Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân - phép chia và phép khai phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

48
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn học sinh tham khảo Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân - phép chia và phép khai phương nhằm giúp các em ôn tập và nâng cao kỹ năng giải các dạng bài tập. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt được điểm số như mong muốn!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề Liên hệ giữa phép nhân - phép chia và phép khai phương

CHUYÊN ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN - PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Với A  0, B  0 thì: A.B  A. B và ngược lại A. B  A.B  A 2 Đặc biệt, khi A  0 , ta có:  A2  A . A A A A II. Với A  0, B  0 thì  và ngược lại  B B B B III. Bổ sung  Với A1 , A2 ,..., An  0 thì: A1 . A2 ... An  A1. A2 ... An  Với a  0; b  0 thì: a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  0 hoặc b  0 ).  Với a  b  0 thì: a  b  a  b (dấu “=” xảy ra  a  b hoặc b  0 ). B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. Thực hiện phép tính Ví dụ minh họa 1. Tính: 125 180 : 5 a) 810.40 b) 24. 12. 0,5 c) d) 35.43 200 : 8 Hướng dẫn giải: a) Ta có: 810.40  81.100.4  81. 100. 4  92 . 102 . 22  9.10.2  180 . Vậy biểu thức có giá trị là: 180 b) Ta có: 24. 12. 0,5  24.12.0,5  144  122  12 .  3.4  5 125 35.45 c) Ta có:    42  4 35.43 35.43 35.43 Vậy biểu thức có giá trị là: 4 180 : 5 180 : 5 36 6 d) Ta có     1, 2 200 : 8 200 : 8 25 5 Vậy biểu thức có giá trị là: 1,2 Ví dụ minh họa 2. a) So sánh: 16  4 và 16  4 b) Với a  0 ; b  0 . Chứng minh ab  a  b Hướng dẫn giải: a) Ta có: 1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
16  4  4  2  6  36 1 16  4  20  36  2 Từ 1 và  2  suy ra: 16  4  16  4 b) Với a  0 ; b  0 , giả sử a  b  a 2  b 2 Để so sánh a  b với a b     2 2 ta so sánh ab với a b   2 ab  ab Ta có:   2 a b  a  b  2 ab     2 2 Vì 2 ab nên suy ra ab a b Do đó ab  a  b Ví dụ minh họa 3. Thực hiện phép tính a) A   18  32  50 . 2  b) B  50 – 18  200  162 Hướng dẫn giải: a) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng và phép nhân các căn thức bậc hai của các số không âm, ta có: A  18  32  50 . 2   18. 2  32. 2  50. 2  18.2  32.2  50.2  36  64  100  6  8  10 4 b) Sử dụng phép khai phương một tích của các số không âm, ta có: B  50 – 18  200  162  25.2  9.2  100.2  81.2  25. 2  9. 2  100. 2  81. 2  2.  25  9  100  81   2.  5  3  10  9  3 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính: a) 49.36.100 b) 0, 45.0, 3.6 c) 147.75 d) 4, 9.1200.0, 3 Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: 2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) 5. 45 b) 13. 52 c) 12, 5. 0, 2. 0,1 d) 48, 4. 5. 0, 5 Bài 3: Tính: 3 36 288 8 a) 45 : 80 b) 13 : 468 c) : d) : 15 45 169 225 Bài 4: Thực hiện các phép tính sau: a) 72 9 : 8  b) 7 48  3 27  2 12 : 3   1  c)   125  245  5 : 5 d)   16  7  : 7  7 7  Bài 5: Thực hiện các phép tính sau: a) 12  27  3 b)  12  2 75  3 c) 252  700  1008  448 d) 3  12  27  3  Bài 6: Thực hiện các phép tính sau: a) 2 3  2 3  b) 1  3  2 1  3  2    2 c) 3 5  3 5 d) 15  216  33  12 6 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Thực hiện các phép tính sau: a) Biến đổi biểu thức: 49.36.100  49. 36. 100  7 2 . 62 . 102  7.6.10  420 b) Biến đổi biểu thức: 0, 45.0,3.6  0,81  0,92  0,9 c) Biến đổi biểu thức: 147.75  49.3.3.25  49.9.25  49. 9. 25  7.3.5  105 d) Biến đổi biểu thức: 4,9.1200.0, 3  49.0,1.12.100.3.0,1  49.36  49. 36  7.6  42 Bài 2: Thực hiện các phép tính sau: a) 5. 45  5.45  225  152  15 b) 13. 52  13.52  676  26 c) 12, 5. 0, 2. 0,1  12, 5.0, 2.0,1  0, 25  0, 5 d) 48, 4. 5. 0, 5  48, 4.5.0,5  122  11 Bài 3: Tính: 45 45 9 3 a) 45 : 80     80 80 16 4 13 13 1 1 b) 13 : 468     468 468 36 6 3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
3 36 3 36 3 45 1 1 c) :  :  .   15 45 15 45 15 36 4 2 288 8 288 8 288 225 d) :  :  . 169 225 169 225 169 8 36.225 36. 225 6.15 90     169 169 13 13 Bài 4: Thực hiện các phép tính sau: 72 72 72 1 a) Biến đổi biểu thức: : 8 :8  .  1 1 9 9 9 8 Vậy biểu thức có giá trị là: 1  b) Biến đổi biểu thức: 7 48  3 27  2 12 : 3     28 3  9 3  4 3 : 3  33 3 : 3  33 Vậy biểu thức có giá trị là: 33 c) Biến đổi biểu thức:     125  245  5 : 5  5 5  7 5  5 : 5  11 5 : 5  11 Vậy biểu thức có giá trị là: 11  1 16   7 4 7  4 7 4 d) Biến đổi biểu thức:    7  : 7     7  : 7  : 7  7 7   7 7  7 7 4 Vậy biểu thức có giá trị là: 7 Bài 5: Thực hiện các phép tính sau: a) Ta có: 12  27  3  2 3  3 3  3  3  2  3  1  0 b) Ta có:  12  2 75  3  12. 3  2 75. 3  36  2 225  6  2.15  24 c) Ta có: 252  700  1008  448  6 7  10 7  12 7   6  10  12  7  8 7 d) Biến đổi biểu thức 3  12  27  3    3 2 3 3 3  3   3.4 3  3.4  12 Bài 6: Thực hiện các phép tính sau: a) Biến đổi biểu thức 2 3  2 3 4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
    2 2 42 3 42 3 3 1 3 1     2 2 2 2     2 2 3 1 3 1 3 1 3 1    2 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1    2 2 2 2   2 2 Vậy biểu thức có giá trị là: 2 b) Biến đổi biểu thức 1  3  2 1  3  2      1 3    2    1  2  2 2 3  3  2    42 3 2  22 3 Vậy biểu thức có giá trị là: 2  2 3   2 c) Biến đổi biểu thức 3 5  3 5     2 2  3 5  2 3  5. 3  5  3 5   3 5  2  3  5 .3  5   3  5  2  3  5  2 32  5  3  5  6  2 9  5  6  4  10 Vậy biểu thức có giá trị là: 10 d) Biến đổi biểu thức 15  216  33  12 6 3  6   3  2 6  2 2  15  6 6  33  12 6   15  6 6  3  2 6  3   6    2 6  3  6 Vậy biểu thức có giá trị là: 6. 5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 2. Rút gọn biểu thức và tính giá trị biểu thức Ví dụ minh họa 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) 5 25a 2  25a với a  0 b) 49a 2  3a với a  0 c) 16a 4  6a 2 với a bất kì d) 3 9a 6  6a 3 với a bất kì. Hướng dẫn giải: a) Biểu thức 5 25a 2  25a  5. 5a  25a vì a  0 nên 5a  0 , do đó 5a  5a . Vậy 5 25a 2  25a  5.  5a   25a  25a  25a  50a. b) Biểu thức 49a 2  3a  7a  3a. Với a  0 nên 7a  0 , do đó 7a  7a . Vậy 49a 2  3a  7a  3a  10a. c) Biểu thức 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2 Với mọi a ta đều có 4a 2  0 nên 4a 2  4a 2 Vậy 16a 4  6a 2  4a 2  6a 2  10a 2 d) Biểu thức 3 9a 6  6a 3  3. 3a 3  6a 3 Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.3a 3  6a 3  3a 2 Nếu a  0 thì 3a 3  0 nên 3a 2  3a 2 , ta có: 3 9a 6  6a 3  3.  3a 3   6a 3  15a 2 . Ví dụ minh họa 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) 4 x  x 2  4 x  4 với x  2 b) 3x  9  6 x  x 2 với x  3 x6 x 9 x  0 x2  4x  4 c) với  d) với x  2 x 9 x  9 x2 Hướng dẫn giải:  x  2 2 a) Biểu thức 4 x  x 2  4 x  4  4 x   4x  x  2 Vì x  2 nên x  2  0 , do đó x  2  x  2 . Vậy 4 x  x 2  4 x  4  4 x   x  2   3x  2 3  x  2 b) Biểu thức 3x  9  6 x  x 2  3x   3x  3  x Vì x  3 nên 3  x  0 , do đó 3  x    3  x  Vậy 3x  9  6 x  x 2  3x   3  x   2 x  3   2 x6 x 9 x 3 x 3 c) Biểu thức   x 9  x 3  x 3  x 3 6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
 x  2 2 x2  4x  4 x2 d) Biểu thức   x2 x2 x2 Với x  2 thì x  2  0 nên x  2  x  2 . x2  4x  4 x  2 Vậy  1 x2 x2 Với x  2 thì x  2  0 nên x  2    x  2  . x2  4x  4   x  2 Vậy   1 x2 x2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Rút gọn các biểu thức: 15  6 10  15 a) b) 35  14 8  12 2 15  2 10  6  3 2  3  6  8  16 c) d) 2 5  2 10  3  6 2 3 4 Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: x  xy a a b  b b a  a  0; b  0 a) với  x  0; y  0  b) với  y  xy ab  1  ab  1 x xy y   x  2 x 1 2 c)  x y d)  x  0 x y x  2 x 1 y2  2 x 1 y 1 e)  x  1, y  1, y  0   x  1 4 y 1 Bài 3: Rút gọn và tính: a 1 b 1 3 5 a) : với a  7, 25; b  3, 25 b) 15a 2  8a 15  16 với a   b 1 a 1 5 3 2 5 c) 10a 2  4a 10  4 với a   d) a 2  2 a 2  1  a 2  2 a 2  1 với a  5 5 2 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Rút gọn các biểu thức: a) Biểu thức: 15  6  3  5 2  3  3 35  14 7  5 2 7 7 3 Biểu thức rút gọn là: 7 b) Biểu thức: 10  15  5 2 3  5   8  12 2 2 3 2   7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5 Biểu thức rút gọn là: 2 2 15  2 10  6  3 c) Biểu thức: 2 5  2 10  3  6  2 5    2  3  2 5  3  2   3  3  2  3 2  3 2 5 1  2   3 1  2   2 5  3 1  2    2 5  3  3  2   2 5  3 1  2  3 2  1 2 3 2 Biểu thức rút gọn là: 1 2 2  3  6  8  16 d) Biểu thức: 2 3 4 2 3 6 84 2  3 22 6  8   2 3 4 2 3 4 2 32 2 6  8   2 3 4 2 3 4 2 3 4 4 6 8   2 3 4 2 3 4  1 2  2 3 4   1 2 2 3 4 Biểu thức rút gọn là: 1  2 Bài 2: Rút gọn các biểu thức: a) Với  x  0; y  0  thì x  xy  x x y  x y  xy y y x y x Biểu thức rút gọn là: y  a  0; b  0 a  a b  b b a b) Với  thì  ab  1 ab  1    a 1  ab  b 1  ab    1  ab  a b   ab  1 ab  1  ab  1 ab  1 a b  ab  1 8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a b Biểu thức rút gọn là: ab  1 x xy y   2 c) Biểu thức  x y x y 3 3 x  y  x y   x  2 xy  y   x y  x  xy  y   x y x  2 xy  y   x  xy  y  x  2 xy  y  xy Biểu thức rút gọn là: xy   2 x  2 x 1 x 1 x 1 x 1 d) Với  x  0  nên     x  1 2 x  2 x 1 x 1 x 1 x 1 Biểu thức rút gọn là: x 1 y2  2 x 1 y 1 e) Biểu thức  x  1, y  1, y  0   x  1 4 y 1   2 x 1 y 1 x 1 y 1  .  x  1 y  1  x  1 4 2 y 1 Nếu 0  y  1  y  1  0  y 1     y 1 , Thì x 1 . y 1  x 1  y 1 .  1   y  1  x  1 y  1  x  1 x 1 2 2 Nếu y  1  y  1  0  y 1   y 1 ,  Thì x 1 . y 1  x 1 . y 1   1  y  1  x  1 y  1  x  1 x 1 2 2 Bài 3: Rút gọn và tính: a 1 b 1 a) Ta có : b 1 a 1  a 1 . a 1   a 1  a 1  a 1 b 1 b 1  b  1 b  1 b 1 9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
7, 25  1 6, 25 25 5 Với a  7, 25; b  3, 25 thay vào ta được    6, 25  1 2, 25 9 3 5 Vậy biểu thức có giá trị . 3   2 b) Ta có 15a 2  8a 15  16  15a  4  15a  4 3 5 Với a   thay vào ta được 5 3  3 5 15a  4  15   4  5 3  3 5  15.  15.  4  3  5  4  4 5 3 a  2 c) Ta có 10a 2  4a 10  4  10  2  a 10  2 2 5  2 5 Với a   thay vào ta được a 10  2     10  2 5 2  5 2  2 5  . 10  . 10  2  2  5  2  5 5 2 d) Ta có a2  2 a2 1  a2  2 a2 1  a 2  1  2 a 2  1  1  a 2  1  2 a 2  1  1     2 2  a2 1  1  a2 1 1  a2 1  1  a2 1 1 Với a  5 thay vào ta được a2 1  1  a2 1 1 2 2  5 1 1  5 1 1  5 1  1  5 1 1  4 1  4 1  2 1  2 1  3 1  2 10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 3. Giải phương trình Ví dụ minh họa 1. Giải các phương trình sau: a) 2.x  5  5 b) x7 3 0 c) 10  x  3  20 d) 3x 2  x  2 Hướng dẫn giải: 5 a) Điều kiện xác định là 2 x  5  0  x   2 Khi đó, phương trình được đưa về dạng: 2 x  5  25  2 x  20  x  10 thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  10 . b) Điều kiện xác định là x  7 . x  7  3  0  x  7  3 với mọi x  7 ta có x  7  0 và 3  0 . Vậy phương trình vô nghiệm. c) Điều kiện xác định là x  3 Khi đó, phương trình được đưa về dạng: 10  x  3  20  x  3  2  x  5 . Vậy x  5 là nghiệm của phương trình. d) Với x  2  0  x  2 thì 3x 2  x  2  3x 2   x  2   3x 2  x 2  4 x  4 2  2  x2  2 x  2  0  x2  2 x  2  0     x  1  3  0  x  1  3 x  1  3  0 2   x  1  3  0 x  1 3   (thỏa mãn điều kiện)  x  1  3  0  x  1  3 Vậy nghiệm của phương trình là x  1  3; x  1  3 . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình sau: a) 3 x  1  10 b) 16  7 x  11 c) x 2  6 x  9  3x  6 d) x2  4 x  4  2 x  5  0 HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải các phương trình sau: 1 a) Điều kiện có nghĩa: 3 x  1  0  x   3 Khi đó, phương trình 3 x  1  10  3 x  1  10  x  3 (thỏa điều kiện) Vậy nghiệm của phương trình là: x  3 . b) 16  7 x  11 16 Điều kiện có nghĩa: 16  7 x  0  x  7 11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
5 Khi đó, phương trình 16  7 x  11  16  7 x  11  x  (thỏa điều kiện) 7 5 Vậy nghiệm của phương trình là: x  7  x  3 2 c) x 2  6 x  9  3x  6   3x  6  x  3  3x  6 x  2 3 x  6  0     x  9 TM    x  3  3x  6    2   x  3  3 x  6  3   x   L    4 9 Vậy nghiệm của phương trình là: x  2  x  2 2 d) x2  4 x  4  2 x  5  0   2x  5  x  2  2x  5  5 2 x  5  0 x  2      x  3  2 x  5    x  8 TM    x  3  2 x  5    x  2  L    3 12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Dạng 4:Nâng cao phát triển tư duy Ví dụ minh họa 1: Rút gọn các biểu thức sau: P  2  2  2 . 4  8 . 2  2  2 . Giải Tìm cách giải. Quan sát kĩ đề bài, ta thấy có hai biểu thức trong căn có dạng a  b và a  b nên ta dùng tính chất giao hoán và thực hiện phép tính. Trình bày lời giải P  2  2  2 . 4  8. 2  2  2  2  2  2 . 2  2  2 . 4  8 P  4  2  2. 4  2 2   2  2 . 2  2. 2 P  4  2. 2  2 . Ví dụ minh họa 2:: Rút gọn biểu thức: A  2  3  4  2 3  21  12 3 Giải Tìm cách giải. Với những bài toán có nhiều căn “chồng chất”, ta có thể giảm bớt số căn, bằng cách đưa các căn ở phía trong về dạng a  2 b sau đó dùng hằng đẳng thức A2  A và giải như các ví dụ trên. Trình bày lời giải Ta có A  2  3  4  2 3  21  12 3 2  2  2 3  42 3  3 3  2 3  42 3 2 3 3 2  3  2  2 3  44 3 3  2 3   2 32 3  4 . Suy ra A  2 . Ví dụ minh họa 3: Rút gọn: C  2  2 5  2  2  2 5  2 Giải Tìm cách giải.   2 Ví dụ này không thể biến đổi để đưa về dạng a2 b  x y . Do vậy để rút gọn biểu thức dạng C  x  y  x  y ta thường tính C 2 sau đó nhận xét dấu của C, từ đó tìm được C. 13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải Xét C 2  2  2 5  2  2  2 5  2  2 2   2 5 2 2 2 5 2      2 C2  4  2 4  2 5  2  4  2 5 1  42 5 1   2 C2  6  2 5  5  1 . Vì C  0 nên C  1  5 . Ví dụ minh họa 4: Cho x, y thỏa mãn x  1  x 2  y  1  y 2 . Chứng minh rằng: x  y . Giải Tìm cách giải. Nhận xét giả thiết x, y có vai trò như nhau. Phân tích từ kết luận để có x  y , chúng ta cần phân tích giả thiết xuất hiện nhân tử  x  y  . Dễ thấy x 2  y 2 có chứa nhân tử  x  y  , do vậy phần còn lại để xuất hiện nhân tử  x  y  chúng ta vận a b dụng  a b   a  b  a  b từ đó suy ra: a b a b . Lưu ý rằng mẫu số khác 0. Từ đó chúng ra có lời giải sau: Trình bày lời giải Từ đề bài ta có điều kiện: x  1; y  1 . - Trường hợp 1: Xét x  1; y  1  x  y . - Trường hợp 2: Xét ít nhất x hoặc y khác 1. Ta có: x2  y 2  x 1  y  1  0   x  y  x  y    x  1   y  1  0 x 1  y 1  1    x  y x  y  0  x  1  y  1   1 Vì x  y  0 x y 0 x  y. x 1  y 1 1 2 Ví dụ minh họa 5: Cho a  . Tính giá trị biểu thức 16a8  51a 2 Giải 1 2 Tìm cách giải. Để thay giá trị trực tiếp a  vào biểu thức thì khai triển dài dòng, dễ dẫn đến sai 2 lầm. Do vậy chúng ta nên tính từ từ, bằng cách tính a 2 ; a 4 và a 8 bằng hằng đẳng thức. Bài toán sẽ đơn giản và không dễ mắc sai lầm. 14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Trình bày lời giải 2a  1  2  2a  1   2  4a 2  4a  1  2    4a 2  1  4a  1  2 1  2  3  2 2  16a 4  9  12 2  8  17  12 2 577  408 2  256a 8  289  408 2  288  577  408 2  16a 8  16 Xét 16a8  51a  577  408 2 51 1  2    16 2 577  408 2  408  408 2 169   16 16 169 13 Vậy 16a8  51a   . 16 4 1 1 6 2 6 2 Ví dụ minh họa 6: Tính giá trị S  7  7 với a  ; b . a b 2 2 Giải Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của a và b vào biểu thức và biến đổi thì bài toán sẽ phức tạp, có thể dẫn đến sai lầm. Bài toán có dạng đối xứng cơ bản, ta có thể tính tổng và tích của a và b, sau đó dùng các hằng đẳng thức để tính dần dần. Trình bày lời giải Từ đề bài suy ra: a  b  6; ab  1 Ta có: a 2  b 2   a  b   2ab  4 ; 2 a 3  b3   a  b   3ab  a  b   6 6  3.1. 6  3 6 3 Xét  a 2  b 2  a 3  b3   a 5  a 2b3  a 3b 2  b5  a 5  b5  a 2b 2  a  b  4.3 6  a 5  b5  1 6 Từ đó tính được: a 5  b5  11 6 Xét  a 2  b 2  a 5  b5   a 7  a 2b5  a 5b 2  b 7  a 7  b 7  a 2b 2  a 3  b3  Suy ra: 4.11 6  a 7  b 7  1.3 6  a 7  b 7  41 6 1 1 S   b 7  a 7  41 6 . a 7 b7 Ví dụ minh họa 7: Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức: 15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a  a2  b a  a2  b a b   2 2 Giải a  a2  b a  a2  b Đặt vế phải là: B   2 2 Ta có B  0 Xét B  a  2 a2  b 2  2. a  a2  b  . a  a2  b   a a2  b 2 2 2 2 a2  a2  b B  a  2. 2 ; B2  a  b 4 Vì B  0 nên B  a  b . Vế phải bằng vế trái. Suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ minh họa 8: Cho các số thực x; y thỏa mãn: x  x 2  2   y  1   y2  2 y  3  2 Chứng minh rằng: x3  y 3  3 xy  1 Giải Đặt y  1  z từ giả thiết ta có: x  x 2  2   z   z 2  2  2  * Nhân hai vế với x 2  2  x ta được x 2   2  x2  z  z 2  2  2   x2  2  x    2 z  z2  2  2    x 2  2  x  z  z 2  2  x 2  2  x 1 Nhân hai vế của đẳng thức (*) với z 2  2  z ta được x  x2  2  z 2  2  z2   2  z2  2  z    x  x2  2 2  2   z2  2  z   x  x2  2  z 2  2  z  2 Từ (1) và (2) cộng vế với vế, rút gọn ta được: x  z  0  x  y 1  0  x  y  1 16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Xét x 3  y 3  3 xy   x  y   x 2  xy  y 2   3 xy  x 2  xy  y 2  3 xy  x 2  2 xy  y 2   x  y   1 2 Vậy x 3  y 3  3 xy  1 . Điều phải chứng minh. BÀI TỰ LUYỆN Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên. a) A  3  5. 3  5   10  2 ;  b) B  2  3 1  2 3 .  Bài 2. Rút gọn biểu thức: 3 10  20  3 6  12 2 3 6 84 a) P  ; b) Q  . 5 3 2 3 4 Bài 3. Rút gọn các biểu thức: a) C  62  6  3  2  62   6 3 2 ; 2 96 2  6 b) D  . 3 Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 . Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với x  27  10 2   27  10 2  27  10 2  27  10 2  13  3  13  3 :  13  2 Bài 6. a) Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thỏa mãn: a  b  1  b2  1  a 2 Chứng minh rằng a 2  b 2  1 . b) Chứng minh rằng số 20092  20092.20102  20102 là số nguyên dương. Bài 7. Cho b  0; a  b . Chứng minh đẳng thức: a  b  a  b  2 a  a2  b   Bài 8. Cho x1  3  5 và x2  3  5 . Hãy tính: A  x1.x2 ; B  x12  x22 ; C  x13  x23 ; D  x15  x25 7 5  7 5 Bài 9. Rút gọn biểu thức: A   3 2 2 . 7  2 11 17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10. Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x  1  y y  y  1  x x .Tìm giá trị nhỏ nhất của S  x  3 xy  2 y  8 y  12 . 2 2 Bài 11. Rút gọn các biểu thức sau: P  4  5 3  5 48  10 7  4 3 ; Q   3 1 6  2 2. 3  2  12  18  128 . Bài 12. Rút gọn biểu thức: 6  2 5  13  48 2 3  3  13  48 a) A  b) T  3 1 6 2 2 10  30  2 2  6 2 Bài 13. Rút gọn biểu thức: A  : . 2 10  2 2 3 1 Bài 14. Biết x  2  2  3  6  3 2  3 .Tính giá trị biểu thức: S  x 4  16 x 2 .  Bài 15. Cho x  2019   x  2019  2  2020   y  2019   y  2019  2   2020  2020 .Tính giá trị của A x y. x2  5x  6  x 9  x2 2x Bài 16. Rút gọn biểu thức: A  : 2 1 3x  x 2   x  2  9  x 2 3 x Bài 17. Cho biểu thức P   a 2013  8a 2012  11a 2011    b 2013  8b 2012  11b 2011  . Tính giá trị biểu thức của P với a  4  5 và b  4  5 . 3 3 6  2 9  4 x2 Bài 18. Cho  x  ; x  0 và 3  2 x  3  2 x  a .Tính giá trị của biểu thức P  2 2 x theo a. Bài 19. Tính giá trị của biểu thức: A  2 x 3  3 x 2  4 x  2 Với 5 5 5 5 x  2  2  3  5 1. 2 2 Bài 20. Đố. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64  6  4 . Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên. HƯỚNG DẪN Bài 1. Chứng minh rằng các số sau là số tự nhiên. 18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
a) A  3  5. 3  5   10  2 ;  b) B  2  3 1  2 3 .  Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có A  3  5. 3  5 . 2     5  1  6  2 5.   5 1 . 3  5           2  5 1 . 5 1 . 3  5  5 1 . 5 1 . 3  5      5  2 5  1 . 3  5  2 3  5 . 3  5  2.  9  5   8 .   Vậy A là số tự nhiên.       2 b) Ta có B  3 1 . 4  2 3  3 1 . 3 1 B  3 1 .   3 1  3 1  2 . Vậy B là số tự nhiên. Bài 2. Rút gọn biểu thức: 3 10  20  3 6  12 a) P  ; 5 3 2 3 6 84 b) Q  . 2 3 4 Hướng dẫn giải – đáp số a) Ta có: P   10 3  2  6 3  2     3  2  10  6  5 3 5 3 P 3  2 . 2  5 3  3 2  2. 5 3 b) Ta có Q  2  3 22 6  8   2  3  4 1 2    1 2. 2 3 4 2 3 4 Bài 3. Rút gọn các biểu thức: a) C  62  6  3  2  62   6 3 2 ; 2 96 2  6 b) D  . 3 19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Hướng dẫn giải – đáp số 1 2  3  2 2  2 3  2 6  1 2  3  2 2  2 3  2 6 a) C  2 1   1     2 2 2 3  2 3 1 2  3  1 2  3 C  2 2 2 2 C  2. 2 b) D   3. 3  2 2  6   3. 2  2 2  1  6 3 3     2  3  2 1  2   3  2 1 2   1 . 3 3 Bài 4. Cho x  3  2 . Tính giá trị B  x 5  3 x 4  3 x 3  6 x 2  20 x  2018 . Hướng dẫn giải – đáp số Từ x  2   3 , bình phương hai vế ta được: x 2  4 x  4  3  x 2  4 x  1  0 * Ta có B  x 3  x 2  4 x  1  x 2  x 2  4 x  1  5  x 2  4 x  1  2013 Kết hợp với (*) ta có: B  2013 . Bài 5. Tính giá trị biểu thức A  x 2  2002 x  2003 với x  27  10 2   27  10 2  27  10 2  27  10 2  13  3  13  3 :  13  2 Hướng dẫn giải – đáp số 5  2  2 Ta có: 27  10 2   5 2 . 5  2  2 27  10 2   5 2         2 2 Tử số là: 5  2 . 5  2  5  2 . 5  2     5  2 .23  5  2 .23  46 2 .  Xét a  13  3  13  3; a  0 . 20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com