 8ca 2 c + 8ab 2 C ng ba BðT trên l i v i nhau ta ñư c : 2 P + a3 + b3 + c3 + 24abc ≥ 3 M t khác ta l i có : 1 = ( a + b + c )3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)(b + c)(c + a ) ≥ a 3 + b3 + c3 + 24abc . ⇒ 2 P ≥ 3 − (a3 + b3 + c3 + 24abc) ≥ 3 − 1 = 2 ⇒ P ≥ 1 ñpcm. Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai
Nguy n T t Thu http://www.toanthpt.net 1 ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = ⇔ x = y = z. 3 Nh n xét : 1) BðT trên có nhi u cách ch ng minh, ngoài cách ch ng minh trên còn có nh ng cách ch ng minh khác cũng dùng BðT Côsi. yz zx xy C2 : ð t a = 2 ; b = 2 ; c = 2 ⇒ xyz = 1 và BðT c n ch ng minh tr thành : x y z 1 1 1 + + ≥1⇔ 1 + 8a 1 + 8b 1 + 8c (1 + 8a)(1 + 8b) + (1 + 8b)(1 + 8c) + (1 + 8c)(1 + 8a ) ≥ (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) Bình phương hai v và rút g n ta ñư c : 8( a + b + c) + 2 (1 + 8a )(1 + 8b)(1 + 8c)( 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c ) ≥ 510 (*) Ta có : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3 và ab + bc + ca ≥ 3 ⇒ (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) = 1 + 8( a + b + c) + 64(ab + bc + ca) + 512 ≥ 729 ⇒ 1 + 8a + 1 + 8b + 1 + 8c ≥ 3 6 (1 + 8a)(1 + 8b)(1 + 8c) ≥ 9 ⇒ VT (*) ≥ 8.3 + 2.27.9 = 510 ⇒ (*) ñúng ⇒ ñpcm. ð ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z . 2) T cách gi i trên ta có th t ng quát bài toán trên như sau : " Cho các s th c dương x, y, z và s th c λ ≥ 8 . Ch ng minh r ng : x y z 3 + + ≥ ." x + λ yz 2 y + λ zx 2 z + λ xy 2 1+ λ Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa – ð ng Nai