Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số - GV. Nguyễn Tất Thu

Chia sẻ: Nguyen Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

315
lượt xem 67
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề "Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số" cung cấp kiến thức và đưa ra các bài toán liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình, giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, các bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tam giác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số - GV. Nguyễn Tất Thu

Chuyên ñ . NG D NG ð O HÀM NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM S TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM S Gv. Nguy n T t Thu − Tp. Biên Hòa, ð ng Nai I. Các bài toán liên quan ñ n nghi m c a phương trình, b t phương trình. ð nh lí 1. S nghi m c a phương trình f(x) = g(x) chính là s giao ñi m c a hai ñ th y = f(x) và y = g(x) ð nh lí 2. N u hàm s y = f(x) liên t c trên D và m = min f ( x) , M = max f ( x) thì phương trình x∈D x∈D f(x) = k có nghi m khi và ch khi m≤k ≤M . ð nh lí 3. B t phương trình f ( x) ≥ g ( x) nghi m ñúng m i x thu c D khi và ch khi min f ( x) ≥ max g ( x) x∈D x∈D Các ví d . Bài 1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m (HSG Ngh An 2005) Gi i. Xét hàm s f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có t p xác ñ nh là D = IR 2x + 1 2 x2 + x + 1 2 f / ( x) = − 2x −1 2 x2 − x + 1 (1) 2 ⇒ f / ( x ) = 0 ⇔ (2 x + 1) x 2 − x + 1 = ( 2 x − 1) x 2 + x + 1 1 1 3  1 1 3  ⇒  x +  [( x − ) 2 + ] =  x −  [( x + )2 + ] 2 2 4  2 2 4  ⇔ x = 0 không th a mãn (1). V y f /(x) = 0 vô nghi m, mà f /(0) = 1 > 0, do ñó f /(x) > 0, ∀x ∈ IR. M t khác lim f ( x) = lim x →+∞ 2x x2 + x + 1 + x2 − x + 1 x →+∞ = 1; lim f ( x) = −1 x →−∞ V y phương trình ñã cho có nghi m khi − 1 < m < 1.  π Bài 2. Tìm a ñ phương trình ax 2 + 1 = cos x có ñúng m t nghi m x ∈  0;  .  2 (ð thi HSG t nh H i Dương L p 12 năm 2005) Gi i. Ta th y ñ phương trình có nghi m thì a ≤ 0. Khi ñó, phương trình tương ñương cos x − 1 =a⇔ x2 x   2 Xét hàm s sin 2 x 2 = −2a 2 f (t ) = sin t  π , t ∈  0;  . Ta có t  4 f / (t ) = t.cos t − sin t cos t ( t - tgt )  π = < 0, ∀t ∈  0;  2 2 t t  4  π ⇒ f(t) ngh ch bi n trên  0;  .  4 mà f ( ) = 4 π π 2 2 và lim f (t ) = 1 ⇒ t →0 2 2 π x 2 < 1, ∀x ∈ (0; π ) < f (t ) < 1 ⇒ 2 < 2 π 2 x   2 8 sin 2 π 8 1 4 V y phương trình ñã cho có ñúng m t nghi m x ∈ (0; ) ⇔ 2 < −2a < 1 ⇔ − < a < − 2 . 2 π 2 π Bài 3. Cho phương trình x 6 + 3 x 5 − 6 x 4 − ax 3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0 . Tìm t t c các giá tr c a tham s a, ñ phương trình có ñúng 2 nghi m phân bi t. (HSG Nam ð nh 2004) Gi i. Vì x = 0 không ph i là nghi m phương trình. Chia hai v phương trình cho x3 ta ñư c ( x3 + ð t t = x+ 1 1 1 ) + 3( x 2 + 2 ) − 6( x + ) − a = 0 3 x x x (1) 1 ⇒ |t| ≥ 2. x Ta ñư c phương trình t (t 2 − 3) + 3(t 2 − 2) − 6t = a ⇔ t 3 + 3t 2 − 9t = a + 6 − N u t = ± 2, thì phương trình ñã cho có m t nghi m. − N u |t| > 2, thì v i m i giá tr c a t cho tương ng v i hai giá tr c a x Như v y, ta xét hai trư ng h p 2 = a + 6 vô nghi m. TH 1. N u (2) có ñúng hai nghi m t = ± 2, thì  22 = a + 6 TH 2. N u (2) có ñúng m t nghi m |t| > 2. (2) Xét hàm s f (t ) = t 3 + 3t 2 − 9t ,| t | > 2 ⇒ f / (t ) = 3t 2 + 6t − 9 = 3(t − 1)(t + 3) B ng bi n thiên x f /(t) f(t) -3 0 27 2 − -2 1 0 2 + 22 ⇒ 2 < a + 6 < 22 ⇔ −4 < a < 16 Bài 4. Cho hàm s y = − x + ( x + a)( x + b) v i a, b là hai s th c dương khác nhau cho trư c. Ch ng minh v i m i s th c s ∈ ( 0;1) ñ u t n t i duy nh t s th c α > 0 sao cho  a s + bs  s f (α ) =    2  1 (HSG QG b ng A năm 2006) Gi i. Trư c h t ta có BðT BðT Becnoully. Áp d ng BðT Côsi và (1) ta có a s + bs a+b s ≤( ) (1) ta có th ch ng minh (1) b ng hàm s ho c b ng 2 2 a s + bs 1 a + b (*) (do a ≠ b) ab < ( )s < 2 2 M t khác ta có f / ( x) = 2 x + a + b − 2 ( x + a )( x + b) 2 ( x + a )( x + b) Ta d dàng ch ng minh ñư c f /(x) > 0, ∀x > 0 suy ra f(x) ñ ng bi n v i x > 0 nên x →0 lim f ( x) = ab ≤ f ( x) ≤ lim f ( x) = + x →+∞ a+b (**) 2 Vì f(x) liên t c khi x > 0 nên t (*) và (**) ta có ñpcm. Bài t p. 1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m duy nh t thu c [0; π 4 ] (4 − 6m) sin 3 x + 3(2m − 1)sin x + 2(m − 2) sin 2 x cos x − (4m − 3) cos x = 0 2. Tìm m ñ s nghi m c a phương trình 15 x 2 − 2(6m 2 + 1) x − 3m 4 + 2m 2 = 0 không nhi u hơn s nghi m c a phương trình (3m − 1) 212 x + 2 x3 + 6 x = (36 m − 9) 28 m − 0, 25 (HSG Ngh An 1998) 3. Tìm t t c các giá tr a ñ b t phương trình ln(1 + x) ≥ x − ax 2 nghi m ñúng ∀x ≥ 0. 4. a) Ch ng minh n u a > 0 là s sao cho bphương trình a x ≥ 1 + x ñúng v i m i x ≥ 0 thì a ≥ e . b) Tìm t t c các giá tr c a a ñ a x ≥ 1 + x, ∀x . (HSG 12 Nam ð nh 2006) II. Gi i phương trình, h phương trình b ng phương pháp hàm s . ð nh lí 1. N u hàm s y = f(x) luôn ñ ng bi n (ho c luôn ngh ch) thì s nghi m c a phương trình f(x) = k không nhi u hơn m t và f(x) = f(y) khi và ch khi x = y. ð nh lí 2. N u hàm s y = f(x) luôn ñ ng bi n (ho c luôn ngh ch) và hàm s y = g(x) luôn ngh ch bi n (ho c luôn ñ ng bi n) trên D thì s nghi m trên D c a phương trình f(x) = g(x) không nhi u hơn m t. ð nh lí 3. Cho hàm s y = f(x) có ñ o hàm ñ n c p n và phương trình f ( k ) ( x) = 0 có m nghi m, khi ñó phương trình f ( k −1) ( x) = 0 có nhi u nh t là m + 1 nghi m. Các ví d . Bài 1. Gi i phương trình 3x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0 (Olympic 30 − 4 − 2000) 1 Gi i. Ta th y phương trình ch có nghi m trong (− ; 0) 2 pt ⇔ ( −3 x ) (2 + (−3 x) 2 + 3) = (2 x + 1)(2 + (2 x + 1)2 + 3) ⇔ u (2 + u 2 + 3) = v(2 + v 2 + 3) (1) f (t ) = 2t + t 4 + 3t 2 v i t > 0 V i u = − 3x, v = 2x + 1; u, v > 0. Xét hàm s Ta có f / (t ) = 2 + 2t 3 + 3t t 4 + 3t 2 > 0, ∀t > 0 ⇒ f (u ) = f (v) ⇔ u = v (1) ⇔ u = v ⇔ − 3x = 2x + 1 ⇔ x = − Bài 2. Gi i phương trình 1 là nghi m duy nh t c a phương trình. 5 2  π π etg x + cos x = 2, x ∈  − ;  .  2 2 (HSG L p 12 Nam ð nh 2006) Gi i. Xét hàm s 2  π π f ( x) = etg x + cos x, x ∈  − ;  , ta có  2 2  2etg x − cos3 x  2 1 ⇒ f ( x) = 2tgx. etg x − sin x = sin x     cos 2 x cos3 x   2 / Vì 2etg x ≥ 2 > cos3 x > 0 Nên d u c a f /(x) chính là d u c a sinx. T ñây ta có f(x) ≥ f(0) = 2. V y phương trình ñã cho có nghi m duy nh t x = 0 Bài 3. Gi i phương trình 2 2003x + 2005 x = 4006 x + 2 (HSG Ngh An 2005) Gi i Xét hàm s f ( x) = 2003x + 2005x − 4006 x − 2 Ta có f / ( x) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 f // ( x) = 2003x ln 2 2003 + 2005x ln 2 2005 > 0, ∀x ⇒ f // ( x) = 0 vô nghi m ⇒ f /(x) có nhi u nh t là m t nghi m ⇒ f(x) có nhi u nh t là hai nghi m. mà f(1) = f(0) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0 và x = 1. Bài 4. Gi i phương trình 3x = 1 + x + log 3 (1 + 2 x) (TH&TT) Gi i. ðk x > − 1 2 phương trình ⇔ 3x + x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x) ⇔ 3x + log 3 3x = 1 + 2 x + log 3 (1 + 2 x) (1) Xét hàm s f (t ) = t + log 3 t ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên (1) ⇔ f (3x ) = f (1 + 2 x) ⇔ 3x = 2 x + 1 ⇔ 3x − 2 x − 1 = 0 (2) Xét hàm s f ( x) = 3x − 2 x − 1 ⇒ f / ( x) = 3x ln 3 − 2 ⇒ f // ( x) = 3x ln 2 3 > 0 ⇒ f(x) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m. mà f(0) = f(1) = 0 nên phương trình ñã cho có hai nghi m x = 0 và x = 1 Bài 5. Gi i h phương trình sin x − sin y = 3 x − 3 y  π  x + y = 5   x, y > 0  Gi i. (1) (2) (3)